廣東省韶關市2025屆高三上學期綜合測試（一）數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省韶關市2025屆高三上學期綜合測試（一）數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數滿足，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】法1：因為，所以，所以.法2：因為，所以，即.故選：C.2.已知數列是等比數列，若，則的前6項和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設數列的公比為，依題意，，解得，所以.故選：A3.已知向量，若與垂直.則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，向量，可得，因為，所以，解得，所以當時，與垂直，故選：A.4.眾數?平均數和中位數都描述了數據的集中趨勢，它們的大小關系和數據的分布形態(tài)有關.根據某小區(qū)1000戶居民的月均用水量數據（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖，記該組數據的眾數為，中位數為，平均數為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】觀察頻率分布直方圖，發(fā)現是屬于右邊“拖尾”，所以平均數大于中位數為，由于第一個小矩形面積為，前2個小矩形面積之和為，所以中位數位于之間，故可得，解得，由頻率分布直方圖可知眾數，故，故選：D.5.已知函數在上是單調函數，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為時，是單調減函數，又因為在R上單調，所以，故時，單調遞誠，則只需滿足，解得，故選：B6.已知函數的部分圖像如圖，是相鄰的最低點和最高點，直線的方程為，則函數的解析式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】連接，與軸交于點，由圖像的對稱性，知點也在函數的圖像上，所以點的坐標為.設，由，得，所以的最小正周期滿足，解得，即，解得，，因為點是圖像的一個最高點，所以，結合，解得，故選：C.7.已知為方程的兩個實數根，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為為方程的兩根，由韋達定理，得，則故選：C.8.橢圓的左右焦點分別為，以為直徑的圓與橢圓沒有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以為直徑的圓的方程為，依題意，橢圓短軸的端點在此圓外，即，解得，則雙曲線的離心率為，由，得，所以所求離心率取值范圍.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知某批產品的質量指標服從正態(tài)分布，且，現從該批產品中隨機取3件，用表示這3件產品的質量指標值位于區(qū)間的產品件數，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由正態(tài)分布的概念可知，故A正確；由正態(tài)分布的性質得，故B錯誤；則1件產品的質量指標值位于區(qū)間的概率為所以，故C正確；，故D錯誤.故選：AC.10.已知圓錐的頂點為為底面圓的直徑，，點在圓上，點為的中點，與底面所成的角為，則（）A.該圓錐的側面積為B.該圓錐的體積為C.D.該圓錐內部半徑最大的球的表面積為【答案】BCD【解析】由已知，，，易得等腰三角形的底邊長，，對于A，該圓錐的側面積為，A錯誤；對于B該圓錐的體積為，B正確；對于C，如圖，取中點為，連接，則為與底面所成角為，故，C正確；對于D，當球與圓錐內切時，表面積最大，此時球心在圓錐的高上，設為，球半徑為，過向作垂線，垂足為，則，又，所以，所以，球的表面積為，D正確，故選：BCD11.若為函數的導函數，對任意的，恒有，且，則（）A. B.C.為偶函數 D.若，則【答案】ABD【解析】原式移項得，即對于A，令，則由可得，故（舍去）或，故A正確：對于B，令，則，故.由于x∈R，令，則，所以，即有，故B正確：對于C，令，則，即，因為，所以，所以為偶函數，對左右兩邊同時求導得，所以為奇函數，故C錯誤；對于D，由A選項，若，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，由此可得的值有周期性，且周期為6，且，故，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，寫出滿足條件的整數的一個值__________.【答案】中的任何一個值.【解析】因為，所以，又因為，故整數所有可能取值為.故答案為：中的任何一個值.13.已知，則__________.【答案】4【解析】由，整理得，得，解得，所以.另解：由題知，則，利用基本不等式可得，當且僅當時取等號，解得.故答案為：414.小明參加一項籃球投籃測試，測試規(guī)則如下：若出現連續(xù)兩次投籃命中，則通過測式；若出現連續(xù)兩次投籃不中，則不通過測試.已知小明每次投籃命中的概率均為，則小明通過測試的概率為__________.【答案】【解析】設第一次投籃成功為事件B，通過測試為事件A，則，所以，所以，故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文子說明?證明過程或演算步驟.15.已知分別為三個內角的對邊，且.（1）求；（2）若，求周長的最大值.解：（1）由b及正弦定理得所以因為化簡得因為，所以，所以所以.（2）法一：由余弦定理有因為所以即，所以，當且僅當時等號成立所以的周長.即周長的最大值為6.法二：由正弦定理，即的周長因為，所以所以因為，所以當時取得最大值為6法三：（幾何法）：如圖1所示，延長到點，使得使得，要使的周長最大，則需滿足長度最大將問題轉化為已知一邊，一對角，求另一邊的長度的最大值由圖2可得.當為該圓直徑時，最大.即所以.16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，平面平面為的中點.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：方法一；由，有，，因為為正方形，故，又平面平面交于平面，所以，平面，又平面，所以，又平面平面，故平面，又平面，所以平面平面.方法二；因為為正方形，故，而平面平面交于平面，所以平面，又平面，所以，平面和平面交線平行于.故是平面和平面所成二面角的平面角..有，故平面平面.方法三：取中點為，先證明：，，點為的中點.，而平面平面交于平面，所以，平面，又平面，所以，，由已知，建立如圖空間直角坐標系，因為.故，，設平面的一個法向量為，則，即，取，得，設平面的一個法向量為，則，即，取，得，，故，所以，平面平面.（2）解：取中點為.由（1）知，，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，所以，，顯然可知平面的法向量為PD=0,1,-1設平面的一個法向量為，則，，取，得，則，所以平面和平面所成銳二面角的余弦值為.17.已知拋物線的焦點為，其準線與軸相交于點.動點滿足直線的斜率之積為，記點的軌跡為.（1）求的方程；（2）過點且斜率為的直線與軸相交于點，與相交于兩點，若.求的值.解：（1）設點，由題意知.直線的斜率分別，所以，化簡得點的軌跡方程為.（2）方法一，設，由題意知直線的方程為，所以，聯立方程組，消去整理得，，，由得，，故有，即，解得.方法二：設，由題意知直線的方程為，所以，聯立方程組，消去整理得.，，由得，，故有，即，解得.方法三：設，由題意知直線的方程為，所以.因為，所以線段的中點為，，又因為，所以點也是的中點，聯立方程組，-②得，即，所以，又因為，所以，解得.18.已知函數.（1）當時，求函數的圖像在點處的切線方程；（2）討論函數的單調性；（3）設，若，求實數的取值范圍.解：（1），當時，，當時，，函數在處的切線方程為.（2）函數的定義域為，①當時，恒成立，令，則，若：若，所以在單調遞減，在單調遞增；②當時，，令，則，（i）當，即時，若或：若，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增.（ii）當，即時，恒成立，在上遞增.（iii）當，即時，若或：若，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，綜上所述，當時，在單調遞減，在單調遞增；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當時，在上遞增；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增.（3）由得恒成立因為，即恒成立.設，則，因為，同構可得令因為，所以，下面先證設，于是，令，則，當時，：當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，當且僅當時等號成立.所以，即，所以，即故實數取值范圍為19.設數列的前項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）在和之間插入1個數，使成等差數列；在和之間插入2個數，使成等差數列；依次類推，在和之間插入個數，使成等差數列.（i）若，求；（ii）對于（i）中的，是否存在正整數，使得