廣西壯族自治區(qū)名校2025屆高三上學(xué)期12月模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)名校2025屆高三上學(xué)期12月模擬考試數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋栽趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，位于第三象限.

故選：C2.已知為單位向量，且在上的投影向量為，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】設(shè)的夾角為，由題意得，，所以，故選：C3.某次數(shù)學(xué)考試后，為了分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從該年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為的樣本，整理得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知成績(jī)?cè)诜秶鷥?nèi)的人數(shù)為60，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的值為200B.這次考試的及格率（60分及以上為及格）約為C.估計(jì)學(xué)生成績(jī)的第75百分位數(shù)為80分D.總體分布在的頻數(shù)與總體分布在的頻數(shù)相等【答案】C【解析】，解得，所以成績(jī)?cè)诜秶鷥?nèi)的頻率為，人，故A錯(cuò)誤；，所以這次考試的及格率（60分及以上為及格）約為，故B錯(cuò)誤；成績(jī)?cè)诘念l率為，所以估計(jì)學(xué)生成績(jī)的第75百分位數(shù)為80分，故C正確；樣本分布在的頻數(shù)與樣本分布在的頻數(shù)相等，但總體分布在的頻數(shù)與總體分布在的頻數(shù)不一定相等，故D錯(cuò)誤．故選：C4.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致是（）A. B.C D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱，故排除C，D，又，故排除A.故選：B5.已知直線與直線，則“”是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)橹本€與直線，若，則，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A6.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線交的左支于，兩點(diǎn).（為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)到直線的距離為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令雙曲線的半焦距為，取的中點(diǎn)，連接，由，得，則，連接，由為的中點(diǎn)，得，所以，，，因此，即，整理得，所以離心率．故選：D7.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個(gè)頂點(diǎn)所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體?正六面體?正八面體?正十二面體?正二十面體，如圖所示為正八面體，則該正八面體的外接球與內(nèi)切球的表面積的比為（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】設(shè)正八面體的棱長(zhǎng)為a，正八面體的中心到頂點(diǎn)的距離就是外接球半徑R，∴中心到面的距離就是內(nèi)切球半徑r,正八面體的體積，，解得根據(jù)球的表面積公式，外接球表面積，內(nèi)切球表面積；則外接球與內(nèi)切球表面積之比故選：D8.已知，若函數(shù)，則的最小值為（）A. B.1 C. D.3【答案】B【解析】函數(shù)，等價(jià)于，即在R上恒成立，即，.則，令，對(duì)其求導(dǎo)得，當(dāng)在上單調(diào)遞減，當(dāng)在單調(diào)遞增，所以故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，它的最小正周期是，則以下結(jié)論正確的是（）A.的圖象過(guò)點(diǎn)B.在上是減函數(shù)C.的最大值與的取值有關(guān)D.的一個(gè)對(duì)稱中心是【答案】ACD【解析】函數(shù)的最小正周期是，，，又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，又，，，，圖象過(guò)，故A正確；的正負(fù)未知，故無(wú)法確定的單調(diào)性，故B錯(cuò)誤；顯然的最大值與的取值有關(guān)，故C正確；，是的一個(gè)對(duì)稱中心，故D正確．故選：ACD10.已知函數(shù)，則（）A.必有兩個(gè)極值點(diǎn)B.存在實(shí)數(shù)使得C.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心D.若曲線有兩條過(guò)點(diǎn)的切線，則或【答案】BCD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，f'x≥0恒成立，所以無(wú)極值點(diǎn)，故A對(duì)于B，，令，則，令，，當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，存在實(shí)數(shù)使得，故B正確；對(duì)于C，由，知的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；對(duì)于D，過(guò)的切線的切點(diǎn)為，切線斜率為，則切線方程為，把點(diǎn)代入可得，化簡(jiǎn)可得，令，則，令可得或，在和上大于零，所以在和上單調(diào)遞增，在上小于零，所以在單調(diào)遞減，要使有兩個(gè)解，一個(gè)極值一定為0，若函數(shù)在極值點(diǎn)時(shí)的函數(shù)值，可得，若函數(shù)在極值點(diǎn)時(shí)的函數(shù)值，可得，所以若曲線y=fx有兩條過(guò)點(diǎn)2,1的切線，則或，故D正確．故選：BCD11.法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日是19世紀(jì)著名的幾何學(xué)家，被稱為“畫(huà)法幾何”創(chuàng)始人“微分幾何之父”，他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為，過(guò)圓上的動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，交圓于兩點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的離心率為B.若點(diǎn)在橢圓上，且直線的斜率之和為0，則直線的斜率為C.點(diǎn)到橢圓的左焦點(diǎn)的距離的最小值為D.面積的最大值為【答案】AB【解析】對(duì)于A，依題意，過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作軸的垂線，過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作軸的垂線，則這兩條垂線的交點(diǎn)在圓上，所以，得，所以橢圓的離心率，故A正確；對(duì)于B，由可知，又過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓方程為，因?yàn)辄c(diǎn)都在圓上，且，所以為圓的直徑，所以直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，易得點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則，，，，所以，所以，又，，所以，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，即，所以，又，所以，所以則到左焦點(diǎn)的距離的最小值為，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)都在圓上，且，所以為圓的直徑，則，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，所以面積，故D不正確；故選：AB三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是角終邊上的一個(gè)點(diǎn)，將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)?，由正切函?shù)定義可得，解得；，所以，，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故答案為：．13.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，則數(shù)列中最小的項(xiàng)為第____項(xiàng).【答案】【解析】，，且，，故等差數(shù)列為遞減數(shù)列，即公差為負(fù)數(shù)，，且，，，所以數(shù)列中最小的項(xiàng)是第項(xiàng).故答案為：．14.箱子里有大小相同的4種點(diǎn)數(shù)不同的紙牌各若干張，每次從中摸出4張紙牌為一組，其中摸出恰有3種點(diǎn)數(shù)組合紙牌的不同取法為_(kāi)_________種：若要保證至少有2組紙牌的點(diǎn)數(shù)組合是一樣的，則至少要摸出__________組紙牌.（兩空均用數(shù)字作答）【答案】①.②.【解析】先計(jì)算取出一組的類(lèi)型取法數(shù)，取一組有1種點(diǎn)數(shù)的取法數(shù)：，取一組有2種點(diǎn)數(shù)的取法數(shù)：，取一組有3種點(diǎn)數(shù)的取法數(shù)：，取一組有4種點(diǎn)數(shù)的取法數(shù)：，故共有種不同的組合取法．此時(shí)最不利的情況即每種組合各取一次，接著再取一組，就一定可以保證有2組紙牌的點(diǎn)數(shù)組合一樣，即所求為種．故答案為：12；36．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在銳角中，內(nèi)角對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理可得，所以，即，又，所以，因?yàn)?，所以；?）由（1）知，因?yàn)?，，，，，即的取值范圍為?6.為了調(diào)查某校學(xué)生喜歡跑步是否與性別有關(guān)，高三年級(jí)特選取了200名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：喜歡跑步不喜歡跑步合計(jì)女生90120男生55合計(jì)145200（1）計(jì)算的值，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷性別與喜歡跑步是否有關(guān)？（2）從上述的200名學(xué)生中按性別比例用分層抽樣的方法抽取10名學(xué)生，再在這10人中抽取3人調(diào)查其是否喜歡跑步，用表示3人中女生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1），，，，零假設(shè)為：性別與學(xué)生喜歡跑步無(wú)關(guān)，由題意得依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)認(rèn)為不成立，所以判斷性別與喜歡跑步無(wú)關(guān)；（2）由題意，參與調(diào)查的200人中，女生有120人，男生有80人，因，按性別比例分層抽樣抽出10人，則女生抽6人，男生抽4人，從10人中隨機(jī)抽取3人，則的取值可以為，，，，，則隨機(jī)變量的分布列為0123．17.如圖，在正三棱柱中，側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為2，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足.（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）證明：取中點(diǎn)，過(guò)作于，連接，，則，，，所以四邊形是平行四邊形，，由得，，又，，，所以，，，四點(diǎn)共面，又，所以，，，四點(diǎn)共面；（2）由已知得，如圖，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則由，得，令得，，又，，設(shè)直線與平面所成角為，則．18.已知點(diǎn)在拋物線上，按照如下方法依次構(gòu)造點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與拋物線交于另一點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.（1）求拋物線的方程；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）求面積.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，解得，所以拋物線的方程；（2）由可知，，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，且，過(guò)，，且斜率為的直線，聯(lián)立方程，消去可得，解得或，，可得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，所以，又，，；（3）由（2）可知：，，，直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為，，所以的面積為．19.給出下列兩個(gè)定義：I.對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?，且其在上是可?dǎo)的，若其導(dǎo)函數(shù)定義域也為，則稱該函數(shù)是“同定義函數(shù)”.II.對(duì)于一個(gè)“同定義函數(shù)”，若有以下性質(zhì)：①；②，其中為兩個(gè)新的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).我們將具有其中一個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱之為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，將兩個(gè)性質(zhì)都具有的函數(shù)稱之為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，將稱之為“自導(dǎo)函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)和是“單向?qū)Ш瘮?shù)”，或者“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，并說(shuō)明理由.如果具有性質(zhì)①，則寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)的“自導(dǎo)函數(shù)”；（2）已知函數(shù).（i）若的“自導(dǎo)函數(shù)”是，試求的取值范圍；（ii）若，且定義，對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.解：（1）對(duì)于函數(shù)，則，這兩個(gè)函數(shù)的定義域都是，所以函數(shù)為“同定義函數(shù)”，此時(shí)，，，滿足，，所以為“雙向?qū)Ш?/p>