江蘇省宿遷市2024-2025學(xué)年高二年級上冊11月期中考試 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024?2025學(xué)年第一學(xué)期期中調(diào)研試卷

同一^奴子

（滿分150分，考試時間120分鐘）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.直線工一同+1=°的傾斜角為（）

兀TI2兀57r

A.-B.—C.—D.—

6333

【答案】A

【解析】

【分析】求出斜率即可求解.

【詳解】由X—島+1=0,可知直線斜率為等，

所以tan8=,8e[0,兀），

TT

所以。二:，

故選：A

2.圓/+72+10》+10y=0與圓（x—3『+（y—3）2=18的位置關(guān)系為（）

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求出兩圓的圓心距，再結(jié)合圓與圓位置關(guān)系的判斷方法，即可求解.

【詳解】因為圓。1：#+必+10》+10了=0的圓心為弓（—5,—5）,半徑為4=5后，

圓G：（》一3）2+（＞—3）2=18的圓心為G（3,3）,半徑為々=3?,

|GG|=J（3+5j+（3+5）2=&亞=4+4,

所以兩圓外切.

故選：B.

3.已知點幺（2,3）與點8（-1,4）關(guān)于直線/對稱，則直線/的方程為（

A.3x—y+2=0B.x+3y+2=0

C.x+3歹一2=0D.3x-y-2=0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)對稱關(guān)系得出直線斜率及直線所過的點即可得解.

4-31

【詳解】因為3B=-----,所以左=3,

-1-23

又48的中點［g,1］在直線/上，

所以直線I的方程為了―g=31x—g］,即3x—y+2=0,

故選：A

4.設(shè)。為實數(shù)，若直線ax-4y+3=0與％-2歹+1=0平行，則它們之間的距離為（）

A石RV52新3石

A.---D.---U.----L）.----

105510

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求出。，再根據(jù)兩平行間的距離公式求解.

【詳解】由題意，一=——力—,解得a=2,

1-21

3號|廠

所以直線2x—4y+3=0,即x-.2y+—=0與直線x—2y+l=0間的距離為12|_45.

2弄萬一而

故選：A.

,3）,（0,—3）,點g,—在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（）

5.已知橢圓的兩個焦點分別為（0

1234

A.-B.-C.—D.一

2345

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的定義求出2a,再由焦點坐標求出C,求出離心率即可.

【詳解】設(shè)橢圓的兩個焦點為片（0,—3）,月（0,3）,點尸5,—31，

則c=3,2a=|「丹|+|「局

3

:.a=4,所以橢圓的離心率為e=—.

4

故選：C.

6.橢圓C以雙曲線工-匕=1的兩個焦點為長軸的端點，以雙曲線的頂點為焦點，則橢圓C的方程為

169

)

22222222

AA.—X+—V=1B,二+匕=1c.WD.土+J

1692516259167

【答案】C

【解析】

【分析】由雙曲線方程確定焦點坐標及頂點坐標，進而可求解.

由二—J

【詳解】

169

可得其焦點坐標為：（+5,0）,頂點坐標（±4,0）

所以橢圓長軸端點坐標：（土5,0）,焦點坐標為（±4,0）,

22

所以橢圓方程為：—+^=b

259

故選：C

7.過拋物線r=22x（P＞0）的焦點尸的弦4B,其中點A在第一象限,若AF=4BF,則直線4B的

斜率為（）

R27324

A.72D.----C.一D.-

333

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)2（石,%）,8（%2，%）（玉＞0,必＞0）,根據(jù)方=4屈可得必=一48，設(shè)直線方程聯(lián)立拋物

線，由根與系數(shù)關(guān)系得出為,即而求出B點，根據(jù)斜率公式求解即可.

【詳解】設(shè)幺（西,必）,8（%2，%）（玉>0，M>0,x2>O,J2<0）,

Ji=―儀，

2

?,?%?%=一。，

,_2_4

..kAR=---------=一

￡_￡.3

故選：D

8.已知橢圓工+片=1的上頂點為A,過橢圓左焦點尸且斜率為立的直線交橢圓于3,C兩點，則

433

MABC的周長為（）

A.10B.8C.6百D.4+273

【答案】B

【解析】

【分析】取橢圓的右焦點月，易證直線5c是線段/8的垂直平分線，可得HC=|CEJ,

|48卜忸居結(jié)合橢圓的定義求得答案.

【詳解】由橢圓方程可得。=2,b=C，則c=l，

如圖，取橢圓的右焦點八，連接g，

則|幺3=|幺6|=|方閭=2,即A7仆互為正三角形，

又直線8c的斜率為g,則直線3C的傾斜角為30°,即NCF%=30°,

所以直線5c是線段/鳥的垂直平分線，

所以=卜理=|町

所以V48C的周長為l=\AB\+\AC\+\BC\=\BF2\+\BC\+\CF2\

=\BF2\+\BF\+\CF\+\CF2\=4a=8.

二、選擇題：本題共3小題.每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設(shè)機為實數(shù)，直線/：x+mj-2m-l=0,點又（2,3）,N（4,—5）,則下列說法正確的有（）

A.直線/過定點（1,2）

2

B.若點M到直線/的距離相等，則加=—

3

C.直線/與x軸一定相交

D.若直線/不過第二象限，則-加＜0

2

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)直線過定點的求法判斷A,由特殊情況直線與兩點連線平行判斷B,分析直線不能寫成＞=6

的形式判斷C,取特例機=0判斷D.

【詳解】由直線/：x+my-2m-l=Q,可得x—l+7%（y-2）=0,

當(dāng)》-1=0/-2=0,即x=l,y=2時，方程恒成立,

即直線過定點（1,2）,故A正確;

當(dāng)直線/與"N平行（或重合）或直線/過跖V的中點時，點N到直線/的距離相等，

-5-31

由如v=-----=-4,可知加=—時，直線/為4x+y—6=°，與4W平行，符合題意，故B錯誤；

4-24

由直線/：x+加y-2機-1=0可知，直線傾斜角不可能為0,所以一定與x軸相交，故C正確；

直線/不過第二象限，當(dāng)機=0時，直線方程為x=l,滿足題意，故D錯誤.

故選：AC

10.設(shè)機為實數(shù)，方程/+/+4機%—2了+4機2—機=。表示圓，則下列說法正確的有（）

A.m＞-1

B.若機=土;，則圓和兩坐標軸均相切

C.若圓關(guān)于直線2x—y+5=0對稱，則機=1

D,無論加取任何實數(shù)，總存在一條定直線與圓相交

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)二次方程表示圓的條件判斷A,假設(shè)與N軸相切求出機判斷B,由直線過圓心判斷C,根據(jù)

圓心在直線＞=1上判斷D.

【詳解】當(dāng)方程/+/+4機x-2y+4機2-機=0表示圓時，（4機y+4-4（4〃/一機）＞0,解得

m＞-\,故A正確；

若圓與歹軸相切，令x=0,可得_2y+4機2-機=0,由△=4-4（4機2-機）=0

解得機=上37＞—1，故B錯誤；

8

若圓關(guān)于直線2x-y+5=0對稱，則直線過圓心，由/+/+4加x-2y+4機2一機=?？傻?/p>

（x+2機）一-m+1,

圓心（-2M,1）代入直線方程，可得機=1,且此時滿足加＞-1,故C正確；

由C知，圓心為（-2機,1）,即圓心在直線＞=1上，所以不論他取何值，＞=1都過圓心，與圓相交，故

D正確.

故選：ACD.

11.在平面直角坐標系xQy中，過拋物線/=2/（夕＞0）的焦點廠的直線與拋物線交于48兩點，直

線/。，8。分別交拋物線準線于C,。兩點,則下列說法正確的有（）

A.5C〃x軸B.CF"DF

1,

C.以AB為直徑的圓與拋物線準線恒相交D.ZMSMB面積的最小值為,夕一

【答案】ABD

【解析】

【分析】設(shè)直線=w+，必,聯(lián)立方程可得韋達定理.對于A：求點C的坐

7

標，結(jié)合韋達定理分析判斷；對于B：：求點。的坐標，結(jié)合數(shù)量積分析判斷；對于C：根據(jù)拋物線的定義

分析判斷；對于D：結(jié)合韋達定理就面積，即可判斷.

【詳解】由題意可知：拋物線的焦點廠,0,準線x=',

顯然直線45的斜率可以不存在，但不為0,此時直線45與拋物線必相交,

設(shè)直線AB:x=mv+—,A，%，8

"2）)

x=my+—°°

聯(lián)立方程-2,消去x可得y，—2?叼_夕==0,

y2=2px

可得=2P%,=一22.

弘丫―

OA:y2P

對于選項A：可知直線必,

2P

令T，可得"。=-?苧一，即

所以3C〃x軸，故A正確;

對于選項B：同理可得：J,NO//X軸，

——?----?UUULL1U

222

則/C=(—2,-%)，/￡)=(一夕，%)，可得FCFD=p+yxy2=p-p=0,

所以CEADF,故B正確；

對于選項C：因為|48|=|4F|+|8F|=|40|+忸C|,

由梯形中位線可知：以4B為直徑的圓的圓心到準線的距離為以必;忸,I

即圓心到準線的距離等于半徑，所以以48為直徑的圓與拋物線準線恒相切，故C錯誤；

對于選項D：因為21一%|=+骨2『―14P2m2+4p2=2P個m2+1，

可得△CM3面積SEB=；Q司?僅i—y21=；xg22Vm2+1=y，療+1gP"

當(dāng)且僅當(dāng)機=0時，等號成立，

1,

所以△048面積的最小值為,夕一.

故選：ABD.

【點睛】方法點睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的兩種解法

(1)數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解.

(2)構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求

最值(注意：有時需先換元后再求最值).

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)。為實數(shù)，直線4：ax+3y-2=0,/2：x+(a-2)v+2=0,若乙上乙，則。的值為.

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】當(dāng)兩條直線垂直時，若直線4x+B)+G=0與直線4》+3/+。2=0垂直，則滿足

44+4為=o.我們可以根據(jù)這個定理來求解a的值.

【詳解】對于直線/］：ax+3y—2=0和/2：x+(a-2)歹+2=0,根據(jù)兩直線垂直的定理

44+B'B?—0,貝!］可得方程ax1+3x-2)—0.

對。乂1+3乂（〃-2）=0進行求角軍.

Q+3。一6=0,4。=6,a--.

2

3

故答案為：一.

2

13.圓V+J?=r2上有且只有2個點到直線x—+2=0的距離等于1,則半徑r的取值范圍為

【答案】（0,2）

【解析】

【分析】計算圓心到直線的距離為1,根據(jù)條件得到卜-4<1,解得答案.

【詳解】圓心一+了2”2的圓心為（0刀），半徑為L

圓心（0,0）到直線X—島+2=0的距離為d=r①=1,

V1+3

因為圓Y+72=/上只有兩個點到直線X—島+2=0的距離等于1,

所以上一4<1,即卜—1|<1,解得0<r<2.

故答案為：（0,2）.

14.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射關(guān)線的

22

反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.設(shè)。>0,若雙曲線E：.—2L=1的左，右焦點分別為片，心，從

a8

3

月發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A,8兩點反射后，分別經(jīng)過點C,D,cosABAC=AB工BD，則

【解析】

【分析】由雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義及勾股定理求解即可.

33兀

【詳解】由cos/BAC=――,AB_LBD,則cosNBAF1=—,/ABF1=—,

設(shè)卜耳|=5/，1>0,則14sl=3，，忸周二42,

由雙曲線定義得聞=5才一2a,\BF2\=4t-2a,

2

5t—2Q+4%—2cl=3t，解得t——a,

3

o2

所以忸片|=§a,忸聞=§a,

在直角三角形AF；鳥中，忸周2+忸閶丁|公閶2,

6494oo

貝?。?4c",即17a2=9c?，又/=8，

.-.17a2=9（a2+8）,解得a=3.

故答案為：3.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知V45C的頂點8(3,1),直線NC的方程為x—y+l=0,8c邊上的中線4W所在的直線方程

為2x—3歹+1=0.

(1)求頂點A,。的坐標；

(2)求V48C的面積.

【答案】(1)^(-2,-1),C(2,3)

(2)6

【解析】

【分析】(1)聯(lián)立直線/C與//方程，可得點A,設(shè)c(a,\),表示中點根據(jù)C在直線NC上，M

在直線4W上，可列方程，解方程即可；

(2)根據(jù)點A與C的坐標可得|/C|,再根據(jù)點8到直線/C的距離可得面積.

【小問1詳解】

由已知AC:x-y+1=0,AM:2x-3y+l=0,

x-y+1=0x——2

則《解得《，即幺(一2,—1)，

[2x-3y+l=0b=-1

Q+3b+1

設(shè)C(a,b),則8c中點〃

又點c在直線/c上，點”在直線ZM上，

d—Z7+1—0（c

Q=2/、

即ca+3,b+1]c，解得入。，即C（2,3）；

2---------3-------1-1=0b=3

[221

【小問2詳解】

由（1）得ZC=J（2+2y+（3+iy=40，

,|3-1+1|372

點B到直線AC的距離d="+（以=F

則S=3幺。＞"=''4行*述=6.

4Atic21?22

16.設(shè)。為實數(shù)，圓M的方程為+y~+lx—6v+a—Q.

(1)若圓/+/=9和圓〃的公共弦長為而，求。的值；

(2)若過點(4,-1)的圓N與圓M相切，切點為(1,2),求圓N的標準方程.

【答案】⑴1或-19

22

(2)(X-3)+(J-1)=5

【解析】

【分析】(1)求出兩圓公共弦所在直線方程為2x-6y+a+9=0,結(jié)合弦長求得a；

(2)結(jié)合已知條件求出圓M的方程，求出圓心和半徑，設(shè)出圓N的標準方程，利用切點以及兩圓圓心共

線求出圓N的圓心的橫縱坐標之間的關(guān)系，然后利用圓N半徑相等即可求解.

【小問1詳解】

由題知兩圓相交，

將圓M+2x—6y+。=0與圓0:》2+j?=9相減可得2x—6y+a+9=0,

即兩圓公共弦所在直線方程2x—6y+a+9=0,

Itz+9|\ci+9|

圓心。到直線2x—6y+a+9=0的距離為d—,——=T=,

V22+622V10

所以9=，解得。=1或T9,

所以實數(shù)。的值為1或-19.

【小問2詳解】

22

將點4(1,2)代入圓M:x+y+2x-6y+(2=0,可得Q=5,

所以圓M的方程為x2+J?+2x—6y+5=o,即(x+l『+(y-3『=5,

所以圓M的圓心為半徑為逐，

設(shè)圓N的標準方程為(x—機『+(y—〃『=",

因為圓N與圓M相切于點A,所以A、M、N三點共線，

2—3

所以直線ZW的方程為y-2=—-(x-1),即x+2y-5=0,

將點N(私〃)代入得機=5—2〃①，又點8(4,-1)在圓N上，

貝!］忸==r,即J(M—4)2+(場+1)2=J—1)2+(“—2)2②,

由①②兩式解得，機=3,〃=1,r=V5，

2

所以圓N的標準方程為(x-3)+(J-1)2=5.

17.已知動點P(x,y)到點尸(1,0)的距離比到直線x+3=0的距離小2,過尸作圓4:爐+(歹—4『=1的

一條切線，。為切點，過尸作直線/:x+l=0的垂線，垂足為8.

(1)求點尸的軌跡方程；

(2)當(dāng)尸、A、8三點共線時，求線段P。的長；

(3)判斷滿足|尸國=|尸的點尸有幾個，并說明理由.

【答案】(1)/=4x

⑵V15

(3)2個,；理由見解析

【解析】

【分析】(1)分析可知，點尸的軌跡是以點E為焦點，直線x=-l為準線的方程，即可得出點尸的軌跡方

程；

(2)當(dāng)尸、A、3三點共線時，求出點尸的坐標，并求出|產(chǎn)山，再利用勾股定理可求得|PQ|的值；

(3)由題意可得出|丑聞=|尸刈=|尸耳，由兩點間的距離公式化簡得出"'的中垂線方程，判斷該直線與拋

物線的位置關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

由題意可知，點尸到點F(1,O)的距離等于點P到直線x=-l的距離，

所以，點尸的軌跡是以點尸為焦點，直線x=-l為準線的方程，

設(shè)其方程為/=2px,則5=1,可得夕=2,所以，點P的軌跡方程為/=4x.

【小問2詳解】

由題意可知，當(dāng)P、A、8三點共線時，因為點4(0,4),直線形的方程為歹=4,

聯(lián)立「二以，解得》=y=4,此時，點尸(4,4),則歸Z|=J(4—0苗+(4—4J=4,

因為，尸。，由勾股定理可得\PQ\=="2—F=V15.

因為1Pzl=|尸8|=|尸阿，由題意可得Jx2+(y_4)2=&x-6+y2,

化簡可得2x-8y+15=0,

2x—8y+15=0

聯(lián)立<2A，可得y—16jv+30—0?A=162—4x30>0>

[y=4x

故滿足條件的點尸有兩個.

22

18.已知雙曲線C：q—%=1(4〉0,6〉0)的右頂點為￡,實軸長為4,過雙曲線C的左焦點廠作直

線/,當(dāng)直線/與x軸垂直時，直線/與雙曲線C的兩個交點分別為N,此時△雇VE為等腰直角三角

形.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)當(dāng)直線/與雙曲線C的漸近線平行時，求直線/與雙曲線C的交點坐標；

(3)當(dāng)直線/與雙曲線C的左支交于A,8兩點時，直線ZE,分別交直線x+l=O于尸，。兩點，

在x軸上是否存在定點。，使得點。始終在以線段為直徑的圓上？若存在，求出。點坐標，否則，請

說明理由.

【答案】(1)三—二=1

412

5373.53杷、

(2)(一或、)或(一5'一〒).

(3)。(2,0)或(-4,0)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)。，仇。關(guān)系得到方程組，解出即可；

(2)寫出漸近線方程，再利用平行關(guān)系得到直線/的方程，聯(lián)立雙曲線方程解出即可；

(3)設(shè)設(shè)4B的方程為》=沖-4,聯(lián)立雙曲線方程得到韋達定理式，再寫出相關(guān)直線方程，得到相關(guān)點

坐標，寫出兩點直徑式，代入韋達定理式即可.

【小問1詳解】

-2a=4

b1ci—2

由題意得<Q+C=,解得〈廣，

a伍=2<3

c2二/+/

所以雙曲線C的方程為：—-^=1.

412

【小問2詳解】

漸近線方程為y=后,

當(dāng)直線/與y=氐平行時，直線/的方程為：j=V3(x+4),

---------------=JLZ

聯(lián)立412解得

j=V3(x+4)>=?

當(dāng)直線/與y=-岳平行時，直線/的方程為：j=-V3(x+4),

--------1Z

聯(lián)立412解得廣

J=-V3(X+4)y=一—

-P.,53A/3.

所以直線/與雙曲線C的交點坐標為(-3,或(——,----)

22

【小問3詳解】

因為雙曲線C的漸近線方程為：y=土瓜,

顯然當(dāng)直線48與x軸重合時，不合題意，故設(shè)48的方程為》=叩一4,幺(再,為)，BO2,%),

直線NE的方程為：、=3(、一2)'

當(dāng)x=—l時，N=即尸點坐標為(T，二^),

西-2再_2

直線8E的方程為：y=^-(x-2),

%2-2

一3為一3為

當(dāng)x=-1時，y=，即。點坐標為(T，

工2_2X?一2

所以以P0為直徑的圓方程為：(x+l)2+(j+3%、

xx-l

當(dāng)y=0時(X+if+---^^2----=0,

5-2)G-2)

江上-11

聯(lián)立412,消去x得(3加2-1)產(chǎn)-24叩+36=0,其中機2H

x=my-4

2

A=(―24機)—4(3m—1)x36>0,且苞<—2,x2<—2,

24m36

所以必+%=——3——，Ji%=——；——

3m2-13m2-1

2

(西-2)(X2-2)=(myx-6)(mj2-6)=myxy2-+%)+36

236/24m-36

二m-6m-+--36--=--

3m2-13m2-13m2-1

所以（尤+1）2+——生絲——=（X+1）2+3噎1=@+i）2_9=0

（網(wǎng)-2）（g-2）-36

3m2-1

所以x=2或x=—4

所以x軸上存在定點。(2,0)或(-4,0)始終在以PQ為直徑的圓上.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法并與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達定理式，寫出兩點直

徑式方程，并代入韋達定理式即可.

19.已知橢圓0：=+，=1(0〉6〉0)過點。［1,曰］離心率為乎，左、右焦點分別為片、F2,右

頂點為2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點。的直線機與橢圓C的另外一個交點為E,當(dāng)VBQE的面積最大時，求直線機的方程；

(3)若點M、N是直線/上不同的兩點，則向量痂以及與它平行的非零向量都稱為直線/的方向向

量，當(dāng)直線/'，/時，直線/'的方向向量稱為直線/的法向量.設(shè)左、h為實數(shù),直線/：y=Ax+/z的一個

tHT

法向量為/，〃為直線/上任一點，點T為坐標平面內(nèi)的定點，我們把一百一稱為點T在直線/上的投影

kl

數(shù)量.當(dāng)/與橢圓C相切時，點片、鳥在直線/上的投影數(shù)量的乘積是否為定值？若是，求出這個定值,

若不是，說明理由.

【答案】(1)—+/=1

4

（2）x-2j+V3-l=0

(3)是定值，且定值為1

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知條件可得出關(guān)于。、b,。的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；

(2)求出直線2D的方程，設(shè)點￡(2cos仇sin￡),其中0W。＜2兀，利用點到直線的距離公式，輔助角

公式可求得點E到直線8。距離的最大值及其對應(yīng)的。的值，可得出點￡的坐標，進而可求得直線機的

方程；

(3)設(shè)直線/與橢圓相切于點7(%,%),則/=1一手，先證明橢圓在點T處的切線方程為

竽+比y=1，可得出直線/的一個法向量，再利用投影的概念可求得點片、耳在直線/上的投影數(shù)量的

乘積，即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

3

1,4

藍廬f、

「a=2

由題意可得￡=￥，解得,

a2

c2=a2-b2W=J3

2

因此，橢圓c的方程為土+/=1.