廣東省東莞市七校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省東莞市七校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得：，即，.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A0 B.1 C. D.2【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以．故選：A．3.已知，滿足，，，則，的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，則，由于，所以.故選：B4.已知，，則sin（α＋β）=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，，兩式相加可得：，所以，所以，解得，故選：C.5.已知一個(gè)圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個(gè)圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為，因?yàn)閳A錐的軸截面是等邊三角形，所以圓錐的母線長(zhǎng)為，則圓錐和圓柱的高為，所以圓錐的側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為,故選:C.6.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點(diǎn)（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，…，我國(guó)宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一形”錐垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛（如圖所示，從上到下，頂上一層1個(gè)球，第二層3個(gè)球，第三層6個(gè)球…），若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛第18層球的個(gè)數(shù)為（）A.190 B.171 C.153 D.136【答案】B【解析】設(shè)“落一形”三角錐垛從頂上一層開始，依次往下各層球的個(gè)數(shù)形成數(shù)列，，…，由此得，即，則，所以若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛第18層球的個(gè)數(shù)為171.故選：B.7.對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，，定義，若，，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.函數(shù)是奇函數(shù)B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)D.函數(shù)最大值為2【答案】C【解析】由題意可得：，令；解得或；令；解得；所以，即，作出函數(shù)的圖像如下:對(duì)于選項(xiàng)A：由圖像可知為偶函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)B：由圖像可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，但.可得在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C：由圖像可知：函數(shù)圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D：由圖像可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值為1，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.8.定義在R上的函數(shù)滿足，若且，則（）A. B. C. D.與的大小不確定【答案】B【解析】因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又因?yàn)?，所以在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，所以，綜上：.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題9.甲、乙兩名高中同學(xué)歷次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)(百分制)分別服從正態(tài)分布其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法中正確的是（）附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則.A.乙同學(xué)的平均成績(jī)優(yōu)于甲同學(xué)的平均成績(jī)B.甲同學(xué)的平均成績(jī)優(yōu)于乙同學(xué)的平均成績(jī)C.甲同學(xué)成績(jī)比乙同學(xué)成績(jī)更集中于平均值附近D.若，則甲同學(xué)成績(jī)高于80分的概率約為0.1587【答案】ACD【解析】由圖象可知，甲的圖象關(guān)于對(duì)稱，乙的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以甲同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分，乙同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分，故選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)榧椎膱D象比乙的圖象更“高瘦”，所以甲的成績(jī)比乙的成績(jī)更集中于平均值左右，則甲同學(xué)成績(jī)的方差比乙同學(xué)成績(jī)的方差小，故選項(xiàng)C正確；若，則甲同學(xué)成績(jī)高于80分的概率約為，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．10.對(duì)于函數(shù)，給出下列結(jié)論，其中正確的有（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)镃.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象D.曲線在處的切線的斜率為1【答案】BD【解析】由題意知，對(duì)于A，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，則，B正確；對(duì)于C，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，故曲線在處的切線的斜率為1，D正確，故選：BD11.已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，且，A、P、B為雙曲線上不同的三點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線與斜率的乘積為1，則下列正確的是（）A.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為B.雙曲線C的離心率為C.若，則三角形的周長(zhǎng)為D.的取值范圍為【答案】BCD【解析】根據(jù)題意可知，所以，設(shè)，則，將分別代入到雙曲線后相減可得，代入可求解出，對(duì)A，根據(jù)，解之可得，所以雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，根據(jù)離心率，將代入可得，故B正確；對(duì)C，根據(jù)，可知，則，可求得，所以三角形的周長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)D，設(shè)與雙曲線聯(lián)立可得，若有解，需要解之可求出或，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.過點(diǎn)引圓的切線，則切線方程為__________．【答案】或【解析】圓心坐標(biāo)，半徑，∵直線與圓相切，∴圓心到直線距離，若直線無斜率，其方程為符合題意，若直線存在斜率，設(shè)其方程為，即，，解得，∴切線方程為或，故答案為x=2或.13.在中，若，且AB邊上的中線長(zhǎng)為2，則面積的最大值為_______．【答案】【解析】因，由正弦定理可得，即，所以，又，所以，，設(shè)邊上的中線為，則，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)在上的最小值為______.【答案】【解析】令，即，解得，，，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，即、中必有一個(gè)為，則另一個(gè)為，所以，則，符合題意；則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在上的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某校高二年級(jí)為研究學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與語文成績(jī)的關(guān)系，采取有放回的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從高二學(xué)生中抽取樣本容量為200的樣本，將所得數(shù)學(xué)成績(jī)與語文成績(jī)的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)整理如下：語文成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀503080不優(yōu)秀4080120合計(jì)90110200（1）根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語文成績(jī)有關(guān)聯(lián)？（2）在人工智能中常用表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的優(yōu)勢(shì)，在統(tǒng)計(jì)中稱為似然比.現(xiàn)從該校學(xué)生中任選一人，表示“選到的學(xué)生語文成績(jī)不優(yōu)秀”，表示“選到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀”.請(qǐng)利用樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)的值.附：.0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）零假設(shè)為：數(shù)學(xué)成績(jī)與語文成績(jī)無關(guān)，據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得，根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語文成績(jī)有關(guān).（2）表示“選到的學(xué)生語文成績(jī)不優(yōu)秀”，表示“選到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀”，利用樣本數(shù)據(jù)，則有，，所以，則估計(jì)的值為.16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）若平面與平面的夾角為，求的長(zhǎng)．（1）證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，如圖，因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，所以．又平面AEC，平面AEC，所以平面AEC．（2）解：因?yàn)槠矫鍭BCD，AD，平面ABCD，所以，．又，所以PA，AD，AB兩兩互相垂直，故以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，，，，,所以，．顯然為平面DAE的一個(gè)法向量．設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為n=則，即令，得，因?yàn)槠矫鍰AE與平面AEC的夾角為，所以，解得或（舍去），即·17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)于任意正整數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的最小值.解：（1）數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，，，當(dāng)時(shí)，；經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足上式.（2）由，則，而，所以，即的最小值為.18.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，.①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：.（1）解：當(dāng)時(shí)，，，，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是.（2）函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，等價(jià)于方程有兩個(gè)不同實(shí)根，.①解：令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，由于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，的大致圖象如圖所示：所以，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，.②證明：不妨設(shè)，，，兩式相加得，兩式相減得，所以.要證，只需證.即證.設(shè)，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即.19.通過研究，已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)P，（1）已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：（2）已知二次方程的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，（i）求斜橢圓C的離心率；（ⅱ）過點(diǎn)作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線交斜橢圓C于點(diǎn)M、N，過原點(diǎn)O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點(diǎn)G、H，判斷是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值，若不是，請(qǐng)說明理由.解：（1）由已知可得，則，設(shè)，則，所以，，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為