北京市平谷區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市平谷區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上．1.已知集合，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以.故選：D.2.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A項，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故A項錯誤；B項，由于在上是減函數(shù)，故B項錯誤；C項，由于在上單調(diào)遞增，故C項正確；D項，由于是對稱軸為，開口向上的二次函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D項錯誤.故選：C.3.若，，則一定有（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)，有，由于，兩式相乘有.故選：A.4.設(shè)，且，則（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】A【解析】因為，且，則或.故選：A.5.已知，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，，則.故選：B.6.如果函數(shù)的一個零點是，那么可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，解得，對比選項可知只有，符合題意.故選：D.7.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意.故選：B.8.函數(shù)的定義域為．則其值域為（）A B. C. D.【答案】C【解析】由題意，所以，.故選：C.9.“”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，所以或，，即或，因此題中應(yīng)是必要不充分條件．故選：B．10.已知函數(shù)為坐標(biāo)原點，若對于圖象上的任意一點，將線段繞著點逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，點落在的圖象上，則實數(shù)（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】設(shè)圖象上的任意一點，將線段繞著點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖，設(shè)為旋轉(zhuǎn)后的點，過作于，過作于，則易知，得到，所以點，依題有，得到，所以.故選：B.二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上.11.函數(shù)的定義域為__________．【答案】【解析】由題意函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，即函數(shù)的定義域為.12.能說明“若函數(shù)滿足，則在內(nèi)不存在零點”為假命題的一個函數(shù)是______．【答案】【解析】可舉函數(shù)，可得，即有，但在內(nèi)存在零點1，可說明“若定義在R上的函數(shù)滿足，則在區(qū)間上不存在零點”假命題.13.已知函數(shù)，那么當(dāng)______時，函數(shù)取得最小值為______．【答案】【解析】因為，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.14.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點，則____________．【答案】【解析】由余弦值的定義得，則.15.已知函數(shù)，用表示的最小值，記為，那么的最大值為______．【答案】【解析】由，得到或，在同一坐標(biāo)系中，畫出的圖像，如圖所示，因為，由圖知，當(dāng)時，取到最大值為.16.設(shè)，函數(shù)，當(dāng)時，的值域是______；若恰有一個零點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以此時的值域是；當(dāng)時，若，則令，解得，若，則，所以此時恰有一個零點，故，滿足題意，當(dāng)時，若，則，若恰有一個零點，則只能當(dāng)時，有解，即當(dāng)時，有解，所以，綜上所述，若恰有一個零點，則的取值范圍是.17.在早高峰，某路口通過的車輛與時間的關(guān)系近似地符合，在早高峰這段時間內(nèi)．給出下列四個結(jié)論：①通過該路口的車輛數(shù)隨著時間逐漸增多；②早上6時和早上7時通過該路口的車輛數(shù)相等；③在任意時刻，通過路口的車輛不會超過35輛；④在任意時刻，通過路口的車輛不會低于14輛．依據(jù)上述關(guān)系式，其中所有正確結(jié)論的序號是______．【答案】②③④【解析】對于①，因為，令；則在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以先增后減，命題①錯誤；對于②，因為是二次函數(shù)，函數(shù)圖象的對稱軸是，所以，所以，命題②正確；對于③，因為的最小值是，所以的最大值是，即在任意時刻，通過路口的車輛不會超過35輛，命題③正確；對于④，因為，，且，所以的最小值為，即在任意時刻，通過路口的車輛不會低于14輛，命題④正確.綜上，所有正確結(jié)論的序號是②③④.三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．18.已知函數(shù)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）當(dāng)時，求的最大值與最小值．解：（1）因為，所以.（2）由，得到，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）當(dāng)，，令，則，由的圖像知，當(dāng)時，最小為，當(dāng)時，最大為，所以的最大值為，最小值為.19.設(shè)集合．（1）求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由，得到，即，由，得到，即，所以.（2）由（1）知，由，得到，又，由圖知，.20.已知函數(shù)如圖所示．（1）求的解析式；（2）求的最大值：（3）將的圖象向右平移2個單位長度后得到函數(shù)的圖象，直接寫出不等式的解集．解：（1）由圖知，函數(shù)過點，所以，解得，所以的解析式為.（2）由（1）知，二次函數(shù)的對稱軸為，開口向下，所以函數(shù)在處取到最大值為.（3）因為，所以，在同一直角坐標(biāo)系中，作出和的圖像，如圖所示，當(dāng)時，，，由，解得，所以不等式的解集.21.已知函數(shù)的圖像過原點，且．（1）求實數(shù)的值；（2）若，寫出的最大值；（3）設(shè)，直接寫出的解集．解：（1）由題意，解得.（2）由（1）可知，若，則，所以的最大值為.（3）由題意不等式等價于，且注意到，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象和的圖象如圖所示：由圖可知：不等式的解集為.22.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）直接寫出的值；（2）再從條件①、條件②中選擇一個作為已知，求函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，若函數(shù)在區(qū)間上恰有1個零點，求實數(shù)的取值范圍．條件①：當(dāng)時，函數(shù)取得最小值；條件②：為函數(shù)的一個零點．解：（1）由對稱性可知函數(shù)的周期滿足，解得.（2）若選條件①：當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，則，解得，又，所以只能，由圖可知，解得，所以此時函數(shù)的解析式為；若選條件②：為函數(shù)的一個零點，由圖可知，則當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，這又回到了條件①，由以上可知此時同樣有，綜上所述，無論是選條件①還是選條件②，函數(shù)的解析式均為.（3）由題意結(jié)合題圖可知，在（2）的條件下，若函數(shù)在區(qū)間上恰有1個零點，則該零點只能是，所以，即實數(shù)的取值范圍為.23.已知集合，若中元素的個數(shù)為，且存在，使得，則稱是的