人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步訓(xùn)練：平行線（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5類熱點(diǎn)題型講練+習(xí)題鞏固）（解析版）

第04講平行線

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①平行線的定義1.掌握平行線的定義并能夠判斷平行線。

②平行線的畫(huà)法2.掌握平行線的畫(huà)法能夠畫(huà)已知直線的平行線。

③平行公理及其推論3.掌握平行公理及其推論，并能夠熟練運(yùn)用。

思維導(dǎo)圖

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01平行線的定義

1.平行線的定義：

在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫做平行線。

若直線a平行于直線匕，則記作_a〃汗讀作巴平行于2。

注意：一定要在同一平面內(nèi)；且一定要是直線且永不相交。在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置

關(guān)系有兩種，相交與平行。

【即學(xué)即練1】

1.在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（）

A.相交或垂直B.垂直或平行

C.平行或相交D.相交或垂直或平行

【分析】根據(jù)兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)的直線是相交線，沒(méi)有交點(diǎn)的直線是平行線，可得答案.

【解答】解：在同一平面內(nèi)，兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)，兩條直線相交；在同一平面內(nèi)，兩條直線沒(méi)有交點(diǎn),

兩條直線平行，故C正確；

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)02平行線的畫(huà)法

1.過(guò)已知點(diǎn)作已知直線的平行線的畫(huà)法的具體步驟：

一落：把三角板的一邊落在已知直線上。

二靠：緊靠三角板的另一邊放一直尺。

三移：沿直尺移動(dòng)三角板，使原來(lái)落在已知直線上的邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)。

四畫(huà)：沿原來(lái)落在已知直線上的邊畫(huà)直線。即為已知直線的平行線。

【即學(xué)即練1】

2.如圖所示，在乙4。8內(nèi)有一點(diǎn)P.

(1)過(guò)P畫(huà)/i〃O4；

(2)過(guò)尸畫(huà)/2〃。&

(3)用量角器量一量/1與/2相交的角與的大小有怎樣關(guān)系？

【分析】用兩個(gè)三角板，根據(jù)同位角相等，兩直線平行來(lái)畫(huà)平行線，然后用量角器量一量/I與/2相交的

角與/。的關(guān)系為：相等或互補(bǔ).

【解答】解：(1)(2)如圖所示，

(3)與/2夾角有兩個(gè)：Zl,Z2；Z1=ZO,Z2+ZO=180°,所以人和/2的夾角與/。相等或互

補(bǔ).

知識(shí)點(diǎn)03平行公理及其推論

1.平行公理：

經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有1條直線與這條直線平行。

強(qiáng)調(diào)：①這一點(diǎn)必須在直線外，不能再直線上。②有且只有即為存在且唯一。

2.平行公理的推論:

如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。即若?！á倩颉╟,則a〃c。

拓展：如果兩條直線都與第三條直線垂直，這這兩條直線相互平行。即垂直于同一直線的兩直線平行。

【即學(xué)即練1】

3.下列說(shuō)法正確的是（）

A.在同一平面內(nèi),a,b,c是直線，且〃〃b,b//c,貝（Ja//c

B.在同一平面內(nèi),a,b,。是直線，且〃b.Lc,則a.Lc

C.在同一平面內(nèi),a,b,c是直線，且b.Lc,則a//c

D.在同一平面內(nèi),a,b,。是直線，且〃〃/?,b//c,則a.Lc

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，從而可做出判斷.

【解答】解：先根據(jù)要求畫(huà)出圖形，圖形如圖所示:

D

根據(jù)所畫(huà)圖形可知：A正確.

故選：A.

題型精講

題型01兩直線的位置關(guān)系

【典例1］在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有相交和平行兩種位置關(guān)系.

【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系解答即可.

【解答】解：在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是平行和相交，

故答案為：平行.

【變式1】在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（）

A.相交或平行B.相交或垂直

C.平行或垂直D.不能確定

【分析】利用同一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系解答.

【解答】解：在同一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線只有兩種位置關(guān)系，即平行或相交.

故選:A.

【變式2】如圖，將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折兩次，產(chǎn)生的折痕與折痕之間的位置關(guān)系是（）

口加阻

A.平行B.垂直

C.平行或垂直D.無(wú)法確定

【分析】根據(jù)平行公理解答即可.

【解答】解：觀察圖形可知，將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折兩次，產(chǎn)生的折痕與折痕之間的位置關(guān)系是平行.

故選：A.

題型02判斷正方體長(zhǎng)方體中平行的棱

【典例1】如圖，在正方體ABCD-E/G5中，下列各棱與棱平行的是（

A.BCB.CGC.EHD.HG

【分析】在同一平面內(nèi)，不相交的兩直線平行，根據(jù)平行線的定義，結(jié)合圖形直接判斷即可.

【解答】解：結(jié)合圖形可知，與棱AB平行的棱有C￡>,EF,GH.

故選：D.

【變式1】如圖，在正方體中，與線段A8平行的線段有條.

【分析】與線段AB平行的線段的種類為：①直接與AB平行，②與平行于48的線段平行.

【解答】解：與AB平行的線段是：DC、EF-,

與CD平行的線段是：HG,

所以與A8線段平行的線段有：EF、HG、DC.

故答案為：EF、HG、DC.

【變式2】在如圖的長(zhǎng)方體中，既與平面ALBICIDI平行，又與平面AALDLD平行的棱是BC

【分析】根據(jù)平行線的定義以及長(zhǎng)方體的特點(diǎn)解決此題.

【解答】解：由題意得，既與平面4B1C01平行，又與平面平行的棱是8C.

故答案為：BC.

題型03畫(huà)平行線

【典例1］在下面的方格紙中經(jīng)過(guò)點(diǎn)C畫(huà)與線段互相平行的直線/1,再經(jīng)過(guò)點(diǎn)2畫(huà)一條與線段A8垂直

的直線12.

【分析】點(diǎn)C畫(huà)與線段A2互相平行的直線/1,再經(jīng)過(guò)點(diǎn)3畫(huà)一條與線段垂直的直線/2即可.

【解答】解：如圖所示，

【變式1】作圖題：(只保留作圖痕跡)如圖，在方格紙中，有兩條線段AB、BC.利用方格紙完成以下操

作：

(1)過(guò)點(diǎn)A作的平行線；

(2)過(guò)點(diǎn)C作A2的平行線，與(1)中的平行線交于點(diǎn)

【分析】(1)A所在的橫線就是滿足條件的直線；

(2)在直線4。上到A得等于8C的點(diǎn)。，則直線CO即為所求;

(3)取AE上。右邊的點(diǎn)F,過(guò)8,尸的直線即為所求.

(1)4所在的橫線就是滿足條件的直線，即AE就是所求；

(2)在直線AE上，到A距離是5個(gè)格長(zhǎng)的點(diǎn)就是。，則CD就是所求與48平行的直線;

(3)取AE上。右邊的點(diǎn)R過(guò)8,尸作直線，就是所求.

題型04平行公理理解

【典例1】下列說(shuō)法正確的是()

A.經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有一條直線與已知直線平行

B.經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與已知直線平行

C.經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與己知直線平行

D.經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

【分析】平行線公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

【解答】解：根據(jù)平行線公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，可判斷只有。選項(xiàng)

正確.

故選：D.

【變式1】過(guò)直線/外一點(diǎn)A作/的平行線，可以作（）條.

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)平行公理作答.

【解答】解：因?yàn)槠叫泄恚哼^(guò)已知直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.故選：A.

【變式2】已知，尸是任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P畫(huà)一條直線與8c平行，則這樣的直線（）

A.有些只有一條B.有兩條

C.不存在D.有一條或不存在

【分析】分點(diǎn)尸在BC上和不在BC上兩種情況，根據(jù)平行公理解答即可.

【解答】解：①若點(diǎn)P在直線2C上，則不能畫(huà)出與2C平行的直線，

②若點(diǎn)P不在直線上，則過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線與BC平行，

所以，這樣的直線有一條或不存在.

故選：D.

題型05平行公理的推論

【典例1】若直線b,c,d有下列關(guān)系，則推理正確的是（）

A.,：allb、b//c,c//dB.a//c,b//d,..c//d

C.9?a//b,allc,*.b//cD.*.a//b,c//d,:.allc

【分析】根據(jù)平行公理及推論，逐一判斷即可解答.

【解答】解：A,,：a//b,b//c,：.c//a,故A不符合題意；

B、,.'a//c,與d不一定平行，故B不符合題意；

C、'：a//b,a//c,：.b//c,故C符合題意；

￡）＞\'a//b,c〃d,與c不一定平行，故不符合題意；

故選：C.

【變式1】己知?！?,c//d,若由此得出6〃d,則直線a和c應(yīng)滿足的位置關(guān)系是（）

A.在同一個(gè)平面內(nèi)B.不相交

C.平行或重合D.不在同一個(gè)平面內(nèi)

【分析】根據(jù)平行推論：平行于同一條直線的兩條直線互相平行，可得答案.

【解答】解：當(dāng)。〃c時(shí)，a//b,c//d,得

當(dāng)a、c重合時(shí)，a//b,c//d,得b〃d,

故C正確;

故選：C.

【變式2】a、b、。是直線，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若a_L6,b//c,貝!]a〃cB.若a_L6,6J_c,則a_Lc

C.若a〃b,6_Lc,貝！I6〃cD.若a〃6,b//c,則a〃c

【分析】根據(jù)平行公理以及平行線的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：A、在同一平面內(nèi)，若b//c,則原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、在同一平面內(nèi)，若a_L6,b±c,則?！╟,原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、在同一平面內(nèi)，若a〃b,bLc,則cz_Lc,原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

。、若a〃b,b//c,則a〃c,正確，符合題意.

故選：D.

【變式3]同一平面內(nèi)有四條直線。、6、c、d,若a//b,al.c,btd,則c、d的位置關(guān)系為（）

A.互相垂直B.互相平行

C.相交D.沒(méi)有確定關(guān)系

【分析】作出圖形，根據(jù)平行公理的推論解答.

【解答】解：如圖，'：a//b,a±c,

c_L"

又「Md,

/.c//d.

故選：B.

r\d

a

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.以上都不對(duì)

【分析】根據(jù)直線的位置關(guān)系解答.

【解答】解：在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系，是平行或相交，

所以在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是：平行或相交.

故選：C.

2.下列說(shuō)法正確的是（）

A.兩點(diǎn)之間，直線最短

B.不相交的兩條直線叫做平行線

C.平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

D.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離

【分析】分別根據(jù)線段的性質(zhì)，平行線的定義，垂線、點(diǎn)到直線的距離的定義判斷即可.

【解答】解：A.兩點(diǎn)之間，線段最短，故A不符合題意.

B.在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，故B不符合題意.

C.平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故C符合題意.

D.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，故D不符合題意.

故選：C.

3.下列說(shuō)法正確的是（）

A.不相交的兩條直線叫做平行線

B.同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直

C.平角是一條直線

D.過(guò)同一平面內(nèi)三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)，只能畫(huà)出3條直線

【分析】根據(jù)平行線、垂線的性質(zhì)，角和直線的概念逐一判斷可求解.

【解答】解：A.應(yīng)強(qiáng)調(diào)在同一平面內(nèi)，錯(cuò)誤；

B.同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直，正確；

C.直線與角是不同的兩個(gè)概念，錯(cuò)誤；

D.過(guò)同一平面內(nèi)三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)，能畫(huà)出3條直線或1條直線，故錯(cuò)誤.

故選：B.

4.在同一個(gè)平面內(nèi)，直線。、b相交于點(diǎn)尸，a//c,b與c的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.重合D.平行或相交

【分析】根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線平行于已知直線得出即可.

【解答】解：：在同一個(gè)平面內(nèi)，直線a、b相交于點(diǎn)P,a//c,

???6與c的位置關(guān)系是相交，

故選：B.

5.在長(zhǎng)方體中，對(duì)任意一條棱，與它平行的棱共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體得出結(jié)論即可.

【解答】解：由題意知，在長(zhǎng)方體中，對(duì)任意一條棱，與它平行的棱共有3條,

故選：C.

6.觀察如圖所示的長(zhǎng)方體，與棱A8平行的棱有幾條（）

a

A.4B.3C.2D.1

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體即平行線的性質(zhì)解答.

【解答】解：圖中與AB平行的棱有：EF、CD、GH.共有3條.

故選：B.

HG

AR

7.如圖，同一平面內(nèi)經(jīng)過(guò)直線/外一點(diǎn)。的四條直線中，與直線/相交的直線至少有（

【分析】由平行公理，即可判斷.

【解答】解：???過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行,

過(guò)直線/外一點(diǎn)。的四條直線中，最多只有一條直線與/平行，

與直線/相交的直線至少有3條，

故選：c.

8.下列說(shuō)法正確的是（）

A.過(guò)直線上一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

B.不相交的兩條直線叫做平行線

C.直線外一點(diǎn)到該直線的所有線段中垂線最短

D.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

【分析】根據(jù)平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線；平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn),

有且只有一條直線與這條直線平行；垂線段的性質(zhì)可得答案.

【解答】解：A、過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故原題說(shuō)法錯(cuò)誤；

以同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，故原題說(shuō)法錯(cuò)誤；

C、直線外一點(diǎn)與該直線上所有點(diǎn)的連線中垂線最短，故原題說(shuō)法錯(cuò)誤;

。、過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故原題說(shuō)法正確;

故選：D.

9.下列說(shuō)法不正確的是（）

A.過(guò)馬路的斑馬線是平行線

B.100米跑道的跑道線是平行線

C.若a〃b,b//d,則々，/

D.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

【分析】根據(jù)平行線定義“同一平面內(nèi)不相交的兩條直線互相平行”知A,B均正確，根據(jù)平行公理及

推論，可得C錯(cuò)誤，。正確.

【解答】解：A、B、由平行線的定義可知，斑馬線是平行線，100米跑道的跑道線是平行線，A、B正確；

C、根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行可知，C錯(cuò)誤；

D,過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，這是平行公理，正確.

故選：C.

10.下列說(shuō)法正確的是（）

A.a、b、c是直線，若a_Lb,b//c,則a//c

B.a、b、c是直線,若a_L6,4>_Lc,貝!Ja_Lc

C.a、b、c是直線，若a〃b,b_Lc,貝!J

D.a、b、c是直線，若a//b,b//c,貝!Ja〃c

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：A、,：aLb,b//c,

'.aLc,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、在同一平面內(nèi)，當(dāng)a_L6,6_Lc時(shí)，a//c,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C、當(dāng)?！╞,b_Lc時(shí)，a_Lc,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、當(dāng)a〃b,b〃c時(shí)，a//c,故選項(xiàng)正確;

故選：D.

11.平行用符號(hào)〃表示,垂直符號(hào)用上表示,直線A8與。平行，可以記作為ABI/CD.

【分析】根據(jù)平行和垂直符號(hào)以及平行線的表示方法求解即可.

【解答】解：平行用符號(hào)〃表示，垂直符號(hào)用，示，直線與C。平行，可以記作為AB〃CD,

故答案為：〃，±,AB//CD.

12.在同一平面內(nèi)，直線a、b、c中，若a_L6,b//c,則〃、c的位置關(guān)系是cLa.

【分析】根據(jù)6〃c,則得到同旁內(nèi)角互補(bǔ)，然后利用即可得到。與c的夾角為90度，則可判斷。

-Lc.

【解答】解：：c〃6,a±b,

.".C-La.

故答案為

13.如圖，已知。M〃a,ON//a,所以點(diǎn)O、M、N三點(diǎn)共線的理由經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直

線與這條直線平行.

oMy-

【分析】利用平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：已知〃mON//a,所以點(diǎn)。、M、N三點(diǎn)共線的理由：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一

條直線與這條直線平行.

故答案為：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

14.如果?！╟,。與6相交，b//d,那么d與c的關(guān)系為相交.

【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)直線的位置關(guān)系得到第三條直線與另兩平行直線相交，根據(jù)圖形即可直接解答.

【解答】解：d和。的關(guān)系是：相交.

故答案為：相交.

15.下列四種說(shuō)法：

①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；

②在同一平面內(nèi)，兩條不相交的線段是平行線段；

③相等的角是對(duì)頂角；

④在同一平面內(nèi)，若直線直線AB與跖相交，則與防相交.

其中，錯(cuò)誤的是①②③（填序號(hào)）.

【分析】根據(jù)平行公理、對(duì)頂角定義、平行線逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：???過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，...①錯(cuò)誤；

:在同一平面內(nèi)，兩條不相交的線段可能在一條直線上，說(shuō)兩線段是平行線段不對(duì)，.?.②錯(cuò)誤；

?..相等的角不一定是對(duì)頂角，.?.③錯(cuò)誤；

?.?在同一平面內(nèi)，若直線直線AB與EF相交，則C。與EF相交，正確，，④正確；

故答案為：①②③.

16.讀下列語(yǔ)句，并畫(huà)出圖形.

點(diǎn)P是直線AB外一點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,且與直線AB平行，直線所也經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸且與直線A2垂直.

【分析】先畫(huà)直線A3和點(diǎn)尸，過(guò)尸作的平行線CD,過(guò)尸作直線即可得出答案.

【解答】解：如圖所示：

E

P

CD

"1

4B

zr

17.已知直線0〃6,b//c,c//d,則°與1的關(guān)系是什么，為什么？

【分析】由平行線的傳遞性容易得出結(jié)論.

【解答】解：。與d平行，理由如下：

因?yàn)閍〃6,b//c,

所以a//c,

因?yàn)閏〃%

所以a//d,

即平行具有傳遞性.

18.（1）補(bǔ)全如圖的圖形，使之成為長(zhǎng)方體48。-EFGH的直觀圖；

（2）與棱A8平行的棱是CD和EF和GH.

（3）若這個(gè)長(zhǎng)方體框架的長(zhǎng)、寬、高分別是4分米、3分米和5分米，則需要多少分米的鐵絲才能搭成

這樣的框架？（接縫處忽略不計(jì)）

【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的特征畫(huà)出圖形即可求解;

（2）根據(jù)長(zhǎng)方體的特征即可求解；

（3）根據(jù)長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和公式可求需要多少分米的鐵絲才能搭成這樣的框架.

【解答】解：（1）如圖所示：

（2）與棱AB平行的棱是CD和EF和GH.

故答案為：C