空間幾何體的結構特征、表面積-2025高考數(shù)學一輪復習講義

第46講空間幾何體的結構特征、表面積

與體積

知識梳理

知識點一：構成空間幾何體的基本元素一點、線、面

(1)空間中，點動成線，線動成面，面動成體.

(2)空間中，不重合的兩點確定一條直線，不共線的三點確定一個平面，不共面的四

點確定一個空間圖形或幾何體(空間四邊形、四面體或三棱錐).

知識點二：簡單凸多面體一棱柱、棱錐、棱臺

1、棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都

互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.

(1)斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱；

(2)直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱；

(3)正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；

(4)平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；

(5)直平行六面體：側棱垂直于底面的平行六面體；

(6)長方體：底面是矩形的直平行六面體；

(7)正方體：棱長都相等的長方體.

2、棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成

的多面體叫做棱錐.

(1)正棱錐：底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心；

(2)正四面體：所有棱長都相等的三棱錐.

3、棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，

由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺.

簡單凸多面體的分類及其之間的關系如圖所示.

正

斜梭柱四

按烈粳與底面是否叁宜分類

棱柱棱

按底面多邊分分類直棱柱正棱柱柱

凸

多

面長方體

體

正

方

正多面體體

知識點三：簡單旋轉體一圓柱、圓錐、圓臺、球

1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的幾何體

叫做圓柱.

2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，將其旋轉一周形成的面所

圍成的幾何體叫做圓錐.

3、圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺.

4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，

簡稱為球（球面距離：經過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長度）.

知識點四：組合體

由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復雜的幾何體叫做組合體.

知識點五：表面積與體積計算公式

表面積公式

柱體V=Sh

nflu

唳

錐體=gh

體

積

底7+

臺體%=g(S+S”

43

球V=-7rR3

3?

知識點六：空間幾何體的直觀圖

1、斜二測畫法

斜二測畫法的主要步驟如下：

（1）建立直角坐標系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直

角坐標系.

（2）畫出斜坐標系.在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應圖形.在已知圖形平行于

x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于。,，O'y',使Nx'Oy=45（或135）,它們確定的平

面表示水平平面.

（3）畫出對應圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x'軸的線

段，且長度保持不變；在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y'軸，且長度

變?yōu)樵瓉淼囊话?可簡化為“橫不變，縱減半”.

（4）擦去輔助線.圖畫好后，要擦去V軸、y'軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）.被擋

住的棱畫虛線.

注：直觀圖和平面圖形的面積比為&:4.

2、平行投影與中心投影

平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點.

必考題型全歸納

題型一：空間幾何體的結構特征

例1.（2024?安徽?高三校聯(lián)考階段練習）已知幾何體，“有兩個面平行，其余各面都是

平行四邊形”是“幾何體為棱柱”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】由棱柱定義知棱柱有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形，故滿足必要性；

但有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱，

例如兩個底面全等的斜棱柱拼接的幾何體不是棱柱，如圖所示：

故不滿足充分性，

故選：B

例2.（2024?全國?高三對口高考）設有三個命題；甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平

行六面體；乙：底面是矩形的平行六面體是長方體；丙：直四棱柱是平行六面體.以上命

題中真命題的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】B

【解析】由平行六面體的定義可得底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；命題甲正

確；

底面是矩形的平行六面體的側棱不一定垂直于底面，故該幾何體不一定為長方體，

命題乙錯誤；

直四棱柱的底面不一定為平行四邊形，故直四棱柱不一定是平行六面體，命題丙錯誤；

正確的命題只有一個.

故選：B

例3.（2024?全國?高三專題練習）下列命題：

①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；

②有兩側面與底面垂直的棱柱是直棱柱；

③過斜棱柱的側棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；

④所有側面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】①如圖1,滿足有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形,

圖1

顯然不是棱柱，故①錯誤；

②如圖2,滿足兩側面48片4與底面垂直，但不是直棱柱，②錯誤;

③如圖3,四邊形ACGA為矩形,

圖3

即過斜棱柱的側棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形，③錯誤；

④所有側面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因為兩底面不一定是正方形，④

錯誤.

故選：A

變式1.（2024?新疆?統(tǒng)考模擬預測）下列命題中正確的是（）

A.有兩個平面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.

B.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐.

C.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體.

D.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線.

【答案】D

【解析】如圖所示的幾何體滿足兩個平面平行，其余各面都是平行四邊形，但它不是棱

柱，A錯；

正八面體的各面都是三角形，不是三棱錐，B錯；

如果兩個平行截面與圓柱的底面平行，則是旋轉體，如果這兩個平行截面與圓柱的底面不

平行，則不是旋轉體.C錯；

根據(jù)圓錐的定義，D正確.

故選：D.

變式2.（2024?全國?高三專題練習）下列說法正確的是（）

A.三角形的直觀圖是三角形B.直四棱柱是長方體

C.平行六面體不是棱柱D.兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體

是棱臺

【答案】A

【解析】對A,根據(jù)直觀圖的定義，三角形的直觀圖是三角形，故A對；

對B,底面是長方形的直四棱柱是長方體，故B錯；

對C,平行六面體一定是棱柱，故C錯；

兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體，當側棱延長后不交于同一點時，不是棱臺，故

D錯；

故選：A

變式3.（2024?全國?高三專題練習）給出下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；

②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐；

③棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等.

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】①不一定，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線；

②不一定，當以斜邊所在直線為旋轉軸時，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的幾何體不是圓

錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；

③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形，各側棱延長線交于一點，但是

側棱長不一定相等.

故選：A.

變式4.（2024?全國?高三專題練習）如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是

（）

【答案】D

【解析】對A,側棱延長線不交于一點，不符合棱臺的定義，所以A錯誤;

對B,上下兩個面不平行，不符合圓臺的定義，所以B錯誤;

對C,將幾何體豎直起來看，符合棱柱的定義，所以c錯誤;

對D,符合棱錐的定義，正確.

故選：D.

【解題方法總結】

空間幾何體結構特征的判斷技巧

（1）緊扣結構特征是判斷的關鍵，依據(jù)條件構建幾何模型，在條件不變的情況下，變

換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.

（2）說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.

題型二：空間幾何體的表面積

例4.（2024?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預測）己知某圓錐的母線長、底面圓的直徑都等于球的

半徑，則球與圓錐的表面積之比為（）

A.8B.—C.—D.-

3168

【答案】B

【解析】設圓錐的母線長為/,底面圓的半徑為，球的半徑為R,貝U/=2r=R,即

R=2r,I=2r,

球的表面積S[=4nR2=16;ir2,圓錐的表面積S2=?！?兀/=2兀/+兀/=3兀/，

.S,16兀/16

貝n1=——丁=一

S23兀/3

故選：B.

例5.（2024?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預測）在一個正六棱柱中挖去一個圓柱后，剩余部分幾

何體如圖所示.已知正六棱柱的底面正六邊形邊長為3cm,高為4cm,內孔半徑為1cm,

則此幾何體的表面積是（）cm?.

A.72+y2773+671B.72+27^+871

C.72+27百+6兀D.60+27退+6兀

【答案】C

【解析】所求幾何體的側面積為3x4x6=72（01?）,

、

上下底面面積為x6—兀x2=(27指一2兀)(cn?),

22

挖去圓柱的側面積為27tx4=87i（cm2）,

則所求幾何體的表面積為（72+27若+6K）（cm2）.

故選：C.

例6.（2024?安徽安慶?安慶一中?？既＃┩勇萜鹪从谖覈钤绯鐾恋氖仆勇菔窃?/p>

山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立體結構圖.已知，底面圓的直徑

AB=12cm,圓柱體部分的高6c=6cm,圓錐體部分的高CD=4cm,則這個陀螺的表面積

B.(144+24萬卜

C.（108+12加卜D.(108+24相卜

【答案】C

【解析】由題意可得圓錐體的母線長為/=所不=2屈，

所以圓錐體的側面積為1?12公2痘=12小兀，

圓柱體的側面積為12兀、6=72兀，

圓柱的底面面積為兀x6?=36K，

所以此陀螺的表面積為12工兀+72兀+36TT=（108+12屈兀）（cm?）,

故選：C.

變式5.（2024?西藏拉薩?統(tǒng)考一模）位于徐州園博園中心位置的國際館（一云落雨），

使用現(xiàn)代科技霧化“造云”，打造溫室客廳，如圖，這個國際館中3個展館的頂部均采用正

四棱錐這種經典幾何形式，表達了理性主義與浪漫主義的對立與統(tǒng)一.其中最大的是3號展

館，其頂部所對應的正四棱錐底面邊長為19.2m,高為9m,則該正四棱錐的側面面積與底

面面積之比約為（）（參考數(shù)據(jù)：7173716?13.16）

A.2B.1.71C.1.37D.1

【答案】C

【解析】如圖，設〃為底面正方形A3CD的中心，G為5。的中點，連接PH,HG,PG,

則尸H_LHG,PG工BC,

所以PG=y/PH^HG2=792+9.62=J173.16比13.16，

…Ac4x-xBCxPGxac

則4SAPBC_」--------------=2PG^2632^k37,

S正方形ABC。ABxBCAB19.2

故選：C.

變式6.（2024?湖南長沙?高三校聯(lián)考階段練習）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨

立的環(huán)境，某學校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六

棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊

長的比為2:3,則正六棱錐與正六棱柱的側面積的比值為（）

1

D.

27

【答案】B

【解析】設正六邊形的邊長為。，由題意正六棱柱的高為2a,

2

因為正六棱錐的高與底面邊長的比為2:3,所以正六棱錐的高為:a,正六棱錐的母線長為

屈

------a，

正六棱錐的側面積￥=6x4、陌二17=遮/；

12V942

正六棱柱的側面積邑=6“-2a=12/,

所以

故選：B.

變式7.（2024?河北?統(tǒng)考模擬預測）《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著.其“商功”中記

載：“正四面形棱臺（即正四棱臺）建筑物為方亭.”現(xiàn)有如圖所示的烽火臺，其主體部分為

一方亭，將它的主體部分抽象成ABC。-AqGA的正四棱臺（如圖所示），其中上底面與

下底面的面積之比為1:16,方亭的高為棱臺上底面邊長的3倍.已知方亭的體積為567m3,

則該方亭的表面積約為（）（石土2.2,73~1.7,收。1.4）

A.380m2B.400m2C.450療D.480m2

【答案】C

【解析】設方亭相應的正四棱臺的上底面邊長A4=a,貝|AB=4a,棱臺的高/?=3a,

所以丫=gx3a（a2+16cJ+xl6cJ）=567,解得a=3,

所以正四棱臺的上底面邊長為3m,下底面邊長為12m,棱臺的高為9m,

所以方亭的斜高為jQa-T'Gay=當，

由于各側面均為相等的等腰梯形，所以SABRA=1￡士辿義旭="回，

所以方亭的表面積S=/+16〃+4X15島~=17a2+1575?2?450m2.

4

故選：C

變式8.（2024?甘肅張掖?高臺縣第一中學?？寄M預測）仿鈞玫瑰紫釉盤是收藏于北京

故宮博物院的一件明代宣德年間產的瓷器.該盤盤口微撇，弧腹，圈足.足底切削整

齊.通體施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不勝收.仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓

臺和圓柱的組合體，其口徑為15.5cm,足徑為9.2cm,頂部到底部的高為4.1cm,底部圓

柱高為0.7cm,則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部分的側面積約為（）（參考數(shù)據(jù)：兀的值取

3,J21.4825*4.6)

A.143.1cm2B.151.53cm2C.155.42cm2D.170.43cm2

【答案】D

【解析】方法1：設該圓臺的母線長為/,高為/?,兩底面圓的半徑分別為R,r(其中

7?>r),

則2R=15.5cm,2r=9.2cm,h=4A-0J=3.4(cm),

所以/=竺?]=73.42+3.152=V21.4825?4.6(cm),故圓臺部分的側面積為

2

S1=^(7?+r)/?3x(7.75+4.6)x4.6=l70.43(cm).

故選：D

方法2（估算法）：若按底面直徑為15.5cm,高為3.4cm的圓柱估算圓臺部分的側面積得

S,?3xl5.5x3.4=158.1（cm2）,易知圓臺的側面積應大于所估算的圓柱的側面積，故此仿

鈞玫瑰紫釉盤圓臺部分的側面積大于158.1cm"對照各選項可知只有D符合.

故選：D

【解題方法總結】

（1）多面體的表面積是各個面的面積之和.

（2）旋轉體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和.

（3）組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理.

題型三：空間幾何體的體積

例7.（2024?廣東梅州?統(tǒng)考三模）在馬致遠的《漢宮秋》楔子中寫道：“氈帳秋風迷宿

草，穹廬夜月聽悲笳.”氈帳是古代北方游牧民族以為居室、氈制帷幔.如圖所示，某氈帳可

視作一個圓錐與圓柱的組合體，圓錐的高為4,側面積為15%,圓柱的側面積為18〃，則該

氈帳的體積為（）

A.39兀B.18兀C.387rD.45兀

【答案】A

【解析】設圓柱的底面半徑為「，高為〃，圓錐的母線長為/,

因為圓錐的側面積為15兀，所以"/=15兀，即"=15.

因為產=戶+42,所以聯(lián)立解得廠=3（負舍）.

因為圓柱的側面積為18兀，所以2卯7?=18兀，即ZTX3/Z=18TI,解得力=3,

所以該氈帳的體積為:兀戶義4+7ir2h=39兀.

故選：A.

例8.（2024?重慶沙坪壩?高三重慶一中校考階段練習）若某圓錐的側面展開圖是一個半

徑為2的半圓面，其內接正四棱柱的高為逅，則此正四棱柱的體積是（）

3

A976R述「述N8A/6

882727

【答案】C

【解析】設圓錐底面半徑為人因為母線長為/=2,

則半圓弧長=兀/=2兀=底面周長=2"，

所以廠=1,圓錐的高為PO=[22-]2=6

如圖，設O'3=x,則防=缶，設。O'=/z,貝!1P。，=若-//,

因為簫累

.x_y/3-hh

飛

所以。=A/3(1—x)=,

二「，丫=(⑸"=2x上旦迪,

3V19327

故選：C.

例9.（2024?山東青島?高三統(tǒng)考期中）已知正四棱錐的各頂點都在同一個球面上，球的

體積為36兀，則該正四棱錐的體積最大值為（）

A.18B.—C.—D.27

34

【答案】B

【解析】如圖，設正四棱錐的底面邊長AB=2Q,高尸O=/Z,外接球的球心為則

OD-y/la，

4

因為球的體積為3兀*=36兀，所以球的半徑為H=3,

在RtZkMOD中，MD2=OD2+OM2,即3?=2/+（用一3產，

所以正四棱錐的體積為丫=；S/?=gx4八=g[9-（〃-3）2]〃

2

整理得丫=一耳川+4/（〃>0）,貝（]『=一2/22+8/7=一2/7（/7-4）,

當0<攵<4時，V>0,當/z>4時，V'<0,

2

所以V=-§〃3+4/（〃>0）在（0,4）上遞增，在（4,+8）上遞減,

764

所以當/z=4時，函數(shù)取得最大值-$43+4x42=1,

故選：B

變式9.（2024?湖北武漢?高三統(tǒng)考開學考試）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結構形

式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單

檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分

的輪廓可近似看作一個正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長為3五米，側棱長為5米，則其

體積為（）立方米.

A.24-72B.24C.72&D.72

【答案】B

【解析】如圖所示，在正四棱錐P-ABCD中，連接AC,8。于。，則。為正方形ABCD的

中心，

連接。尸，則底面邊長AB=3近，對角線8D=VLW=6，BO=；BD=3.

又BP=5，故高OP=dB產-BO。=4.

故該正四棱錐體積為V=卜五yx4=24.

p

故選：B

變式10.（2024?廣東河源?高三校聯(lián)考開學考試）最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學家秦

九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時類”，收錄了有關降水量計算的四

個例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗雪”和“竹器驗雪”.如圖“竹器驗雪”法是

下雪時用一個圓臺形的器皿收集雪量（平地降雪厚度=器皿中積雪體積除以器皿口面積）,

已知數(shù)據(jù)如圖（注意：單位cm）,則平地降雪厚度的近似值為（）

1241212

【答案】C

【解析】如圖所示，可求得器皿中雪表面的半徑為20空+產40=15cm,

所以平地降雪厚度的近似值為＞x20x（K）2+甘+10xl5）_95.

---------------------z--------------=—cm

71x20"---12

故選：C

變式11.（2024?浙江?校聯(lián)考模擬預測）如圖是我國古代量糧食的器具“升”，其形狀是

正四棱臺，上、下底面邊長分別為20cm和10cm,側棱長為5布cm.“升”裝滿后用手指或

筷子沿升口刮平，這叫“平升”.則該“升”的“平升”約可裝（1000cm3=lL）（）

升：量糧食的器具

A.1.5LB.1.7LC.2.3LD.2.7L

【答案】C

【解析】根據(jù)題意畫出正四棱臺的直觀圖，其中底面ABCD是邊長為20的正方形，底面

4月G2是邊長為10的正方形，側棱cc=5?,記底面ABCD和底面4與G2的中心分

別為。和。「則。。是正四棱臺的高.

過G作平面ABCD的垂線，垂足為E,則EeAC且GE0,0,"=。。,

所以OE=O]G=；x應xio=5應，OC=|AC=1XV2X20=10A/2,

故CE=OC-OE=lO0-50=50，

所以棱臺的高力=4￡：="5.『-(5應『=10,

由棱臺的體積公式得V=g(S+S'+4s^)h=1(400+100+200)x10&2.3x103cm3=2.3L.

故選：C.

【解題方法總結】

求空間幾何體的體積的常用方法

公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式

把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則

割補法

的幾何體

等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積

題型四：直觀圖

例10.(2024?遼寧錦州?渤海大學附屬高級中學?？寄M預測)己知用斜二測畫法畫梯

形。48c的直觀圖O'AB'C如圖所示，O'A=3C'B',C'E'YO'A,SOABC=S,C'D'//y'

軸，CE=也,為O'A的三等分點，則四邊形OA8C繞y軸旋轉一周形成的空間幾何

2

體的體積為.

【解析】在直觀圖中，CD=辰比'=1,所以在還原圖中，CD=2,如圖,

在直觀圖中，O'A=3C3',DC為O'A的三等分點，

所以在還原圖中，OA=3C3,。為OA的三等分點，

又在直觀圖中，C'。"/〉’軸，

所以在還原圖中，CD〃y軸，則CDLQ4,

所以=1cDx(OA+CB)=1x2x4CB=4CB=8,貝l]C3=2,

故。4=6,OD=^OA=2,所以四邊形0ABe是等腰梯形，

所以四邊形0ABe繞y軸旋轉一周所形成的空間幾何體的體積等于一個圓臺的體積減去一

個圓錐的體積，

gpV=1^x(4"+4X6+62')X2--TIX22X2=^^--=4871.

3''333

故答案為:487r.

例11.(2024?全國?高三對口高考)若正ABC用斜二測畫法畫出的水平放置圖形的直

觀圖為./'B'C,當A'3'C的面積為G時，ABC的面積為.

【答案】2指

【解析】A9C是正,ABC的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，如圖所示,

設B'C'=a,

則A'3'C'的面積為LqOA.sin45o=g,.?.。4二迎，

2a

：.ABC的面積為5=L0.。4=10.2.00=°.亞=2通.

22a

故答案為：2冊.

例12.（2024?四川成都?高三統(tǒng)考階段練習）用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖

如圖所示，邊A?與C'?！叫杏谌S.已知四邊形A'3'C'。'的面積為len?,則原平面圖形的

【答案】2拒

【解析】根據(jù)題意得/B'AD'=45，原四邊形為一個直角梯形,

1歷

S梯形=2(A，B，+CD).A。sin45=寧(A'B'+CD')-A'D'=1卜/),

則(A?+C'D'\AD=2A/2,

2

所以，S梯形MCD=1（AB+CD）A￡）=；（A?+C'D'\2A'D'=（A'B'+C'D'yA'D'=2應（cm）.

故答案為：2拒.

變式12.（2024?全國?高三專題練習）如圖，一A03'是用斜二測畫法得到的△AOB的直

觀圖，其中。4=2,。9=3,則的長度為.

【答案】2挑

【解析】把直觀圖VAO?還原為_A03,如圖所示:

根據(jù)直觀圖畫法規(guī)則知,OA==2,08=200=2x3=6,

所以A3的長度為AB=132+032=14+36=2而.

故答案為：2M.

變式13.（2024?上海浦東新?高三上海市川沙中學?？计谀┯幸粔K多邊形的菜地，它

的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示）.

ZABC=45,AB=AD=1,DC±BC,則這塊菜地的面積為

2

【解析】

/(O)ECx'

過A作AE_LBC于E,

在直觀圖中，ZABC=45,AB=AD=\,DC±BC,

所以EC=l,BE=gBC=\+—,

22

故原平面圖形的上底為1,下底1+受，高為2,

2

所以這塊菜地的面積為S=；x(l+l+￥)x2=2+孝，

故答案為：2+顯.

2

變式14.(2024?上海寶山?高三上海交大附中?？奸_學考試)我們知道一條線段在“斜二

測”畫法中它的長度可能會發(fā)生變化的，現(xiàn)直角坐標系平面上一條長為4cm線段AB按“斜

二測''畫法在水平放置的平面上畫出為A?,則最短長度為cm(結果用精確

值表示)

【解析】如圖1所示，可以將平面內所有長為4的線段平移至圖中。點為起點，則它們的

終點形成以。為圓心,半徑為4的圓周.

以兩條互相垂直的直徑為坐標軸，建立平面直角坐標系.

圖1

然后在斜二測畫法下畫出該圓的直觀圖，如圖2,形成一個橢圓,

由斜二測的性質可知，在圖2,該橢圓長半軸為4,且經過點

易知。4'=goA=2且NxOy=45°,所以忘），

圖2

設橢圓的方程為：?1,將4（0,后）代入得：：+j=l，解得6=喪=乎.

由橢圓的性質可知，橢圓上的點中，短軸端點到原點的距離力最小，即也即為所求.

7

故答案為：逆.

7

變式15.（2024?陜西延安??？家荒＃┤鐖D，梯形ABC。是水平放置的一個平面圖形的

直觀圖，其中/ABC=45,AB=AD=1,DC±BC,則原圖形的面積為

【解析】因為AB=AD=1,ZABC=45,DCLBC,

所以BC=l+@,AD'=1,AB'=2,B'C'=1+—

22

所以S=g(AO'+B'C')-AB'=g><2+彳*2=2+*.

故答案為：2H-----.

變式16.（2024?全國?高三專題練習）如圖，用斜二測畫法畫?個水平放置的平面圖形

的直觀圖為一個正方形，則原來圖形的面積是.

【答案】272

【解析】由直觀圖可知，在直觀圖中，正方形的對角線長為及，由斜二測畫法的特點，知

所以原圖圖形為平行四邊形，底面邊長為1,位于V軸的對角線長為2立,

所以原來圖形的面積為5=1x20=2啦.

故答案為：20.

【解題方法總結】

斜二測法下的直觀圖與原圖面積之間存在固定的比值關系：5直=寧5原.

題型五：展開圖

例13.（2024?山東青島?統(tǒng)考三模）已知圓錐的底面半徑為1,側面展開圖為半圓，則該

圓錐內半徑最大的球的表面積為

【答案】

【解析】設圓錐母線長為/,由題意27txi=戒，1=2,

圓錐內半徑最大的球與圓錐相切,

作出圓錐的軸截面PAB,截球得大圓為圓錐軸截面三角形的內切圓。，RE是切點，如

圖，易知尸￡）是圓錐的高，。在尸￡＞上,

TT7T17r

由PA=2,3￡）=1得/8尸。=一，因此ZABP=—,所以NOBD=—NDBP=—，

6326

OD=BDtan-=—,

63

所以圓錐內半徑最大的球的表面積為S=4TTX（￥）23，

47r

故答案為：—.

例14.（2024?全國?高三專題練習）如圖，在直三棱柱ABC-4耳￡的側面展開圖中，

B,C是線段的三等分點，且AO=3如.若該三棱柱的外接球。的表面積為12兀，則

4BiG2⑷

ABCD（A）

【答案】272

【解析】由該三棱柱的外接球。的表面積為12兀，設外接球得半徑為r,則4兀產=12無，解

得r=4,

由題意，取上下底面三角形得中心，分別為瓦尸，所得中點即為外接圓圓心。，作圖如

則OC=r=上，1平面ABC,EF=AAt=2OF,

QCFu平面ABC,OF±CF,

2

在等邊,ABC中，CF=-BCsin60=1,

在RtZkO/C中，OF70c2-CF=近，

A4[=20F=20

故答案為：2立.

例15.（2024?上海普陀?高三統(tǒng)考期中）2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙

在東風著陸場預定區(qū)域成果著陸.如圖，在返回過程中使用的主降落傘外表面積達到1200

平方米，若主降落傘完全展開后可以近似看著一個半球，則完全展開后傘口的直徑約為一

米（精確到整數(shù)）

【答案】28

【解析】設主降落傘展開后所在球體的半徑為R,由題可得2萬改=1200,解得氏。14,

故完全展開后傘口的直徑約為28米.

故答案為：28.

變式17.（2024?山東淄博?統(tǒng)考一模）已知圓錐的底面半徑為1,其側面展開圖為一個半

圓，則該圓錐的體積為.

【答案】且乃/叵

33

【解析】???圓錐的底面半徑為1,...側面展開圖的弧長為2萬，

又???側面展開圖是半圓，.??側面展開圖的半徑為2,即圓錐的母線長為2,故圓錐的高為

-s/22—1=^3＞故體積V=■乃乃

33

故答案為：^~兀

3

變式18.（2024?安徽?蚌埠二中校聯(lián)考模擬預測）如圖，在三棱錐P-A8C的平面展開圖

中，CD//AB,ABJ.AC,AB=2AC=2,CD=413,cosNBCF=,則三棱錐

【解析】由題意可知，DCLAC,CD=CF=V13,AD=AE=A，BCf,

在.8C尸中，BF2=CF2+BC2-2CF-BCcosZBCF=10,貝=8尸=VHL

因為4^+成^二短?，所以AB1.BE,

在三棱錐P-ABC外接球的球心為O,PC1AC,PB±AB,記%中點為。，

OC=OB=OA=OP,即三棱錐P-A8C外接球的球心為點0,

半徑尺=2=絲=巫，所以外接球表面積為147r.

222

故答案為：14%

變式19.（2024?全國?高三專題練習）已知三棱錐P-ABC的底面ABC為等邊三角

形.如圖，在三棱錐P—ABC的平面展開圖中，P,F,E三點共線，B,C,E三點共線,

【答案】273

【解析】由題意可知，△（7所為等邊三角形，所以NCEF=NE尸C=60,則

ZPFC=120,

由cosNPCF=93可知sinZPCF=孑叵，

2626

肢32/39

在APC尸中，由正弦定理得：PF=—PCs—in/-P-CF=——產"=3.

sin120V3

~2

在APCE中，由余弦定理得：13=（3+EF）2+E/2—（3+E產）.￡F,

解得EF=1或￡F=T（舍去），

所以AB=BC=CE=1,

則PE=4,BE=2,

在APBE中，由余弦定理得尸3?=16+4—2x4=12,

所以PB=26?

故答案為：2后

變式20.（2024?安徽黃山?統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐P-A8CD的平面展開圖中，正方

形ABCD的邊長為4,VADE是以為斜邊的等腰直角三角形，ZHDC=ZFAB=90°,則

該四棱錐外接球被平面尸BC所截的圓面的面積為.

G(P)

【答案】言

【解析】該幾何體的直觀圖如下圖所示

分別取8C的中點O,M,連接OM,PM

PO=2,OM=4,PM=y/PB2-BM2=J24-4=275

:.OP-+OM-=PM-,:.OPVOM

又?.POLAD,所以由線面垂直的判定定理得出PO,平面ABCD

以點O為坐標原點，建立空間直角坐標系

42,0,0),5(2,4,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),P(0,0,2)

設四棱錐尸-ABCD外接球的球心N(0,2,a)

PN=NA,.-.4+(2-a)2=4+4+a2,解得a=0

設平面PBC的法向量為"=(x,y,z)

PB=(2,4,-2),PC=(-2,4,-2),NP=(0,-2,2)

PB.n=0卜+2y-z=0

取則”=

PC.n=01一尤+2y—z=0z=2,(0,1,2)

四棱錐尸-ABCD外接球的球心到面PBC的距離為

d=LJcos（%NP）|=|例〃,產I===述

11?'/I11同網出5

又網=2夜，所以平面依C所截的圓的半徑一小可二）=

所以平面PBC所截的圓面的面積為萬產=平.

故答案為：,

變式21.（2024?山西大同?高三統(tǒng)考階段練習）如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖

中，AC=1,AB=AD=/,ABJ.AC,AB±AD,NC4E=30。，則三棱錐尸-ABC的

外接球的表面積為

D(P)

尸（尸）

【答案】7兀

【解析】還原出如圖所示的三棱錐3-B4C,

AB±AC,AB±AD,J.ABS平面PAC,

設平面R4C的截面圓心為O',半徑為小球心為。，球半徑為R,

在△B4C中，由余弦定理可得

PC2=AC2+AP2-2AC-AP-cos30=l+3—2xlx若x且=1,貝|尸。=1,

2

pr

這由正弦定理得2,==丁=2,r=l,

sin30

OO'=-AB=—,

22

=Jl2+上

-2

外接球的表面積5=4萬=7%.

故答案為：7萬.

【解題方法總結】

多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開

圖的關系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀.

題型六：最短路徑問題

例16.（2024?福建福州?高一福建省福州屏東中學?？计谀┤鐖D，一豎立在地面上的

圓錐形物體的母線長為4,一只小蟲從圓錐的底面圓上的點尸出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回

到點尸處，若該小蟲爬行的最短路程為46,則這個圓錐的體積為（）.

.V15?32庖萬?128也乃「8j

A.--D.--------C.------L).--

327813

【答案】C

【解析】作出該圓錐的側面展開圖，如圖所示:

該小蟲爬行的最短路程為P6,

由余弦定理可得COS々OP==J"=-!，:./ROP=".設底面圓的半徑為

2?（Jr?23

r,

則有2a=gx4,解得r=g.；.這個圓錐的高為?=J16=半,

這個圓錐的體積為V=—Sh=—'xnr'x/?=—7rx—x=128點71.

3339381

故選：C.

例17.（2024?陜西寶雞?高一統(tǒng)考期末）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產

廠商要為棱長為2cm的正四面體魔方設計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包

裝盒內任意轉動，則包裝盒的棱長最短為（）

A."cmB.2?cmC.4y/6cmD.6cm

【答案】A

【解析】如圖所示，根據(jù)題意可得AB=AD=DC=2,

設3c的中點為M,底面△BCD的重心為G,。為外接球的球心，

則有AGJ_底面BCD,MD=DC=>/3,CG=DG=:MD=2出,

233

且Q4=OC=R,其中R為外接球的半徑，

在直角△AGO中，可得GA=萬匚兩

在直角...OGC中，OG=NOC2-GC。=J>2T，且OG+CM=G4,

所以『+R普,解得我邛,

所以正方體的最短棱長為2R=娓cm.

例18.（2024?全國?高一專題練習）如圖，已知正四棱椎S-ABCD的側棱長為2有，側

面等腰三角形的頂角為30。，則從A點出發(fā)環(huán)繞側面一周后回到A點的最短路程為（）

A.2^/6B.2-^3C.-\/6D.6

【答案】D

【解析】把正四棱錐的側面沿著SA剪開，得到它的側面展開圖（如圖）.

要使路程最短，必須沿著線段AA前行.

在.SAA中，ZASA,=30°x4=120°,SA=SA,=2^/3,則/5懼=30。.

作于“，則Sa=：SA=6,AH^3,.-.AAl=2AH=6.

故選：D.

變式22.（2024?安徽?高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習）我們知道立體圖形上的最短路

徑問題通常是把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點，根據(jù)