廣東省汕頭市2025屆高三上學(xué)期12月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省汕頭市2025屆高三上學(xué)期12月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列命題既是真命題又是存在量詞命題的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，選項(xiàng)A、D為全稱量詞命題，選項(xiàng)B、C為存在量詞命題.當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B為真命題.當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)C為假命題.故選：B.2.若，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，所?故選：C.3.已知平面向量滿足：，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】已知，兩邊同時(shí)平方可得：.展開得到：.因，則，上式化為：，即..故選：A.4.我們研究成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系，其中，.在集合中取一個(gè)元素作為的值，使得這組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)程度最強(qiáng)，則（）A.8 B.11 C.12 D.13【答案】B【解析】由可知前9個(gè)點(diǎn)在直線上.∵，∴要使相關(guān)性最強(qiáng)，應(yīng)更接近10，四個(gè)選項(xiàng)中最接近.故選：B.5.某市為修訂用水政策，制定更合理的用水價(jià)格，隨機(jī)抽取100戶居民，得到他們的月均用水量，并整理得如下頻率分布直方圖.根據(jù)直方圖的數(shù)據(jù)信息，下列結(jié)論中正確的是（）A.100戶居民的月均用水量的中位數(shù)大于7.2B.100戶居民的月均用水量低于16.2的用戶所占比例超過C.100戶居民的月均用水量的極差介于21與27之間D.100戶居民的月均用水量的平均值介于16.2與22.2之間【答案】C【解析】由頻率分布直方圖可知，，解得，對(duì)于A，月均用水量在頻率為，月均用水量在的頻率為，所以100戶居民的月均用水量的中位數(shù)在，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?00戶居民的月均用水量低于16.2的用戶的頻率為，所以100戶居民的月均用水量低于16.2的用戶所占比例為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖知，極差的最大值為，最小值為，所以100戶居民的月均用水量的極差介于21與27之間，故C正確；對(duì)于D，100戶居民的月均用水量的平均值為t，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由拋物線的定義，可知，又，，則，即，由點(diǎn)在C上，得，結(jié)合，解得.所以C的方程為.故選：B.7.已知正四棱臺(tái)的上?下底面面積分別為，下底面上的棱與側(cè)棱所成角的余弦值為，則該正四棱臺(tái)的體積為（）A. B. C.148 D.【答案】A【解析】因?yàn)檎睦馀_(tái)的上、下底面面積分別為，，所以上、下底面邊長(zhǎng)分別為，．如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則．因?yàn)椋耘c所成的角為，所以，得．設(shè)該正四棱臺(tái)上、下底面的中心分別為，，連接，，，易得，，過作于點(diǎn)，則，．所以該正四棱臺(tái)的體積．故選：.8.設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，則對(duì)任意的，，則當(dāng)時(shí)，，不合乎題意；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，不合乎題意；若，則當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，不合乎題意.所以，，此時(shí)，，則f1=0，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，.所以，對(duì)任意的，，合乎題意，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線，，則下列說法正確的是（）A.若，則曲線表示兩條直線B.若，則曲線是橢圓C.若，則曲線是雙曲線D.若，則曲線的離心率為【答案】ACD【解析】由題意，曲線，，若，則，此時(shí)曲線，表示兩條直線，故A正確；若，又，則，曲線，可化為，當(dāng)時(shí)，則曲線表示圓，當(dāng)時(shí)，則曲線表示橢圓，故B錯(cuò)誤；若，又，則，則曲線表示雙曲線，故C正確；若，又，所以，則曲線為，則曲線為等軸雙曲線，離心率為，故D正確.故選：ACD.10.已知，則（）A.若，且，則B.，使得的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，且，則D.若在上恰有2個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】因?yàn)椋灾芷?，?duì)于A，由條件知，周期為，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)圖像左移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，解得，，又，所以，B正確；對(duì)于C，函數(shù)，令，，可得：，.，令，可得一條對(duì)稱軸方程為，令，可得一條對(duì)稱軸方程為，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，可知，關(guān)于其中一條對(duì)稱軸是對(duì)稱的，即，，關(guān)于其中一條對(duì)稱軸是對(duì)稱的，即，那么，C正確；對(duì)于D，令，由在上恰有2個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)，得，解得，故D正確，故選：BCD.11.將函數(shù)的圖像繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線依然可以看作一個(gè)函數(shù)的圖像、以下函數(shù)中符合上述條件的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】若函數(shù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后所得函數(shù)仍是一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)的圖像與任一斜率為的直線均不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn).對(duì)于，設(shè)，則，則為上的單調(diào)遞減函數(shù)，即方程只有一解，所以與只有一個(gè)交點(diǎn)，故符合題意，A正確；對(duì)于，設(shè)，,則在有零點(diǎn)，即方程不只有一解，所以與多個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，B錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)，顯然為0,+∞上減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即所以與只有一個(gè)交點(diǎn)，故符合題意，C正確；對(duì)于，設(shè)，則，顯然在和0,2上各有零點(diǎn)，即所以與有多個(gè)交點(diǎn)，故不符合題意，D錯(cuò)誤.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知公比不為1的等比數(shù)列中，且成等差數(shù)列，則___________（結(jié)果用冪表示）【答案】【解析】已知成等差數(shù)列，則根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得.因?yàn)?，設(shè)等比數(shù)列的公比為（），則，.將，，代入可得：，解得或（公比不為，舍去）.由等比數(shù)列通項(xiàng)公式，則.故答案為：.13.已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過的直線與圓相切于點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為___________.【答案】【解析】根據(jù)題意，由切線性質(zhì)，，，所以，則，且，由余弦定理得，解得，又，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：14.如圖，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走dm到達(dá)B處，在B處測(cè)得山頂P的仰角為，則山高_(dá)________m.（結(jié)果用d、、、表示）【答案】【解析】設(shè)山高，則，延長(zhǎng)交于，如圖，則，因此，，，，在中由正弦定理得，所以，故答案為：．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.某校為了解高三學(xué)生每天的作業(yè)完成時(shí)長(zhǎng)，在該校高三學(xué)生中隨機(jī)選取了100人，對(duì)他們每天完成各科作業(yè)的總時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如下表所示：時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）人數(shù)（人）34334218用表格中頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生完成各科作業(yè)時(shí)互不影響.（1）從該校高三學(xué)生中隨機(jī)選取1人，估計(jì)該生可以在3小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)的概率；（2）從樣本“完成各科作業(yè)的總時(shí)長(zhǎng)在2.5小時(shí)內(nèi)”的學(xué)生中隨機(jī)選取3人，其中共有人可以在2小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從該校高三學(xué)生（學(xué)生人數(shù)較多）中隨機(jī)選取3人，其中共有人可以在3小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)，求.解：（1）設(shè)“從該校高三學(xué)生中隨機(jī)選取1人，這個(gè)學(xué)生可以在3小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)”為事件，則.（2）樣本中“完成各科作業(yè)的總時(shí)長(zhǎng)在2.5小時(shí)內(nèi)”的學(xué)生有（人），其中可以在2小時(shí)內(nèi)完成的有3人，的所有可能取值為0，1，2，3.，，，，∴的分布列為：∴.（3）由題意得，，∴.16.已知橢圓左?右焦點(diǎn)分別為，直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），的面積是面積的2倍.（1）求直線的方程；（2）求.解：（1）由得.∵直線與交于兩點(diǎn)，∴，解得.設(shè)到的距離為，到的距離為，由題意得，，則，∴，解得或（舍），∴直線的方程為.（2）由題意得，.設(shè)，則.由得，解得，∵點(diǎn)在第一象限，∴，，∴.在中，由余弦定理得，,∴，∴，∴，∴，即.17.如圖，平面四邊形中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，于，將沿翻折至，使得.（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)橛煞鄱?，且，根?jù)翻折的性質(zhì)，翻折前后對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角不變，所以.已知，所以因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，即，，平面，所以平面?）解：由（1）知平面，平面，所以，又，.可求得.又.則.則.則兩兩垂直，可以建立空間直角坐標(biāo)系平面的法向量可取.點(diǎn)中點(diǎn)，則，，則.則，則點(diǎn)為中點(diǎn)，則，則.設(shè)平面法向量為，則，即，解得，故.設(shè)平面與平面的夾角為，則.故平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知函數(shù).（1）證明曲線是軸對(duì)稱圖形；（2）設(shè)函數(shù)，解不等式（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）證明：由得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，即曲線是軸對(duì)稱圖形；（2）解：因?yàn)?，則，令，則，令，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以在單調(diào)遞增，又，則，即，所以，所以不等式的解集為.19.設(shè)為無窮數(shù)列，為正整數(shù)集的無限子集，且，則數(shù)列稱為數(shù)列的一個(gè)子列.（1）請(qǐng)寫出一個(gè)無窮等差數(shù)列，其任意子列均為等比數(shù)列；（2）設(shè)無窮數(shù)列為等差數(shù)列，，證明：的任意子列不是等比數(shù)列；（3）對(duì)于公差不為零的無窮等差數(shù)列，試探究其任意子列不是等比數(shù)列的一個(gè)充分條件.（1）解：既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列最簡(jiǎn)單的是非0常數(shù)列，如，它是等差數(shù)列，它的任意子列均為公比為1的等比數(shù)列；（2）證明：若存在一個(gè)子列是等比數(shù)列，則中必存在某三項(xiàng)成等比數(shù)列，下證的任意三項(xiàng)不能構(gòu)成等比數(shù)列，假設(shè)，其中且，因?yàn)楣?，所以，從而，整理得，若，則，從而，與矛盾，所以，此時(shí)，（1）中左邊為無理數(shù)，右邊為有理數(shù)，不可能相等，所以假設(shè)不成立，