集合、立體幾何、解析幾何及其他新定義綜合-2025年高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第03講集合、立體幾何、解析幾何

及其他新定義綜合

（4類核心考點(diǎn)精講精練）

考情探究?

集合新定義考情分析

首先，集合的基本概念和表示方法是基礎(chǔ)，包括集合的定義、元素、子集、并集、交集、補(bǔ)集等?？?/p>

生需要掌握集合的表示方法，如列舉法和描述法，并能正確使用集合運(yùn)算符號(hào)。

其次，集合的新定義和新概念可能會(huì)出現(xiàn)在高考試題中，考生需要關(guān)注集合新問題。

總體而言，新高考數(shù)學(xué)集合部分的考情分析要求考生不僅要掌握基礎(chǔ)知識(shí)，還要能夠?qū)⒓现R(shí)與其

他數(shù)學(xué)領(lǐng)域相結(jié)合，解決實(shí)際問題?？忌鷳?yīng)注重基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固，同時(shí)關(guān)注新定義的學(xué)習(xí)和應(yīng)用。

立體幾何新定義考情分析

新高考數(shù)學(xué)立體幾何部分，新定義的引入是近年來考試改革的一個(gè)重要方面。新定義通常涉及一些特

定的幾何概念、性質(zhì)或定理，這些內(nèi)容在傳統(tǒng)的教學(xué)大綱中可能沒有明確提及，但它們對于解決某些特定

問題非常關(guān)鍵。考情分析顯示，新定義的題目往往要求考生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力和空間想象能力。

在備考時(shí)，考生需要特別注意以下幾個(gè)方面：

1.理解新定義的含義：考生需要準(zhǔn)確理解新定義的幾何概念或性質(zhì)，并能夠?qū)⑵渑c已知的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)

系起來。

2.掌握新定義的應(yīng)用：通過大量練習(xí)，熟悉新定義在解決立體幾何問題中的應(yīng)用，包括但不限于計(jì)算

體積、表面積、線段長度、角度等。

3.分析和解決問題的能力：面對新定義題目，考生應(yīng)學(xué)會(huì)如何分析問題，運(yùn)用邏輯推理和幾何直觀來

解決問題。

4.關(guān)注新定義與實(shí)際問題的結(jié)合：新高考數(shù)學(xué)試題越來越注重實(shí)際應(yīng)用，考生應(yīng)學(xué)會(huì)將新定義與實(shí)際

問題結(jié)合起來，提高解決實(shí)際問題的能力。

總之，新定義的引入增加了立體幾何題目的難度和深度，考生需要在復(fù)習(xí)時(shí)特別關(guān)注這些內(nèi)容，通過

多種方式提高自己的理解和應(yīng)用能力。

解析幾何新定義考情分析

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，它以代數(shù)方法研究幾何問題，是連接代數(shù)與幾何的橋梁。在新

高考數(shù)學(xué)中，解析幾何的內(nèi)容和考查方式有所更新，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.新定義問題的引入：新高考數(shù)學(xué)解析幾何部分增加了對新定義的理解和應(yīng)用的考查。這類問題通常

1

會(huì)給出一個(gè)未見過的幾何概念或性質(zhì)，要求考生在理解的基礎(chǔ)上，運(yùn)用已學(xué)知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)和計(jì)算。

2.綜合性增強(qiáng)：解析幾何題目往往與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域如代數(shù)、三角等知識(shí)相結(jié)合，考查學(xué)生綜合運(yùn)用多

種數(shù)學(xué)工具解決問題的能力。

3.實(shí)際應(yīng)用背景：新高考數(shù)學(xué)解析幾何題目更加注重實(shí)際應(yīng)用，題目背景往往來源于實(shí)際生活或科學(xué)

技術(shù)，要求學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問題與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系起來。

4.創(chuàng)新思維的考查：解析幾何題目中可能會(huì)出現(xiàn)一些開放性問題，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)新思維，探索多種

解題方法，而不僅僅是套用固定模式。

5.計(jì)算能力與邏輯推理能力并重：新高考數(shù)學(xué)解析幾何部分不僅考查學(xué)生的計(jì)算能力，還強(qiáng)調(diào)邏輯推

理能力。考生需要準(zhǔn)確理解幾何圖形的性質(zhì)，合理運(yùn)用幾何定理和公式，進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理。

針對這些考情變化，考生在備考時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對新定義的理解和應(yīng)用，提高解決綜合性問題的能力，注重

實(shí)際應(yīng)用背景的題目訓(xùn)練，并在解題過程中發(fā)揮創(chuàng)新思維，同時(shí)加強(qiáng)計(jì)算能力和邏輯推理能力的培養(yǎng)。

II考點(diǎn)梳理

考點(diǎn)1集合新定義

考點(diǎn)立體幾何新定義

集合、立體幾何、解析幾何2

一核心考點(diǎn)考點(diǎn)解析幾何新定義

及其他新定義綜合3

考點(diǎn)4其他新定義綜合

考點(diǎn)一、集合新定義

典例引領(lǐng)

1.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)定義兩集合的差集：=且xeN},已知集合/={2,3,5},

5={3,5,8),則/-(/-2的子集個(gè)數(shù)是()個(gè).

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】根據(jù)題意求得集合從而求得其子集的個(gè)數(shù).

【詳解】因?yàn)?={2,3,5},3={3,5,8},

所以/_3={2},

所以/-(/-8)={3,5},有兩個(gè)元素，

貝1|/-("8)的子集個(gè)數(shù)是22=4個(gè).

故選:B.

2.(2024?浙江紹興?模擬預(yù)測)對于集合B,定義小8={x|xe/且xeB},則對于集合

2

A={x\x=6n+5,zzeN},B={y\y=3m+1,meN},C=x|xe且x<1000},以下說法正確的是（）

A.若在橫線上填入"n",則C的真子集有212-1個(gè).

B.若在橫線上填入"U",則C中元素個(gè)數(shù)大于250.

C.若在橫線上填入則C的非空真子集有2面-2個(gè).

D.若在橫線上填入則中元素個(gè)數(shù)為13.

【答案】B

【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)確定相應(yīng)的集合C,然后由集合與子集定義得結(jié)論.

【詳解】尤=6〃+5=3x（2〃+l）+2,y=3/w+7=3（加+2）+1,集合4臺(tái)無公共元素，

選項(xiàng)A中，集合C為空集，沒有真子集，A錯(cuò)；

選項(xiàng)B中，由6〃+5<1000得“<165』，由3〃?+7<1000得用<331,因此C中元素個(gè)數(shù)為166+331=497,B

6

正確；

選項(xiàng)C中，C中元素個(gè)數(shù)為166,非空真子集個(gè)數(shù)為2際-2，c錯(cuò)；

選項(xiàng)D中，飄=M/U躺）=N4n瞰M）=NA^B,而8三金/,因此其中元素個(gè)數(shù)為331個(gè)，D錯(cuò).

故選：B.

3.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）（多選）對于集合A,若則稱A為對偶互存集，則下列為

對偶互存集的是（）

A.{-1,0,1,2,3}B.卜卜=2左一1,左eZ}

C.卜了=占,D.{山=l+siwc}

【答案】ABD

【分析】根據(jù)對偶互存集的定義逐項(xiàng)判斷可得答案.

【詳解】對于A,當(dāng)尤=-1,0,1,2,3時(shí)，2-尤e{-l,0,l,2,3},故A正確；

對于B,卜,=24-1,左wZ}為全體奇數(shù)構(gòu)成的集合，

當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，2-x也為奇數(shù)，故B正確；

對于C,，了=^J={引了W0}，貝|2?引了20},

但2-2=00{中工0},故C錯(cuò)誤；

對于D,{y|y=l+sinx）=[0,2],當(dāng)xe[0,2]時(shí),2-xe[0,2],故D正確.

故選:ABD.

4.（2024?北京西城?三模）記集合。={（4,電，…,qe{0,1},7=1,2,…，叫〃>2）.對任意c=e。,

。=他也,…也）e。，記〃（?/）=（|4-4I』的%I，I）,對于非空集合定義集合

D（A）=\d（a,p）|aeA,0eA].

⑴當(dāng)〃=2時(shí),寫出集合O；對于/={（0,0）,（0,1）,（1,0）},寫出。⑷;

3

(2)當(dāng)〃=3時(shí)，如果求card(/)的最小值；

⑶求證：card(Z>(4))》card(4).

(注：本題中，card(N)表示有限集合/中的元素的個(gè)數(shù).)

【答案】(1)。={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}；。(⑷案{(0,0),(0,1),(1,0),(U)}

(2)5

⑶證明見解析

【分析】(1)根據(jù)定義直接寫出集合。，再根據(jù)。(⑷的定義寫出。(/)；

(2)設(shè)card(/)=m,則card(Q)=8,則由題意可得C：27,從而可求得結(jié)果；

(3)設(shè)/中的所有元素為a1，a2,am,其中加=card(N),記=(i=l,2,...,m),先利用反

證法證明這些“互不相等，再根據(jù)定義證明即可.

【詳解】(1)。={(0,0),(0,1),(1,0),(1」)}；

若4m{(0,0),(0,1),(1,0)},則D(/)={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.

(2)cardQ)的最小值為5.

證明如下：

設(shè)card(/)=m.

因?yàn)閏ard(Q)=23=8,除(0,0,0)=d(c,0外，其它7個(gè)元素需由兩個(gè)不同的a,月計(jì)算得到，

所以C：》7,解得d.

當(dāng)/={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}時(shí)，有。(/)=。，符合題意.

(3)證明：設(shè)/中的所有元素為%，%，...，%,,其中加=card(/).

記％'="(生嗎)(i=),則這些a；互不相等.

證明如下：如果存在，〃(%,%)="(%,/),

則dQ,%),d(%,4)的每一位都相等，

所以火,勺的每一位都相等，

從而%=%,與集合N中元素的互異性矛盾.

定義集合。'(⑷={琮/,…，或},則card(D'(/))=m=card(^).

又。(/)衛(wèi)。'(/),

所以card(O(4))2card(Z>'(Z))=card(/).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查集合的新定義，考查集合間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是對集合新定義的正確理

解，考查理解能力，屬于難題.

5.(2024?浙江?模擬預(yù)測)稱代數(shù)系統(tǒng)G(x,。)為一個(gè)有限群，如果

1.X為一個(gè)有限集合，。為定義在X上的運(yùn)算(不必交換)，^a,beX,aob^X

2.(0。6)。c=a。(6。c),\/a,b,c6X

3.3eX,\JaX,a°e=e°a=a,e稱為G的單位元

4

4.V。eX,存在唯一元素/eX使。。廠=/。a=e,小稱為。的逆元有限群〃（匕。）,稱為G（X,。）的子群

若y=X,定義運(yùn)算.。//={0?！ā█//}.

⑴設(shè)H為有限群G的子群，。力為G中的元素.求證：

（i）a。H=b。H當(dāng)且僅當(dāng)bl°aeH;

（ii）與b元素個(gè)數(shù)相同.

⑵設(shè)。為任一質(zhì)數(shù)X={1,2,…,p-l}.X上的乘法定義為。。6=---P，其中國為不大于無的最小整

VPVP\）

pl

數(shù).已知G（X,。）構(gòu)成一個(gè)群，求證:VaGX?！?1=0（其中a-表示PT個(gè)。作。運(yùn)算）

【答案】（1）（i）證明見解析；（ii）證明見解析

⑵證明見解析

【分析】（1）（i）利用單位元、子群的定義判斷可得答案；（ii）首先構(gòu)造一個(gè)〃到的滿射，直接由

的定義得到，另一方面，證明這個(gè)映射同時(shí)也是單射即可；

（2）我們有如下斷言:假設(shè)上是使得/=e的最小正整數(shù)，由（1）的結(jié)論可知可得答案.

【詳解】（1）（i）如果。。7/=6。/7,則V力方力2」〃,a。h、=b。h,

從而b"。。=%。父wH.

另一方面，如果尸。”?〃，

則有V4ea。瓦物e/Z,g、=a。％,

lx

即a'°gx=hx,從而b~°a°a~°gx=『。a。％eH,

即b"°g[wH,

從而4S。"，

反之由反°aeH得到a-l°beH，

類似討論得中的元素也全都屬于。。〃，證畢；

（ii）我們首先構(gòu)造一個(gè)b到a?！钡臐M射，

這直接由。的定義得到，

另一方面，我們證明這個(gè)映射同時(shí)也是單射，

事實(shí)上，若對h\，heH,a。瓦=a。均,

兩邊左乘a1>

則有力=用，從而兩集合間有一一映射，

故元素個(gè)數(shù)相等；

（2）我們有如下斷言:VaeX,awl,

假設(shè)先是使得d=e的最小正整數(shù)，

則e,a,小,舒,…,（其中屋表示加個(gè)。作.運(yùn)算）在運(yùn)算。下構(gòu)成G的一個(gè)子群，

記作

而由（1）的結(jié)論可知，卜。〃,xeG}這一集族中的集合有相同的元素個(gè)數(shù)，

5

且兩兩不交(若有兩個(gè)集合。。修/?！ㄏ嘟?，則推得尸oaeH，

由(1)(i)得兩集合相同)從而它們構(gòu)成G的一個(gè)劃分，從而有p-l=^JeN,

因而ap~]=(ak)=f=1.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是對新定義的理解及性質(zhì)的應(yīng)用.

即時(shí)檢測

I______________________

11.(2024?浙江?二模)稱平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為正整數(shù)的點(diǎn)為好整點(diǎn)，記災(zāi)[S]為集合S包

含的好整點(diǎn)的個(gè)數(shù).若火1(2)卜+y)2+3x+”A)]=見｛(\x+y<4^,則正整數(shù)上的最小值是()

A.1976B.1977C.2023D.2024

【答案】B

【分析】一方面由必要性：轉(zhuǎn)換成恒成立求參問題，可以求得力21977,另一方面比較重要的一點(diǎn)是：要驗(yàn)

證當(dāng)先=1977時(shí)，w[(2)卜+?+3x+”4=見{(|x+”4打，由此即可得解.

【詳解】一方面：由題意Vx,yeN*,x+y<43,使得不等式++3x+y〈上恒成立，

注意至U(x+y)2+3x+y=(x+y)2+3(x+y)-2_y<(x+y)?+3(x+y)-2

4432+3x43-2=1976,

fx+y=43]x=42

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)；，即,,

b=i卜=i

所以正整數(shù)上應(yīng)該滿足左點(diǎn)977,

另一方面：當(dāng)左=1977時(shí)，

我們證明：火](x,川(x+y)2+3x+y<,=端(x,?|x+y44打成立，

證明過程如下：

注意到{(x,y)x+"43}={(1,1),(1,2)(2,1…,(1,42)0,41)…,02,1?,

42x+42

所以R[{(x,y)|x+y<43}]=1+2+??-+42=0)=903,

Vx/eN",記x+y=M,則“€{2,3J..43},ye{1,2,--1},

91+y)2+3x+y<左J

=況](蒼川(為+y)~+3(x+y)-2y<1977,

3/、42x(1+42)

=E("-l)=l+2+-.+42=——------^=903,

M=22

即火{(x,y)kx+y)2+3x+y<左[=%[{"y)x+yV43}]=903成立，

6

綜合以上兩方面，可知正整數(shù)發(fā)的最小值是1977.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于用必要性求得參數(shù)范圍后，一定要檢驗(yàn)充分性是否成立，由此即可

順利得解.

2.（2024?湖南懷化?二模）給定整數(shù)心3,有〃個(gè)實(shí)數(shù)元素的集合S,定義其相伴數(shù)集7=加的,力eS,aR6},

如果min（T）=l,則稱集合S為一個(gè)"元規(guī)范數(shù)集.（注：min（X）表示數(shù)集X中的最小數(shù)）.對于集合

M={-0.1,-1.1,2,2.5}、N={-1.5,-0.5,0.5,1.5},貝l]（）

A.”是規(guī)范數(shù)集，N不是規(guī)范數(shù)集B.M是規(guī)范數(shù)集，N是規(guī)范數(shù)集

C.M不是規(guī)范數(shù)集，N是規(guī)范數(shù)集D.M不是規(guī)范數(shù)集，N不是規(guī)范數(shù)集

【答案】C

【分析】利用規(guī)范數(shù)集的定義，逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】集合屈={-0.1,-1.1,2,2.5}中，2wM,25wM,貝I]|2-2.5|=0.5<1,

即M的相伴數(shù)集中的最小數(shù)不是1,因此M不是規(guī)范數(shù)集；

集合N={-1.5,-0.5,0.5,1.5},1-1.5-（-0.5）|=1,|-0.5-0.5|=1,10.5-1.5|=1,

|-1.5-0.5H-0.5-1.5|=2,|-1.5-1.5|=3,

即N的相伴數(shù)集中的最小數(shù)是1,因此N是規(guī)范數(shù)集.

故選：C

3.（2024?福建?模擬預(yù)測）（多選）若平面點(diǎn)集M滿足：任意點(diǎn)（x,y）eW,存在fe（0,+s）,都有儂,共）eM,

則稱該點(diǎn)集M是f階聚合點(diǎn)集.下列命題為真命題的是（）

A.若M={（x,y）|x2y},則/是3階聚合點(diǎn)集

B.存在“對任意正數(shù)"使"不是邛介聚合點(diǎn)集

'V211

C.=<（x,y）~+y2=l>,則M不是§階聚合點(diǎn)集

D."te工+e）"是"M—是邛介聚合點(diǎn)集”的充要條件

【答案】ACD

【分析】根據(jù)集合新定義的規(guī)定，易判斷A正確；通過舉反例排除B；按照集合新定義得不出合理結(jié)論否定

M==為g階聚合點(diǎn)集判斷C；運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，即可得到D正確.

【詳解】對于A,由xNy可得3xN3y,故”是3階聚合點(diǎn)集，即A正確；

對于B,對任意的點(diǎn)集總存在f=l,使得M是1階聚合點(diǎn)集，故B錯(cuò)誤；

對于C,因片+/=1,而（3）:，八2x2y2x22一故M不是《階聚合點(diǎn)集，即C正確；

4丁+曰=*+/<“+”13

對于D,因"={（%））”22%}是，階聚合點(diǎn)集等價(jià)于2比，

7

因1>0,可得少2“，又因依題意可得反之也成立，

故""=卜3小2“}是/階聚合點(diǎn)集"是，"€工+”)〃的充要條件，即D正確.

故選：ACD.

4.(2024?貴州遵義?二模)設(shè)集合凡={(%/,…,當(dāng))|%=0或1/=(2,…,。，中的元素a=3，%…M3

6=(4也,…也)，定義：。十6=(%-4)4+(%-%)4+…+(%-2)4.若M為4的《元子集，對Vxe〃“，

都存在yeM,使得x十yW3,則稱M為七的左元最優(yōu)子集.

(1)若。十6=4,且。=(1,0,1,1,0),試寫出兩個(gè)不同的6；

⑵當(dāng)〃=7時(shí)，集合2=…,馬),(%,％,…,%)},占,匕e{01},占+%=1,證明：A為嗎的2元最優(yōu)子集;

⑶當(dāng)〃28時(shí)，，“是否存在2元最優(yōu)子集，若存在，求出一個(gè)最優(yōu)子集，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)6=(0,1,0,0,0)或(1,1,0,0,1)；

(2)證明見解析；

⑶不存在，理由見解析.

【分析】(1)根據(jù)給定的定義直接寫出b即可.

⑵任取z=(z”Z2,…,與)€鳥，確定存在的X/,使得(x,-z,)4+(%-zJ=l,i=l,2,3,4,5,6,7,代入計(jì)算

證得.

(3)先考慮〃=8的情況，證明不存在最優(yōu)子集即可推理得證.

【詳解】⑴取6=(0,1,0,0,0)或(U,0,0,1),滿足a十6=12+12+12+12=4,

所以6=(0,1,0,0,0)或(1,1,0,0,1).

⑵任取Z=(Z],z?,Z7)eZ，則存在4片€{0,1},%+%=1,使得a_ZJ+(%-Z,)4=1,i=1,2,3,4,5,6,7,

記X=(X],X2,……,乃)，

777

x十z+y十z=Z(%-Z,)4+￡(%-Z,)4=￡[&-4)4+(%-Z,)4]=7,

Z=1Z=1Z=1

若x十z43,則結(jié)論成立；若x十z24,貝帖十z=7-x十ZV3,

所以A為凡的2元最優(yōu)子集.

(3)先考慮"=8的情況，假設(shè)生存在2元最優(yōu)子集7?,

記及={a,6},a=…，4)，6=(4也，…，4)，

VaG77g,BcH(c1,c2,---,c8)e77'g,^a?c=4,

ific=(1—c1；l—c2,???,1—c8),貝ijce,

由a十c+a十1=8,得a十？=4,6十c+6十5=8,

因此。十c,b十}中至少有一個(gè)數(shù)大于等于4,

這與R是最優(yōu)子集矛盾，由6的任意性，可知&不存在最優(yōu)子集，

當(dāng)8時(shí)，Va,6e4,a=(a1M2,???,%),6=(4也，…也)，

8

n8

則。十6=E(%-6Jz￡(a,-也丁，所以憶沒有2元最優(yōu)子集.

Z=1Z=1

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解新定義運(yùn)算有關(guān)的題目，關(guān)鍵是理解和運(yùn)用新定義的概念以及元算，利用化歸和

轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將不熟悉的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化成熟悉的問題進(jìn)行求解.

5.(2024?四川?一模)桌上有十個(gè)蘋果，要把這十個(gè)蘋果放到九個(gè)抽屜里，無論怎樣放，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)至少會(huì)

有一個(gè)抽屜里面放不少于兩個(gè)蘋果.這一現(xiàn)象就是我們所說的"抽屜原理

抽屜原理的一般含義為：如果每個(gè)抽屜代表一個(gè)集合，每一個(gè)蘋果就可以代表一個(gè)元素，假如有〃+1個(gè)元

素放到n個(gè)集合中去，共中必定有一個(gè)集合里至少有兩個(gè)元素.

應(yīng)用抽屜原理，解答下列問題：設(shè)"為正整數(shù)，集合/={&|￡=(32「4")，”€{0,1}水=1,2,…,力}.對于集

合/中的任意元素a=(再,三，…,%)和￡=(%，%，,,2,)，記

=5[(再+J1+卜一必|)+伍+y2+卜_%|)+…+(X"+yn+|x?-J?D].

⑴當(dāng)〃=3時(shí)，巖a=(0,l,l),^=(0,0,1),求A/(a,a)和的值；

(2)當(dāng)〃=4時(shí)，對于/中的任意兩個(gè)不同的元素B,證明：M(a,0)WM(a,a)+M(0,0).

⑶給定不小于2的正整數(shù)“，設(shè)3是/的子集，且滿足：對于8中的任意兩個(gè)不同元素a,P，

71/(4月)=河(40+M(尸,尸).寫出一個(gè)集合8,使其元素個(gè)數(shù)最多，并說明由.

【答案】(l)M(/a)=2,M(aQ=2

(2)證明見解析

(3)S={e0,ej,---,e?},理由見解析

【分析】(1)根據(jù)定義得到M(a,a)=2,M(aQ=2；

(2)設(shè)。=(%,%，三,三),夕=(%,掇*%，招)，求出M(a,a)=X]+工2+退+匕，M(P，夕)=必+%+%+%，分析出

Af(?,^)=max{x1,j?1}+max{x2,^2}+max{x3,j；3}+max{x4,)/4},max{x,.,^.}＜x(+yt,證明出WM(a,a)+M(/7,0,

當(dāng)且僅當(dāng)x,%=0(/=1,2,3,4)時(shí)等號(hào)成立；

(3)在(2)的基礎(chǔ)上,得到若"'(&,")="'30)+〃_(￡,￡),貝5]無a=0,7=1,2,3「1〃成立,對集合A進(jìn)行分

類，應(yīng)用抽屜原理和反證法，得到滿足條件的集合8中元素個(gè)數(shù)不多于〃+1,在取e。=(0,0,…0),對于左=1,

2,…，?-1,取e&=(4工2，%，…，，且％="-=%=0;e?e4＞令臺(tái)=佃叢…,e“},得到答案.

【詳解】(1)因?yàn)閍=(O,l,l),￡=(0,0,1),

所以M(a,a)=g[(0+0+|0-0|)+(l+l+“_l|)+(l+l+卜1|)]=2,

A/(?,^)=|[(0+0+|0-0|)+(l+0+|l-0|)+(l+l+|l-l|)]=2；

(2)當(dāng)〃=4時(shí)，對于/中的任意兩個(gè)不同的元素a,P，

設(shè)。=(芭，％2，13，％4)，夕=(必，＞2，為，》4)，

M(a,a)=xx+x2+x3+x^9M(夕，夕)=必+%+%+2.

對于任意的%，%,1=1,2,3,4,

9

當(dāng)x,2X時(shí)，有;(%+力+卜-%|)=1[x;+乂+(X,.-y,)]=X,.,

當(dāng)占My,時(shí)，有+%+|為一％=+%-(x,-%)]=%.

即1(x,+Z+I%-yjI)=max{x,.，x},

所以Af(a,/)=max{x”M}+max{x2，%}+max{x3，%}+max{z，”},

又因?yàn)閤,,y,e{O,l},

所以max{x”其}i=l,2,3,4,當(dāng)且僅當(dāng)x那=0時(shí)等號(hào)成立,

所以max{再，乂}+max{x2,y2}+max{x3,y3}+max{x4,y4}

V(%+Vj)+(x2+%)+(%+%)+(x4+y4)

=(xt+x2+x3+x4)+(必+y2+y3+y4),

即囚3,0這'(氏&)+版月,0,當(dāng)且僅當(dāng)x,%=0(i=l,2,3,4)時(shí)等號(hào)成立：

(3)由(2)可證,對于任意的a=(再，苞,后,…，怎的￡=

若M(a,0)=M(a,a)+M(0,0),則占％=0"=1,2,3「、〃成立.

考慮設(shè)4={(*，三，三，…，三)1再=3=""=x,=0}，

4={(Xj,x2,x3,???,%?)|Xj=l,x,.e{0,l},z=2,3,---,M},

對于任意的斤=2,3,...?n,

4={(xi,x2,x3,---,xn)\(xl,x2,x3,---,xtt')&A,xl=x2=■■-=xkk=0,xk=1},

所以/=4U4U…U4，

假設(shè)滿足條件的集合3中元素個(gè)數(shù)不少于"+2,

則至少存在兩個(gè)元素在某個(gè)集合4伏=1,2,…,〃-1)中，

不妨設(shè)為&=(再,%，尤3,…，匕)，"=(%，%，%，,??，%)，則以=%=】.

與假設(shè)矛盾，所以滿足條件的集合8中元素個(gè)數(shù)不多于〃+1.

取e。=(0,0,?■?O)；

對于左=1,2,n-1,取eg=(外,々,知…,馬)?4,

X==X=

且M""N0：e；,e4.

令3={eo，e”…,e“},

則集合8滿足條件，且元素個(gè)數(shù)為〃+1,

故B是一個(gè)滿足條件且元素個(gè)數(shù)最多的集合.

【點(diǎn)睛】新定義問題的方法和技巧：

(1)可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；

(2)可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；

(3)發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；

(4)如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用

書上的概念.

10

考點(diǎn)二、立體幾何新定義

甲典例引領(lǐng)

1.（2024?青海?模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，E,F,M,N,G,H分別為棱

BC,AD,CD,4月，CQi的中點(diǎn)，P為的中點(diǎn)，連接EX,FG.對于空間任意兩點(diǎn)/,J,若線

段。上不存在也在線段即，尸G上的點(diǎn)，則稱/,J兩點(diǎn)"可視"，則與點(diǎn)片"可視”的點(diǎn)為（）

【答案】D

【分析】連接耳。、BF、B[E、MF、B]M、B、N,借助平行線的性質(zhì)可得四點(diǎn)共面，即可得線段與。與

昉■相交，線段與尸與即相交，線段4M與尸G相交，從而排除A、B、C.

【詳解】如圖，連接與。，與尸，B\E,由正方體的性質(zhì)及E、H分別為棱/5、的中點(diǎn)，

易得B\EMHD,所以線段用。與四相交，與尸與相交，故A、B錯(cuò)誤；

連接MF,B[M,有AB//MF,ABUBfi,故用G//MF,

所以線段用M與FG相交，C錯(cuò)誤；

連接4N,直線用N與四，直線4N與尸G均為異面直線，D正確.

故選：D.

2.（23-24高三上?上海浦東新?階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)/（占,乂0）和點(diǎn)兩點(diǎn)之

間的"直角距離=k1-乙|+瓦一月+%-Z2若A和3兩點(diǎn)之間的距離是G，則A和8兩點(diǎn)之間的“直

角距離”的取值范圍是.

11

【答案】[后3]

【分析】根據(jù)空間兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合三角代換法、輔助角公式、正弦型函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

22zz2

[詳解]因?yàn)锳B=-x2）+{y]~y2）+（i~2）=右，

所以設(shè)卜一%21二6cos8sineJ必一刃二V"§sinOsin同向一=7-3cos^,

其中。,夕￡0,1,因此d（z,5）=|再一司+|弘一%|十|z「z』=|不—目

=A/3COS6sin°+Gsin夕sin°+百cos°

=V3sin(cos04-sin^)+V3COS(p=46sm(psin0+—+Geos夕,

因?yàn)楣惨?所以"畀PT

設(shè),=sin[e+：]￡-^-,1

=&sin夕sin[9+；J+Gcoscp=y[6tsin°+Gcoscp

于是有d（A網(wǎng)

76t2+3sin(p+arctan

TT11171

因?yàn)橄0,-所以9+arctanarctanarctan,I—

STyJ2t也t2_

因此當(dāng)，=1且。+arctan7豆=己時(shí)，即當(dāng)，=1且0=]_arctan1及時(shí)，

九㈤有最大值76x1+3=3,

當(dāng)』=*且。=0或。=]時(shí)，4腐）有最小值，

止匕時(shí)arctan-y=-=arctan1=—,d（A§）=y/~6sin:=y/3或d（A§）=V6sin=后,

所以％B）的最小值=

綜上，A和3兩點(diǎn)之間的"直角距離”的取值范圍是[6,3]

故答案為:[6,3]

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用三角代換的方法、運(yùn)用正弦函數(shù)的最值的性質(zhì).

3.（24-25高三上?浙江?開學(xué)考試）已知Q是棱長為近的正四面體43C。，設(shè)Q的四個(gè)頂點(diǎn)到平面C的距離

所構(gòu)成的集合為若M中元素的個(gè)數(shù)為左，則稱夕為Q的后階等距平面，"為Q的左階等距集.

（1）若a為Q的1階等距平面且1階等距集為{a},求。的所有可能值以及相應(yīng)的a的個(gè)數(shù)；

（2）已知月為。的4階等距平面，且點(diǎn)A與點(diǎn)8c。分別位于尸的兩側(cè).若。的4階等距集為仍,26,36,46},

12

其中點(diǎn)A到。的距離為b,求平面BCD與0夾角的余弦值.

【答案】⑴答案見解析

⑵叵

7

【分析】（1）分兩種情況得出。的所有可能值以及相應(yīng)的&的個(gè)數(shù)；

（2）先根據(jù)已知得出/O:Z）B=1:2,/E:EC=1:3,//:ED=1:4,再計(jì)算求得余弦值.

【詳解】（1）①情形一：分別取的中點(diǎn)

此時(shí)平面。昉為Q的一個(gè)1階等距平面，

6為正四面體高的一半，等于Lx逅x&=1.

233

由于正四面體有4個(gè)面，這樣的1階等距平面1平行于其中一個(gè)面，有4種情況;

②情形二：分別取/氏/C,CD,Z出的中點(diǎn)尸,。,凡S

將此正四面體放置到棱長為1的正方體中，

則。為正方體棱長的一半，等于

由于正四面體的六條棱中有3組對棱互為異面直線，

這樣的1階等距平面a平行于其中一組異面直線，有3種情況.

綜上，當(dāng)。的值為好時(shí)，a有4個(gè)；當(dāng)”的值為:時(shí)，1有3個(gè).

（2）在線段/民上分別取一點(diǎn)”,￡,尸，

使得4W:M8=1:2,/￡:￡C=1:3,/GED=1:4,則平面〃即為平面加斯.

13

如圖，取助中點(diǎn)。，連接OC,,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，過點(diǎn)。且與平面垂

直的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

―?—?—?1—?1—?1

ME=AE-AM=-AC——AB=-

434

—?―?——?1—?1―?1

MF=AF-AM=-AD——AB=-

535

設(shè)平面”石尸法向量為記=（%,y,z）

m-MF=0x+46y+2y[2z=0

所以一，即

m-ME=05x+2y/3y+yf2z=0

所以沅=（0,1,_癡），

又平面85的法向量為方=（0,0,1）,

設(shè)平面sc。與尸夾角為e

\m-n\_y/6_V42

所以cos。=

網(wǎng)J司J1+67

所以平面BCD與￡夾角余弦值為叵.

7

4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）我們知道，二元實(shí)數(shù)對（xj）可以表示平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)；那么對

于“元實(shí)數(shù)對（國產(chǎn)2,…,X”）（“21,〃是整數(shù)），也可以把它看作一個(gè)由〃條兩兩垂直的"軸"構(gòu)成的高維空間

（一般記為R"）中的一個(gè)"點(diǎn)"的坐標(biāo)表示的距離1（43）=2值-可.

/=1

⑴當(dāng)〃=2時(shí)，若4（1,2）,5（4,6）,C（3,10）,求d（A,B）,d（B,C）和"（C,N）的值:

（2）對于給定的正整數(shù)〃，證明R,中任意三點(diǎn)48,C滿足關(guān)系d（A,B）＜d（A,C）+d（C,B）.

⑶當(dāng)〃=3時(shí)，設(shè)/（0,0,0）,8（4,4,4）,P（x,y,z）,其中x,九zeZ,d（A,P）+d（P,B）=d（A,B）.求滿

足P點(diǎn)的個(gè)數(shù)〃，并證明從這"個(gè)點(diǎn)中任取11個(gè)點(diǎn)，其中必存在4個(gè)點(diǎn)，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三棱

14

錐體積不大于g.

【答案】⑴"(43)=7,48,C)=5,d(C,4)=10

⑵證明見解析

(3)?=125,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)新定義直接計(jì)算；

(2)由新定義，寫出不等式兩邊的表達(dá)式，根據(jù)絕對值的性質(zhì)證明；

(3)根據(jù)新定義，及絕對值的性質(zhì)得P點(diǎn)是以NB為對角線的正方體的表面和內(nèi)部的整數(shù)點(diǎn)，共125個(gè)，

把它們分布在五個(gè)平面(z=0,1,2,3,4)上，這五個(gè)面一個(gè)面取3個(gè)點(diǎn)，相鄰面上取一個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)?/p>

頂點(diǎn)構(gòu)成三棱錐(能構(gòu)成時(shí))，棱錐的體積不超過己，然后任取11點(diǎn)中如果沒有4點(diǎn)共面，但至少有一個(gè)平

面內(nèi)有3個(gè)點(diǎn).根據(jù)這3點(diǎn)所在平面分類討論可得.

【詳解】(1)當(dāng)〃=2時(shí),若4(1,2),8(4,6),C(3,10),

則d(4B)=|4-4|+|6-2|=7,J(S,C)=|4-3|+|6-10|=5,c?(C,^)=|3-1|+|10-2|=10.

(2)設(shè)/(為,馬,…,X"),8(%,C(Z]/2,…,Z"),

根據(jù)絕對值的性質(zhì)有歸-zj+[用-Z]以西-,\x2-z2\+\y2-z2\>\x2-y2\,---,\x?-z?|+\y?~z?\>\xn-yj\,

所以d(43)?"(4C+"(C3).

(3)因?yàn)?(0,0,0),5(4,4,4),P[x,y,z),則"(48)=12,

且國+卜_4,4加+卜_4,4,p|+g-4"4,

可得d(4P)+"(尸,3)灌12,當(dāng)且僅當(dāng)x,y,ze[0,4]時(shí)，等號(hào)同時(shí)成立，

又因?yàn)槭?+d(尸,8)="(48)=12,可得x,y,zw[0,4],x,y,zeZ,

可知x,y,z=0,1,2,3,4,貝!]5x5x5=125,

點(diǎn)P是以為對角線的正方體內(nèi)部(含面上)的整數(shù)點(diǎn)，共125個(gè)，即〃=125.

這125個(gè)點(diǎn)在z=0,z=1,z=2,z=3,z=4這五面內(nèi).

這三個(gè)平面內(nèi)，一個(gè)面上取不共線的3點(diǎn)，相鄰面上再取一點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐.

11O

則這個(gè)三棱錐的體積最大為K=；x：x4x4xl=；,

323

現(xiàn)在任取11個(gè)點(diǎn)，

若有四點(diǎn)共面，則命題已成立；

若其中無4點(diǎn)共面，但11個(gè)點(diǎn)分在5個(gè)平面上至少有一個(gè)平面內(nèi)有3個(gè)點(diǎn)(顯然不共線)；

若這三點(diǎn)在z=l,z=2,z=3這三個(gè)平面中的一個(gè)上，與這個(gè)面相鄰的兩個(gè)面上如果有一點(diǎn)，

那么這一點(diǎn)與平面上的三點(diǎn)這四點(diǎn)可構(gòu)成三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)，其體積不超過2,

否則還有8個(gè)點(diǎn)在平面z=0和z=4上，不合題意，

若這三個(gè)點(diǎn)在平面z=0或2=5上，不妨設(shè)在平面z=0,

15

Q

若在平面z=1在一個(gè)點(diǎn)，則同樣四點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐體積不超過會(huì),

否則剩下的8個(gè)點(diǎn)在z=2,z=3,z=4三個(gè)平面上，只能是3,3,2分布，

O

不管哪一種分布都有四點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐體積不超過3;

Q

綜上所述：任取11個(gè)點(diǎn)，其中必存在4個(gè)點(diǎn)，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三棱錐體積不大于?.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題新定義距離1（48）,解題關(guān)鍵是利用新定義轉(zhuǎn)化為絕對值，利用絕對值的性質(zhì)

解決一些問題.本題還考查了抽屜原理，11個(gè)放在5個(gè)平面上，至少有一個(gè)平面內(nèi)至少有3點(diǎn)，由此分類

討論可證明結(jié)論成立.

5.（23-24高一下?江蘇常州?期末）離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo).設(shè)尸為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，

定義多面體M在點(diǎn)尸處的離散曲率為％=1-乙（/。P儀+尸&+…/Qk/Qk+"』值），其中

271

。。=1,2,…從左23）為多面體M的所有與點(diǎn)尸相鄰的頂點(diǎn)，且平面。72,平面…，平面。1尸2

和平面以尸2為多面體M的所有以尸為公共點(diǎn)的面.

⑴求三棱錐P-/BC在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；

（2）如圖，已知在三棱錐尸-48C中，尸/，平面/8C,AC1BC,AC=BC,三棱錐尸-48C在頂點(diǎn)。處

的離散曲率為;.

B

①求直線PC與直線AB所成角的余弦值；

②若點(diǎn)。在棱PB上運(yùn)動(dòng)，求直線CQ與平面ABC所成的角的最大值.

【答案】⑴2

⑵①正；②60。

4

【分析】（1）根據(jù)離散曲率的定義計(jì)算即可

（2）①首先證明尸C,再由C點(diǎn)處的離散曲率可求出/尸從而其它相應(yīng)的線段都可計(jì)算，

把PC與平移至中位線處，得出々DE為異面直線22與尸C的夾角或其補(bǔ)角，在用余弦定理求解即可.

②首先是把線面角做出，設(shè)BG=x,再把角的三角函數(shù)值表示成x的函數(shù)，最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.

【詳解】（1）由離散曲率的定義得：①p=1-4-QPB+NBPC+NCPA）,

24

16

①4=1---(ZBAP+ZCAP+ABAC)

2萬

①B=1---(ZABP+ZCBP+NABC)

27r

①c=1---(ZACB+ZBCP+ZACP),

2%'

四個(gè)式子相加得：①p+①4+①B+①c=4-二-x4萬=2.

(2)①如圖，分別取尸的中點(diǎn)。，瓦歹，連接AE,DE,DF,EF,顯然有AB"DE,PCUDF,

所以4DE為異面直線48與尸C的夾角或其補(bǔ)角，設(shè)/C=3C=2,因?yàn)?/C3=90。，所以48=2收，

/￡=5

因?yàn)槭?_1_平面NBC,AB,AC,AE,BCcABC,所以尸/_L/8,PAIAC,PALAE,PALBC,

因?yàn)?CJ_8C,PA^AC=C,所以3C_L平面尸NC,又因?yàn)镻Cu平面P/C,所以BC_LPC,

由c點(diǎn)處的離散曲率為:可得

①,=1---(ZACB+ZBCP+ZACP}=^-=1---+-+ZACP\^NACP=-,

0In'，32萬(22)3

所以PA=6AC=26PC=2AC=4,EF=dAF?+AE?=J3+5=2收，而4E=./J=0,DF=，C=2,

所以cosNFDE=DF'DEJEF。=4+2-8_旦,故異面直線.與PC的夾角的余弦值為正.

2DF-DE2x2x644

②如圖，過0點(diǎn)做。G//P/交48與G,連接CG,因?yàn)槠矫鍺3C,所以。G,平面/BC,

則ZGCQ為直線CQ與平面43C所成的角，設(shè)3G=尤(0<xV2后)，

在ABCG中CG?=3C2+8G2-2BC8G-COSB=4+X2—2缶，

因?yàn)?。G//P/,所以所以"=變=或="尸/=2華=?=。^2系

~~PABABA24222

33

ZGCQ=^=2_22

2y/22

-2~\[^x+4]4(2.也、1

1---------F~2+-

XXU2)2

17

當(dāng)分母最小時(shí)，tai?NGC。最大，即/GCQ最大，此時(shí)2=變，即x=2后（。與尸重合）,

x2