2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)6棱柱棱錐棱臺(tái)和球的表面積含解析新人教B版必修2

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(六)棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積(建議用時(shí)：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．矩形的邊長(zhǎng)分別為1和2，分別以這兩邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，所形成幾何體的側(cè)面積之比為()A．1∶2 B．1∶1C．1∶4 D．1∶3B[以邊長(zhǎng)為1的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的側(cè)面積S1＝2π×2×1＝4π，以邊長(zhǎng)為2的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的側(cè)面積S2＝2π×1×2＝4π，故S1∶S2＝1∶1，選B.]2．圓臺(tái)OO′的母線長(zhǎng)為6，兩底面半徑分別為2,7，則圓臺(tái)OO′的側(cè)面積是()A．54π B．8πC．4π D．16πA[S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π.]3．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，依據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是()A．9π B．10πC．11π D．12πD[由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成，其表面積為S＝4π×12＋π×12×2＋2π×1×3＝12π，故選D.]4．長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為5eq\r(2)，若長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是()A．20eq\r(2)π B．25eq\r(2)πC．50π D．200πC[∵對(duì)角線長(zhǎng)為5eq\r(2)，∴2R＝5eq\r(2)，S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))eq\s\up10(2)＝50π.]5．已知圓錐的側(cè)面綻開圖為半圓，半圓的面積為S，則圓錐的底面面積是()A．2SB.eq\f(S,2)C.eq\r(2)SD.eq\f(\r(2),2)SB[設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l.則由題意，得S＝eq\f(1,2)πl(wèi)2，S＝πrl，所以eq\f(1,2)πl(wèi)2＝πrl，于是l＝2r，代入S＝πrl，得S＝2πr2，所以圓錐的底面面積πr2＝eq\f(S,2).]二、填空題6．一個(gè)棱柱的側(cè)面綻開圖是三個(gè)全等的矩形，矩形的長(zhǎng)和寬分別為6cm,4cm，則該棱柱的側(cè)面積為________cm2.72[棱柱的側(cè)面積S側(cè)＝3×6×4＝72(cm2)．]7．已知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為5，則此棱錐的側(cè)面積為________．48[正四棱錐的斜高h(yuǎn)′＝eq\r(52－32)＝4，S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×6×4＝48.]8．側(cè)面是直角三角形的正三棱錐，底面邊長(zhǎng)為a，該三棱錐的表面積為________．eq\f(3＋\r(3),4)a2[底面邊長(zhǎng)為a，則斜高為eq\f(a,2)，故S側(cè)＝3×eq\f(1,2)×a×eq\f(1,2)a＝eq\f(3,4)a2.而S底＝eq\f(\r(3),4)a2，故S表＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.]三、解答題9.如圖所示，一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以相對(duì)兩個(gè)面的中心連線為軸，鉆一個(gè)直徑為1的圓柱形孔，所得幾何體的表面積為多少？[解]幾何體的表面積為：S＝6×22－π×(0.5)2×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π.10．已知一個(gè)幾何體的三視圖如下，試求它的表面積．(單位：cm)[解]圖中的幾何體可看成是一個(gè)底面為直角梯形的直棱柱，且直棱柱的某個(gè)側(cè)面在水平面上．直角梯形的上底為1，下底為2，高為1；棱柱的高為1.可求得直角梯形的四條邊的長(zhǎng)度為1,1,2，eq\r(2).所以此幾何體的表面積S表＝2S底＋S側(cè)＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋eq\r(2))×1＝(7＋eq\r(2))(cm2)．[等級(jí)過關(guān)練]1．若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為eq\r(3)，則這個(gè)圓錐的表面積是()A．3π B．3eq\r(3)πC．6π D．9πA[依據(jù)軸截面面積是eq\r(3)，可得圓錐的母線長(zhǎng)為2，底面半徑為1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.]2．底面為正方形的直棱柱，它的底面對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(2)，體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(6)，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積是()A．2 B．4C．6 D．8D[由已知得底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(6－2)＝2.∴S側(cè)＝1×2×4＝8.]3．如圖所示，圓臺(tái)的上、下底半徑和高的比為1∶4∶4，母線長(zhǎng)為10，則圓臺(tái)的側(cè)面積為________．100π[設(shè)圓臺(tái)的上底半徑為r，則下底半徑為4r，高為4r.由母線長(zhǎng)為10可知10＝eq\r(3r2＋4r2)＝5r，∴r＝2.故圓臺(tái)的上、下底面半徑和高分別為2,8,8.所以圓臺(tái)的側(cè)面積為π(2＋8)×10＝100π.]4．已知如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為________．8π[由三視圖可得原幾何體的圖形，如圖所示，其中PA⊥底面ABC，AB⊥BC，PA＝2，AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2，將此幾何體補(bǔ)成一長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(22＋\r(2)2＋\r(2)2)＝2eq\r(2).從而外接球的半徑為eq\r(2)，于是外接球的表面積為4π×(eq\r(2))2＝8π.]5．已知一個(gè)表面積為120cm2的正方體的四個(gè)頂點(diǎn)在半球的球面上，四個(gè)頂點(diǎn)在半球的底面上，求半球的表面積．[解]如圖所示為過正方體對(duì)角面的截面圖．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，半球的半徑為R，由6a2＝120，得a2＝20，在Rt△AOB中，AB＝a，OB＝eq\f(\r(2),2)a，由勾股定理，