廣東省河源市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省河源市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線與直線平行，則的斜率為（）A.6 B. C. D.【答案】D【解析】將直線化為斜截式可得，易知直線的斜率與直線的斜率相等，即的斜率為；故選：D2.若等差數(shù)列中，，則（）A.12 B.14 C. D.【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得；因此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以.故選：A3.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是的左支上一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知，由雙曲線定義可得，又為左焦點(diǎn)，點(diǎn)是的左支上一點(diǎn)，所以，可得.故選：B4.已知點(diǎn)，，，則原點(diǎn)到平面的距離為（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】易知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，取可得；又，所以原點(diǎn)到平面的距離為.故選：A5.在高層建筑中，為了優(yōu)化建筑結(jié)構(gòu)，減少風(fēng)荷載影響，設(shè)計(jì)師可能會(huì)將建筑設(shè)計(jì)成底面樓層高度比較高，隨著樓層往上逐步按照等比數(shù)列遞減的“金字塔”形狀，已知某高層建筑共10層，第2層高度為，第層高度記為，是公比為的等比數(shù)列，若第層高度小于，則的最小值為（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C【解析】由題意得，，則，故，由題意得，解得，即的最小值是4.故選：C.6.若圓上到直線的距離為的點(diǎn)恰好有3個(gè)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】由圓，可得圓心，則圓心到直線的距離為，要使得圓到直線的為的點(diǎn)恰好有3個(gè)，則，可得.故選：A.7.如圖，在正三棱錐中，高，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】在等邊中，因?yàn)?，可得的高為，所以，在直角中，可得，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，可得，在中，可得，所以.故選：B.8.若點(diǎn)既在直線上，又在橢圓上，的左、右焦點(diǎn)分別為，，且的平分線與垂直，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】過(guò)點(diǎn)、分別作、垂直直線于點(diǎn)、，作的平分線與軸交于，由，故、，則，，由且為的平分線，故，故，又、，故與相似，故，由，令，則，故直線與軸交于點(diǎn)，故，，故，由，故，，故，，由橢圓定義可知，，故，即的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.若點(diǎn)為原點(diǎn)，且圓與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則圓的半徑可以是（）A.1 B.2 C.8 D.9【答案】AD【解析】圓的圓心，半徑，，顯然點(diǎn)在圓外，由于圓與圓無(wú)公共點(diǎn)，則圓與圓可以外離，也可以內(nèi)含，且圓在圓內(nèi)，設(shè)圓的半徑為，于是或，即或，解得或，所以圓的半徑可以是1或9，即AD滿足，BC不滿足.故選：AD10.已知分別為空間中兩條不重合的直線的方向向量，分別為兩個(gè)不重合的平面的法向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】對(duì)于A中，由，可得，則，當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，可得，則，所以B正確；對(duì)于C中，因?yàn)榉謩e為兩個(gè)不重合的平面的法向量，若，可得，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)榉謩e為兩個(gè)不重合的平面的法向量，若，可得，所以D不正確.故選：BC.11.已知數(shù)列是等差數(shù)列，都是正整數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.不可能是等比數(shù)列C.不是等差數(shù)列 D.若，則【答案】AD【解析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，以及都是正整數(shù)，若，則都是正整數(shù)，且滿足，所以，即A正確；當(dāng)數(shù)列是非零的常數(shù)列時(shí)，例如滿足是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列，即B錯(cuò)誤；不妨設(shè)數(shù)列的公差為，易知為定值，所以是公差為的等差數(shù)列，即C錯(cuò)誤；由可得，可得，即D正確；故選：AD12.已知直線，拋物線與拋物線的焦點(diǎn)分別為，則（）A.存在，使得直線過(guò)點(diǎn)與B.存在，使得直線與各有1個(gè)公共點(diǎn)C.若過(guò)與的公共點(diǎn)，則與兩準(zhǔn)線的交點(diǎn)距離為D.與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合為【答案】ABD【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)與，A正確；由消去y得，由，得，此時(shí)直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，由消去x得，由，得，直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，直線與各有1個(gè)公共點(diǎn)，B正確；拋物線與的公共點(diǎn)為和，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，直線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)間距離為，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，當(dāng)時(shí)，直線與的交點(diǎn)各有兩個(gè)，而當(dāng)或時(shí)，直線經(jīng)過(guò)了的交點(diǎn)此時(shí)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，當(dāng)且且時(shí)，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，因此與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合為，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共4小題.13.橢圓的離心率為_(kāi)______.【答案】【解析】橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，半焦距，所以橢圓的離心率.故答案為：14.已知點(diǎn)，，若直線的一個(gè)方向向量為，則_______.【答案】【解析】易知，顯然方向向量與共線，即，解得，所以；因此可得；故答案為：15.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則_______.【答案】【解析】由可得，由累乘可得.故答案為：16.《測(cè)圓海鏡》是金元時(shí)期李治所著中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作，是中國(guó)古代論述容圓的一部專著，如第2卷第8題的“弦外容圓”問(wèn)題是一個(gè)勾股形（直角三角形）外與弦相切的旁切圓問(wèn)題，已知在中，，，點(diǎn)在第一象限，直線的方程為，圓與延長(zhǎng)線、延長(zhǎng)線及線段都相切，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)______.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，直線的方程為，由可得，所以直線的方程為，聯(lián)立直線和的方程，可得；由圓與延長(zhǎng)線、延長(zhǎng)線及線段都相切，由對(duì)稱性可得圓心在的平分線上，即上；如下圖所示：設(shè)，且，由直線與圓相切可得，解得或（舍）；結(jié)合圖形可知，此時(shí)圓心為，半徑為；因此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知點(diǎn)，，直線與直線垂直.（1）求的值；（2）若圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）依題意，直線的斜率為，由直線垂直于直線，得，所以.（2）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則線段的中垂線方程為，即，由圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得圓心在直線上，而圓心又在軸上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）若是等比數(shù)列且公比，求；（2）若是等差數(shù)列且，求的最小值.解：（1）設(shè)首項(xiàng)為，由題意得，且是等比數(shù)列，故，解得，則，（2）設(shè)首項(xiàng)為，公差為，且是等差數(shù)列，故，解得，故，，由二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，但一定為正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí).19.如圖,在四棱錐中,底面是正方形,底面,.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）如圖所示：連接BD，AC，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所?又底面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，，設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為：，則，即，令，得，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.20.已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且的一條漸近線的方程為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)是的左頂點(diǎn)，是上與頂點(diǎn)不重合的動(dòng)點(diǎn)，從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，求直線與的斜率之積.①關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②關(guān)于軸對(duì)稱.注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）由題意得的一條漸近線的方程為，故，又，解得，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）若選①，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由題意得，，，故，則，若選②，關(guān)于軸對(duì)稱，由題意得，，，故，則，21.已知數(shù)列前項(xiàng)和為.（1）若，求和：；（2）若，證明：是等差數(shù)列.解：（1）由，得，即數(shù)列是等差數(shù)列，因此，則，所以.（2）由，得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，顯然有，兩式相加得因此，即，成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列.22.已知F是拋物線C：（）的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作斜率為k的直線交C于M，N兩點(diǎn)，且.（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）