數(shù)學(xué)物理方法(第3版)課件：球面坐標(biāo)中的偏微分方程解法

球面坐標(biāo)中的偏微分方程解法本章討論另一類非常重要的偏微分方程解法：球坐標(biāo)中的偏微分方程分離變量法。首先，我們求解了勒讓德方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，從中導(dǎo)出勒讓德多項(xiàng)式和第二類勒讓德函數(shù)。接著引入羅德利克公式和博內(nèi)公式計(jì)算勒讓德多項(xiàng)式，重點(diǎn)討論了如何把函數(shù)展開了傅里葉-勒讓德級(jí)數(shù)和球?qū)ΨQ定解問(wèn)題的解法。最后簡(jiǎn)要地介

紹了連帶勒讓德多項(xiàng)式和球諧函數(shù)。2

球面坐標(biāo)中的偏微分方程解法§

7.1

勒讓德方程與勒讓德多項(xiàng)式§

7.2

勒讓德函數(shù)的性質(zhì)及遞推公式§

7.3

傅里葉—勒讓德級(jí)數(shù)§

7.4

勒讓德多項(xiàng)式的邊值問(wèn)題§

7.5

連帶勒讓德多項(xiàng)式及應(yīng)用3§

7.1.1

勒讓德方程的求解§

7.1.2

勒讓德多項(xiàng)式7.1

勒讓德方程與勒讓德多項(xiàng)式42a2

+n(n

+1)a0

+3.2a3

x

+(n

一1)(n

+2)a1x

+[(k

+2)(k

+1)ak+2

+(n

一k)(k

+n

+1)ak

]xk

=0k=2xw(1一x2

)y,,一2xy,+n(n

+1)y

=0式中為n

常數(shù)。設(shè)解的形式是wk

(k

一

1)ak

xk一2

一

k

(k

一

1)ak

xk

一

2kak

xk

+

n

(n

+

1)ak

xk

=

0k=2k=2k=1k

=0xwxwxwxw=0式(7.1-2)代入(7.1-1)后，得到7.1.1

勒讓德方程的求解ky

=

xak

xk勒讓德方程形式是(7.1-3)(7.1-1)(7.1-2)52a2

+n(n

+1)a0

=03.2.a3

+(n1)(n

+2)a1

=0(k

+2)(k

+1)ak+2

+(n

k)(k

+n

+1)ak

=0式(7.1-4)、(7.1-5)和(7.1-6)的遞推結(jié)果是n(n

+1)2

2!

0a

=

(

1)2

n(n

2)(n

+

1)(n

+

3)

a4444444444444444444440047.1.1

勒讓德方程的求解根據(jù)上式可以寫出系數(shù)的遞推公式是a

=

a(7.1-4)(7.1-5)(7.1-6)4!67.1.1

勒讓德方程的求解：a2k

=

2k

.

(2k

1)

a2k

2=

(

1)k

2k)

n(n

+

1)(n

+

3)

…

(n

+

2k

1)

(7.1-7)(n1)(n

+2)3

3!

1a

=

(

1)2

(n

1)(n

3)(n

+

2)(n

+

4)55!)(n2k

+2)(n

+2k

1)a

=

a5!：7(n

-

2k

+

1)(n

+

2k

)a2k+1

=

-

(2k

+1)(2k

)

a2k-1=

(-1)

(7.1-8)式中的a0

和a1

是兩個(gè)任意常數(shù)。級(jí)數(shù)解可以寫成一個(gè)偶數(shù)項(xiàng)之和與一個(gè)奇數(shù)項(xiàng)之和，有7.1.1

勒讓德方程的求解8y

(x

)=

a2k

x2k

+

a2k+1x2k+1k=0

k=0=

a0

1+

(-1)

!1)(n

+

3)

…

(n

+

2k

-

1)x2k

+

a1

(-

1)k

(n-

2k

+

1)

…(n-

3)(n(2

n1)

2)(n

+

4)

…(n

+

2k)x2k+1

(7.1-9)令y0

(x

)

=

1

+

(-

1)k

x2k(7.1-10)k-xwxw7.1.1

勒讓德方程的求解9式中a0

與a1

是兩個(gè)任意常數(shù)。稱y0

(x

)和y1

(x

)是勒讓德函數(shù)。y0

(x

)和y1

(x

)是不是方程(7.1-1)的解？這包括兩個(gè)問(wèn)題：首先是y1

和y2

是否線性獨(dú)立；7.1.1

勒讓德方程的求解y1

(x

)

=

(

1)k

(n

2

k

+

1)

…

(n

3

)(n(

n)

k

+1勒讓德方程的解可以寫成y

(x

)=

a0

y0

(x

)+a1y1

(x

)其次，若是線性獨(dú)立存在，它們是否在指定的區(qū)間內(nèi)收斂。(7.1-11)(7.1-12)107.1.1

勒讓德方程的求解先回答第一個(gè)問(wèn)題。在x0時(shí)，有y0

(x

)=

1

+

o

(x2k

)y1

(x

)=

x

+

o

(x2k

)上兩式表明y0

(x

)和y1

(x

)是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解。收斂性問(wèn)題討論：(1)把式(7.1-1)寫成定理5.1的標(biāo)準(zhǔn)形式(5.2-2)后，有p

(x

)

=，q

(x

)

=

，根據(jù)定理5.1可知，級(jí)數(shù)解的收斂半徑應(yīng)當(dāng)是展開點(diǎn)到p(x

)和q

(x

)最近奇點(diǎn)之間的距離，即x

<1內(nèi)，y0

(x

)和y1

(x

)是收斂的。117.1.1

勒讓德方程的求解(2)在x

=1處，定理5.1沒有給出斂散性的結(jié)論。級(jí)數(shù)y0

(1)和y1

(1)的收斂性判斷應(yīng)當(dāng)分n

為非整數(shù)和n

為整數(shù)兩種情況加以討論。n

為非整數(shù)情況，用高斯判定法可以證明y0

(1)和y1

(

1)都是發(fā)散的，而且y0

(1)和y1

(1)合成在一起的表達(dá)式(7.1-12)也是無(wú)界的，即不可能找出一個(gè)解y(x

)在x

=1處是有限的。從邊值問(wèn)題的角度去考慮這個(gè)結(jié)果時(shí)，就要求附加自然邊界條件y

(1)<，這樣就有a0

=a1

=0，所以方程(7.2-2)只有零解

y

(x

)=0，即n

是非整數(shù)時(shí)勒讓德方程無(wú)解。127.1.1

勒讓德方程的求解(3)n

為整數(shù)時(shí)解的收斂性情況如何？下面來(lái)展開討論這個(gè)問(wèn)題。對(duì)于y0

(x

)有2!4!(n-4)(n-2)n(n

+

1)(n

+

3)(n

+

5)

6-

x

5!…

+

(-1)

k

+

…n

取不同值時(shí)，有下面多項(xiàng)式y(tǒng)

(x)

=

1-

n(n

+

1)

x2

+

(n-2)n(n

+

1)(n

+

3)

x40013n

=一1或0:y0

(x

)=1n

=

一3或

2:

y0

(x

)=

1一

x22!

4!：可以得到n

是正偶數(shù)、零或者負(fù)奇整數(shù)時(shí)，y0

(x

)是一個(gè)含偶次冪的多項(xiàng)式，有n

=

一5或

4:

y0

(x

)

=

1一

4

.

5

x2

+

1

.

3

.

4

.

6

x4y0

(x)=a0

+a2

x2

+a4

x4

+…+a2nx2n7.1.1

勒讓德方程的求解(7.1-13)147.1.1

勒讓德方程的求解把y1

(x

)展開，n

取正奇整數(shù)或者負(fù)偶整數(shù)，有n

=

1或-2:y1

(x

)=xn

=

3

或-4:

y1

(x

)=

x

x33!5!繼續(xù)遞推下去，可得y1

(x

)是一個(gè)含奇次冪項(xiàng)的多項(xiàng)式，即n

=

5或-6:

y1

(x

)

=

x

4

.

7

x3

+

2

.

4

.

7

.

9

x5y1

(x)=a1x

+a3x3

+a5x5

+…

+a2n+1x2n+

1(7.1-14)15式中c1

是任意常數(shù)。Pn(x

)被稱為勒讓德多項(xiàng)式，n

表示勒讓德方程(7.1-1)中參數(shù)n

的取值。n

取負(fù)整數(shù)的多項(xiàng)式n

(x

)與取正整數(shù)的多項(xiàng)式P+

n

(x

)線性相關(guān)，二者之間只差一個(gè)常數(shù)，所以討論勒讓德多項(xiàng)式時(shí)，只要考慮n

取正整數(shù)的情況。

P7.1.1

勒讓德方程的求解根據(jù)式(7.1-13)和(7.1-14)，可以得到結(jié)論:x=[1,1]

區(qū)間，且n

取整數(shù)時(shí)，勒讓德方程有一個(gè)多項(xiàng)式解，記這個(gè)解是Pn(x

)，得到勒讓德方程的一個(gè)解是y

=

yp

(x)=

c1Pn

(x)(7.1-15)16Qn

(x

)

=

Pn

(x

)j

e

dx

=

Pn

(x

)j

(1

x

2

(x

)所以勒讓德方程的通解是：y

=c1Pn

(x

)+c2

Qn

(x

)式中c1

和c2

是任意常數(shù)。

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

jdx0

j

j2)Pndxx0xxxx0xQn

(x

)在x

=1處是無(wú)界的。證明如下：設(shè)Pn(1)豐0(稍后證明Pn(1)=1)，由于Pn(x)是連續(xù)函數(shù)，

所以可以取到x0

(0<x0

<1)，使得x0

x1時(shí)Pn(x)豐0。7.1.1

勒讓德方程的求解應(yīng)用定理5.3和這個(gè)特解，可求出勒讓德方程的另一個(gè)線性無(wú)關(guān)解應(yīng)用定積分第一中值定理，有(7.1-16)(7.1-17)17式(7.1-19)說(shuō)明Qn

(1)無(wú)界，在求邊值問(wèn)題時(shí)解Qn

(x)應(yīng)當(dāng)舍去。所以，勒讓德方程只有一個(gè)解y

(x)=

c1Pn(x)(7.1-20)即勒讓德多項(xiàng)式是勒讓德方程的唯一有界解。式中毛在x0

和x

之間，且Pn(毛)豐0。由式(7.1-18)和(7.1-16)可得Qn

(x

)

=

Pn

(x

)j

(1

-

x

2

(x

)

=

PnP2

j

=

PnP2

ln

-

ln

nn毛)x

)((x0x毛)x

)((2)Pndxx0xQn

(1)=lx

Qn

(x

)=PnP2

)

lx

ln

-ln)wn)1-im毛1)(()1-imj

(1

-

x

2

Pn2

(x

)

=

Pn2

(毛

)

1)dxx

0x7.1.1

勒讓德方程的求解(7.1-18)(7.1-19)18式(7.1-21)可以從第k

項(xiàng)系數(shù)向前遞推出第k

項(xiàng)以前各項(xiàng)的系數(shù)。公式中的ak

是待定常數(shù)，也就是勒讓德的多項(xiàng)式x

最高次冪前的系數(shù)是待定常數(shù)。k

=n2，n4,n

6，…

時(shí)，有以下關(guān)系ak

=

(n

k

)(n

+

k

+

1)

ak+2

(7.1-21)現(xiàn)在來(lái)導(dǎo)出勒讓德多項(xiàng)式的一般表達(dá)式。將式(7.1-6)改成7.1.2

勒讓德多項(xiàng)式

(k

+1)(k

+2)

197.1.2

勒讓德多項(xiàng)式xn

的系數(shù)：anxn

2

的系數(shù)：an

2

=

n2(xn

4

的系數(shù)：

xn

6

的系數(shù)：

n(

n)(：an

是任意常數(shù)，一般以多項(xiàng)式Pn(1)=1為標(biāo)準(zhǔn)去確定an

的值，習(xí)慣取an

=

(n

=

1，2，…)(7.1-22)20式(7.1-22)代入an_2

，an_4

，an_6

，…

后，得到x

n

:

a

=

(_

1)

.

(2n)!n

2n

.0!.n!.n!n_2

n

(n

_

1)

(2n)!

n

(n

_

1)(2n)(2n

_

1)(2n

_

2

)! x

:

an_2

=

_

2(2n

_1).

2n

(n

!)2

=

_

2(2n

_1).2n

.n

(n

_1)!.n

(n

_1)(n

_2)!=

(_

1)xn_4

:

an_4

=

_

(n_4(

_3)3)

.

_

2n

(

_)!

!_

2)!

=

(_

1)

2n

.

2!

4)!

!n

_

4)!

(_

1)

22()(n2)007.1.2

勒讓德多項(xiàng)式21x

:an-2k

=

(-

1)

2n

.

k!

)!

)n

-

2

)!

(k

=

0，1，2，…)

(7.1-23)從式(7.1-14)和(7.1-15)可知，勒讓德多項(xiàng)式或者只含奇次冪項(xiàng)，或者只含偶次冪項(xiàng)。因此勒讓德多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)有兩種情況：當(dāng)n

是正偶數(shù)時(shí)，共有項(xiàng)；當(dāng)n

是正奇數(shù)時(shí)共有

項(xiàng)。記

是不大于

的最大正整數(shù)，則有「n

]

，n為偶數(shù)

(7.1-24)n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-!2kk2n-n-k：(kk--nn2((|L2」|

=〈|l

，n為奇數(shù)7.1.2

勒讓德多項(xiàng)式22勒讓德多項(xiàng)式是Pn

(x

)

=

(-

1)

xn

+

(-1)

-)!

xn-2

+

(-1)

-2)4!()!n

-

4)!xn-4

+

…=

(-

1)

k

(7.1-25)式(7.1-25)又稱為第一類勒讓德函數(shù)。由式(7.1-25)和定理5.3寫出的勒讓德方程的另一解是(7.1-16)，為Qn

(x

)

=

Pn

(x

)j

上式稱為第二類勒讓德函數(shù)。x0x007.1.2

勒讓德多項(xiàng)式23Rn

(x

)是n1次多項(xiàng)式，x

=土1是Qn

(x

)的奇點(diǎn)，即Qn

(x

)在[1,1]上是無(wú)界函數(shù)。Qn

(x

)=Pn

(x

)ln

Rn

(x

)7.1.2

勒讓德多項(xiàng)式第二類勒讓德函數(shù)可以寫成(7.1-26)24§

7.2.1

羅德利克公式§

7.2.2

勒讓德函數(shù)的性質(zhì)

§

7.2.3

勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式7.2

勒讓德函數(shù)的性質(zhì)及遞推公式257.2.1

羅德利克公式經(jīng)典的正交多項(xiàng)式，例如厄密多項(xiàng)式、拉蓋爾多項(xiàng)式都可以用n

階

導(dǎo)數(shù)形式來(lái)表示，這些公式統(tǒng)一地被稱為羅德利克公式，勒讓德多項(xiàng)式的羅德里克公式是定理7.1。定理

7.1

勒讓德多項(xiàng)式可以寫成n

階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)形式：于是有

(x

-

1

)

=

(-

1

)

對(duì)上式兩邊求導(dǎo)n

次，對(duì)于n

是偶數(shù)的保留項(xiàng)要滿足2n

-2k

>n

，即222222222222nkn2(x

2

-

1)=

C

kn

(-

1)

(x

2

)=

(-

1)

k

!(

k

)!x

2

n-2

k

(7.2-2)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnkkkn-n-kn證用二項(xiàng)式定理把(x2

-1)

展開成nnPn

(x

)

=

(x

2

-

1)nn(7.2-1)267.2.1

羅德利克公式k

共n2；對(duì)于n

是奇數(shù)，應(yīng)當(dāng)有2n

-2k

之n

+1，即k

共(n

-1)2。

按照(7.1-24)引入的記號(hào)，保留的項(xiàng)數(shù)是[n2]，這樣有

x2n-2k

=(2n

-2k

)(2n

-2k

-1)…

2n

-

2k

-(n

-1)xn-2k上式代入(7.2-2)后，有

x2

n-2

k

=

(-

1)

…)!(n

-

2k

+

1)xn-2

k=

(-

1)

k

=

Pn

(x

)這就證明了式(7.2-1)，此式稱為勒讓德函數(shù)的羅德利克公式。[證畢]在應(yīng)用中，羅德利克公式因?yàn)楸硎竞?jiǎn)潔而在勒讓德函數(shù)研究中廣泛使用。例7.1277.2.2

勒讓德函數(shù)的性質(zhì)下面是勒讓德函數(shù)幾個(gè)常用的性質(zhì)。性質(zhì)

1

勒讓德多項(xiàng)式是正交多項(xiàng)式，即j

Pn

(x

)Pm

(x)dx

=〈數(shù)，

(7.2-3)已經(jīng)對(duì)勒讓德方程作過(guò)詳細(xì)討論，證明了這是一個(gè)奇異SL問(wèn)題。注意到在求勒讓德方程導(dǎo)出勒讓德多項(xiàng)式時(shí)已經(jīng)附加了邊界條件y(土1)<+w

，而勒讓德多項(xiàng)式是其特征函

數(shù)，因此Pn(x

)是正交函數(shù)。11mmnn常0，l(287.2.2

勒讓德函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)

2

勒讓德多項(xiàng)式的奇偶性可用下列公式判定Pn

(-x)=(-1)n

Pn

(x)(7.2-4)由式(7.2-4)可得n

是正偶數(shù)時(shí)，勒讓德多項(xiàng)式是偶函數(shù)，n

是正奇數(shù)時(shí)，勒讓德多項(xiàng)式是奇函數(shù)。所以勒讓德多項(xiàng)式有以下規(guī)律：n=正偶數(shù)：Pn

(x)=a0

+a2

x2

+a4

x4

+…

+a2nx2nn=正奇數(shù)：Pn

(x)=a1x

+a3x3

+a5x5

+…

+a2n+1x2n+1性質(zhì)

3

勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)公式

=

Pn

(x

)

(

<

1<

1)

(7.2-5)證明式(7.2-5)比較麻煩。但是，很容易驗(yàn)證上式是正確的。性質(zhì)

4

勒讓德多項(xiàng)式有n

個(gè)不同的實(shí)根，這些根都在-1和+1之間。nn297.2.3

勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式能用2個(gè)給定的勒讓德多項(xiàng)式P0

(x

)和P1

(x

)，經(jīng)過(guò)遞推的方法求高階勒讓德多項(xiàng)式。最常用的遞推公式是(n

+1)Pn

+1

(x

)(2n

+1)xPn

(x

)+nPn

1

(x

)=0(7.2-6)證根據(jù)勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)式(7.2-5)，有(12x

+2

)

=Pn

(x

)n

，0<<1(7.2-7)n=0對(duì)求導(dǎo)，得到

=

nPn

(x

)

=

(1

2

x

+

2

)nPn

(x

)

n

11

nn

1

ww

30對(duì)上式的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)做代換，使其成為

-nPn

(x

)毛n-1

=

-

(n

+

1)Pn+1

(x

)毛n

=

-

(n

+

1)Pn+1

(x

)毛n

n=0

n=-1n=0(n

+

1)Pn

(x

)毛n+1

=

nPn-1

(x

)毛n

=

nPn-1

(x

)毛n

n=0

n=1n=0將上兩式代入式(7.2-8)，可以得到-

(n

+

1)Pn+1

(x)+(2n

+

1)xPn

(x

)-

nPn-1

(x)毛n

=

0

n=0由毛n

的系數(shù)為零得(n

+1)Pn+1

(x

)-(2n+1)xPn

(x

)+nPn-1

(x

)=0[證畢]x的x的x的x的x的x的x的7.2.3

勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式將(7.2-7)代入上式后得到(x

-毛)毛n

Pn

(x

)=

(1-

2毛x

+毛2

)n毛n-1Pn

(x)n=0

n=1x的x的-nPn

(x

)毛n-1

+(2n

+

1)xPn

(x)毛n

-

(n

+

1)Pn

(x)毛n+1

=

0

n=0x的(7.2-8)31式(7.2-6)又稱為博內(nèi)公式，它可以根據(jù)P0

(x

)

=1和P1

(x

)=x推出各階勒讓德多項(xiàng)式，下面是遞推出來(lái)的前8個(gè)勒讓德多項(xiàng)式：P0

(x)=

1

P1

(x)=

xP2

(x)=

(3x2

-

1)P3

(x)=

(5x3

-

3x)P4

(x)=

(35x4

-

30x2

+

3)P5

(x)

=

(63x5

-

70x3

+

15)P6

(x)=

(231x6

-

315x4

+

105x2

-

5

)P7

(x)=

(429x7

-

693x5

+

315x3

-

35x)7.2.3

勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式32(b)P1,P3,P5,P7

圖像7.2.3

勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式P1

(x)P5

(x)P7

(x)P2

(x)P4

(x)

P6

(x)圖

7.1(a)

P0

P2

,P4

,P6

圖像

P3

(x)P0

(x)33Pn

(x

)=

P

n+1

(x

)2xP

n

(x

)+

P

n

1

(x

)(n

>

1)P

n+1

(x

)=xP

n

(x

)+(n

+1)Pn

(x

)xP

n

(x

)P

n

1

(x

)=

nPn

(x

)P

n+1

(x

)P

n

1

(x

)=

(2n

+

1)Pn

(x

)(7.2-9)(7.2-10) (7.2-11)(7.2-12)上述五個(gè)公式都可以從博內(nèi)公式導(dǎo)出，或者從生成函數(shù)中導(dǎo)出。7.2.3

勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式其它一些常用的遞推公式列舉如下：例7.234若f

(x)在(-1,+1)上連續(xù)，傅里葉—勒讓德級(jí)數(shù)收斂值是f

(x

)；在間斷點(diǎn)f

(x

)的收斂值是

f

(x+

)+

f

(x_

)。證(7.3-1)是定理5.5的直接結(jié)果，這里不再推導(dǎo)?，F(xiàn)證明式(7.3-2)成立。對(duì)式(7.3-1)兩邊同乘以Pk

(x)，并在兩邊同時(shí)積分，有傅里葉—勒讓德級(jí)數(shù)展開定理

7.2

設(shè)函數(shù)是(-1,+1)區(qū)間內(nèi)的實(shí)值函數(shù)，且在[-1,+1]內(nèi)分段光滑，f(x)可以展開為j

f

(x

)Pk

(x

)dx

=

cn

j

Pn

(x

)Pk

(x

)dx根據(jù)7.2.2節(jié)的性質(zhì)1知道Pn(x)是正交的，因此有111111111111111111111111111xwf

(x)

=

cn

Pn

(x

),

x

三

1n=0cn

=j

f

(x)Pn

(x)dx11xw7.3

傅里葉—勒讓德級(jí)數(shù)(7.3-1)(7.3-2)35n=0下面求NP

的值NP

=

j

Pn2

(x

)dx

=

j

(x2

-

1).

(x2

-

1)dx=

j

(x2

-

1)d

(x2

-

1)=〈(x2

-

1)(x2

-

1)-

j

(x2

-

1)(x2

-

1)dx

卜nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn()1+n(n)1n-n-(n1)1n-n-(n)n(n1111111111111111111111111111n)1n-n-(n)n(n11111111111111111111111111111111111111)n(n)n(n11式中分母稱為勒讓德多項(xiàng)式的模，記作NP

(x

)=

j

Pn2

(x

)dx11c

=

j

f

(x

)Pn

(x

)dx

j

Pn2

(x

)dx11n17.3

傅里葉—勒讓德級(jí)數(shù)(7.3-3)(7.3-4)367.3

傅里葉—勒讓德級(jí)數(shù)用萊布尼茲公式計(jì)算

(x

2

-

1)n

(

)

，先將

(x2

-1)展開為

(x2

-1)=(x

-1)n

(x

+1)n

(

)=(x

-1)n

(

)

(x

+1)n

+C

-1

(x

-1)n

(

)

(x

+1)n

，+C

-1

(x

-1)n

(

)

(x

+1)n

”+…+(x

-1)n

(x

+1)n

(

)

=a1

(x

-1)(x

+1)n

+a2

(x

-1)2

(x

+1)n-1

+a3

(x

-1)3

(x

+1)n-2

+…+an

(x

-1)n

(x

+1)式中a1

,

a2

,

…an

為系數(shù)，由上式可見

(x

2

-

1

)n

(

)

0

，重復(fù)用分部積分后，有n

-n

-n

-n

-n

-n

-n

-1n

-n

-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-1n-n-3n-n-2n-n-1n-n-n2n1n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-1n-n-)1n-n-(n)1n-n-(n1n-n-377.3

傅里葉—勒讓德級(jí)數(shù)j

Pn

2

(x

)dx

=

j

(x2

-

1).

(x2

-

1)dx

=

j

(x2

-

1)(x2

-

1)

dx=

j

(x2

-

1)(x2

-

1)dx因?yàn)?x2

-1)

=(x2n

)(

)

，所以有j

Pn

2

(x

)dx

=

j

x

2

n

(

)

(x

2

-

1)dx

=

j

(x

2

-

1)dx

作代換x

=cosp，(x2

-1)

=(-1)n

sin2np,dx

=-sinpdp，因而有11111111111111111111111111111111111111111nn1n2n2n11nnnnnnnnnnnnn(2n2n)2n2n(n1111111111111111111n)2n2n(n111111111111111111111111111111111111111111k

)k

)n-n-(n+k

)+k

)+k

)n(n1)1n-n-(n)1+n(n11387.3

傅里葉—勒讓德級(jí)數(shù)j

Pn

(x)dx

=

j

sin

QdQ=

j

sin

QdQ

2.(2n)!2n.(2n一2)…

4.22.(2n)!2n

.

n!=

22n

(n

!)2

.

(2n

+

1)(2n

一

1)…

5

.

3=

22n

(n

!)2

.

(2n

+

1)(2n

一

1)…

5

.

3

2

(2n)!

2

(2n)!

2

(2n)!

2 =

2n

.n!.(2n

+1)(2n

一1)…

5.3=

[2n.(2n

一2)…

2]=

(2n

+1)!=

2n

+1從上式可以得到NP

=

j

Pn2

(x

)dx

=

式(7.3-4)代入(7.3-3)后，有11111111111111111111111111121+2n2n1+2n2n2102幾0幾cn

=j

f

(x

)Pn

(x

)dx11[證畢]39前面介紹的傅里葉—勒讓德級(jí)數(shù)是定義在區(qū)間[-1,+1]上，若x=[-l,+l]，只要做變換t

=，t

=[-1,+1]。求出關(guān)于t的傅里葉—勒讓德

級(jí)數(shù)后，再將t變換成，就得到在[-l,+l

]上的傅里葉—勒讓德級(jí)數(shù)。7.3

傅里葉—勒讓德級(jí)數(shù)若換算到球坐標(biāo)下，有x

=cos9，因此(7.3-1)和(7.3-2)可寫成f

(cos9)=

cn

Pn

(cos9),

0

<9

<

"n=0cn

=j

f

(cos9)Pn

(cos9)sin9d90"xw(7.3-5)(7.3-6)例7.3例7.440勒讓德多項(xiàng)式有關(guān)的邊值問(wèn)題都與自然邊界條件有關(guān)，下面就是幾個(gè)例子。7.4

勒讓德多項(xiàng)式的邊值問(wèn)題例7.5例7.6例7.741§

7.5.1

連帶勒讓德多項(xiàng)式

§

7.5.2

球諧函數(shù)7.5

連帶勒讓德多項(xiàng)式及應(yīng)用42將上式求導(dǎo)后代入式(7.5-1)，可以得到(1_x2

)v，，(x)_

2(m+

1)xv，(x)

+

(n

+

1)n_m(m

+

1)v(x)=

0設(shè)Pn(x)是勒讓德方程的解，勒讓德方程是(1_x2

)Pn，，(x

)_2xP，n

(x

)+n(n

+1)Pn

(x

)=0對(duì)上式求m

次導(dǎo)數(shù)后，有連帶勒讓德方程為(1

_

x

2

)_

2

x

+

n

(n

+

1)_

y

=

0(7.5-1)(7.5-2)(7.5-3)(7.5-4)令：

y

(x

)=(1_x2

)

v

(x

)7.5.1

連帶勒讓德多項(xiàng)式43(1-x2

)P(nm+2)

(x)-2(m

+1)xP(nm+1)

(x)+n(n

+1)-m(m

+1)P(nm)

(x)=0(7.5-5)比較(7.5-3)和(7.5-5)，得到v

(x)=P(nm)

(x)。所以，連帶勒讓德方程的解是稱式(7.5-6)的右邊是連帶勒讓德多項(xiàng)式，記作P(nm)

(x)。有Pnm

(x)=(1-x2

)P(nm)

(x)7.5.1

連帶勒讓德多項(xiàng)式y(tǒng)

(x)=(1-x2

)P(nm)

(x)(m

不

n,

x

不1)(m

不

n,

x

不1)(7.5-6)(7.5-7)447.5.1

連帶勒讓德多項(xiàng)式為什么式(7.5-7)中有m

共n

？根據(jù)式(7.1-25)，有Pn

(x

)

=

(-

1)

k所以P(nm)

(x)中m

>n

時(shí)，要對(duì)上式求導(dǎo)m

次，必定有P(nm)

(x)=0，為了得到非零解，必須有m

共n

。連帶勒讓德多項(xiàng)式性質(zhì)：將連帶勒讓德方程稍加變換，可以得到(1

-

x2

)-

y

+

n

(n

+

1)y

=

0

(7.5-8)上式是奇異SL問(wèn)題，附加上y(士1)<w，就可以像7.1節(jié)討論勒讓德方程解那樣去討論連帶勒讓德多項(xiàng)式。457.5.1

連帶勒讓德多項(xiàng)式根據(jù)定理5.4的推論，連帶勒讓德多項(xiàng)式有以下性質(zhì)：(1)連帶勒讓德方程的特征值是n

(n

+1)>0。(2)連帶勒讓德多項(xiàng)式是連帶勒讓德方程在[-1,+1]區(qū)間上的有界解，組成了連帶勒讓德方程的特征函數(shù)系，這是一個(gè)正交函數(shù)系，即j

Pnm

(x

).

Pkm

(x

)=〈

數(shù),

n

k

(7.5-9)(3)滿足一定條件的函數(shù)f

(x

)，可以以懇Pnm

;n

=0,1,2,…}作為正

交完備系展開成廣義傅立葉級(jí)數(shù)。這樣就有11n才常0,l(f

(x)=

cn

Pnm

(x),

(m

共

n)(7.5-10)xwn=046(4)有四個(gè)基本遞推公式(2n

+1)xPnm

(x)=(n

+m)Pn

1

(x)+(n-m

+1)Pn

1

(x)(7.5-13)-m式(7.5-11)的分母稱為連帶勒讓德多項(xiàng)式的模，記作N

，它的值為nmcn

=

,

(n

=

0,1,

…

;m

不

n)N

=

j

Pnm

(x

)dx

=

111111111111221nm(2n

+1)(1-x2

)Pnm

(x)=Pn

1

(x)-Pn

1

(x)-m7.5.1

連帶勒讓德多項(xiàng)式(7.5-14)(7.5-11)(7.5-12)477.5.1

連帶勒讓德多項(xiàng)式(2n

+1)(1x2

)Pnm

(x

)=(n

+m)(n

+m1)Pnm

1

(x

)(n

m

+2)(n

m

+1)Pn

1

(x

)(7.5-15)(2n

+1)(1x2

)=(n

+1)(n

+m)Pnm1

(x)n

(n

m

+1)Pn

1

(x)(7.5-16)為了使用方便，通常把勒讓德函數(shù)定義推廣到負(fù)的m

，定義Pn

m

(x

)=(1)Pnm

(x

)

(7.5-17)可以證明它也是連帶勒讓德方程的一個(gè)解。1

1

例7.8487.5.2

球諧函數(shù)球諧函數(shù)來(lái)自球坐標(biāo)下的拉普拉斯方程分離變量方程解。它是sin

9

))|+

+

n

(n

+

1)

=

0

(7.5-18)令入=n

(n

+1)，Y

(9,Q)=O(9)C(Q)，用OC

乘以上兩邊后，得到sin

9

))|++入Y(9,Q)=0(7.5-19)(0共9

共",0共Q

共2")稱Y(9,Q)是球諧函數(shù)，顯然Y(9,Q)是一個(gè)兩變量函數(shù)。49懇m2

;

m

=

0,1,

2,

…}懇牽(0)=Cm

cosm0+Dm

sin

m0;m

=0,1,2,…}連帶勒讓德方程的解已在7.5.1中解出，是懇n

(n

+1);n

=m,m

+1,m

+2,…}

懇Pmn

(cos9);

n

=

m,m

+1,m

+

2,

…}7.5.2

球諧函數(shù)方程(7.5－19)分離變量后的常微分方程已在5.1.2節(jié)中討論過(guò)了，是〈|

O

=

0(|

d

牽

+

m

2

牽

=

022l(在式(7.5－20)中令x

=cos9就成為連帶勒讓德方程。式(7.5－22)解為(7.5-20)(7.5-21)(7.5-22)(7.5-23)〈|l牽

2冗)

=

牽

(0)00(d(7.5－26)(7.5－27)(7.5－24)(7.5－25)507.5.2

球諧函數(shù)綜合(7.5－25)和(7.5－27)，得方程(7.5－19)的兩個(gè)特征函數(shù)Ynm1

(9,Q)=Pmn

(cos9)cos(mQ)；Ynm2

(9,Q)=Pmn

(cos9)sin

(mQ)，記作Ynm(9,Q)=Pmn(cos9)〈

,(m=0,1,2,…;n=m,m+1,…)(7.5－28)特征值是入=n

(n

+1)，(n

=m,m

+1,…;m

=0,1,2,…

)(7.5－29)從式(7.5－28)和(7.5－29)可知，對(duì)應(yīng)于一個(gè)特征值n

有多個(gè)m

，

也就是有多個(gè)特征函數(shù)與一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)，

這種情況稱為簡(jiǎn)并，

有多

少個(gè)不同的特征函數(shù)稱為簡(jiǎn)并度?，F(xiàn)在一個(gè)m

有2n+1個(gè)特征函數(shù)，因此簡(jiǎn)并度是2n+1。mQ)mQ)((517.5.2

球諧函數(shù)球諧函數(shù)的主要性質(zhì)如下：(1)球諧函數(shù)是正交函數(shù)，即有j

j

Ynm(9,Q)Ysk

(9,Q)sin9d9dQ=〈

,(n(

)

(7.5－30)

NY

=

j

j

Yn

(9,Q)sin9d9dQ

=

(7.5－31)6m

=〈

(7.5－32)))00豐=mm((""m2020"nms,nm52級(jí)數(shù)，為f

(9,Q)=

xP

(cos9)[Anm

cos

mQ+

Bnm

sin

mQ]n=0m=0Anm

=

j

j

f

(9,Q)P

(cos9)sin9cos

mQd9dQBnm

=

j

j

f

(9,Q)P

(cos9)sin9sin

mQd9dQ幾幾nm0幾02幾n22幾幾nm0幾02幾n22nnmxw7.5.2

球諧函數(shù)(2)廣義傅立葉級(jí)數(shù)。符合一定條件的函數(shù)f

(9,Q)可以展開成廣義傅立葉例7.10例7.9(7.5－33)(7.5－34)(7.5－35)53本章結(jié)束

球面坐標(biāo)中的偏微分方程解法54例7.1例

7.1

試證Pn

(1)=1，Pn

(-1)=(-1)n解將(x

2

-1)

分解為(x

+1)n

.(x

-1)n

，代入羅德利克公式，然后用微分的萊布尼茲公式，可以得到Pn

(x

)

=

(x

2

-

1)=

(x

-

1)(x

+

1)=〈

(x

-1)(

)

(x

+1)+C

(x

-1)(

)

(x

+1),+C

(x

-1)n

(

)

(x

+1)n

”+…

+(x

-1)n

(x

+1)n

(

)

卜=懇n

!(x

+1)n

+C

n

.n

!(x

-1)(x

+1)

+C

(x

-1)2

(x

+1)n-

2+

…

+

n!(x

-

1)

}nnn-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-1n-n-n2n1n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n2n-n-J)n2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn1n-n-nnnnn1l(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)n(nnnnn55根據(jù)上式，可以寫出P

(1)=

.

n!(2)=

1

；

P

(1)=

.n!(2)=

(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn返回例7.156例

7.2例7.2求(1-x2

)y,,