2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章統(tǒng)計(jì)2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征學(xué)案新人教B版必修3

PAGE1-2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會(huì)求樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差．(重點(diǎn))2．理解用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征的方法．(重點(diǎn))3．會(huì)應(yīng)用相關(guān)學(xué)問解決實(shí)際統(tǒng)計(jì)問題．(難點(diǎn))1.通過(guò)樣本數(shù)字特征的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．2．借助用樣本的數(shù)字特征解決實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).1．樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻率分布最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))叫這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)中位數(shù)：將樣本數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(3)平均數(shù)：指樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．思索：一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)有可能相等嗎？[提示]有．2．樣本的方差與標(biāo)準(zhǔn)差(1)數(shù)據(jù)的離散程度可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述．樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小．一般地，設(shè)樣本的元素為x1，x2，…，xn，樣本的平均數(shù)為eq\x\to(x)，定義s2＝eq\f([x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2],n).(2)為了得到以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動(dòng)幅度，通常要求出樣本方差的算術(shù)平方根，即樣本標(biāo)準(zhǔn)差s＝eq\r(\f(x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2,n)).思索：方差與標(biāo)準(zhǔn)差的大小與樣本數(shù)據(jù)有什么關(guān)系？[提示]標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。?．下列各數(shù)字特征中，能反映一組數(shù)據(jù)離散程度的是()A．眾數(shù) B．平均數(shù)C．標(biāo)準(zhǔn)差 D．中位數(shù)C[方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映一組數(shù)據(jù)的離散程度．]2．一組視察值4,3,5,6出現(xiàn)的次數(shù)分別為3,2,4,2，則樣本平均值約為()A．4.55 B．4.5C．12.5 D．1.64A[eq\x\to(x)＝eq\f(4×3＋3×2＋5×4＋6×2,3＋2＋4＋2)≈4.55.]3．在某次測(cè)量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是()A．眾數(shù) B．平均數(shù)C．中位數(shù) D．標(biāo)準(zhǔn)差D[對(duì)樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)非零常數(shù)時(shí)不變更樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都發(fā)生變更．]4．某學(xué)員在一次射擊測(cè)試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.則：(1)平均命中環(huán)數(shù)為________；(2)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為________．(1)7(2)2[(1)eq\x\to(x)＝eq\f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7.(2)s2＝eq\f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.]平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的求法【例1】甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個(gè)數(shù)用莖葉圖表示如圖所示，中間一列的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)，則這10天甲的日加工零件的平均數(shù)為________；乙的日加工零件的眾數(shù)與中位數(shù)分別為________和________．[思路探究]由莖葉圖分別提取出甲、乙10天中每天加工零件的個(gè)數(shù)，然后求平均數(shù)，眾數(shù)與中位數(shù)．2424與3023[甲每天加工零件的個(gè)數(shù)分別為：18,19,20,20,21,22,23,31,31,35，所求平均數(shù)為eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,10)×(18＋19＋20＋20＋21＋22＋23＋31＋31＋35)＝24.乙每天加工零件的個(gè)數(shù)分別為：11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，故眾數(shù)為24與30.中位數(shù)為eq\f(1,2)×(22＋24)＝23.]1．求平均數(shù)時(shí)要留意數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，不要重計(jì)或漏計(jì)．2．求中位數(shù)時(shí)肯定要先對(duì)數(shù)據(jù)按大小排序，若最中間有兩個(gè)數(shù)據(jù)，則中位數(shù)是這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．3．若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，則這些數(shù)據(jù)都叫眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則沒有眾數(shù)．1．對(duì)于數(shù)據(jù)3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列結(jié)論：①這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3；②這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)的數(shù)值不相等；③這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的數(shù)值相等；④這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的數(shù)值相等．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A1B．2C．3D．4A[在這一組數(shù)據(jù)中，3出現(xiàn)次數(shù)最多，有6次，故眾數(shù)是3；將數(shù)據(jù)按從小到大依次排列后，最中間的數(shù)據(jù)是3，故中位數(shù)是3；平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(2×2＋3×6＋6×2＋10,11)＝4，故只有①正確．]方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算及應(yīng)用【例2】甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，從中抽取6件測(cè)量數(shù)據(jù)為：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)依據(jù)計(jì)算說(shuō)明哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．[思路探究][解](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)×[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)×[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，比較它們的方差，∵seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，故乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．1．在實(shí)際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要探討其偏離平均值的離散程度(即方差或標(biāo)準(zhǔn)差)，方差大說(shuō)明取值分散性大，方差小說(shuō)明取值分散性小或者取值集中、穩(wěn)定．2．關(guān)于統(tǒng)計(jì)的有關(guān)性質(zhì)及規(guī)律：(1)若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\x\to(x)＋a；(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等；(3)若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.2．某校高二年級(jí)在一次數(shù)學(xué)選拔賽中，由于甲、乙兩人的競(jìng)賽成果相同，從而確定依據(jù)平常在相同條件下進(jìn)行的六次測(cè)試確定出最佳人選，這六次測(cè)試的成果數(shù)據(jù)如下：甲127138130137135131乙133129138134128136求兩人競(jìng)賽成果的平均數(shù)以及方差，并且分析成果的穩(wěn)定性，從中選出一位參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽．[解]設(shè)甲、乙兩人成果的平均數(shù)分別為eq\x\to(x)甲，eq\x\to(x)乙，則eq\x\to(x)甲＝130＋eq\f(1,6)(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133，eq\x\to(x)乙＝130＋eq\f(1,6)(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝eq\f(47,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝eq\f(38,3).因此，甲與乙的平均數(shù)相同，由于乙的方差較小，所以乙的成果比甲的成果穩(wěn)定，應(yīng)當(dāng)選乙參與競(jìng)賽比較合適.樣本的數(shù)字特征的意義及綜合應(yīng)用[探究問題]1．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)中，哪一個(gè)量與樣本的每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，它的缺點(diǎn)是什么？[提示]平均數(shù)與樣本的每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，它可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)總體的信息，但它的缺點(diǎn)是受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大．2．在電視大獎(jiǎng)賽中，計(jì)算評(píng)委打分的平均值時(shí)，為什么要去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分？[提示]為了避開平均值受數(shù)據(jù)中個(gè)別極端值的影響，增大它在估計(jì)總體時(shí)的牢靠性．3．我們知道，當(dāng)把樣本數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖后，失去了原始數(shù)據(jù)，那么是不是不能依據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)呢？[提示]不是．可以用頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)．【例3】(1)據(jù)了解，某公司的33名職工月工資(單位：元)如下：職務(wù)董事長(zhǎng)副董事長(zhǎng)董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資110001000090008000650055004000該公司職工月工資的平均數(shù)與中位數(shù)分別為________，在這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量中，________更能反映這個(gè)公司員工的工資水平；(2)某校從參與高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成果(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．則這次數(shù)學(xué)測(cè)試的眾數(shù)與中位數(shù)分別為________．[思路探究](1)求出中位數(shù)與平均數(shù)，再依據(jù)其反映的數(shù)字特征進(jìn)行推斷．(2)由數(shù)字特征在直方圖中的求法求解．(1)5333,4000中位數(shù)(2)75,73.3[(1)把工資數(shù)據(jù)由小到大排列，得到中位數(shù)為4000元．平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(11000＋10000＋9000×2＋8000＋6500×5＋5500×3＋4000×20,33)≈5333元．由數(shù)字知，中位數(shù)更能反映該公司員工的工資水平，平均數(shù)受少數(shù)人工資額的影響較大，不能反映這個(gè)公司員工的工資水平．(2)由直方圖知眾數(shù)為eq\f(70＋80,2)＝75.設(shè)中位數(shù)為x，由前三個(gè)矩形面積之和為0.4，第四個(gè)矩形面積為0.3，因此中位數(shù)位于第四個(gè)矩形內(nèi)，有0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.]1．(變結(jié)論)本例(2)條件不變，求這次數(shù)學(xué)測(cè)試的平均數(shù)．[解]eq\x\to(x)＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.20＋75×0.30＋85×0.25＋95×0.05＝72.2．(變條件)本例(2)改為為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的實(shí)力，隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量得到頻率分布直方圖如圖所示，則(1)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55,75)的人數(shù)是________．(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)為________．(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù)為________．(1)13(2)62.5(3)64[(1)在[55,75)的人數(shù)為(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.(2)設(shè)中位數(shù)為x，則0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.(3)0.20×50＋0.40×60＋0.25×70＋0.10×80＋0.05×90＝64.]1．因?yàn)槠骄鶖?shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的變更都會(huì)引起平均數(shù)的變更，這是眾數(shù)、中位數(shù)不具有的性質(zhì)，也正因?yàn)檫@個(gè)緣由，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于全體樣本數(shù)據(jù)的信息．但平均數(shù)受數(shù)據(jù)的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)牢靠性降低．2．利用頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征：(1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點(diǎn)．(2)中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等．(3)平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．提示：利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為估計(jì)值，與實(shí)際數(shù)據(jù)可能不一樣．1．本節(jié)課的重點(diǎn)是會(huì)求樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差，難點(diǎn)是理解用樣本的數(shù)字特征來(lái)估計(jì)總體數(shù)字特征的方法．2．本節(jié)課要駕馭以下幾類問題：(1)當(dāng)平均數(shù)大于中位數(shù)時(shí)，說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在較大的極端值；反之，說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在較小的極端值．(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．(3)利用頻率分布直方圖求出的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值，往往與實(shí)際數(shù)據(jù)得出的不一樣，但它們能粗略估計(jì)其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)：(1)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差或方差時(shí)易將公式記錯(cuò)而致誤．(2)利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征時(shí)易出現(xiàn)理解錯(cuò)誤而致錯(cuò)．

1．思索辨析(1)樣本的平均數(shù)描述了樣本數(shù)據(jù)的平均水平．()(2)方差越大、數(shù)據(jù)越集中在平均數(shù)左右．()(3)中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中最中間位置的數(shù)據(jù)．()[答案](1)√(2)×(3)×2．如圖所示是2024年某高一學(xué)生下學(xué)期政治考試成果的莖葉圖(莖表示成果的十位數(shù)字)，則該生政治考試成果的平均數(shù)和眾數(shù)依次為()A．85,84 B．84,85C．86,84 D．84,86C[由題意可知，平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(79＋79＋84＋84＋86＋84＋87＋90＋90＋97,10)＝86，眾數(shù)為84.]3．國(guó)家射擊隊(duì)要從甲、乙、丙、丁四名隊(duì)員中選出一名選手去參與射擊競(jìng)賽，四人的平均成果和方差如下表：甲乙丙丁平均成果eq\x\to(x)8.58.88.88方差s23.53.52.18.7則應(yīng)派________參賽最為合適．丙[由表可知，丙的平均成果較