數(shù)學(xué)物理方法(第3版)課件：格林函數(shù)法求解數(shù)理方程

前面幾章已經(jīng)介紹了分離變量法、行波法和積分變換法。這一章要討論關(guān)于邊值問題的格林函數(shù)法，它也是求解數(shù)理方程的一種有效方法。首先，用高斯公式建立了格林公式；然后用格林函數(shù)的概念，討論了如何用格林函數(shù)求解有界區(qū)域和無界區(qū)域的邊值問題；介紹了電象法求格林函數(shù)和正交函數(shù)展開求解格林函數(shù)。

格林函數(shù)法求解數(shù)理方程2§

9.1

格林公式及其在數(shù)理方程中的應(yīng)用§

9.2

格林函數(shù)與場位方程的解

§

9.3

格林函數(shù)法解定解問題

格林函數(shù)法求解數(shù)理方程3

§

9.1.1

格林公式§

9.1.2

泊松方程的積分表達式9.1

格林公式及其在數(shù)理方程中的應(yīng)用49.1.1

格林公式格林公式的概念可以從曲面積分中引出。設(shè)業(yè)是足夠光滑的曲面習(xí)所圍成的有界區(qū)域，而

P(x,y,z)，Q(x,y,z)和R(x,y,z)在業(yè)+習(xí)上連續(xù)，且在其內(nèi)部有

一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，這個曲面的面積公式是式中的d

是習(xí)的外法向矢量。式(9.1－1)可以導(dǎo)出格林第一公式和格林第二公式。S一j

jj

+

+

))||dV

=

jj(Pi一

+

j一Q

+

Rk一)d習(xí)VS一(9.1-1)59.1.1

格林公式定理

9.1

格林第一公式設(shè)函數(shù)u(x,y,z)和v(x,y,z)在Q+x

上有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，在Q內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，則有jj(juV2v)dV

=

jju

dS

一

j

jjVu.VvdV

(9.1-2)式中n

為x的外法線方向。QxQ69.1.1

格林公式證令P

=u

，Q

=u

，R

=u

，則有j

jj

++))|dV

=j

jj

?x

dV=

jjjvu.vvdV

+

jjjuv2

vdV

(9.1-3)Q

Q))|))|))|.?x2?x2?x2?2v.?v?vQQ2v.?y?2?y?u7根據(jù)式(9.1-1)，式(9.1-3)和(9.1-4)是相等的，整理后可得到j(luò)j(Pi一

+

j一Q

+

Rk一).

dS一x=

jju

i一

+

j一

+

k一))|d

=

jju

dSxxS一jj(juV

v)dV

=

jju

dS

_

j

jjVu

.

VvdVQx2Q9.1.1

格林公式(9.1-4)[證畢]89.1.1

格林公式定理

9.2

格林第二公式對滿足定理9.1的函數(shù)u(x,y,z)和v(x,

y,z)，有jj(juv2v

一

vv2u

)dV

=

jj

u

一

v

))|dS

(9.1-5)證

jj(juv2v)dV

=

jju

dS

一

j

jjvu.vvdV

(9.1-2)交換式(9.1-2)的u

和v

的位置，可以得到j(luò)j(jvv2u

)dV

=

jjv

dS

一

j

jjvv.vudV

(9.1-6)式(9.1-2)和(9.1-6)相減后就得到(9.1-5)式。[證畢]Q習(xí)QQ習(xí)Q習(xí)Q99.1.2

泊松方程的積分表達式下面把泊松方程的解用積分公式表達出來。設(shè)有泊松方程的定解問題上式中的x是Q

的界面。先求u(r

)的積分表達式。為此，設(shè)矢徑r

=

(x

_

x0

)i

+

(y

_

y0

)j

+

(z

_

z0

)k

，它的模為(|V2u

=

_F

(x,

y,

z

),

(x,

y,

z=Q)

〈|lu

x

=

f

(r)

或

=

g(r)xx

(x

_x0

)2

+(y

_y0

)2

+(z

_z0

)2(9.1-8)(9.1-7)r

=10由于v

=在內(nèi)有奇點M0

(x0

,y0

,z0

)，作一個以M0

為中心，以充分小的正數(shù)c為半徑的球面Mc

，在內(nèi)挖去xc

所包圍的區(qū)域

c，得到區(qū)域c

如圖9.1所示。

z

yx11v

=

r

=

9.1.2

泊松方程的積分表達式

M

M0cc圖9.1

泊松方程的求解區(qū)域

c(9.1-9)構(gòu)造函數(shù)1109.1.2

泊松方程的積分表達式在Q-Qc

區(qū)域內(nèi)，設(shè)u

在邊界面上有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，在Q內(nèi)

有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，根據(jù)格林第二公式(9.1－5)可以得到j(luò)jj

uv2

-

v2u))|dV

=

j

u

-

))|dS

(9.1-10)把(9.1-7)的v2u

=-F(r

)和v2

=0代入上式，式(9.1-10)的左邊是習(xí)習(xí)Q-QQ-QQ-Qjjj

uv2

-

v2u))|dV

=

jjj

dVc

cQ-QQ-QQ-QQ-QQ-QQ-Q(9.1-11)c

c129.1.2

泊松方程的積分表達式現(xiàn)求方程(9.1-10)的右邊值。設(shè)球體業(yè)的半徑是G

，在球面xG

上有?(1

r

)

?(1

r

)

1

1

=-=

=因此得到j(luò)ju

dS

=

jjudS

=

<

u

>

4TG2

=

4T

<

u

>

(9.1-12)式中<u

>為u

在球面xG

上的平均值。式(9.1-10)的右邊第二個積

分在xG

為GxGxjj

dS

=

jj

dS

=

4TG

<

>GxGx?n

?r

r

2

G2(9.1-13)13=

jj

u

))|-

dS

+

4"

<

u

>

-4"c

<

>式(9.1-14)和(9.1-11)是相等的，因此得到4"

<

u

>

-c

<

>

=

-jj

u

))|-

dS

+

jjj

dVQ-QQ-QQ-Q習(xí)習(xí)?u

?u式中?n

是?n

在球面習(xí)c

上的平均值，因此有j

u

-

))||dS

=

jj

u

))|

-

dS

+

jj

u

))|

-

dS習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)習(xí)c習(xí)習(xí)c習(xí)習(xí)9.1.2

泊松方程的積分表達式(9.1-14)(9.1-15)14c對式(9.1-15)兩邊取極限，注意到lim

<u

>=u(x0

,y0

,z0

)；而且u(x,y,z)是一階連續(xù)可導(dǎo)，因此有界，G

<>=0；

另有QG

=0，(Q-QG

)=Q。式(9.1-15)可簡化為u(x0

,

y0

,

z0

)

=

jjj

dV

-

jj

u

))|-

dS

(9.1-16)式(9.1-16)雖然把泊松方程的解表示成一個積分的形式，但是，這個式子不能直接應(yīng)用到泊松方程的定解問題中。xGQ-QQ-QQ-QG)0limG)0limG)0lim9.1.2

泊松方程的積分表達式G)0159.1.2

泊松方程的積分表達式觀察式(9.1-16)的右邊可以看到，這個解中既有第一類邊界條件jju

))|dS，又有第二類邊界條件項jj

dS

。對于一個泊松方程的定解問題(9.1-7)和(9.1-8)

來說，8.1.3已經(jīng)介紹了，橢圓型方程不能同時給定第一類邊界條件和第二類邊界條件。這意味著u(x0

,y0

,z0

)的第一類邊界條件由式(9.1-8)給定了以后f

(寫)，第二類邊界條件并不能預(yù)先知道。所以求解u(x0

,y0

,z0

)不能直接引入，而要引入一個新的函數(shù)。這個新引入的函數(shù)要使積分表達式(9.1-16)中不再含有第二類邊

界條件，這個函數(shù)就是格林函數(shù)。寫寫16§

9.2.1

有界空間格林函數(shù)的定解問題與泊松方程的解9.2

格林函數(shù)與場位方程的解§

9.2.2

無界空間格林函數(shù)與泊松方程的解179.2.1有界空間格林函數(shù)的定解問題與泊松方程的解下面就泊松方程討論如何引入格林函數(shù)，以及用格林函數(shù)法如何求泊松方程的解。定義r

xi

yj

zk

，r0

x0

i

y0

j

z0

k

，r0

是場位問題的奇異點。例如，點電荷的泊松方程中，r0

是點源電荷的位置，r

是源激發(fā)場的位置矢量。的解G(r;r0

)為場位方程第一類邊值問題的格林函數(shù)。式(9.2.1)和式(9.1.7)對比可知，G(r;r0

)相當(dāng)于u(r)，即G(r;r0

)表示點源量激發(fā)下的勢函數(shù)。稱定解問題

2

G(r;r0

)(r

r0

),

r,r0

G(r;r0

)0(9.2.1)189.2.1有界空間格林函數(shù)的定解問題與泊松方程的解下面討論格林函數(shù)的重要性質(zhì)。定理9.3格林函數(shù)的對稱性設(shè)G(r;r0

)是場位方程第一類邊值問題的格林函數(shù)，存在r1

=x1i

+y1j

+z1k

和r2

=x2

i

+y2

j

+z2

k

，且r1

,r2

=Q

，則有G(r2

;r1

)=G(r1

;r2

)

(9.2.2)證由格林函數(shù)定義，G(r;r1

)和G(r;r2

)分別滿足邊值問題(|V2

G(r;r1

)=一6(r

一r1

),r,r1

=Q(|V2

G(r;r2

)=一6(r

一r2

),r,r2

=Q〈|lG(r;r2

)x

=0〈|lG(r;r1

)x

=0和19其中習(xí)是o

的界面。根據(jù)格林第二公式，可得G(r2

;

r1

)

-

G(r1

;

r2

)

=

jjjo

G(r;

r1

)6(r

-

r2

)d

V

-

jjjo

G(r;

r2

)6(r

-

r1

)d

V=

-jjjo

G(r;

r1

)V2

G(r;

r2

)d

V

+

jjjo

G(r;

r2

)V2

G(r;

r1

)d

V=

-jjjo

G(r;r1

)V2

G(r;

r2

)

-

G(r;

r2

)V2

G(r;r1

)

d

V=-j習(xí)

G(r;r1

)-G(r;r2

)dS=-j習(xí)

0.-0.dS

=09.2.1有界空間格林函數(shù)的定解問題與泊松方程的解式(9.2.2)成立。[證畢]209.2.1有界空間格林函數(shù)的定解問題與泊松方程的解格林函數(shù)的對稱性的物理意義是位于r1

點的點源在一定的邊界條件下在r2

產(chǎn)生的場，等于把這個點源移置r2

點在同樣邊界條件下在r1

點產(chǎn)生的場，這個性質(zhì)在物理上通常稱作互易性。第一類邊值問題格林函數(shù)的對稱性非常重要，下面求泊松方程解的積分表達式就要用到這個對稱性。219.2.1有界空間格林函數(shù)的定解問題與泊松方程的解設(shè)有第一類邊值問題是〈

)

(r

=業(yè))(9.2.3)相應(yīng)的格林函數(shù)G(r;r0

)滿足方程(|v2

G(r;r0

)=-b(r

-r0

)將格林第二公式(9.1.5)的v

取做G(r;r0

)，得到j(luò)j習(xí)

u

-

G(r;

r0

)

dS

=

jjj業(yè)

uv2

G(r;

r0

)

-

G(r;

r0

)v2u

d

V

(9.2.5)習(xí)r〈

(9.2.4)|lG

習(xí)

=

022jjj業(yè)

uv2

Gd

V

=

jjj業(yè)

u(r)

[-6(r

-

r0

)]

d

V

=

-u(r0

)jjj業(yè)

G(r;

r0

)v2ud

V

=

jjj業(yè)

G(r;

r0

)

[-F

(r)]d

V

=

-jjj業(yè)

G(r;

r0

)F(r)

d

V上兩式代入式(9.2.5)得到j(luò)jx

u

-

G(r;

r0

)

dS

=

-u(r0

)

+

jjj業(yè)

G(r;

r0

)F(r)

d

Vu(r0

)

=

-jjx

u

-

G(r;

r0

)

dS

-

jjj業(yè)

G(r;

r0

)F(r)

d

V

(9.2.6)9.2.1有界空間格林函數(shù)的定解問題與泊松方程的解239.2.1有界空間格林函數(shù)的定解問題與泊松方程的解把變量r0

與r

符號對換，得到u(r)

=

-jj習(xí)

u(r0

)

-

G(r0

;

r)

dS0

-

jjjo

G(r0

;

r)F(r0

)

d

V0根據(jù)定理9.3得到G(r0

;r)=G(r;r0

)，于是上式成為u(r)=jjjo

G(r;r0

)F(r0

)d

V0

-jj習(xí)

u(r0

)-G(r;r0

)dS0由于G(r;r0

)習(xí)

=0和u(r0

)習(xí)

=f(r0

)，是得到u(r)

=

jjjo

G(r;

r0

)F(r0

)

d

V0

-

jj習(xí)

f

(r0

)

dS0

(9.2.7)249.2.1有界空間格林函數(shù)的定解問題與泊松方程的解上述討論結(jié)果綜合在一起，可以得到以下結(jié)論：定理9.4要求解泊松方程的第一類邊值問題〈

)(r

=業(yè))

(9.2.3)可以先求格林函數(shù)的定解問題習(xí)r(|v2

G(r;r0

)=-b(r

-r0

)(r0

,r

=業(yè))根據(jù)格林函數(shù)G

，可以得到定解問題的解是u(r)

=

jjj業(yè)

G(r;

r0

)F(r0

)

d

V0

-

jj習(xí)

f

(r0

)

dS0〈|lG

習(xí)

=

0(9.2.7)(9.2.4)259.2.1有界空間格林函數(shù)的定解問題與泊松方程的解根據(jù)計算習(xí)慣和格林函數(shù)的對稱性，將積分變量r0

與r

對換，上式又可寫成u(r0

)

=

jjj

G(r;

r0

)F(r)

d

V

jj

f

(r)

dS

(9.2.8)式(9.2.7)或式(9.2.8)中只有第一類邊界條件u(r)=f(r)，沒有式(9.1.16)的第二類邊界條件，故解存在。式(9.2.8)中，只要令F(r)=

0，其結(jié)果就是拉普拉斯方程第一類邊值問題的解。前面三維泊松方程的第一類邊值問題的結(jié)論對于二維的情況完全適用，只需將矢徑定義為r

=xi

+yj

和r0

=x0

i

+y0

j

，區(qū)域改為平面區(qū)域D

，三重積分換做二重積分，二重積分改成線積分即可，這里不再重復(fù)。269.2.1有界空間格林函數(shù)的定解問題與泊松方程的解從以上求解過程可以看到，所謂的格林函數(shù)就是定解問題的解，這個

定解問題的泛定方程和原來定解問題的泛定方程相同，只是泛定方程的自由項改為-(r

-r0

)，邊界條件改為齊次邊界條件。用類似的方法可以討論第二類和第三類邊界條件下的定解問題，但是要注意的是，在這種定義下的格林函數(shù)并不都有解，在某些情況下可能無解。27例如第二類邊界條件的格林函數(shù)是(|v2

G(r;

r0

)

=

-6(r

-

r0

)〈|l

=

0

(9.2.9)因為

jjj業(yè)

v2

G(r;

r0

)

d

V

=

jx

dS

=

jx

0

dS

=

0

，但是泛定方程右邊

的積分值是jjj業(yè)

[-6(r

-

r0

)]d

V

=

-

1，泛定方程在第二類齊次邊界條件下不成立，也就是格林函數(shù)G(r;r0

)不存在。這意味著按此方法定義的格林函數(shù)

不存在，需要重新引進格林函數(shù)的定義，這里限于課程的要求，不再討論。9.2.1有界空間格林函數(shù)的定解問題與泊松方程的解28

2u(r)=F(r)

(9.2.10)對應(yīng)的格林函數(shù)是

2

G(r;r0

)=6(r

一r0

)(9.2.11)為了與大部分文獻一致，這里的定解問題比式(9.2.1)右邊少了一個負號，這樣得到的格林函數(shù)又稱為是方程的基本解。上節(jié)已經(jīng)討論有限區(qū)域的格林函數(shù)解法，一般情況下格林函數(shù)很難求解，其原因很大程度是由于邊界條件引起的。這里將討論沒有邊界條件格林函數(shù)的解法，即無界空間格林函數(shù)解法。設(shè)定解問題是9.2.2

無界空間格林函數(shù)與泊松方程的解29式(9.2.11)有兩種情況：三維和兩維無界空間。先求解三維無界空間格林函數(shù)。設(shè)r

=xi

+yj

+zk

，r0

=x0

i

+y0

j

+z0

k

，定義ρ

=(x

-x0

)i

+(y

-y0

)j

+(z

-z0

)k

(9.2.12)于是式(9.2.11)變成V2

G(ρ)=6(ρ)

(9.2.13)上式簡化為p2

))|

=

09.2.2

無界空間格林函數(shù)與泊松方程的解解方程(9.2.13)，在ρ

豐0處，解函數(shù)在空間是對稱的，根據(jù)方程(5.1.15)其中p

=(x

-x0

)2

+(y

-y0

)2

+(z

-z0

)2

。(9.2.14)30式(9.2.14)的解是G(p)=+c2

(9.2.15)解函數(shù)G(p)=+c2

在p

豐0處滿足方程(9.2.13)，剩下的問題是要證明V2

+

c2

))|在

p

=

0

是

6

函數(shù)。顯然，

p

=

0

是V2

+

c2

))|在區(qū)域業(yè)

上的奇異

點，

因此按

6

函數(shù)定義

2.1，只要證jjj業(yè)

V2

+

c2

))|d

V

=

jjj業(yè)

6(ρ)

d

V

=

1即可。9.2.2

無界空間格林函數(shù)與泊松方程的解319.2.2

無界空間格林函數(shù)與泊松方程的解證明如下：以奇異點p

=0為球心，作一個小球Qc

，其半徑p

=c

。對v2

+c2

))|積分，由于

p

豐

0

時v2

+

c2

))|

=

0

，于是有用高斯定理得到j(luò)jjQc

v2

+

c2

))|d

V

=

jjjQc

v

.

v

+

c2

))|d

V

=

jxc

v

+

c2

))|.

dS(9.2.17)c)0limc)0limc)0limjjjQ

v2

+

c2

))|d

V

=

jjjQc

v2

+

c2

))|d

Vc)0lim(9.2.16)329.2.2

無界空間格林函數(shù)與泊松方程的解將條

+

c2

))|

=

-

代入上式，上式為

jxG

條

+

c2

))|.

dS

=

jxG

-))|dS

=

-

jxG

dS

=

-

.

4"G2

=

-4"c1(9.2.18)從式(9.2.13)可知式(9.2.18)積分值應(yīng)當(dāng)是1，于是有-4"c1

=1，c1

=-，式(9.2.16)的值是jjj業(yè)

條2

-

+

c2

))|d

V

=

jjj業(yè)

條2

-

+

c2

))|d

V

=

-4"

.

-))|=

1

(9.2.19)jjj業(yè)

條2

-

+

c2

))|d

V

=

1

得證。GGG)0limG)0limG)0limG)0lim33由于c2

是任意常數(shù)，通常取c2

=0，式(9.2.13)的解是G(r;

r0

)

=

G(p)

=

一

4

p

=

一

4

.

(x

一

x

)2

+

(y

1一y

)2

+

(z

一

z

)2

(9.2.20)式(9.2.20)是無窮空間格林函數(shù)。0000000000000000000幾1幾19.2.2

無界空間格林函數(shù)與泊松方程的解349.2.2

無界空間格林函數(shù)與泊松方程的解二維無界空間的格林函數(shù)求解類似上述過程。設(shè)r

=xi

+yj

，r0

=x0

i

+y0

j

，再定義二維矢徑是R

=(x

-x0

)i

+(y

-y0

)j

(9.2.21)格林函數(shù)方程是V2

G(R)=6(R)

(9.2.22)由于解函數(shù)在平面是對稱的，R

豐0，根據(jù)式(4.5.26)，方程(9.2.22)化簡為其中R

=(x

-x0

)2

+(y

-y0

)2

。R

))|=

0(9.2.23)359.2.2

無界空間格林函數(shù)與泊松方程的解式(9.2.23)的解是G(R)=c1

ln

R

+c2

(9.2.24)參考三維格林函數(shù)計算過程可知，需要證明jjD

2

G(R)dR

=

jjD

2

(c1

ln

R

+

c2

)dA

=

1以R

=0為原點作半徑為的圓。由于R0處2

(c1

ln

R

+c2

)=

0，于是jjD

2

(c1

ln

R

+

c2

)

dA

=

jjD

2

(c1

ln

R

+

c2

)

dA

=

jjD

.

(c1

ln

R

+

c2

)

dA=

C

(c1

ln

R

+

c2

)

.

dl

=

C

dl

=

C

dl=lim

c1

.2幾

=2幾c1(9.2.25)

0lim

0lim

0lim

0lim

0lim

0

36與三維情況類似，也有2c1

=1，c1

=。取c2

=0，得到二維無界空間格林函數(shù)是G(r;r0

)=G(R)=ln

R

=ln

(9.2.26)9.2.2

無界空間格林函數(shù)與泊松方程的解379.2.2

無界空間格林函數(shù)與泊松方程的解為何稱無界空間格林函數(shù)G(r;r0

)為方程2u

=f(r)的基本解？有以下定理定理9.5設(shè)L

是實變量空間R

關(guān)于自變量x,y,z

的常系數(shù)線性偏微分算子。如果f(M)是連續(xù)函數(shù)，G(M)滿足方程LG(M)=6(M)則卷積u

=

G

*

f

=

jR

G(M

一

M0

)f

(M0

)dM0滿足非齊次方程Lu

=f(M

)(9.2.27)(9.2.29)(9.2.28)38事實上，LG(M)=(M)，有LG(M

-M0

)=(M

-M0

)

。式(9.2.28)為Lu

=

L(G

*

f

)

=

L

jR

G(M

-

M0

)f

(M0

)dM0

交換求導(dǎo)與積分次序，上式為Lu

=L(G

*f)=jR

LG(M

-M0

)f(M0

)dM0

=jR

(M

-M0

)f(M0

)dM0

=f(M0

)根據(jù)定理9.5可得到方程(9.2.10)的解是u(r)=G(r;r0

)*f(r)=jR

G(r

-r0

)f(r0

)dr0

(9.2.30)9.2.2

無界空間格林函數(shù)與泊松方程的解399.2.2

無界空間格林函數(shù)與泊松方程的解考慮一個實際例子，如果點電荷放在坐標原點，點電荷電勢G(r;0)滿

足方程

2

G(r;0)=

(r)上式的解由(9.2.20)給出，解是G(r;0)=-?？臻gR

內(nèi)密度為p(r)

的電荷分布產(chǎn)生的電勢滿足方程

2u

=

-

式中cr

是介電常數(shù)。40由式(9.2.30)電勢的解是u(r)=G(r;0)*_=_*_=

*p(r)=

jjjQ

=

jjjQ

上面的電勢公式在物理學(xué)中稱為電勢疊加定理。9.2.2

無界空間格林函數(shù)與泊松方程的解41§

9.3.1

用電象法求格林函數(shù)§

9.3.2

用正交函數(shù)展開法求格林函數(shù)9.3

格林函數(shù)法解定解問題429.3.1

用電象法求格林函數(shù)電象法的基本思想是根據(jù)(9.2-1)和(9.2-2)得到的。由(9.2-1)可知，格林函數(shù)與原定解問題的邊界條件無關(guān)，它僅取決于拉普拉斯方程在一個固定邊界條件下的解，只要設(shè)法

讓所得到的函數(shù)在某一個區(qū)域內(nèi)部滿足拉普拉斯方程，在邊界上滿足(9.2-2)就可以了。而式(9.2-2)類似于靜電學(xué)中一個單位負電荷在邊界上感應(yīng)的電勢，因此可以在區(qū)域外找出這一點的象電荷，然后把這個象點放置適當(dāng)?shù)恼姾桑伤a(chǎn)生的正電勢和源點產(chǎn)生的負電勢

相抵消為零，易知源點和象點的迭加電勢就是格林函數(shù)。例9.1例9.243從前面章節(jié)的式(9.2-13)和(9.2-14)可知，所謂的格林函數(shù)實際

上是非齊次定解問題的解，只是泛定方程的自由項是函數(shù)，而邊界條件是齊次的，因此可以用分離變量法來求格林函數(shù)，但是這樣得到的格林函數(shù)是無窮級數(shù)，下面是一矩形區(qū)域的格林函數(shù)法求定解問題的例子。另一個求格林函數(shù)的方法是不直接求格林函數(shù)的定解問題(9.1-7)和

(9.1-8)，而是選取一個正交函數(shù)系來直接展開求解，但是這個正交函數(shù)系應(yīng)當(dāng)滿足定解問題的邊界條件，下面用一個簡單例子說明。9.3.2

用正交函數(shù)展開法求格林函數(shù)例9.3例9.444

|(

f

(x

,

t),

(0

<

x

<

l

,

t

>

0)

u

t

=

0

=

0(x

),

=v

(x

)它的齊次解所構(gòu)成的定解問題是|

?t

2

=

a

?x

2

|l

=6(x

_

x0

),

(

0

<

x0

<

l

,T

>

0

)式(9.3-2)的解G

是弦振動定解問題的格林函數(shù)?！础础础础础础础础础础础础础础础础础础础础础础础础础础础?T0=〈t=GG22〈0=t〈9.3.2

用正交函數(shù)展開法求格林函數(shù)最后強調(diào)一下，格林函數(shù)也可以用于發(fā)展方程。例如，弦振動問題(

?

2

G

?2

G(9.3-1)(9.3-2)45u(x,

t)

=

j0Q(x0

)G(x,

t;

x0

,0)dx0+j0v(x0

)G(x,t;x0

,0)dx0

+j0

j0

f

(x0

,T)G(x,t;x0

,T)dx0

dT上述過程不再證明，感興趣的讀者可以參考有關(guān)書籍。llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllltltlll用分離變量法可以證明G(x,

t;

x0

,T)

=

a

sin

n幾l

x0

sin

n

a

(t

-T)sin

n幾l

x式(9.4-1)的解是l幾幾29.3.2

用正交函數(shù)展開法求格林函數(shù)(9.3-3)46本章結(jié)束

格林函數(shù)法求解數(shù)理方程47解首先求它的格林函數(shù)。在半空間z

>0的點R(x0

,y0

,

z0

)點置單位負電荷，很明顯為了與平面z

=0上該源點產(chǎn)生的感應(yīng)電荷相抵消，可以在Q(x0

,y0

,-z0

)處設(shè)置一個正電荷，這樣這兩點在z

=0的平面上凈電荷為零，產(chǎn)生的電勢互相抵消。〈|(++=0,(-w<x,y

<+w,z

=0)|l

u

z=0

=g(x,y),(-w<x,y

<+w)例9.1用格林函數(shù)法求下列定解問題：例

9.1(1)(2)48例

9.1圖9.2給出了源點與象點的示意圖，顯然u

z=0

=

0

。由于點電荷的電勢是在各自內(nèi)部區(qū)域為調(diào)和函數(shù)，因此在上的格林函數(shù)是G(r;r0

)

=

||L

(x一x0

)2

+(y

0

)2

+(z

+z0

)2

+

(x一x0

)2

+(y

一y0

)2

+(z一z0

)2

」||

(3)1y1一一4冗1「]49例

9.1用格林函數(shù)(3)求電勢時用到了式(9.2-11)，由于F()=0，所以有u

(x0

,

y0

,

z0

)=

-jj

f

(寫

)G

(;

)dS

(4)f

(寫)=u

z

=

0

=g(x,y)?G

?G

1

z

?

?

2"

[(x

-

x0

)2

+

(y

-

y0

)2

+

z

]2000000000033002r0一r一r一u(x0

,

y0

,

z0

)

=

j

j

[

]32

dxdy02返回(5)50寫例9.2求球域內(nèi)的格林函數(shù)和電勢：〈|(

+

+

=

0,

))|||lu

r=R

=f(9,p),(0三9

三",0三p

三2")解：圖9.3是一個球心在原點，半徑為R的球面，在球內(nèi)任取一點P，使得rOP

=R0

,連接OP到Q，使得rOQ

=R1

，并且有R0

R1

=R2

，稱Q是SO圖

9.3

球域內(nèi)外的對稱點例

9.2P的對稱點(1)(2)M一r一0bPO

P51QQSr

=

從上式解出q

=

QS

PS

。又因為三POS

=三QOS

,R0

R

=

R

R

，所以O(shè)PS~OQS。有

QS

R

=PS

R例

9.2在P點放置單位正電荷，設(shè)Q電荷所帶的電量是q，要確定它的電荷量，使得它們在球面上產(chǎn)生的正負電荷互相抵消，即電勢的迭加和為零。設(shè)點在球面上為S，則有OS

=R，因此得到由式(3)和式(4)解出q

=

。這就得到了Q點應(yīng)當(dāng)放置的負電荷量。(3)(4)5201Q點在球面上電勢：

R

R

1

4

R

0

rQM

rQM

=

QS

4

R

0

rPS

4

rPSP點在球面上電勢：

+(x)=.Q點產(chǎn)生的電勢：

.=P點產(chǎn)生的電勢：+

.

Q點和P點在球面上的電勢之和為零，符合邊界條件是齊次邊界條件。

==在球面上時，M與S點重合，有設(shè)有一動點M

，則有例

9.253對照圖

9.3

可見，

rPM=

tr

-

，rQM

=

1r

-

Q

=

tr

-

tR1

,tR

=

，有r

=

tr

-

tR

=

tr

-

R

2

將rPM

和rQM

代入式(5)后，有r0t11r01r0t根據(jù)格林函數(shù)定義式(9.2-7)，可以得到G

(tr;

)

=

+

-

=

-

))||r0tG

(tr

;

)

=

-

t

R

r-r0RR

0r0tQM

1

R

r例

9.2(5)(6)0054電勢的積分表達式是u

()=

jj

f

(x

)G

(;

)dS

(7)對矢徑求導(dǎo)數(shù)，可以得到

==(r

2

2

rR

0

cos+R

)=R

rr

一r

R0一R

00000000000000000000000

一一

02

0202r一

1r一r0一

1r一r0一r一r0一x下面求格林函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)與之間的夾角是，用余弦定理可以得到

0

=(r

2

2rR

0

cos

+R

)

(8)R0

cos

r

=

R

r

222222r0一r一0202r一r一r0一r一例

9.22r55于是

?

1

R

R

同理可得R0

?n

r=R

2

R

3由式(9)和(10)可以寫出格林函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是?G

1

R

2

R

002r0一R一r1一r一222222r0一R一02?n

=

2

R

3

R

?

1

R

R

222222222202r0一R一r0一R一R一r一r0一r一?n

r=R

4冗

R

3r一R一例

9.2(10)(11)(9)56===式(11)代入式(7)得到電勢為u(

)

=

-jjf

(x)

G(

;

)dS0xr0一r一r0一為了求上式中的-的值，在式(8)中取r

=R，得到

-=(R2

-2RR0

cosb+R

)02r0一R一r0一R一=j0

j0

f

(9,Q)

一R

R一r

3

R2

sin

9d9dQTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT2T22T2TT02--例

9.2(12)57cosb可以表達為關(guān)于夾角9和極角Q的函數(shù)。令x

、y

和z

為沿著坐標軸正方向的單位矢量，則有

=rsin9cosQ

x

+rsin9sinQ

y

+rcos9

z

=R0

sin90

cosQ0

x

+R0

sin90

sinQ0

y

+R0

cos90

z

.=rR0

cosb=rR0

[sin9sin90

cosQcosQ0

+sin9sin

90

sinQsinQ0

+cos9cos90

]=rR0

[sin9sin90

cos(Q一Q0

)+cos9cos90

]從上式可以解出r0一r一e一e一e一r0一e一e一e一r一e一e一e一cosb=sin

9sin

90

cos(Q一Q0

)+cos9cos90

(13)根據(jù)式(12)和(13)可以寫出例

9.258u(

)

=

jjf

(x)

G(

;

)dS=

j0

j0

f

(9,Q)

sin

9d9dQ式(14)是Q內(nèi)的任意點處的拉普拉斯方程解，cos

b由式(13)決定。r0一""""""""""""""""2"2"2""xr0一r一r0一例

9.2返回(14)59解：雖然這是一個二維問題，它和前面介紹的三維問題類似，必須先求解在矩形區(qū)域的格林函數(shù)，求這個格林函數(shù)就是求定解問題G

(x,y;x0

,y0

)x=0

=G

(x,y;x0

,y0

)x=a

=0

(6)可以用分離變量法求解這個方程。例9.3用格林函數(shù)法求解下面的定解問題：

+=-F

(x,y

),(0<x

<a,0

<y

<b)u

y

=

0

=Q(x

),u

y

=b

=v

(x

),(0共y

共a)〈|

0

<

b

(((((((((((((((((,b<;,(yy00,,aa0x0xb0〈

u

x=0

=g

(y

),u

x

=

a

=h(y),(0共

y

共b)(1)(2)(3)例

9.360例

9.3先求齊次方程〈|(

+=0,(0<x

<a,0<y

<b

)|lV

(0,y

)=V

(a,y

)=V

(x,0)=V

(x,b

)=0的解。設(shè)V(x,y)=X(x)Y(y)，則特征值問題是兩個常微分方程(I)〈

入xXX(a

；

(Ⅱ)〈

，，(

)并且有入＝入x

+，解上述常微分方程得到特征值和特征函數(shù)分別是入m

=

|(

m"

)|

;

X

m

(x

)

=

sin

m

"

x

,

(

m

=

1,2

,

…

)入n

=

(|

n"

)|

;

Yn

(y

)=

sin

n"

y

,

(

n

=

1,2

…

)2222y入YYl(\a

)

a\b

)

b61例

9.3所以特征值是入mn

=

"

2

|(

m

+

n

)|

,

(m

=

1,

2

…

;

n

=

1,

2

…

)特征函數(shù)是Vmn

(x,y

)=sin

x

sin

y,(m

=1,2…

;n

=1,2…

)有了特征函數(shù)后，將所有的分量迭加后得到格林函數(shù)是2222將(7)代入式(4)后，得到

a

mn

入mn

sin

x

sin

y

=

6

(x

-

x

0

)6

(y

-

y

0

)11G

=

a

mn

sin

x

sin

y11\

a

b

)(7)62例

9.3根據(jù)正弦函數(shù)的正交性，有amn

=

T2

(m2

n2

a2

)j0

j0

6(x

_

x0

)6(y

_

y0

)sin

x

sin

y