2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系2.1.3空間中直線與平面之間的位置關(guān)系2.1.4平面與平面之間的位置關(guān)系學(xué)案新人教A版必修2

PAGE1-2.1.3空間中直線與平面之間的位置關(guān)系2.1.4學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解直線與平面的三種位置關(guān)系，并會用圖形語言和符號語言表示．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))2．了解不重合的兩個(gè)平面之間的兩種位置關(guān)系，并會用圖形語言和符號語言表示．(難點(diǎn))1.通過對直線與平面位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，培育邏輯推理、直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；2．通過對平面與平面位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，培育邏輯推理、直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).1．直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線在平面內(nèi)直線在平面外直線與平面相交直線與平面平行公共點(diǎn)多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)1個(gè)0個(gè)符號表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示思索：“直線與平面不相交”與“直線與平面沒有公共點(diǎn)”是一回事嗎？[提示]不是．前者包括直線與平面平行及直線在平面內(nèi)這兩種狀況，而后者僅指直線與平面平行．2．兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系平行相交圖示表示法α∥βα∩β＝a位置關(guān)系平行相交公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)多數(shù)個(gè)思索：分別位于兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是什么？[提示]分別位于兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線肯定無公共點(diǎn)，故它們的位置關(guān)系是平行或異面．1．直線l與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)，則()A．l∈α B．l∥αC．l與α相交 D．l?αD[依據(jù)公理1可知，l?α.]2．若M∈平面α，M∈平面β，α、β為不同的平面，則平面α與β的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．重合 D．不確定B[由公理可知，平面α與平面β相交．]3．已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)．則下列說法正確的是________(填序號)．①若直線a和直線b相交，則平面α和平面β相交；②若平面α和平面β相交，則直線a和直線b相交．①[若直線a，b相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能異面或平行．]直線與平面位置關(guān)系的判定【例1】(1)若直線上有一點(diǎn)在平面外，則下列結(jié)論正確的是()A．直線上全部的點(diǎn)都在平面外B．直線上有多數(shù)多個(gè)點(diǎn)都在平面外C．直線上有多數(shù)多個(gè)點(diǎn)都在平面內(nèi)D．直線上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)B[直線上有一點(diǎn)在平面外，則直線不在平面內(nèi)，故直線上有多數(shù)多個(gè)點(diǎn)在平面外．](2)下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是()①假如兩條平行直線中的一條和一個(gè)平面相交，那么另一條直線也和這個(gè)平面相交；②經(jīng)過兩條異面直線中的一條直線有一個(gè)平面與另一條直線平行；③兩條相交直線，其中一條與一個(gè)平面平行，則另一條肯定與這個(gè)平面平行．A．0B．1C．2D．3C[易知①正確，②正確．③中兩條相交直線中一條與平面平行，另一條可能平行于平面，也可能與平面相交，故③錯(cuò)誤．選C.]直線與平面位置關(guān)系的推斷(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問題的突破口，這類推斷問題，常用分類探討的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長方體等)也是解決這類問題的有效方法．(2)要證明直線在平面內(nèi)，只要證明直線上兩點(diǎn)在平面α內(nèi)，要證明直線與平面相交，只需說明直線與平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，要證明直線與平面平行，則必需說明直線與平面沒有公共點(diǎn)．1．以下命題(其中a，b表示直線，α表示平面)，①若a∥b，b?α，則a∥α；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a∥b，b∥α，則a∥α；④若a∥α，b?α，則a∥b.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)A[如圖所示，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB∥CD，AB?平面ABCD，但CD?平面ABCD，故①錯(cuò)誤；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′與B′C′相交，故②錯(cuò)誤；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③錯(cuò)誤；A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′與BC異面，故④錯(cuò)誤．]平面與平面位置關(guān)系的判定[探究問題]1．若一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線都與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面之間有什么位置關(guān)系？[提示]因?yàn)橐粋€(gè)平面內(nèi)隨意一條直線都與另一個(gè)平面平行，所以該平面與另一平面沒有公共點(diǎn)，依據(jù)兩平面平行的定義知，這兩個(gè)平面平行．2．平面α內(nèi)有多數(shù)條直線與平面β平行，那么α∥β是否正確？[提示]不正確．如圖，設(shè)α∩β＝l，則在平面α內(nèi)與l平行的直線可以有多數(shù)條a1，a2，…，an，它們是一組平行線，這時(shí)a1，a2，…，an與平面β都平行，但此時(shí)α不平行于β，而α∩β＝l.【例2】(1)假如在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線相互平行，那么兩個(gè)平面的位置關(guān)系肯定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定C[逆向考慮畫兩平行面，看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線．同樣畫兩相交面，看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線，再作出選擇(如圖所示)．](2)完成下列作圖：①在圖中畫出一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交．②在圖中分別畫出三個(gè)兩兩相交的平面．[解]①如圖所示，②如圖所示，1．平面與平面的位置關(guān)系的推斷方法：(1)平面與平面相交的推斷，主要是以公理3為依據(jù)找出一個(gè)交點(diǎn)．(2)平面與平面平行的推斷，主要是說明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)．2．常見的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上下底面平行；(2)長方體的六個(gè)面中，三組相對面平行.2．三個(gè)平面最多能把空間分為________部分，最少能把空間分成________部分．84[三個(gè)平面可將空間分成4，6，7，8部分，所以三個(gè)平面最少可將空間分成4部分，最多分成8部分．]3.試畫出相交于一點(diǎn)的三個(gè)平面．[解]如圖所示(不唯一)．1．空間中直線與平面的位置關(guān)系有兩種分類方式(1)eq\a\vs4\al(按公共,點(diǎn)的個(gè),數(shù)分類)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直線與平面平行——直線與平面沒有公共點(diǎn),\a\vs4\al(直線與平,面不平行)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直線與平面相交——直線與平面,有唯一公共點(diǎn),直線在平面內(nèi)——直線與平面有,多數(shù)公共點(diǎn)))))(2)eq\a\vs4\al(按是否,在平面,內(nèi)分類)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直線在平面內(nèi),直線在平面外\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直線與平面相交,直線與平面平行))))2．推斷直線與平面及平面與平面位置關(guān)系的常用方法(1)定義法：借助線面、面面位置關(guān)系的定義推斷；(2)模型法：借助長方體等熟識的幾何圖形進(jìn)行推斷，有時(shí)起到事半功倍的效果；(3)反證法：反設(shè)結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)，得出沖突，達(dá)到精確的推斷位置關(guān)系的目的．1．已知直線a在平面α外，則()A．a(chǎn)∥αB．直線a與平面α至少有一個(gè)公共點(diǎn)C．a(chǎn)∩α＝AD．直線a與平面α至多有一個(gè)公共點(diǎn)D[直線a在平面α外，則直線a與平面α平行或相交，故直線a與平面α至多有一個(gè)公共點(diǎn)．選D.]2．假如直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的()A．僅有一條直線不相交 B．僅有兩條直線不相交C．多數(shù)條直線相交 D．隨意一條直線不相交D[直線a∥平面α，則a與α無公共點(diǎn)，與α內(nèi)的任始終線均無公共點(diǎn)．]3．圓柱的兩個(gè)底面的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．平行或異面 D．相交或異面B[圓柱的兩個(gè)底面無公共點(diǎn)，則它們平行．]4．下列命題：①兩個(gè)平面有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合；②若l，m是異面直線，l∥α，m∥β，則α∥β