人教版七年級數(shù)學(xué)?？級狠S題：解一元一次方程（五種題型）含答案及解析

專題07解一元一次方程壓軸五種題型

目錄

解題知識(shí)必備......................................

壓軸題型講練......................................

類型一、一元一次方程無數(shù)解問題.................................................1

類型二、一元一次方程相同解問題.................................................2

類型三、新定義運(yùn)算-解一元一次方程..............................................2

類型四、運(yùn)用一元一次方程-無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)..................................3

類型五、含絕對值的一元一次方程.................................................5

壓軸能力測評（8題）................................................6

X解題知識(shí)必備”

1.一元一次方程無解問題：

方法大招：1.整理成標(biāo)準(zhǔn)式ax=b形式2.分類討論

2.解決一元一次方程同解問題的方法：找到方程的根，并將這個(gè)根代入到另一個(gè)方程。

3.解一元一次方程步驟：合并同類項(xiàng)、移項(xiàng)、化系數(shù)為1

“壓軸題型講練X

類型一、一元一次方程無數(shù)解問題

【典例1】若關(guān)于久的方程：+青、=71有無數(shù)個(gè)解，貝吃nm的值為（）

A.-B.-2C.--D.--

4449

【變式1-1］若一元一次方程詈+2=%—b有無數(shù)個(gè)解，則Q+b的值為（）

14

A.--B.-1C.-D.1

【變式1-2】已知關(guān)于久的方程：+等=?有無數(shù)個(gè)解，貝IJ27ml的值為.

【變式1-3】閱讀下列分析過程，并解答問題.

一元一次方程ax=c

①當(dāng)a40時(shí)，方程有唯一解；

②當(dāng)a=0時(shí)，方程無解；

③當(dāng)a=0,。=0時(shí)，方程有無數(shù)解.

根據(jù)上面的方法，

(1)當(dāng)mx—1=3x+幾滿足唯一解、無解時(shí)，求機(jī)的值;

⑵滿足無數(shù)解時(shí)，求加、”的值.

類型二、一元一次方程相同解問題

【典例2】嘉淇在進(jìn)行解一元一次方程的練習(xí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)方程"3x+7=回-x"中的常數(shù)被"回"遮擋.

⑴嘉淇猜想“回"遮擋的常數(shù)是L請你算一算x的值；

⑵老師說此方程的解與方程2x-號=jx+4的解相同，請你算一算"空遮擋的常數(shù)是多少？

【變式2-1】已知方程第一4=2%-8與關(guān)于％的方程3。+8=3(%+口)一2a的解相同，求a的值.

【變式2-2］若方程彳9=-2與3幾一:=3(%+n)-2九的解相同，求(荏-37的值.

534

【變式2-3］已知關(guān)于x的方程與一三=%-1與方程3(“+2)=4%+5的解相同.

36

⑴求這個(gè)相同的解.

⑵求Q.

類型三、新定義運(yùn)算-解一元一次方程

【典例3］定義一種新運(yùn)算〃*〃：a*Z?=ab—a+b.例如3*1=3x1—3+1=1,(2a)*2=(2a)x2—

2a+2=2a+2.

⑴計(jì)算：5*(-1)的值；

(2)已知(2zn)*3=2*m,求zn的值.

【變式3-1】觀察下列式子，定義一種新運(yùn)算：

503=4x5+3；3O(-1)=4x3-1；-4O(-3)=4x(-4)-3；

⑴這種新運(yùn)算是：a(Db=(用含a,b的代數(shù)式表示)；

⑵如果a。(-6)=3G)a,求a的值；

⑶若a,b為整數(shù)，試判斷(a06—b。a)03a是否能被3整除.

【變式3-2】已知：x、y為有理數(shù)，如果規(guī)定一種新運(yùn)算回，定義x團(tuán)y=￡y-2.根據(jù)運(yùn)算符號的意義完成

下列各題.

⑴求2團(tuán)4的值;

⑵求(1團(tuán)5)團(tuán)6的值；

(3)30m=13求m的值.

【變式3-3］定義一種新運(yùn)算：對于任意有理數(shù)a、b都有a?b=a-2b,2十3=2—2x3=—4.

⑴求(一3)十2的值;

(2)化簡：(%-2y)?(x+2y)；

(3)已知(3x—1)十(x+3)=6,求x的值.

【變式3-4】在教科書第二章《有理數(shù)及其運(yùn)算》中，我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)的五種運(yùn)算，學(xué)會(huì)了研究運(yùn)算的方

法，現(xiàn)定義一種新運(yùn)算：a?b=U,定義的內(nèi)容被遮蓋住了，觀察各式，并回答下列問題：

2十4=2x3+4=10；

3?(-1)=3x3—1=8；

(-9)十5=(-9)x3+5=-22；

(-4)?(-6)=(-4)x3-6=-18

(1)請你補(bǔ)全定義內(nèi)容：；(用含a,b的代數(shù)式表示)

(2)先計(jì)算(-7)?2和2?(-7),再說明新定義的運(yùn)算"十”是否滿足交換律，即a十b=6十a(chǎn)是否成立；

⑶若根十(-8)=11十求7H的值.

類型四、運(yùn)用一元一次方程-無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)

【典例4】閱讀與探究:

我們把整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為“有理數(shù)"，那為什么叫有理數(shù)呢？有理數(shù)在英語中是"ratioziabnmiber",而

"rational通常的意思是“理性的"，中國近代譯著者在翻譯時(shí)參考了這種方法，而“raticmal”這個(gè)詞的詞

根"ratio"源于古希臘，是“比率”的意思，這個(gè)詞的意思就是整數(shù)的"比"，所謂有理數(shù)，就是可以寫成兩

個(gè)整數(shù)之比的形式的數(shù).比如：整數(shù)5可以寫成J,分?jǐn)?shù)9就是整數(shù)12和整數(shù)5的比.

15

（1）【探究】對于0.5是不是有理數(shù)呢？我們不妨設(shè)0.5=%,由0.5=0.5555于是可得：%=0.5555???；

等式兩邊同乘以10,可得：10尤=5.5555…;即：10x-x=5.55550.5555???；

化簡，得：9久=5；解方程，得：%=1；所以0.5=￡由此得：得0.5有理數(shù)（填"是"或"不

是"）；

（2）【類比】請你把無限循環(huán)小數(shù)0.7寫成兩個(gè)整數(shù)之比的形式即分?jǐn)?shù)的形式，即0.7=；

⑶【遷移】你能化無限循環(huán)小數(shù)0.23為分?jǐn)?shù)嗎？請完成你的探究過程.

⑷【拓展】請按照這個(gè)方法把無限循環(huán)小數(shù)1.8化為分?jǐn)?shù)，即1.8=

【變式4-1】【閱讀理解】我們知道，有理數(shù)包括整數(shù)、有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，事實(shí)上，所有的有理數(shù)

都可以化為分?jǐn)?shù)形式（整數(shù)可看作分母為1的分?jǐn)?shù)），運(yùn)用方程思想可以將無限循環(huán)小數(shù)表示為分?jǐn)?shù)形式.請

看以下示例：

例1、將0.7化為分?jǐn)?shù)形式：由于0.夕=0.7777……，設(shè)％=0.7777……①則10x=7.7777……②，②-①

得9久=7,解得久=彳于是得0.7=（

例2、將0.桐化為分?jǐn)?shù)形式:由于0.17=0.17171717……，設(shè)x=0.17171717……①則100比=17.171717?

??…②，②-①得99久=17,解得久=甚，于是得0.②=）.

請根據(jù)以上知識(shí)解決下列問題

【應(yīng)用新知】（1）把O.i化成分?jǐn)?shù)為；

（2）把循環(huán)小數(shù)0.30.372化成分?jǐn)?shù).（注：0.372=0.372372…….）.

【拓展提升】請用一元一次方程把循環(huán)小效2.066化為分?jǐn)?shù).

【變式4-2］你知道為什么任何無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)形式嗎？下面的解答過程會(huì)告訴你原因和方法.

(1)閱讀下列材料：

問題：利用一元一次方程將0.7化成分?jǐn)?shù).

解：設(shè)0.7=x.

方程兩邊都乘以10,可得10x0.7=10久.

由0.7=0.777--,可知10X0.7=7.777???=7+0.7,

即7+x=10x.(請你體會(huì)將方程兩邊都乘以10起到的作用)

可解得久=京即0.)=(

填空：將0.4寫成分?jǐn)?shù)形式為.

(2)請你仿照上述方法把下列兩個(gè)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，要求寫出利用一元一次方程進(jìn)行解答的過程:

(1)0.73@0.432

類型五、含絕對值的一元一次方程

【典例5】解方程：|3%+1|-|1一用=2.

【變式5-1】閱讀下列例題：

例.解方程［2加=5

解：當(dāng)2x20,即比20時(shí)，2久=5,回尤=|

當(dāng)2x<0,即x<0時(shí)，-2%=5,Ex=-|

回方程|2x|=5的解為久=|或x=-j.

請你參照例題的解法，求方程|言|=1的解.

【變式5-2】先閱讀下面的解題過程，然后解答問題(1)、(2)、(3).

例：解絕對值方程：|2x|=1.

解：討論：①當(dāng)x20時(shí)，原方程可化為2久=1,它的解是％=

②當(dāng)x<0時(shí)，原方程可化為一2刀=1,它的解是％=-a

回原方程的解為x=|或—|.

(1)依例題的解法，方程||久|=3的解是；

(2)依例題的解法，解方程：2|x-2|=6；

(3)依例題的解法，方程-2|+|x-1|=3的解是.

【變式5-3】先閱讀下列的解題過程，然后回答下列問題.

例：解絕對值方程：|2x|=1.

解：討論：①當(dāng)x20時(shí)，原方程可化為2%=1,它的解是“=土

②當(dāng)x<0時(shí)，原方程可化為—2x=l,它的解是％=

原方程的解為久=［或x=—點(diǎn)

（1）依例題的解法，方程算及聞=3的解是；

（2）嘗試解絕對值方程：2|x-2|=6；

（3）在理解絕對值方程解法的基礎(chǔ)上，解方程：|x-2|+|x-l|=3.

8壓軸能力測評”

1.已知關(guān)于X的方程3x=9與—x=l-k的解相同，則后一2卜+1的值為（）

A.25B.-25C.9D.-9

2.如果關(guān)于久的方程3%-2=4和方程3-竽=1的解相同，那么a的值為________.

4

3.將4個(gè)數(shù)a,b,c,d排成2行、2歹1J,兩邊各加一條豎直線記成定義=ad-be,上述

記號就叫做2階行列式.若匚：|=8,則m____.

II—XX+II

4.對于實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算"*",a*6=卜:十“叩，例如：因?yàn)?>2,所以4*2=4?+4x2=24,

（b—a,a<b

若（-4）*%=4,貝k=.

5.一元一次方程都可以變形為形如"=b（a,6為常數(shù)）的方程，稱為一元一次方程的最簡形式.

關(guān)于x的方程。尤=方（a,b為常數(shù)，且/0）解的討論：

當(dāng)a*0時(shí)，是一元一次方程，有唯一解尤=々

a

當(dāng)a=0,且6=0時(shí)，它有無數(shù)多個(gè)解，任意數(shù)都是它的解；

當(dāng)a=0,且加0時(shí)，它無解，因?yàn)槿魏螖?shù)都不可能使等式成立.

討論關(guān)于當(dāng)x的方程（a-4）x=2的解.

6.【閱讀材料】我們知道:可以寫成小數(shù)形式為0.3,反過來，無限循環(huán)小數(shù)0.3可以轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)形式.方

法如下：設(shè)x=0.3,由0月=0.333…可知：10久=3.333…，所以10久一x=3,解方程得久=%所以0匕=|；

【類比探究】再以無限循環(huán)小數(shù)0.港為例，做進(jìn)一步的討論：無限循環(huán)小數(shù)0.汨=0.737373…，它的

循環(huán)節(jié)有兩位，類比上面的討論可以想到如下做法：

設(shè)0.73=X,由0.污=0.737373…可知，100%=73.7373所以100x—x=73,解方程得X=得，

于是得0.方=得；

【解決問題】

⑴把下列無限循環(huán)小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)形式：

0.5,②0.216=：

（2）把無限循環(huán)小數(shù)0.站寫化成分?jǐn)?shù)形式，寫出過程；

⑶若0.142857=p貝％力57142=.

7.我們已經(jīng)知道"非負(fù)數(shù)的絕對值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)"，利用這個(gè)知識(shí)可以解含有

絕對值的方程，如：解方程|x-3|=2.

解：當(dāng)％-3》0時(shí)，龍》3,方程化為無一3=2,解得x=5（符合題意）；

當(dāng)萬一3<0時(shí)，x<3,方程化為—（久—3）=2,解得x=1（符合題意）.

???方程|久-3|=2的解為尤=5或x=1.

（1）方程|刀一4|=3久的解為_；

（2）方程-3|-|x+2|=3x的解為

8.閱讀理解：

在解形如3|x-2|=\x-2\+4這一類含有絕對值的方程時(shí)，可以根據(jù)絕對值的意義分久<2和x>2兩種

情況討論：

當(dāng)x<2時(shí)，原方程可化為-3（x-2）=-（％-2）+4,解得：%=0,符合x<2.

當(dāng)％》2時(shí)，原方程可化為3（久一2）=（久一2）+4,解得：x=4,符合x>2.

?,?原方程的解為：*=0或%=4.

解題回顧：

本題中，2為（x-2）的零點(diǎn)，它把數(shù)軸上的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)分成了x<2和x>2兩部分，所以分x<2和比>

2兩種情況討論.

嘗試應(yīng)用：

⑴仿照上面方法解方程:|x-3|+8=3|x-3|.

遷移拓展：

(2)運(yùn)用分類討論先去絕對值符號的方法解方程：|%-3|-3|%+2|=x-9.

(提示：本題中有兩個(gè)零點(diǎn)，它們把數(shù)軸上的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)分成了幾部分呢？)

專題07解一元一次方程壓軸五種題型

目錄

解題知識(shí)必備.......................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

壓軸題型講練.......................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

類型一、一元一次方程無數(shù)解問題.................................................1

類型二、一元一次方程相同解問題.................................................3

類型三、新定義運(yùn)算-解一元一次方程..............................................5

類型四、運(yùn)用一元一次方程-無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)..................................8

類型五、含絕對值的一元一次方程................................................12

壓軸能力測評(8題)...............................................15

X解題知識(shí)必備2

1.一元一次方程無解問題：

方法大招：1.整理成標(biāo)準(zhǔn)式ax=b形式2.分類討論

3.解決一元一次方程同解問題的方法：找到方程的根，并將這個(gè)根代入到另一個(gè)方程。

3.解一元一次方程步驟：合并同類項(xiàng)、移項(xiàng)、化系數(shù)為1

??壓軸題型講練X

類型一、一元一次方程無數(shù)解問題

【典例1】若關(guān)于X的方程;+等=n有無數(shù)個(gè)解，貝屹nm的值為()

A.-B.-2C.--D.--

4449

【答案】B

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是將方程進(jìn)行變形為(7+2m)x=14n-4,根據(jù)

關(guān)于萬的方程升*有無數(shù)個(gè)解，得出7+2m=0,14n-4=0,求出爪=—%n=|,最后代入

求值即可.

【詳解】解：f+?=n,

去分母得:7無+2mx+4=14n,

移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：(7+2m)x=14n-4,

回關(guān)于久的方程;+竺詈=n有無數(shù)個(gè)解，

回7+2m=0,14n—4=0,

解得：m=-1,n=I，

02mn=2x(-3x：=-2.

故選：B.

【變式1-11若一元一次方程等+2=%—b有無數(shù)個(gè)解，則a+b的值為()

A.—1B.-1C.—4D.1

23

【答案】A

【分析】當(dāng)方程滿足0?x=0時(shí)，有無數(shù)個(gè)解.

【詳解】解：歿i+2=x—6

整理得：(a—2)*=—26—5

???方程有無數(shù)個(gè)解，

ci—2=0,—2b—5=0,

解得：a=2,b=—I，

a+b=

2

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，以及方程解的情況，熟悉方程的解的各種情況是解題關(guān)鍵.

【變式1-2］已知關(guān)于x的方程;+若=n有無數(shù)個(gè)解，則2nm的值為.

【答案】-2

【分析】本題考查一元一次方程的解.根據(jù)題意，先將方程整理為ax=b的形式，再根據(jù)其有無數(shù)個(gè)解

即可.

【詳解】解：由;+*=兀得

7x+2(mx+2)=14n

(7+2m)x=14n—4

,??關(guān)于久的方程;+等=幾有無數(shù)個(gè)解

7+2m=0,14n—4=0

m=——7,n=2-

27

2mn=2xx-=-2.

k2y7

故答案為：-2.

【變式1-3】閱讀下列分析過程，并解答問題.

一元一次方程a%=c

①當(dāng)a力。時(shí)，方程有唯一解；

②當(dāng)a=0時(shí)，方程無解；

③當(dāng)a=0,c=0時(shí)，方程有無數(shù)解.

根據(jù)上面的方法，

（1）當(dāng)771%-1=3%+71滿足唯一解、無解時(shí)，求相的值；

⑵滿足無數(shù)解時(shí)，求M、〃的值.

【答案】（力nW3時(shí)有唯一解；血=3時(shí)，無解；

（2）m=3且九=—1.

【分析】本題考查一元一次方程的解，解一元一次方程.

（1）將方程轉(zhuǎn)化為（血-3）%=幾+1,根據(jù)題干給出的方法，求解即可；

（2）根據(jù)題意，得到租一3=0,n+1=0,求解即可.

理解并掌握題干中的解題方法，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：將方程整理得：（機(jī)一3）%=n+1,

①當(dāng)方程無解時(shí)：m-3=0

m=3

②當(dāng)方程有唯一解時(shí)：m-30

znW3；

（2）由題意，得：當(dāng)方程有無數(shù)解時(shí)：血一3=0且?guī)?1=0

0m=3,n=—1.

類型二、一元一次方程相同解問題

【典例2】嘉淇在進(jìn)行解一元一次方程的練習(xí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)方程"3乂+7=回-X"中的常數(shù)被"回”遮擋.

⑴嘉淇猜想呵'遮擋的常數(shù)是1,請你算一算x的值；

⑵老師說此方程的解與方程2久-之=+4的解相同，請你算一算“或遮擋的常數(shù)是多少？

【答案】（1比=一|

⑵遮擋的常數(shù)是19

【分析】本題主要考查了解一元一次方程；

（1）根據(jù)題意得出方程3久+7=l-x,然后解方程即可；

（2）先解方程2x—|=|x+4得出x=3,設(shè)遮擋的常數(shù)為a,然后把x=3代入方程得3x3+7=a—3,

求出a的值即可.

解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的一般方法，準(zhǔn)確計(jì)算.

【詳解】（1）解：由題意得3x+7=l—x,

移項(xiàng)，得3%+%=—7+1,

合并同類項(xiàng)，得4%=-6,

系數(shù)化為1,得％=-去

(2)解：2.x—+4,

移項(xiàng)，得2%—［%=^+4,

合并同類項(xiàng)，得1%=，

系數(shù)化為1，得x=3,

設(shè)遮擋的常數(shù)為。，

把x=3代入方程得3x3+7=a—3,

解得a=19.

故遮擋的常數(shù)是19.

【變式2-1］已知方程x-4=2x-8與關(guān)于久的方程3a+8=3(x+a)-2a的解相同，求a的值.

【答案】2

【分析】本題主要查了解一元一次方程.先求出方程x-4=2%-8的解為久=4,再把x=4代入3a+8=

3(%+a)-2a,解出a的值，即可.

【詳解】解：%-4=2%-8

移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：—x=—4,

解得：x-4,

回兩方程的解相同，

團(tuán)3a+8=3(4+a)—2a,

解得：a=2.

【變式2-2］若方程等=|x—2與3n—；=3(x+n)—2幾的解相同，求(n—3/的值.

【答案】25

【分析】此題考查了同解方程，掌握同解方程即為兩個(gè)方程解相同的方程是解題的關(guān)鍵.根據(jù)解方程的

步驟先求出第一個(gè)方程的解，代入第二個(gè)方程求出n的值，再代入n的值即可得出答案.

【詳解】解：^=|%-2,

6%—9=10%—30,

4x=21,

解得X=

4

把％=?代入3幾~~=3(%+九)-2n,

解得九=8.

所以(九一3￥=25.

【變式2-3］已知關(guān)于％的方程號-芽=x-1與方程3(%+2)=4%+5的解相同.

36

(1)求這個(gè)相同的解.

(2)求a.

【答案】⑴%=1

(2)a=2

【分析】本題考查同解方程，方程解的定義和解一元一次方程.

(1)解方程3(%+2)=4%+5即可；

(2)將(1)中的解代入方程號-芽=%-1中即可求解.

36

【詳解】(1)解：3(%+2)=4%+5,

去括號得3%+6=4%+5,

移項(xiàng)合并得一%=-1,

解得％=1；

(2)將％=1代入三一三二%-1,

36

口口2—a2.—a八

36

2(2—CL)—2+a=0

2—a=0

解得a=2

類型三、新定義運(yùn)算-解一元一次方程

【典例3】定義一種新運(yùn)算"*":a*6=ab—a+b.例如3*1=3x1—3+1=1,(2a)*2—(2a)x2—

2a+2=2a+2.

(1)計(jì)算：5*(-1)的值；

(2)已知(2m)*3=2*ni,求的值.

【答案】⑴-11

(2)m=-5

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解一元一次方程，掌握新運(yùn)算的法則，是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)新運(yùn)算，列出算式進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)根據(jù)新運(yùn)算，列出方程進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：5*(-1)=5x(-1)-5+(-1)=-5-5-1=-11；

(2)0(2m)*3=2m-3—2m+3=4m+3,2*m=2m—2+m=3m—2,

04m+3=3m—2,

0m=—5.

【變式3-1】觀察下列式子，定義一種新運(yùn)算：

503=4x5+3；3O(-1)=4x3-1；-4O(-3)=4x(-4)-3；

(1)這種新運(yùn)算是：aOb=(用含a,b的代數(shù)式表示)；

(2)如果a。(―6)=3Oa,求a的值；

⑶若a,b為整數(shù)，試判斷(a。。一bOa)。3a是否能被3整除.

【答案】(l)aG)b=4a+b

(2)a=6；

⑶見解析

【分析】本題考查解一元一次方程和整式的加減運(yùn)算，正確理解題意掌握運(yùn)算順序和計(jì)算法則正確計(jì)算

是解題關(guān)鍵.

(1)通過觀察發(fā)現(xiàn)，aOb=4a+6；

(2)根據(jù)定義新運(yùn)算列方程計(jì)算求a；

(3)根據(jù)定義新運(yùn)算列式，然后先去括號，合并同類項(xiàng)化簡，最后做出判斷.

【詳解】(1)解：回503=4x5+3；

3O(-1)=4x3-1；

-4O(-3)=4X(-4)-3；

團(tuán)aOb=4a+b；

故答案為：aOb=4a+b；

(2)解：回aOb=4a+b,又aO(—6)=3Oa,

回4a—6=4x3+a,

解得：a=6；

(3)解：根據(jù)題意得：

(aQb—bQa)Q3a

=4(4a+b-(4b+a))+3a

=4(4a+b—4b—a)+3a

=4(3a—3b)+3a

=12a—12b+3a

=15a-12Z?

=3(5a—4b)

團(tuán)a、b為整數(shù),

回5a-4b為整數(shù)

團(tuán)3(5a-4b)能被3整除

即：(aOb-bOa)O3a能被3整除.

【變式3-2】已知：x、y為有理數(shù)，如果規(guī)定一種新運(yùn)算團(tuán)，定義姬y=%y-2.根據(jù)運(yùn)算符號的意義完

成下列各題.

⑴求2團(tuán)4的值;

(2)求(1回5)回6的值；

(3)30m=13求m的值.

【答案］⑴6

(2)16

(3)5

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解一元一次方程，理解題意，正確理解新運(yùn)算是解此題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)新運(yùn)算計(jì)算即可得出答案；

(2)根據(jù)新運(yùn)算先計(jì)算出括號內(nèi)的，再計(jì)算括號外的即可得出答案；

(3)根據(jù)新運(yùn)算得出方程，解方程即可得出答案.

【詳解】(1)解：204=2x4-2=6：

(2)解：??-105=1x5-2=3,

3E6=3x6—2=16,

(1團(tuán)5)團(tuán)6的值是16；

(3)解：由題意得：3zn—2=13,

解得：m=5,

-''m的值是5.

【變式3-3］定義一種新運(yùn)算：對于任意有理數(shù)a、b都有a十6=a-26,2?3=2-2x3=-4.

⑴求(-3)十2的值;

(2)化簡：(x-2y)?(x+2y)；

⑶己知(3%-1)十(x+3)=6,求x的值.

【答案】⑴(—3)十2=—7

(2)-%-6y

(3)x=13

【分析】本題考查的是新定義運(yùn)算的含義，整式的加減運(yùn)算，一元一次方程的解法，掌握各自的運(yùn)算法

則與方程是解法步驟是解本題的關(guān)鍵；

(1)先列式，再計(jì)算即可；

(2)先列式，再去括號，合并同類項(xiàng)即可；

(3)利用新定義得到方程x-7=6,再解方程即可.

【詳解】(1)解：(—3)十2=—3—2x2=—7；

(2)(x-2y)?(x+2y)

=x—2y—2(x+2y)

=x-2y—2x—4y

——x—6y；

(3)(3x—1)十(x+3)=3x—1—2(x+3)=x—7,

■■x—1—6,

解得：%=13.

【變式3-4】在教科書第二章《有理數(shù)及其運(yùn)算》中，我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)的五種運(yùn)算，學(xué)會(huì)了研究運(yùn)算

的方法，現(xiàn)定義一種新運(yùn)算：a?b=U,定義的內(nèi)容被遮蓋住了，觀察各式，并回答下列問題：

2十4=2x3+4=10；

3十(-1)=3x3-1=8；

(-9)十5=(-9)x3+5=—22；

(-4)?(-6)=(-4)x3-6=-18

(1)請你補(bǔ)全定義內(nèi)容：;(用含a,b的代數(shù)式表示)

(2)先計(jì)算(-7)?2和2?(-7),再說明新定義的運(yùn)算"十”是否滿足交換律，即a十b=6十a(chǎn)是否成立；

⑶若zn十(-8)=11十TH,求m的值.

【答案】⑴3a+b

(2)(-7)十2=-19,2十(-7)=-1,不滿足交換律

(3)T

【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握新定義的運(yùn)算法則；

(1)根據(jù)給出的式子總結(jié)規(guī)律：a區(qū)b=3a+6；

(2)當(dāng)根據(jù)(1)中總結(jié)的規(guī)律進(jìn)行驗(yàn)證；

(3)將其代入(1)中所總結(jié)的規(guī)律，利用方程解答.

【詳解】(1)根據(jù)題意知：a⑤b=3a+6；

故答案為：3a+6；

(2)a十b=b十a(chǎn)不成立，理由如下：

0(-7)?2=(-7)x3+2=-19,2?(-7)=2x3—7=-1,

團(tuán)不滿足交換律，

故a十6=b十a(chǎn)不成立；

(3)由m十(-8)=11十m得：3m—8=3x11+m

解得巾=y.

類型四、運(yùn)用一元一次方程-無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)

【典例4】閱讀與探究：

我們把整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為“有理數(shù)"，那為什么叫有理數(shù)呢？有理數(shù)在英語中是"rationa仇amber",而

"rational”通常的意思是“理性的"，中國近代譯著者在翻譯時(shí)參考了這種方法，而"rational”這個(gè)詞的詞

根"rati。"源于古希臘，是"比率”的意思，這個(gè)詞的意思就是整數(shù)的"比"，所謂有理數(shù)，就是可以寫成兩

個(gè)整數(shù)之比的形式的數(shù).比如：整數(shù)5可以寫成京分?jǐn)?shù)3就是整數(shù)12和整數(shù)5的比.

(1)【探究】對于0.5是不是有理數(shù)呢？我們不妨設(shè)0.5=x，由0.5=0.5555…，于是可得：x=0.5555-；

等式兩邊同乘以10,可得：10%=5.5555-；即：10%-%=5.5555——0.5555???；

化簡，得：9x=5；解方程，得：x=l；所以0.5=a由此得：得0.5有理數(shù)(填"是"或"不

是")；

(2)【類比】請你把無限循環(huán)小數(shù)0.7寫成兩個(gè)整數(shù)之比的形式即分?jǐn)?shù)的形式，即0.7=；

⑶【遷移】你能化無限循環(huán)小數(shù)0.23為分?jǐn)?shù)嗎？請完成你的探究過程.

⑷【拓展】請按照這個(gè)方法把無限循環(huán)小數(shù)1.8化為分?jǐn)?shù)，即1.8=

【答案】⑴是

(2)-

、,9

⑶是，過程見解析

⑷W

【分析】本題考查解一元一次方程、有理數(shù)，熟練掌握解一元一次方程的步驟及有理數(shù)的定義，如何把

無限循環(huán)小數(shù)化為一元一次方程是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)有理數(shù)的定義可得答案；

(2)根據(jù)閱讀材料的知識(shí)，可先設(shè)0.7=X,方程兩邊都乘10,然后等量代換，化為一元一次方程，解

出即可；

(3)設(shè)0.23=久，方程兩邊都乘100,然后等量代換，化為一元一次方程，解出即可；

(4)設(shè)。力=%,方程兩邊都乘10,然后等量代換，化為一元一次方程，解出即可.

【詳解】⑴0,5=(,由此得：得0.S是有理數(shù).

故答案為：是；

(2)設(shè)0.7=久，

???10x0.7=10%,

7.7=10%,

7+0.7=10%,

???7+%=10%,

解得X=%

故答案為：

(3)0.23是分?jǐn)?shù),理由如下：

設(shè)0.23=%,

???100x0.23=100%,

???23.23=100%,

???23+0.23=100%,

???23+x=100%,

解得X=H，

0.23是分?jǐn)?shù)；

(4)設(shè)0力=久，

???10X0.8=10%,

8.8=10%,

8+0.8=10%,

???8+%=10%,

解得'=:

??.1.8=

9

故答案為：1g

【變式4-1】【閱讀理解】我們知道，有理數(shù)包括整數(shù)、有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，事實(shí)上，所有的有理

數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)形式(整數(shù)可看作分母為1的分?jǐn)?shù))，運(yùn)用方程思想可以將無限循環(huán)小數(shù)表示為分?jǐn)?shù)

形式.請看以下示例：

例1、將0.7化為分?jǐn)?shù)形式:由于09=0.7777……，設(shè)%=0.7777……①則10%=7.7777……②,②-①

得9%=7,解得x=%于是得0.7=

例2、將0.曾化為分?jǐn)?shù)形式：由于0.普=0.17171717……,設(shè)久=0.17171717……①則100%=

17.171717……②，②-①得99%=17,解得x=葛,于是得O.i夕=1.

請根據(jù)以上知識(shí)解決下列問題

【應(yīng)用新知】(1)把o.i化成分?jǐn)?shù)為；

(2)把循環(huán)小數(shù)0.590.372化成分?jǐn)?shù).(注：0.372=0.372372…….).

【拓展提升】請用一元一次方程把循環(huán)小效2.068化為分?jǐn)?shù).

【答案】⑴右(2)g,搭［拓展提升］嗤

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意的解答過程并轉(zhuǎn)化運(yùn)用到循環(huán)小數(shù)的轉(zhuǎn)化

過程中是解決本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題干示例進(jìn)行推導(dǎo)求解即可得解；

(2)根據(jù)題干示例進(jìn)行推導(dǎo)求解即可得解.

［拓展提升］根據(jù)題干示例進(jìn)行推導(dǎo)求解即可得解.

【詳解】解：Q)設(shè)x=0.i,

則10x=l.i,

兩式相減，得9%=1,

解得X=3,

.1

00.1=-；

9

故答案為：!；

(2)設(shè)m=0.59,

則100m=59.59,

兩式相減，得99nl=59,

解得巾=著，

00.59=-；

99

設(shè)n=0.372,

則1000n=372,372,

兩式相減，得999n司372,

解得n=攔=必，

999333

..124

團(tuán)0.372=—；

333

［拓展提升］

設(shè)y=2.068,

則10y=20.66,1000y=2068.68,

兩式相減，得990y=2048,

存解刀得4曰丫2=04麗8=1百024，

02.068=—.

495

【變式4-2］你知道為什么任何無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)形式嗎？下面的解答過程會(huì)告訴你原因和

方法.

⑴閱讀下列材料：

問題：利用一元一次方程將0刀化成分?jǐn)?shù).

解：設(shè)0方=%.

方程兩邊都乘以10,可得10X0.7=10x.

由0.7=0.777-??,可知10X0.7=7.777???=7+0.7,

即7+x=10x.（請你體會(huì)將方程兩邊都乘以10起到的作用）

可解得x=［,即0.7=（

填空：將0.4寫成分?jǐn)?shù)形式為.

⑵請你仿照上述方法把下列兩個(gè)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，要求寫出利用一元一次方程進(jìn)行解答的過程:

00.73@0.432

【答案】(喘

(2)①0.73=—@n=—

''9979900

【分析】本題考查了無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的運(yùn)用，運(yùn)用一元一次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用.

(1)根據(jù)閱讀材料設(shè)0.4=x,方程兩邊都乘以10,轉(zhuǎn)化為4+x=10x,求出其解即可；

(2)①設(shè)0.73=m,程兩邊都乘以100,轉(zhuǎn)化為73+爪=100m,求出其解即可.②設(shè)0.432=n,就

可以得到43.2=lOOn,就有42.79+0.432=100n，就有42.79+n=lOOn,求出其解即可.

【詳解】(1)設(shè)0.4=%,

方程兩邊都乘以10得：4+x=10x,

4

團(tuán)第=

9

故答案為：

(2)①設(shè)0.73=爪，方程兩邊都乘以100,可得100X0.73=100m.

由0.73=0.7373…，可知100X0.73=73.7373…=73+0.73,

即73+m=100m,

解得a=g,

即0.73=—.

99

②設(shè)0.432=n,貝U43.2=100n,

042.79+0.432=100n,

042.79+n=lOOn,

解得，n=—

9900

類型五、含絕對值的一元一次方程

【典例5】解方程：|3%+1|-|1-%|=2.

【答案］—時(shí)，%=x<—削寸％=—2

【分析】令3%+1=0,1-x=0,得％=-5x=1,根據(jù)這兩個(gè)數(shù)進(jìn)行分段，去絕對值符號求工值.

【詳解】

解：①當(dāng)久》1時(shí)，3%+1+1—%=2,

%=0,不存在；

②當(dāng)—［《xVl時(shí)，3%+1+%—1=2,x=I：

(3)當(dāng)％V—§時(shí)，—3%—1—1+%=2,x=-2,

，|3久+1]一|1一久|=2的解是一(《久＜1時(shí)，%=|；久＜-g時(shí)x=-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對值符號的一元一次方程的解法，解題的方法是令每個(gè)絕對值部分為0,

將工的值分段去絕對值解方程.

【變式5-1】閱讀下列例題：

例.解方程|2幻=5

解：當(dāng)2xN0,即久N0時(shí)，2久=5,0x=|

當(dāng)2x＜0,即久＜0時(shí)，一2%=5,回K=一|

回方程|2汨=5的解為久=|或x=-j.

請你參照例題的解法，求方程|甘|=1的解.

【答案】x=2或%=—1.

【分析】①當(dāng)U＞0時(shí)得到方程平=1,②當(dāng)平＜0時(shí)得到方程-笞二=1,求出兩個(gè)方程的解即

可.

【詳解】0|^|=1,

①當(dāng)即x2決寸，與工=1,

解得：%=2；

②當(dāng)笞二＜0,即x＜機(jī)寸，一告二=1,

解得：x——1：

回原方程的解是x=2或尤=-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了含絕對值符號的一元一次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是去掉絕對值符號，題目比較

典型，難度適中.

【變式5-2】先閱讀下面的解題過程，然后解答問題(1)、(2)、(3).

例：解絕對值方程：12x|=1.

解：討論：①當(dāng)K20時(shí)，原方程可化為2x=l,它的解是％=%

②當(dāng)x＜0時(shí)，原方程可化為-2x=l,它的解是久=-今

回原方程的解為x=|或一|.

⑴依例題的解法，方程卜工|=3的解是；

(2)依例題的解法，解方程：2忱—2|=6；

⑶依例題的解法，方程|久-2|+|x-1|=3的解是.

【答案】⑴x=6或x=—6

(2)x=5或%=—1

(3)x=3或X=0

【分析】本題考查了解一元一次方程、絕對值：

(1)分類討論：①當(dāng)久20時(shí)，②當(dāng)x<0時(shí)，去絕對值并解一元一次方程即可求解；

(2)分類討論：①當(dāng)久-2N0時(shí)，②當(dāng)?shù)?2<0時(shí)，去絕對值并解一元一次方程即可求解；

(3)分類討論：①當(dāng)久—220,②當(dāng)x—1W0,③當(dāng)l<x<2時(shí)，去絕對值并解一元一次方程即可

求解；

利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：討論：①當(dāng)久20時(shí)，原方程可化為《乂=3,

解得：x=6.

②當(dāng)x<0時(shí)，原方程可化為一：x=3,

解得：x=-6.

回原方程的解為x=6或x=-6,

故答案為：x=6或x=-6.

(2)2|x-2|=6,

①當(dāng)220時(shí)，原方程可化為2(久-2)=6,它的解是x=5：

②當(dāng)x—2<0時(shí)，原方程可化為一2(尤一2)=6,它的解是x=—l；

回原方程的解為x=5或工=-1.

(3)\x-2|+\x-1|-3,

①當(dāng)X—220,即x22時(shí)，原方程可化為x—2+比一1=3,它的解是x=3；

②當(dāng)X-1W0,即xWl時(shí)，原方程可化為2-x+1—x=3,它的解是x=0；

③當(dāng)l<x<2時(shí)，原方程可化為2-％+久-1=3,此時(shí)方程無解；

回原方程的解為x=3或x=0.

故答案為：x=3或％=0.

【變式5-3】先閱讀下列的解題過程，然后回答下列問題.

例：解絕對值方程：12x|=1.

解：討論：①當(dāng)xN0時(shí)，原方程可化為2x=l,它的解是x=E；

②當(dāng)久<0時(shí)，原方程可化為-2%=1,它的解是久=一］.

原方程的解為x=號或x=

(1)依例題的解法，方程算及聞=3的解是；

(2)嘗試解絕對值方程：2|x-2|=6；

(3)在理解絕對值方程解法的基礎(chǔ)上，解方程：|%-2|+|x-l|=3.

【答案】(1)x=6或x=-6；(2)x=5或x=-l；(3)x=0或x=3.

【分析】(1)分兩種情況：X20、K<0時(shí)，去絕對值符號解方程即可；

(2)分兩種情況：x"x<2時(shí)，去掉絕對值符號得到關(guān)于x的方程，解方程即可；

⑶分三種情況：、%<1>1<%<2>x>2時(shí)，去絕對值符號解方程即可.

【詳解】(1)分兩種情況：①當(dāng)x20時(shí)，原方程可化為|乂=3,它的解是x=6；

②當(dāng)x<0時(shí)，原方程可化為一|久=3,它的解是x=-6.

回原方程的解為x=6或x=-6.

(2)①當(dāng)工22時(shí)，原方程可化為2(x-2)=6,它的解是x=5；

②當(dāng)x<2時(shí)，原方程可化為-2(x-2)=6,它的解是x=-l；

回原方程的解為x=5或x=-l.

⑶①當(dāng)x<1時(shí)，原方程可化為2-x+l-x=3,它的解是x=O；

②當(dāng)1WXW2時(shí)，原方程可化為2-x+x-l=3,此時(shí)方程無解；

③當(dāng)x>2時(shí)，原方程可化為x-2+x；=3,它的解是x=3；

回原方程的解為x=0或x=3.

【點(diǎn)睛】此題考查含有絕對值符號的一元一次方程的解法，先根據(jù)未知數(shù)的取值范圍去掉絕對值符號得

到方程，依次解方程即可得到原方程的解.

”壓軸能力測評“

1.已知關(guān)于x的方程3x=9與-x=1-k的解相同，則Ze?一2k+1的值為()

A.25B.-25C.9D.-9

【答案】C

【分析】本題主要考查方程解的問題，代數(shù)式求值，題目簡單細(xì)心計(jì)算，此類題目?？?，應(yīng)當(dāng)熟練掌握.先

求出方程3x=9的解x=3,然后把x=3代入一x=1-k求出k=4,把k=4代入/-2k+1求出結(jié)果

即可.

【詳解】解：由3x=9得：x=3,

團(tuán)關(guān)于x的方程3%=9與r=1—k的解相同，

回把x=3代入一x-1-k得:-3=1—k,

解得：k=4,

把k=4代入1一2k+1得：42-2x4+1=9,

故選：C.

2.如果關(guān)于x的方程3x-2=4和方程3-竽=1的解相同，那么a的值為.

【答案】3

【分析】本題考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先解出3x-2=4的x值，再代入3-片=

1,即可解出a的值.

【詳解】解：回關(guān)于久的方程3久-2=4和方程3-手=1的解相同，

團(tuán)由3久-2=4,得x=2

把x=2代入3—2=1,

4

得3一2=1

4

整理得12-2a-2=4

即-2a=4-12+2

則a=3

故答案為：3

3.將4個(gè)數(shù)a,b,c,d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成?，定義，^\=ad-bc,上述記

號就叫做2階行列式.若1+1則X=.

II—XX+II

【答案】2

【分析】本題考查了新定義，解一元一次方程，先根據(jù)新定義