2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教師用書新人教A版必修第一冊

PAGE1-5．2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系考點學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)同角三角函數(shù)基本關(guān)系理解同角三角函數(shù)基本關(guān)系式數(shù)學(xué)運算同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用能正確運用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進行求值、化簡和證明數(shù)學(xué)運算邏輯推理問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P182－P184，并思索以下問題：1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有哪兩種？2．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式適合隨意角嗎？同角三角函數(shù)的基本關(guān)系關(guān)系式文字表述平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1商數(shù)關(guān)系eq\f(sinα,cosα)＝tan__α同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切■名師點撥(1)留意“同角”，這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“隨意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立，即與角的表達形式無關(guān)，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不肯定成立．(2)sin2α是(sinα)2的簡寫，讀作“sinα的平方”，不能將sin2α寫成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，兩者是不同的，要弄清它們的區(qū)分，并能正確書寫．(3)留意同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式都是對于使它們有意義的角而言的，sin2α＋cos2α＝1對一切α∈R恒成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)僅對α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)對隨意角α，sin24α＋cos24α＝1都成立．()(2)對隨意角α，eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝taneq\f(α,2)都成立．()(3)存在角α，β有sin2α＋cos2β＝1.()答案：(1)√(2)×(3)√已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，則cosα等于()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C．－eq\f(1,7) D.eq\f(3,5)答案：B化簡：(1＋tan2α)·cos2α等于()A．－1 B．0C．1 D．2答案：C已知3sinα＋cosα＝0，則tanα＝________．答案：－eq\f(1,3)利用同角基本關(guān)系式求值(1)已知α是其次象限角，且cosα＝－eq\f(12,13)，則tanα的值是()A.eq\f(12,13) B．－eq\f(12,13)C.eq\f(5,12) D．－eq\f(5,12)(2)已知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，則eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)＝________．【解析】(1)因為α為其次象限角，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))\s\up12(2))＝eq\f(5,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(5,13),－\f(12,13))＝－eq\f(5,12).(2)由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，化簡得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.原式＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(8,9).【答案】(1)D(2)eq\f(8,9)(變問法)本例(2)條件不變，計算2sin2α－3sinαcosα的值．解：因為tanα＝3，所以原式＝eq\f(2sin2α－3sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(2sin2α－3sinαcosα,cos2α),\f(sin2α＋cos2α,cos2α))＝eq\f(2tan2α－3tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2×32－3×3,32＋1)＝eq\f(9,10).eq\a\vs4\al()(1)求三角函數(shù)值的方法①已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方法求解②已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方法求解當角θ的范圍不確定且涉及開方時，常因三角函數(shù)值的符號問題而對角θ分區(qū)間(象限)探討．(2)已知角α的正切求關(guān)于sinα，cosα的齊次式的方法①關(guān)于sinα，cosα的齊次式就是式子中的每一項都是關(guān)于sinα，cosα的式子且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為n次，將分子、分母同除以cosα的n次冪，其式子可化為關(guān)于tanα的式子，再代入求值；②若無分母時，把分母看作1，并將1用sin2α＋cos2α來代換，將分子、分母同除以cos2α，可化為關(guān)于tanα的式子，再代入求值．1．已知sinα＝－eq\f(1,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則tanα＝()A．－eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(\r(2),4) D．－eq\f(\r(2),4)解析：選C.由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，得cosα<0，又sinα＝－eq\f(1,3)，所以cosα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))\s\up12(2))＝－eq\f(2\r(2),3)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(2),4).2．已知α是其次象限角，且tanα＝－eq\f(7,24)，則cosα＝________.解析：因為α是其次象限角，故sinα＞0，cosα＜0，又tanα＝－eq\f(7,24)，所以eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(7,24)，又sin2α＋cos2α＝1，解得cosα＝－eq\f(24,25).答案：－eq\f(24,25)利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡化簡下列各式：(1)eq\f(sinα,1＋sinα)－eq\f(sinα,1－sinα)；(2)eq\f(\r(1＋2sin10°cos10°),cos10°＋\r(1－cos210°)).【解】(1)eq\f(sinα,1＋sinα)－eq\f(sinα,1－sinα)＝eq\f(sinα（1－sinα）－sinα（1＋sinα）,（1＋sinα）（1－sinα）)＝eq\f(－2sin2α,1－sin2α)＝eq\f(－2sin2α,cos2α)＝－2tan2α.(2)eq\f(\r(1＋2sin10°cos10°),cos10°＋\r(1－cos210°))＝eq\f(\r(（cos10°＋sin10°）2),cos10°＋sin10°)＝eq\f(|cos10°＋sin10°|,cos10°＋sin10°)＝1.eq\a\vs4\al()三角函數(shù)式的化簡技巧(1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而削減函數(shù)名稱，達到化繁為簡的目的．(2)對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的．(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低次數(shù)，達到化簡的目的．1．化簡：sin2αtanα＋eq\f(cos2α,tanα)＋2sinαcosα.解：原式＝sin2α·eq\f(sinα,cosα)＋cos2α·eq\f(cosα,sinα)＋2sinαcosα＝eq\f(sin4α＋cos4α＋2sin2αcos2α,cosαsinα)＝eq\f(（sin2α＋cos2α）2,sinαcosα)＝eq\f(1,sinαcosα).2．若eq\f(π,2)<α<π，化簡eq\f(cosα,\r(1－cos2α))＋eq\f(sinα\r(1－sin2α),1－cos2α).解：因為eq\f(π,2)<α<π，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)，sinα＝eq\r(1－cos2α)，所以原式＝eq\f(cosα,sinα)＋eq\f(sinα（－cosα）,1－cos2α)＝eq\f(cosα,sinα)－eq\f(sinαcosα,sin2α)＝eq\f(cosα,sinα)－eq\f(cosα,sinα)＝0.利用同角三角函數(shù)關(guān)系證明求證：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).【證明】法一：因為右邊＝eq\f(tan2α－sin2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tan2α（1－cos2α）,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左邊，所以原等式成立．法二：因為左邊＝eq\f(tanαsinα,tanα－tanαcosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，右邊＝eq\f(tanα＋tanαcosα,tanαsinα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)＝eq\f(1－cos2α,sinα（1－cosα）)＝eq\f(sin2α,sinα（1－cosα）)＝eq\f(sinα,1－cosα)，所以左邊＝右邊，原等式成立．eq\a\vs4\al()證明簡潔三角恒等式的思路(1)從一邊起先，證明它等于另一邊，遵循由繁到簡的原則．(2)證明左右兩邊等于同一個式子．(3)證明左邊減去右邊等于零或左、右兩邊之比等于1.(4)證明與原式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立．求證：eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(1＋tanα,tanα－1).證明：左邊＝eq\f(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(（sinα＋cosα）2,（sinα－cosα）（sinα＋cosα）)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1＋tanα,tanα－1)＝右邊．所以原式成立．1．已知sinα＝eq\f(2,3)，tanα＝eq\f(2\r(5),5)，則cosα＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(\r(7),3) D.eq\f(\r(5),5)解析：選B.因為tanα＝eq\f(sinα,cosα)，所以cosα＝eq\f(sinα,tanα)＝eq\f(\f(2,3),\f(2\r(5),5))＝eq\f(\r(5),3).2．化簡eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinα)＋\f(1,tanα)))(1－cosα)的結(jié)果是()A．sinαB．cosαC．1＋sinαD．1＋cosα解析：選A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinα)＋\f(1,tanα)))(1－cosα)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinα)＋\f(cosα,sinα)))(1－cosα)＝eq\f(1－cos2α,sinα)＝eq\f(sin2α,sinα)＝sinα.3．若sinθ＝－eq\f(4,5)，tanθ>0，則cosθ＝____________．解析：由已知條件可得角θ的終邊在第三象限，所以cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))\s\up12(2))＝－eq\f(3,5).答案：－eq\f(3,5)4．已知cosα＝－eq\f(3,5)，求sinα，tanα的值．解：因為cosα＝－eq\f(3,5)<0，所以α是其次或第三象限角．當α是其次象限角時，sinα>0，tanα<0，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2))＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3)；當α是第三象限角時，sinα<0，tanα>0，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2))＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3).

[A基礎(chǔ)達標]1．若cosα＝eq\f(1,3)，則(1＋sinα)(1－sinα)等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,9)C.eq\f(2\r(2),3) D.eq\f(8,9)解析：選B.原式＝1－sin2α＝cos2α＝eq\f(1,9)，故選B.2．若α是第四象限角，tanα＝－eq\f(5,12)，則sinα＝()A.eq\f(1,5) B．－eq\f(1,4)C.eq\f(5,13) D．－eq\f(5,13)解析：選D.因為tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(5,12)，sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝±eq\f(5,13).因為α是第四象限角，所以sinα＝－eq\f(5,13).3．(2024·安徽滁州期末)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，則sin4α－cos4α的值為()A．－eq\f(3,5) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(3,5)解析：選A.sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(3,5).4．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝eq\f(5,9)，則sinθcosθ的值為()A.eq\f(\r(2),3) B．－eq\f(\r(2),3)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：選A.由sin4θ＋cos4θ＝eq\f(5,9)，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝eq\f(5,9)，所以sin2θcos2θ＝eq\f(2,9).因為θ是第三象限角，所以sinθ<0，cosθ<0，所以sinθcosθ＝eq\f(\r(2),3).5．假如tanθ＝2，那么1＋sinθcosθ＝()A.eq\f(7,3) B.eq\f(7,5)C.eq\f(5,4) D.eq\f(5,3)解析：選B.1＋sinθcosθ＝eq\f(1＋sinθcosθ,1)＝eq\f(sin2θ＋cos2θ＋sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ＋1,tan2θ＋1)，又tanθ＝2，所以1＋sinθcosθ＝eq\f(22＋2＋1,22＋1)＝eq\f(7,5).6．已知eq\f(sinα＋2cosα,5cosα－sinα)＝eq\f(5,16)，則tanα＝____________．解析：由eq\f(sinα＋2cosα,5cosα－sinα)＝eq\f(5,16)，得eq\f(tanα＋2,5－tanα)＝eq\f(5,16)，解之得tanα＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)7．若tanα＋eq\f(1,tanα)＝3，則sinαcosα＝________．解析：因為tanα＋eq\f(1,tanα)＝3，所以eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝3，即eq\f(sin2α＋cos2α,sinαcosα)＝3，所以sinαcosα＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．已知eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝－5，那么tanα＝________．解析：易知cosα≠0，由eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝－5，得eq\f(tanα－2,3tanα＋5)＝－5，解得tanα＝－eq\f(23,16).答案：－eq\f(23,16)9．化簡下列各式：(1)eq\f(sin760°,\r(1－cos240°))；(2)tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)(其中α是其次象限角)．解：(1)eq\f(sin760°,\r(1－cos240°))＝eq\f(sin（2×360°＋40°）,\r(sin240°))＝eq\f(sin40°,|sin40°|)＝eq\f(sin40°,sin40°)＝1.(2)因為α是其次象限角，所以sinα>0，cosα<0.故tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)＝tanαeq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,sinα)))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\f(－cosα,sinα)＝－1.10．求證：sinα(1＋tanα)＋cosα·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanα)))＝eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,cosα).證明：左邊＝sinαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sinα,cosα)))＋cosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(cosα,sinα)))＝sinα＋eq\f(sin2α,cosα)＋cosα＋eq\f(cos2α,sinα)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinα)＋eq\f(sin2α＋cos2α,cosα)＝eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,cosα)＝右邊．即原等式成立．[B實力提升]11．若△ABC的內(nèi)角A滿意sinAcosA＝eq\f(1,3)，則sinA＋cosA的值為()A.eq\f(\r(15),3) B．－eq\f(\r(15),3)C.eq\f(5,3) D．－eq\f(5,3)解析：選A.因為A為△ABC的內(nèi)角，且sinAcosA＝eq\f(1,3)＞0，所以A為銳角，所以sinA＋cosA＞0.又1＋2sinAcosA＝1＋eq\f(2,3)，即(sinA＋cosA)2＝eq\f(5,3)，所以sinA＋cosA＝eq\f(\r(15),3).12．若角α的終邊在直線x＋y＝0上，則eq\f(sinα,\r(1－cos2α))＋eq\f(\r(1－sin2α),cosα)＝________．解析：因為eq\f(sinα,\r(1－cos2α))＋eq\f(\r(1－sin2α),cosα)＝eq\f(sinα,|sinα|)＋eq\f(|cosα|,cosα)，又角α的終邊落在x＋y＝0上，故角α的終邊在其次、四象限，當α在其次象限時，原式＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(－cosα,cosα)＝0，當α在第四象限時，原式＝eq\f(sinα,－sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝0.綜上所述，原式＝0.答案：013．已知sinα＝eq\f(1,3)，求eq\f(1－2sinαcosα,（2cos2α－1）（1－tanα）)的值．解：eq\f(1－2sinαcosα,（2cos2α－1）（1－tanα）)＝eq\f(（sinα－cosα）2,（2cos2α－sin2α－cos2α）（1－tanα）)＝eq\f(（cosα－sinα）2,（cosα＋sinα）（cosα－sinα）（1－tanα）)＝eq\f(cosα－sinα,（cosα＋sinα）（1－tanα）)＝eq\f(1－tanα,（1＋tanα）（1－tanα）)＝eq\f(1,1＋tanα)，當角α是第一象限角時，cosα＝eq\f(2\r(2),3)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(2),4)，所以原式＝eq\f(1,1＋\f(\r(2),4))＝eq\f(8－2\r(2),7)；當角α是其次象限角時，cosα＝－eq\f(2\r(2),3)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(2),4)，所以原式＝eq\f(1,1－\f(\r(2),4))＝eq\f(8＋2\r(2),7).14．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，且0<θ<π.(1)求tanθ的值；(2)求eq\f(sin2θ,cos2θ－2sinθcosθ)的值．解：(1)因為sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，①所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(1,25)，所以2sinθcos