人教版八年級上冊數(shù)學(xué)期末試題（五）含答案及解析

人教版八上數(shù)學(xué)期末真題（5）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題

意的，請在答題卡中填涂符合題意的選項）

1.（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）

勘

D.

A.戶63=2〃B.(aP)3=03人6

C.小小。2=°5D.a2+a3=a5

3.（3分）根據(jù)攜程發(fā)布的《2024年元旦跨年旅游報告》顯示：星城長沙上榜2024年元旦跨年熱門旅游目

的地.元旦假期，長沙市接待游客超過6000000人次.6000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.0.6X107B.6X107

C.6X106D.6X105

4.（3分）下列屬于最簡二次根式的是（）

A.炳B.V10c.VO75D.岳

5.（3分）如果x2+6x+〃?是一個完全平方式，則加的值是（）

A.3B.9C.6D.-9

6.（3分）將分式口中的x,＞的值同時擴大10倍，則分式的值（）

x+y

A.擴大100倍

B.擴大10倍

C.不變

D.縮小為原來的

10

7.（3分）已知等腰三角形周長為13cm,其中一邊長為3cM則該等腰三角形的腰為（）

A.1cmB.3cmC.5cm或3cmD.5cm

第1頁（共24頁）

8.（3分）在△/BC中，N/C2為直角，//=30°，CDLAB于D,若BD=1,則42的長度是（）

C

9.（3分）某地開展建設(shè)綠色家園活動，活動期間，計劃每天種植相同數(shù)量的樹木.該活動開始后，實際每

天比原計劃每天多植樹50棵，實際植樹400棵所需時間與原計劃植樹300棵所需時間相同.設(shè)實際每天

植樹X棵，則下列方程正確的是（)

A.400=300B.300=400

x-50xx-50x

C.400=300D300=400

x+50xx+50x

10.（3分）如圖，已知/4。8=120°,點D是//O5的平分線上的一個定點，點E,尸分別在射線CU和

射線03上，且/成甲=60°.下列結(jié)論：①△￡>￡尸是等邊三角形；②四邊形尸的面積是一個定

值；③當(dāng)￡>￡_L。/時，△/）￡廠的周長最?。虎墚?dāng)。￡〃。8時,DP也平行于。/.其中正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（本題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）化簡：V50-V8=.

12.（3分）若代數(shù)式收￡了在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

13.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點/（3,-6）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是.

14.（3分）如圖，在△48C中，ZC=90°,ZB=30°,垂直平分/瓦分別交3C,4B于點、D,E,

若40=2,貝!J5C=.

第2頁（共24頁）

15.（3分）如圖，在△/BC中，4D為△48C的角平分線，DELAB,垂足為￡,DFLAC,垂足為尸，若

AB=5,AC=3,DF=],則的面積為.

16.（3分）若代數(shù)式2a2+3.+1的值為6,則代數(shù)式6a2+90+5的值為.

三、解答題（本題共9個小題，共72分）

17.（6分）因式分解：

（1）x2-4J2（2）3cr+6ab+3b2.

18.（8分）計算下列各式:

（1）-1-----^―；（2）

19.（8分）解分式方程.

20.（6分）先化簡，再求值：（二^——）+（片L+1）,其中xf/5+L

x-2x+lx-1

第3頁（共24頁）

21.（8分）如圖，在△48C和△/￡>￡中，AB=AC,AD=AE,NBAC=/DAE=90°,且點。在線段3C

上，連CE.

(1)求證：△ABDQAACE；

(2)若/￡/C=60。，求NCED的度數(shù).

22.(8分)如圖，在△48。中，已知/8=/C,。是邊上的一點，CO=3,BC=JIU，BD=\.

(1)求證：△BCO是直角三角形；

(2)求△N3C的面積.

23.(8分)某商店購進(jìn)/,2兩種商品，購進(jìn)一個/商品比購買一個3商品少10元，并且花費100元購買

的A商品和花費300元購進(jìn)的B商品的數(shù)量相等.

(1)求購買一個/商品和2商品各需要多少元；

(2)商店準(zhǔn)備購進(jìn)N,B兩種商品共80件，若8商品的數(shù)量不少于/商品的4倍，并且購買/,8商

品的總費用不低于1000且不高于1100,那么商店有幾種購買方案？

第4頁(共24頁)

24.（10分）我們規(guī)定：在最簡分式中，分子、分母都是各項系數(shù)為整數(shù)的整式的情況下，如果分子的次數(shù)

低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式.例如，分式/I,是真分式.如果分子的次數(shù)不低

3

x+2X-4X

于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式.例如，分式五L,工1是假分式.一個假分式河與一個真分

x-1x+1

式N的和為整式，則稱〃與N互為“和整分式”.

（1）已知：下列分式與假分式p用互為“和整分式”的是.

x-3

①工②上③工.

x+3x-3x-3

2

（2）若假分式從上工二江里，存在一個真分式N與M互為“和整分式”.

x-1

①求真分式N；②當(dāng)M+N=0時，求M的值.

（3）若/與3均與真分式_2_互為“和整分式”，直接寫出當(dāng)整數(shù)x為何值時，分式/+3的值為整數(shù).

x-2

第5頁（共24頁）

25.（10分）如圖1,點尸為△48C的外角N3CD的平分線上一點，PA=PB,PELBC于E.

(1)求證：ZPAC=ZPBC；

(2)若N/P2=90°,連接NE,S&4CP=2SA4EP,PB=2,求PC的長度；

(3)如圖2,若MN分別是邊/C,8c上的點，且2/MPN=/APB,求證：BN=AM+MN.

第6頁（共24頁）

人教版八上數(shù)學(xué)期末真題（5）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題

意的，請在答題卡中填涂符合題意的選項）

1.（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形,

這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可.

【解答】解：選項/、3、C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互

相重合，所以不是軸對稱圖形，

選項。能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱

圖形，

故選：D.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

2.（3分）下列計算正確的是（）

A.b3-b3=2b3B.（.ab2）3=a3b6

C.a104-a2=a5D.a2+a3—a5

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的乘法和除法，積的乘方，合并同類項的運算法則計算即可.

【解答】解：/、方.b^,故選項/錯誤，不符合題意；

B、（ab2）i=a3b6,故選項8正確，符合題意；

C、01°+。2=。8,故選項。錯誤，不符合題意；

D、后和人不是同類項，不能合并，故選項。錯誤，不符合題意；

故選：B.

第7頁（共24頁）

【點評】本題考查了同底數(shù)幕的除法，合并同類項，同底數(shù)幕的乘法以及塞的乘方與積的乘方，解答本

題的關(guān)鍵是能運用以上運算法則進(jìn)行正確地計算，特別是符號、指數(shù)的準(zhǔn)確確定.

3.（3分）根據(jù)攜程發(fā)布的《2024年元旦跨年旅游報告》顯示：星城長沙上榜2024年元旦跨年熱門旅游目

的地.元旦假期，長沙市接待游客超過6000000人次.6000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.0.6X107B.6X107C.6X106D.6X105

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為aX10"的形式，其中同＜10,〃為整數(shù)，確定〃的值時，要看把

原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，"的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10

時，〃是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時，"是負(fù)整數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案.

【解答】解：6000000=6X106.

故選：C.

【點評】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義.

4.（3分）下列屬于最簡二次根式的是（）

A.V9B.V10C.VO75D.V4a

【分析】判斷最簡二次根式的兩個條件：不含分母（小數(shù)），不含開得盡方的因數(shù)或因式是否同時滿足，

同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是最簡二次根式.

【解答】解：A.炳=3,故本項不是最簡二次根式，不符合題意；

B.J正是最簡二次根式，符合題意；

cg*，故本項不是最簡二次根式，不符合題意；

D.恁=簿，故本項不是最簡二次根式，不符合題意.

故選：B.

【點評】在判斷最簡二次根式的過程中要注意：①在二次根式的被開方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)，就

不是最簡二次根式；②在二次根式的被開方數(shù)中的每一個因式（或因數(shù)），如果幕的指數(shù)大于或等于2,

也不是最簡二次根式.

5.（3分）如果，+6%+冽是一個完全平方式，則冽的值是（）

A.3B.9C.6D.-9

【分析】根據(jù)完全平方公式可進(jìn)行求解.

【解答】解：*.*（x+3）2=X2+6X+9,

「?如果x2+6x+m是一個完全平方式，則m的值是9.

故選：B,

第8頁（共24頁）

【點評】本題主要考查完全平方式，熟練掌握完全平方式是解題的關(guān)鍵.

6.（3分）將分式其中的x,y的值同時擴大10倍，則分式的值（）

x+y

A.擴大100倍B.擴大10倍

C.不變D.縮小為原來的

10

【分析】首先判斷出分式其中的X,y的值同時擴大10倍，分式的分子與分母的變化情況，然后根據(jù)

x+y

分式的基本性質(zhì)，即可判斷出分式的值的變化情況.

【解答】解：?.?分式其中的X,y的值同時擴大10倍，分子擴大100倍，分母擴大10倍，

x+y

...分式的值擴大10倍.

故選：B.

【點評】此題主要考查了分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：分式的分子

與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變.

7.（3分）已知等腰三角形周長為13°加，其中一邊長為3c加，則該等腰三角形的腰為（）

A.1cmB.3cmC.5cm3cmD.5cm

【分析】分腰長為3c%或底為3c加兩種情況，再利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行驗證即可得到答案.

【解答】解：當(dāng)腰長為3c機時，則三角形的另兩邊分別為3c〃z,7cm,此時3+3<7,不滿足三角形的三

邊關(guān)系；

當(dāng)?shù)诪?c〃z時，則可知腰長為5cm,5ca,滿足三角形三邊關(guān)系，此時腰長為5c〃z,

故選：D.

【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關(guān)鍵，注意利用三角形

的三邊關(guān)系進(jìn)行驗證.

8.（3分）在△/BC中，N/C2為直角，//=30°,于。，若BD=L則42的長度是（）

A.4B.3C.2D.1

【分析】先根據(jù)為直角，//=30°,求出N2的度數(shù)，再根據(jù)CDLA8于。，求出NDC2=30°,

再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可直接求出答案.

【解答】解：:N/CB為直角，//=30°,

第9頁（共24頁）

AZ5=90°-ZA=6Q°,

?.S_L/8于。，

：./DCB=90°-ZB=30°

：.AB=2BC,BC=2BD,

；.4B=4BD=4.

故選：A.

【點評】此題主要考查學(xué)生對含30度角的直角三角形的性質(zhì)這一知識點的理解和掌握，此題的突破點是

利用//C8為直角和CO_L/8于。，求出/DCB=90°-Z5=30°,以后的問題即可迎刃而解了.

9.（3分）某地開展建設(shè)綠色家園活動，活動期間，計劃每天種植相同數(shù)量的樹木.該活動開始后，實際每

天比原計劃每天多植樹50棵，實際植樹400棵所需時間與原計劃植樹300棵所需時間相同.設(shè)實際每天

植樹X棵，則下列方程正確的是（)

A.400:=300R300==400

x-50Xx-50X

二

「400二=300D.300=400

x+50Xx+50X

【分析】根據(jù)實際植樹400棵所需時間與原計劃植樹300棵所需時間相同，可以列出相應(yīng)的分式方程，

本題得以解決.

【解答】解：由題意可得，

-4--0--0-=---3--0-0---，

xx-50

故選：B.

【點評】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)

的方程.

10.（3分）如圖，已知//。8=120°,點。是的平分線上的一個定點，點E,尸分別在射線CM和

射線03上，且/成甲=60°.下列結(jié)論：①尸是等邊三角形；②四邊形DE。尸的面積是一個定

值；③當(dāng)￡>￡_LON時，ADEF的周長最小；④當(dāng)。￡〃。8時,。廠也平行于其中正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】過點。作DWLLO5于點M,DNLOA于點、N,如圖所示：根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到

第10頁（共24頁）

求得NM)N=60°,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到DE=DF,根據(jù)等邊三角形的判定定理得到△。跖

是等邊三角形；故①正確；根據(jù)全等三角形到現(xiàn)在得到△1)底加=葭￡＞刑，求得四邊形DEON=S四邊形

DEO/S&DFN,即S四邊形DEOF=S四邊形DMON，推出四邊形。尸的面積是一個定值，故②正確；根據(jù)垂線

段最短，得到的值最小，當(dāng)。￡最小時，△￡)￡廠的周長最小，于是得到當(dāng)DELCM時，最小，△

DEV的周長最小，故③正確，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/。=/。尸2=60°,求得/DFBW/AOB,得到

。月一定與ON不平行，故④錯誤.

【解答】解：過點。作于點M,DNLOA于點、N,如圖所示：

:點D是/AOB的平分線上的一點，

：.DM=DN,

VZAOB=nO°,ZDNO=ZDMO=90°,

：.NMDN=60°,

VZEDF=60°,

/EDN=ZFDM,

:.叢DENm叢DFM(ASA),

：.DE=DF,

...△DM是等邊三角形；故①正確；

S^DEM-S&DFN，

?,SADEM^S四邊形Z)EON=S四邊形DECW+SADFN，

即S四邊形_DEOF=S四邊形DWON，

:點D是/AOB的平分線上的一個定點，

???四邊形DMON的面積是一個定值，

，四邊形DEO廠的面積是一個定值，故②正確;

'：DE±OA,

.?.點￡與N重合，

?垂線段最短，

的值最小,

第11頁(共24頁)

當(dāng)。E最小時，△。斯的周長最小，

/.當(dāng)DELOA時，DE最小，ADEF的周長最小，故③正確,

,JDE//OB,ZD=ZDFB=60°,

:乙408=120°,

ZDFB^ZAOB,

廠一定與ON不平行，故④錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查了軸對稱-最短路徑問題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三

角形的判定和性質(zhì)，正確地最小輔助線是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）化簡：倔-我=_!&_.

【分析】直接化簡二次根式進(jìn)而合并得出答案.

【解答】解：原式=5&-2&=3%.

故答案為：372.

【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

12.（3分）若代數(shù)式收￡了在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是、93.

2

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式即可.

【解答】解：由題意得：2x-3^0,

解得：龍

2

故答案為：x2工

2

【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

13.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點/（3,-6）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是（3,6）.

【分析】利用關(guān)于x軸對稱點的特征分析得出即可.

【解答】解：點/（3,-6）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是：（3,6）.

故答案為：（3,6）.

第12頁（共24頁）

【點評】此題主要考查了關(guān)于X軸對稱點的特征，解題時，要注意：關(guān)于X軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐

標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

14.（3分）如圖，在△48C中，NC=90°,48=30°,垂直平分分別交2C,AB于點、D,E,

若NO=2,則BC=3.

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到NR4C=60°,根據(jù)角平分線的定義得到ND4B=/C4D=30°,得

到4D=BD=2,CD=LZ>=1,于是得到結(jié)論.

2

【解答】解：??,NC=90°,ZB=30°,

：.ZBAC^6Q°,

垂直平分NB,

AZDAB=ZCAD^30°,

：./DAB=NB,

：.AD=BD=2,CD=1AD=1,

2

：.BC=CD+BD=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查了含30°角的直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

15.（3分）如圖，在△NBC中，AD為△48C的角平分線，DELAB,垂足為E,DFLAC,垂足為P，若

AB=5,AC=3,DF=\,則△/8C的面積為4.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得。尸的長，然后根據(jù)三角形面積公式可得答案.

【解答】解：為的角平分線，DEL4B,垂足為￡,DFLAC,垂足為凡

第13頁（共24頁）

；?DE=DF=\,

?；AB=5,4C=3,

S“BC=s“Bas叢ACD

^XAB-DE+IAC'DF

22

=JLX5X1+JLX3X1

22

-_5,I3_

22

=4.

故答案為：4.

【點評】此題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解決此題關(guān)鍵.

16.（3分）若代數(shù)式2a2+30+1的值為6,則代數(shù)式6a?+9a+5的值為20.

【分析】由題意列出關(guān)系式，求出2a2+3。的值，將所求式子變形后，把2a2+3.的值代入計算即可求出

值.

【解答】解：；2a2+3a+l=6,即2a2+3°=5,

6a2+9a+5

=3（2/+3。）+5

=20.

故答案為：20.

【點評】此題考查了代數(shù)式求值，利用了整體代入的思想，是一道基本題型.

三、解答題（本題共9個小題，共72分）

17.（6分）因式分解：

（1）x2-4/（2）3a2+6ab+3b2.

【分析】（1）根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解；

（2）先提前公因式3,然后利用完全平方和公式進(jìn)行二次分解.

【解答】解：（1）原式=（x+2y）（x-2y）；

（2）原式=3Ca2+2ab+b2）—3（。+6）2.

【點評】本題綜合考查了提取公因式法、公式法分解因式.利用公式法分解因式時，提取公因式后利用

完全平方公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底.

第14頁（共24頁）

18.（8分）計算下列各式:

(1)

2

a/a-4

【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的減法法則計算，約分即可得到結(jié)果；

（2）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)

果.

=a+2-4

(a+2)(a-2)

=_____」-2____

(a+2)(a-2)

=1.

a+2,

(2)原式=xH)+—1_

x+1x+1X(x+1)

X-X-1-1

x+1X(x+1)

.?x(x+1)

【點評】此題考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

19.（8分）解分式方程.

（）

2-

Ax1x2-1

【分析】（1）先把分式方程兩邊同時乘以（2-x）,轉(zhuǎn)化成整式方程，求出整式方程的解，再進(jìn)行檢驗即

（2）先把分式方程兩邊同時乘以轉(zhuǎn)化成整式方程，求出整式方程的解，再進(jìn)行檢驗即可.

【解答】解：（1）1Jr-?

x-22-x

-1=1-X-3（2-X）,

-1=1-x-6+3x,

-2x=-4,

第15頁（共24頁）

x=2,

當(dāng)x=2時，x-2=0,

???x=2是原方程的增根，此方程無解;

(2)2x21

-

Ax1x2-11

x(x+1)-(2x-1)=x2-1,

-2x+l=，-1,

-x=-2,

x=2

當(dāng)x=2,x-l/0,x2~1WO,

；.x=2是方程的解.

【點評】本題考查了解分式方程，掌握轉(zhuǎn)化思想，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解是關(guān)鍵.

20.（6分）先化簡，再求值：（二_^——）+（得L+1）,其中xf/5+L

x-2x+lx^-1

【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最

簡結(jié)果，把X的值代入計算即可求出值.

【解答】解：原式=—一+（上1_+士工）

（x-1）2x2-lx2-l

x2x+l+x2-l

(X-1)2X2-1

二X-X%

（X-1）2x2-l

=X-x（x+l）

（x-1）2（x+1）（X-1）

=X.（x+1）（x-1）

（x-1）2X（x+1）

=1

X-1'

當(dāng)了=我+1時，

原式=1—=1.

V2+1-12

【點評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

21.(8分)如圖，在△4BC和△/￡>￡中，AB=AC,AD=AE,NB4C=ND4E=90°,且點。在線段3C

第16頁（共24頁）

上，連CE.

(1)求證：烏△/《￡；

(2)若NE/C=60°，求/CED的度數(shù).

【分析】(1)可利用S/S證明結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求得N/CE=//&)=/

AED=45：再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求解N/EC的度數(shù)，進(jìn)而可求可求解

【解答】(1)證明：?.?/A4C=/￡UE=90°,

ABAC-NCAD=/DAE-ACAD,即ABAD=ZCAE,

在△48。和中，

，AB=AC

<ZBAD=ZCAE)

,AD=AE

:ABD咨LACE⑸S)；

(2)解：:△ABD會A4CE,

：./ACE=/ABD,

???△/8C和△/￡>￡都是等腰直角三角形，

/.ZACE=ZABD=ZAED=45°,

4c=60°,

/.ZAEC=180°-/ACE-NEAC=180°-45°-60°=75°,

ZCED=ZAEC-ZAED=75°-45°=30°.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握

全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵.

22.(8分)如圖，在△48。中，已知/8=/C,。是邊上的一點，CO=3,BC=JIU，BD=\.

(1)求證：△3CO是直角三角形；

(2)求△N3C的面積.

第17頁(共24頁)

A

B--------------C

【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷△BCD的形狀，從而可以證明結(jié)論成立；

（2）根據(jù)勾股定理求出的長，然后即可求得△/8C的面積.

【解答】（1）證明：BC=JI5,BD=1,

：.CD2+BD2=32+12=io=叱2,

...△BCD是直角三角形；

（2）解：由（1）知，△BCD是直角三角形，

：./BDC=90°,

AZADC=90°,

設(shè)NC=x,貝!]AD=x-l,

,：CD2+AD2=AC2,

.'.3+（x-1）2—x2,

解得x=5,

；.AB=AC=5,

：4BC的面積是他竺=至2￡3=義

222

【點評】本題考查勾股定理的逆定理、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利

用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

23.（8分）某商店購進(jìn)48兩種商品，購進(jìn)一個/商品比購買一個3商品少10元，并且花費100元購買

的/商品和花費300元購進(jìn)的B商品的數(shù)量相等.

（1）求購買一個N商品和8商品各需要多少元；

（2）商店準(zhǔn)備購進(jìn)/,3兩種商品共80件，若2商品的數(shù)量不少于/商品的4倍，并且購買力,2商

品的總費用不低于1000且不高于1100,那么商店有幾種購買方案？

【分析】（1）根據(jù)“花費100元購買的/商品和花費300元購進(jìn)的8商品的數(shù)量相等”列方程求解；

（2）根據(jù)“3商品的數(shù)量不少于N商品的4倍”和“購買48商品的總費用不低于1000且不高于1100”

列不等式組求解.

第18頁（共24頁）

【解答】解：（1）設(shè)購買一個/商品需要X元,

則100_300,

xx+10

兩邊同乘以X（x+10）得：

100（x+10）=300x,

解得：x=5,

經(jīng)檢驗：x=5是原分式方程的解，

Ax+10=15,

答：購買一個/商品需要5元，購買一個3商品需要15元；

（2）設(shè)購買N商品y件，

則伊-4y,

[1000<5y+15（80-yX1100

解得：10WyW16,

的整數(shù)解為：10、11、12、13、14、15、16,

，商店有7種購買方案.

【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找到相等關(guān)系和不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

24.（10分）我們規(guī)定：在最簡分式中，分子、分母都是各項系數(shù)為整數(shù)的整式的情況下，如果分子的次數(shù)

低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式.例如，分式一1-,-；緝-是真分式.如果分子的次數(shù)不低

3

x+2X-4X

于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式.例如，分式五L,士上是假分式.一個假分式河與一個真分

x-lx+1

式N的和為整式，則稱M與N互為“和整分式”.

（1）已知：下列分式與假分式p用2上互為“和整分式”的是@.

x-3

①，②上③工.

x+3x-3x-3

2

（2）若假分式M/乙/王-4,存在一個真分式N與M互為“和整分式”.

x-l

①求真分式N；②當(dāng)Af+N=O時，求M的值.

（3）若/與3均與真分式工-互為“和整分式”，直接寫出當(dāng)整數(shù)x為何值時，分式/+2的值為整數(shù).

x-2

【分析】（1）先求出①②③分別與紅工的和，然后根據(jù)計算的結(jié)果與互為“和整分式”的定義進(jìn)行

x-3

判斷即可；

（2）①先把M寫成整式和分式和的形式，然后根據(jù)真分式N與M互為“和整分式”求出N即可；

第19頁（共24頁）

②根據(jù)①中所求的N和M+N=O,列出關(guān)于x的分式方程，解方程，求出x,再把x的值代入假分式

2

X-34進(jìn)行計算即可；

M=2XZ；

X-1

(3)設(shè)A」_=C,B」一=D(0，。均為整式)，求出A+B+人，根據(jù)已知條件判斷一上是整數(shù)，

x-2x-2x-2x-2

從而列出關(guān)于X的方程，求出X即可.

【解答】解：(1)由題意可知：①②③都是真分式，

--1-4--2-x---7

x+3x-3

=x-3(2x-7)(x+3)

(x+3)(x-3)*(x+3)(x-3)

=乂-3+2%2+6%-7。-21

(x+3)(x-3)

=2x2-24.

(x+3)(x-3)

1/x-7

x-34x-3

=2x-6

x-3

=2(x-3)

x-3

=2；

x-3

2

?「，々[24①是分式，2是整式，

(x+3)(x-3)x-3

.?.與假分式工互為“和整分式”的是②,

x-3

故答案為：②；

9

⑵①《名父仁￡

X-1

=2J-2x-x+l-5

x-1

=2x(乂-1)—(。-1)-5

x-l

=2x(x-1)_0-1_5

x-1x-1x-l

第20頁(共24頁)

55

,2x-l-

x-1

.?.當(dāng)NJ1時，真分式N與”互為"和整分式”;

②。：M+N=G,

?2X2-3X-45

------------i—4__7=0

x-1x-1

2

2X-3X+1八

-=0>

,x-l

2x2-3x+l=0,

⑵-1)(x-1)=0,

2x-1=0或x-1=0,

?1,

??X17，x2=l>

檢驗：當(dāng)時，x-IWO,

2

x工是原方程的解，

2

當(dāng)x=l時，x-1=0,

???x=l不是原方程的根,

-3又一4

x-1

2X(y)2-