學案：第6章1.1-1.2簡單多面體-棱柱、棱錐和棱臺

高中數(shù)學精選資源PAGE2/2§1基本立體圖形1.1構成空間幾何體的基本元素1.2簡單多面體——棱柱、棱錐和棱臺學習目標核心素養(yǎng)1.通過對實物模型的觀察，歸納認知簡單多面體——棱柱、棱錐、棱臺的結構特征．(重點)2．能運用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征來判斷、描述現(xiàn)實生活中的實物模型．(重點、難點)1.通過對多面體結構特征的學習，培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)．2．借助于與多面體側面展開圖相關的計算，培養(yǎng)學生數(shù)學運算素養(yǎng).1.空間幾何體的基本元素(1)空間幾何體的基本元素：任意一個幾何體都是由點、線、面構成的，點、線、面是構成幾何體的基本元素．(2)平面：①平面的畫法：一般地，用平行四邊形表示平面，當平面水平放置時，通常把平行四邊形的銳角畫成45°，橫邊長畫成鄰邊長的兩倍當兩個平面相交時，把被遮擋部分畫成虛線或不畫②平面的表示方法：用希臘字母表示，如平面α，平面β，平面γ.用表示平行四邊形的四個頂點的字母表示，如平面ABCD．用表示平行四邊形頂點的兩個相對頂點的字母表示，如平面AC．2.多面體及相關概念由平面多邊形圍成的幾何體稱為多面體．這些多邊形稱為多面體的面，兩個相鄰面的公共邊稱為多面體的棱，棱與棱的公共點稱為多面體的頂點．3．棱柱定義有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都平行，由這些面所圍成的幾何體稱為棱柱圖形及表示如圖可記作：棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1或棱柱AC1相關概念底面(底)：兩個互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬让娴墓策呿旤c：側面與底面的公共頂點對角線：既不在同一底面上也不在同一個側面上的兩個頂點的連線高：過上底面上一點O1作下底面的垂線，這點和垂足O間的距離OO1稱為點O1到下底面的距離，也是兩底面間的距離，即棱柱的高性質(1)側棱都相等(2)兩個底面與平行于底面的截面都是全等的多邊形(3)過不相鄰兩條側棱的截面都是平行四邊形分類(1)按側面形狀分類：側面平行四邊形都是矩形的棱柱稱為直棱柱，其他的棱柱稱為斜棱柱，底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱(2)按底面形狀分類：棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……這樣的棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱……特殊的四棱柱底面是平行四邊形的棱柱稱為平行六面體．側棱與底面垂直的平行六面體稱為直平行六面體；底面是矩形的直平行六面體是長方體；棱長都相等的長方體是正方體4.棱錐定義有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體稱為棱錐圖形及表示如圖可記作：棱錐S－ABCDEF或棱錐S－AC相關概念底面(底)：多邊形ABCDEF側面：其余各面頂點：各個側面的公共點側棱：相鄰兩個側面的公共邊高：頂點到底面的距離性質如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似分類(1)分類：棱錐的底面可能是三角形、四邊形、五邊形……這樣的棱錐分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐…….三棱錐也叫作四面體(2)正棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點在過底面中心且與底面垂直的直線上，那么這個棱錐稱為正棱錐．正棱錐各側面都是全等的等腰三角形．這些等腰三角形底邊上的高都相等，稱為正棱錐的斜高5.棱臺定義用一個平行于底面的平面去截棱錐，截面與底面之間的部分稱為棱臺圖形及表示如圖可記作：棱臺ABC－A1B1C1或棱臺AC1相關概念底面：原棱錐的底面和截面分別稱為棱臺的下底面和上底面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弮蓚€側面的公共邊高：上下兩底面之間的距離分類(1)分類：由三棱錐、四棱錐、五棱錐……所截得的棱臺，分別稱為三棱臺、四棱臺、五棱臺……(2)正棱臺：由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺．正棱臺各側面都是全等的等腰梯形．這些等腰梯形的高稱為正棱臺的斜高思考：1.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體是棱錐嗎？提示：不一定是．只有當這些三角形有公共的頂點時才是棱錐．2．棱臺的各側棱延長線一定相交于一點嗎？提示：因為棱臺是由棱錐截得的，所以棱臺的各側棱延長線一定相交于一點.1．下列棱錐有6個面的是()A．三棱錐 B．四棱錐C．五棱錐 D．六棱錐[答案]C2．有兩個面平行的多面體不可能是()A．棱柱 B．棱錐C．棱臺 D．以上都錯B[棱柱、棱臺的上、下底面是平行的，而棱錐的任意兩面均不平行．]3．關于棱柱，下列說法正確的有________(填序號)．(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；(2)棱柱的側棱長相等，側面都是平行四邊形；(3)各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體．(2)[(1)不正確，反例如圖所示．(2)正確，由棱柱定義可知，棱柱的側棱相互平行且相等，所以側面均為平行四邊形．(3)不正確，上、下底面是菱形，各側面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方體．]棱柱的結構特征【例1】下列命題中，正確的是()A．棱柱中所有的側棱都相交于一點B．棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面C．棱柱的側面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側棱相等，側面是平行四邊形D[A選項不符合棱柱的側棱平行的特點；對于B選項，如下圖(1)，構造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四邊形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但這兩個面不能作為棱柱的底面；選項C中，如下圖(2)，底面ABCD可以是平行四邊形；D選項說明了棱柱的特點，故選D．](1)(2)有關棱柱的結構特征問題的解題策略1緊扣棱柱的結構特征進行有關概念辨析①兩個面互相平行；②其余各面是平行四邊形；③每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行.求解時，首先看是否有兩個平行的面作為底面，再看是否滿足其他特征.2多注意觀察一些實物模型和圖片便于反例排除.eq\o([跟進訓練])1．下列關于棱柱的說法中，錯誤的是()A．三棱柱的底面為三角形B．一個棱柱至少有五個面C．若棱柱的底面邊長相等，則它的各個側面全等D．五棱柱有5條側棱、5個側面，側面為平行四邊形C[顯然A正確；底面邊數(shù)最少的棱柱是三棱柱，它有五個面，故B正確；底面是正方形的四棱柱，有一對側面與底面垂直，另一對側面不垂直于底面，此時側面并不全等，所以C錯誤；D正確，所以選C．]棱錐和棱臺的結構特征【例2】(1)下列說法正確的有()①由五個面圍成的多面體只能是四棱錐；②僅有兩個面互相平行的五面體是棱臺；③兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；④有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺．A．0個 B．1個C．2個 D．3個(2)下列說法正確的有________個．①有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．②正棱錐的側面是等邊三角形．③底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．(1)A(2)0[由五個面圍成的多面體還可能是三棱臺、三棱柱等，故①錯；三棱柱是只有兩個面平行的五面體，故②錯．如圖，可知③④錯誤．(2)①不正確．棱錐的定義是：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．而“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”，故此說法是錯誤的．如圖所示的幾何體滿足此說法，但它不是棱錐，理由是△ADE和△BCF無公共頂點．②錯誤．正棱錐的側面都是等腰三角形，不一定是等邊三角形．③錯誤．由已知條件知，此三棱錐的三個側面未必全等，所以不一定是正三棱錐．如圖所示的三棱錐中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．滿足底面△BCD為等邊三角形．三個側面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC長度不一定，三個側面不一定全等．]判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法(1)舉反例法：結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確．(2)直接法：棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側棱相交于一點延長后相交于一點eq\o([跟進訓練])2．一個棱錐的各棱長都相等，那么這個棱錐一定不是()A．三棱錐 B．四棱錐C．五棱錐 D．六棱錐D[由題意可知，每個側面均為等邊三角形，每個側面的頂角均為60°，如果是六棱錐，因為6×60°＝360°，所以頂點會在底面上，因此不是六棱錐．]多面體的平面展開圖問題[探究問題]1.如何把一個多面體的側面展開？提示：在解題過程中，常常給多面體的頂點標上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側面，便可得到其平面展開圖．2．如圖是三個幾何體的側面展開圖，請問各是什么幾何體？①②③提示：圖①中，有5個平行四邊形，而且還有兩個全等的五邊形，符合棱柱特點；圖②中，有5個三角形，且具有共同的頂點，還有一個五邊形，符合棱錐特點；圖③中，有3個梯形，且其腰的延長線交于一點，還有兩個相似的三角形，符合棱臺的特點．把側面展開圖還原為原幾何體，如圖所示：所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺．【例3】長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只螞蟻從點A出發(fā)沿表面爬行到點C1，求螞蟻爬行的最短路線長．[思路點撥]eq\x(螞蟻的爬行路線可能有三種)→eq\x(分別把長方體的側面展開)→eq\x(分別計算)→eq\x(三種情況的最小值即為所求)[解]沿長方體的一條棱剪開，使A和C1展開在同一平面上，求線段AC1的長即可，有如圖所示的三種剪法：(1)若將C1D1剪開，使面AB1與面A1C1共面，可求得AC1＝eq\r(42＋5＋32)＝eq\r(80)＝4eq\r(5).(2)若將AD剪開，使面AC與面BC1共面，可求得AC1＝eq\r(32＋5＋42)＝eq\r(90)＝3eq\r(10).(3)若將CC1剪開，使面BC1與面AB1共面，可求得AC1＝eq\r(4＋32＋52)＝eq\r(74).相比較可得螞蟻爬行的最短路線長為eq\r(74).

把例3的條件換為：如圖所示，棱長為2cm的正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱CC1的中點為M，螞蟻從點A出發(fā)沿表面爬行到點M，求螞蟻爬行的最短路線長．[解]由題意，若以BC為軸展開，則A，M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為2cm,3cm，故兩點之間的距離是eq\r(13)cm.若以BB1為軸展開，則A，M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為1,4，故兩點之間的距離是eq\r(17)cm.故沿正方體表面從點A到點M的最短路程是eq\r(13)cm.求幾何體表面上兩點間的距離的方法：求從幾何體的表面上一點，沿幾何體表面運動到另一點，所走過的最短距離，常將幾何體沿某條棱剪開，使兩點展開在一個平面上，轉化為求平面上兩點間的最短距離問題.1．棱柱、棱錐定義的關注點(1)棱柱的定義有以下兩個要點，缺一不可：①有兩個平面(底面)互相平行；②其余各面(側面)每相鄰兩個面的公共邊(側棱)都互相平行．(2)棱錐的定義有以下兩個要點，缺一不可：①有一個面(底面)是多邊形；②其余各面(側面)是有一個公共頂點的三角形．2．棱柱、棱臺、棱錐關系圖1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺． ()(2)棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面． ()(3)棱臺的底面是兩個相似的正方形． ()(4)棱臺的側棱延長后必交于一點． ()[提示](1)錯誤．只有用平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分才是棱臺．(2)錯誤．反例：長方體的相對的側面也相互平行．(3)錯誤．棱臺的底面是兩個相似的多邊形，不一定是正方形．(4)正確．因為棱臺是由棱錐用平行于底面的平面截得的，所以棱臺的側棱延長后必交于一點．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．下面圖形中，為棱錐的是()A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②C[根據(jù)棱錐的定義和結構特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐，④是棱錐．故選C．]3．下列說法中正確的是()A．棱柱的面中，至少有兩個面互相平行B．棱柱中任