第二章 圓錐曲線 單元測試（含解析）-2024-2025學年高二上學期數學北師大版（2019）選擇性必修第一冊

第二章圓錐曲線單元測試學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知是橢圓上的點，則的值可能是（

）A．13 B．14 C．15 D．162．在平面直角坐標系中，已知雙曲線左、右頂點為A，B，若該雙曲線上存在點P，使得的斜率之和為1，則該雙曲線離心率的范圍為（

）A． B． C． D．3．已知橢圓的左頂點為，上頂點為，右焦點為F，的中點為M，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一點，若已知過點且與橢圓相切的切線方程為，垂直于直線且與軸交于點，若為的中點，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．已知，點P滿足，動點M，N滿足，，則的最小值是（

）A．3 B． C．4 D．6．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，過的直線與圓相切于點Q，與雙曲線的右支交于點P，若線段的垂直平分線恰好過右焦點，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．2二、多選題7．過橢圓的中心任作一直線交橢圓于P，Q兩點，，是橢圓的左、右焦點，A，B是橢圓的左、右頂點，則下列說法正確的是（

）A．周長的最小值為18B．四邊形可能為矩形C．若直線PA斜率的取值范圍是，則直線PB斜率的取值范圍是D．的最小值為-18．法國著名數學家蒙日首先發(fā)現橢圓兩條互相垂直的切線的交點軌跡是以橢圓的中心為圓心的圓，后來這個圓被稱為蒙日圓．已知橢圓，其蒙日圓為圓，過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則下列選項正確的是（

）A．圓的方程為 B．四邊形面積的最小值為4C．的最小值為 D．當點為時，直線的方程為三、填空題9．若拋物線的準線與直線間的距離為3，則拋物線的方程為.10．已知拋物線，點和為此拋物線的兩個內接三角形（即三角形的三個頂點均在拋物線上），且均以點為直角頂點，則直線與直線的交點坐標為．11．設曲線上的動點與定點的距離和點到定直線的距離的比為.傾斜角為的直線經過點與曲線交于兩點（點位于軸上方），則.12．已知橢圓的左、右焦點分別為，，M是C上的動點，的面積的最大值為3，則C的長軸長的最小值為．四、解答題13．已知橢圓的離心率為，且過點．若斜率為的直線與橢圓相切于點，過直線上異于點的一點，作斜率為的直線與橢圓交于兩點，定義為點處的切割比，記為．(1)求的方程；(2)證明：與點的坐標無關；(3)若，且（為坐標原點），則當時，求直線的方程．14．已知直線軸，垂足為軸負半軸上的點，點關于坐標原點的對稱點為，且，直線，垂足為，線段的垂直平分線與直線交于點．記點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程．(2)已知點，不過點的直線與曲線交于M，N兩點，以線段為直徑的圓恒過點，試問直線是否過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．15．已知雙曲線的右頂點為，雙曲線的左?右焦點分別為，且，雙曲線的一條漸近線方程為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)已知過點的直線與雙曲線右支交于兩點，點在線段上，若存在實數且，使得，證明：直線的斜率為定值.16．已知橢圓的左、右兩個焦點分別是F1，F2，焦距為2，點M在橢圓上且滿足MF2⊥F1F2，|MF1|＝3|MF2|.(1)求橢圓C的標準方程；(2)點O為坐標原點，直線l與橢圓C交于A，B兩點，且OA⊥OB，證明為定值，并求出該定值.參考答案：題號12345678答案ADCCAAACBD1．A【分析】根據題意，可設，得到，求得的取值范圍，即可求解.【詳解】由橢圓，可設，其中，則，其中，因為，所以，即的取值范圍為，結合選項，可得A符合題意.故選：A.2．D【分析】由題可得與雙曲線有公共點，據此可得答案.【詳解】易知，設，則，所以，又，所以，即，所以，即直線與雙曲線有公共點.聯(lián)立與雙曲線方程，有，消去得：，則要使方程有根，需使.故選：D3．C【分析】由橢圓的標準方程寫出A、B、F點的坐標，則坐標可求，然后結合數量積公式得到的等量關系式，結合可得離心率的值.【詳解】根據橢圓方程，可得，，，，利用，整理得，把，代入得.又，所以，離心率，故選：C.4．C【分析】根據求出直線的方程，令，得點的橫坐標，再根據為的中點，求出，，再根據離心率公式可求出結果.【詳解】因為在橢圓上，所以，若，則，不符合題意，所以.由切線的方程得切線斜率，由得的斜率，所以直線的方程為，令，得，因為，所以，因為為的中點，且，所以，又，聯(lián)立可得，，所以該橢圓的離心率．故選：C．5．A【分析】根據題意先求出點P的軌跡方程，再根據知求的最小值即求的最小值．【詳解】解：由題意知不妨設點P的軌跡為以為焦點的雙曲線的左支，設雙曲線的標準方程為，則，，∴點P的軌跡方程是，，∴為M、N的中點，，，，∴的最小值為3，當點P在雙曲線的左頂點時取等號．故選：A．6．A【分析】根據題意畫出草圖，由題意O為的中點可得，求出，即可得到，，根據雙曲線定義推得長度，在直角三角形中用勾股定理即可找到之間的關系，即可求得離心率.【詳解】設的焦距為，則，由題意過的直線與圓相切于點Q，連接,則,連接,設M為的中點，則,則,因為O為的中點，故Q為的中點，即,在中，，故，則，由于M為的中點，所以,即,在雙曲線中，P在右支上，有，所以，又，所以在中，,即，化簡得，故雙曲線的離心率為，故選：A【點睛】關鍵點點睛：要求雙曲線的離心率，即要求出之間的關系，因而解答本題時，根據題意推出相關線段的長，特別是，繼而在中應用勾股定理即是關鍵所在.7．AC【分析】A由橢圓對稱性及定義有周長為，根據橢圓性質即可判斷；B根據圓的性質，結合橢圓方程與已知判斷正誤；C、D設，利用斜率兩點式可得，進而判斷C正誤，應用向量數量積的坐標表示列關于的表達式，結合橢圓有界性求最值.【詳解】A：根據橢圓的對稱性，，當PQ為橢圓的短軸時，有最小值8，所以周長的最小值為18，正確；B：若四邊形為矩形，則點P，Q必在以為直徑的圓上，但此圓與橢圓無交點，錯誤；C：設，則，因為直線PA斜率的范圍是，所以直線PB斜率的范圍是，正確；D：設，則．因為，所以當時，最小值為，錯誤.故選：AC．8．BD【分析】利用橢圓的性質，找特殊位置容易求得圓的方程，結合直線與圓的位置關系，可以推出.【詳解】當切線的切點分別為橢圓上頂點和右頂點時，可以得到兩切線的交點為，所以蒙日圓的方程為，故A不正確；四邊形面積為：，只需求出的最小值，而的最小值為點到直線的距離，所以的最小值為，故B正確；設,則，故，所以，又，當且僅當取等號，而的最小值，故的最小值8，故等號取不到，故C不正確；當點為時，點，，，四點共以為直徑圓上，所以這個圓的方程為，與圓方程聯(lián)立，可得直的方程為，故D正確.故選：BD.【點睛】易錯點睛：C選項中等號取不到，容易出錯，同時考查推理運算能力.9．或【分析】先求出拋物線的準線，再根據距離列方程求解即可.【詳解】拋物線的準線為，則，解得或，故拋物線的方程為或.故答案為：或.10．【分析】設，求出直線的方程，又得，與直線的方程作比較可得直線過定點，同理直線過相同定點可得答案．【詳解】設，則，即，又，則有，則對于而言，當x=-1時，，即直線AB過定點．同理，也過定點，則可知直線和的交點坐標為．故答案為：．11．/【分析】根據兩點距離公式以及點到直線距離公式，建立并整理可得軌跡方程，根據傾斜角與已知點，寫出直線方程，聯(lián)立方程，求得交點的坐標，結合圖象，可得答案.【詳解】設，則，點到直線的距離，由題意可知，則，化簡得，直線的斜率，由，則直線的方程為.設，，消去可得，解得，，.故答案為：.12．【分析】由橢圓得性質與基本不等式求解【詳解】由題意知，所以，故C的長軸長．故答案為：13．(1)(2)證明見解析(3)或．【分析】（1）根據橢圓離心率得，又在橢圓上得，聯(lián)立可得結果；（2）設點，直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，由直線與橢圓相切，得，并求，設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程結合韋達定理，求出，利用化簡可得結果；（3）由（2）可知切點，得，結合已知進而可得直線的方程，聯(lián)立橢圓方程求T點坐標，從而求出直線的方程.【詳解】（1）設橢圓的半焦距為，由題意知，，所以，解得．又橢圓過點，所以，結合，解得，所以的方程為．（2）設點，直線的方程為，由，消去，得，，由直線與橢圓相切，得．設切點，則，，所以，設直線的方程為，聯(lián)立由，消去，得，設Ax1,y1,B所以，易知，點在橢圓外，所以，所以，．由，得，即．因為．所以，所以．所以，與點的坐標無關．（3）由（2）得，，所以，因為，所以①，又，所以②，由①②解得或（舍去）．所以直線的方程為，由，解得或故切點的坐標為或．所以直線的方程為或．【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題，往往需聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消元并結合韋達定理，運用弦長公式、點到直線距離公式、斜率公式、向量數量積公式進行轉化變形，結合已知條件得出結果.14．(1)(2)定點為，理由見解析【分析】（1）根據垂直平分線性質，結合拋物線定義可解；（2）設直線，聯(lián)立拋物線方程消去x，由結合韋達定理可得m，n的關系，代入直線方程即可判斷.【詳解】（1）由題意可得，即點到點的距離等于點到直線的距離．因為，所以的方程為，，則點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，故點的軌跡的方程為．

（2）由題意可知直線的斜率不為0，則設直線，，．聯(lián)立整理得，從而，．因為以線段為直徑的圓恒過點，所以，即．因為，，所以，即，所以，即，即，所以，即或．當時，直線的方程為，即，此時直線過點，不符合題意，當時，，且直線，即，過定點，滿足題意，故直線過定點．

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.15．(1)(2)證明見解析.【分析】（1）根據雙曲線的漸近線方程可得，結合計算即可求解；（2）設Ax1,y1,Bx2,y2，【詳解】（1）設雙曲線的半焦距為，由，得，即，所以，又雙曲線的一條漸近線方程為，所以，解得，故雙曲線的方程為.（2）設直線與雙曲線交于Ax1,y因為存在實數且，使得，所以，，整理得：①，②，得③，同理④，⑤，得⑥，由于雙曲線上的點的坐標滿足，③-⑥得，即，又，所以，表示點在直線上，又也在直線上，所以直線的斜率為（定值）.

【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．16．(1)(2)證明見解析，【分析】(1)由焦距長可得c，由|MF1|＝3|MF2|，根據橢圓的定義，及勾股定理可得a，再由a2＝b2+c2，可得b，進而可得橢圓的方程.(2)分兩種情況：當直線l的斜率存在時，當直線l的斜率不存在時，直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得關于x的一元二次方程，由韋達定理可得x1+x2，x1x2，再由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2＝0，進而得3m2＝2(1+k2)，再計算，即可得出答案.【詳解】（1）依題意|F1F2|＝2c＝2，所以c＝1.由|MF1|＝3|MF2|，|MF1|+|MF2|＝2a，得,,于是，所以,所以b2＝a2﹣c2＝1，因此橢圓C的方程為（2）證明：當直線l的斜率存在時，設直線AB：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，由題