人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第十三章 軸對(duì)稱(chēng)（知識(shí)歸納+題型突破）（原卷版）

第十三章軸對(duì)稱(chēng)（知識(shí)歸納+題型突破）

課標(biāo)要求

1.會(huì)判斷軸對(duì)稱(chēng)圖形，能畫(huà)出軸對(duì)稱(chēng)圖形.

2.理解垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定.

3.理解等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)和判定.

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

一、軸對(duì)稱(chēng)

軸對(duì)稱(chēng)概念：有一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這

條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn).兩個(gè)圖形關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)也叫

做軸對(duì)稱(chēng).

二、軸對(duì)稱(chēng)圖形

軸對(duì)稱(chēng)圖形概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)

圖形.這條直線(xiàn)就是它的對(duì)稱(chēng)軸.（對(duì)稱(chēng)軸必須是直線(xiàn)）

軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)（重點(diǎn)）：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂

直平分線(xiàn).類(lèi)似的，軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)

的線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分.軸對(duì)稱(chēng)圖形上對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等、對(duì)應(yīng)角相等.

畫(huà)一圖形關(guān)于某條直線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)圖形步驟：

找到關(guān)鍵點(diǎn)，畫(huà)出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

按照原圖順序依次連接各點(diǎn).

用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱(chēng)

1、點(diǎn)（x,y）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,-了）；

2、點(diǎn)（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-尤，y）；

三、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)

概念：經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（或線(xiàn)段的中垂線(xiàn)）

性質(zhì)：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等

的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.

四、等腰三角形

(1)定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形性質(zhì)

①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角“；②等腰三角形頂角的平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)與底邊上的

高線(xiàn)互相重合(簡(jiǎn)稱(chēng)“三線(xiàn)合一”).特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.

(3)等腰三角形的判定

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(即“等角對(duì)等邊“).

五、等邊三角形

(1)定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.

(2)等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.

(3)等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.

重要題型

題型一軸對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別

例題：12月2日是全國(guó)交通安全日，你認(rèn)為下列交通標(biāo)志不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是()

2.下列2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)體育圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是()

題型三軸對(duì)稱(chēng)中折疊問(wèn)題

例題：如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB,0c邊上分別有點(diǎn)E,F,將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿跖翻折至同一

平面后，點(diǎn)A,。分別落在點(diǎn)G,H處.若NGEB=28。，則/。正￡的度數(shù)是()

C.77°D.78°

【變式訓(xùn)練】

1.如圖1,將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿著翻折，使得點(diǎn)5,C分別落在點(diǎn)E,尸位置.如圖2,在第一次

翻折的基礎(chǔ)上再次將紙片沿著MP翻折，使得點(diǎn)N恰好落在ME延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)Q處.

(2)若=試用含a的式子表示/AMQ,并說(shuō)明理由.

2.如圖1,將筆記本活頁(yè)一角折過(guò)去，使角的頂點(diǎn)A落在點(diǎn)A”處，8c為折痕.

⑴如圖1,若Nl=25°,求NABD的度數(shù);

(2)如果又將活頁(yè)的另一角斜折過(guò)去，使BD邊與2A重合，折痕為2E,如圖2所示，求NCBE的度數(shù).

題型四線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)

例題：如圖，在A4BC中，BC的垂直平分線(xiàn)交AC,BC于點(diǎn)。，E.若△A3。的周長(zhǎng)為20,△ABC的周長(zhǎng)

為32,則BE=.

【變式訓(xùn)練】

1.已知，如圖,ABC中，3c=10,邊AB、AC的垂直平分線(xiàn)分別交BC于。、E,交43、AC于尸、G,

連接AD與AE,則,AT史的周長(zhǎng)=.

2.如圖，NB4c的平分線(xiàn)AD與BC的垂直平分線(xiàn)DG相交于點(diǎn)。，DELAB,DFLAC,垂足分別為E,F,

A￡=8,AC=5,則BE的值為.

c.

題型五線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的判定

例題：如圖，已知ABC,點(diǎn)P為—A4c的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，PELAB,PFYAC,垂足分別為E、F

(1)求證：PE=PF

(2)若BE=CF,求證：點(diǎn)尸在BC的垂直平分線(xiàn)上.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，P為NMON平分線(xiàn)上一點(diǎn)，以_LOM于A,PBLON于B.

(1)求證：OA=OB-,

(2)求證：0P垂直平分A2.

2.如圖，AO是ABC的角平分線(xiàn)，DE,。尸分別是和.ACD的高.

(1)求證：AD垂直平分EP；

(2)若A3=3,AC=2,”A3C的面積是4,則DE=_.

題型六坐標(biāo)與圖形變換一一軸對(duì)稱(chēng)

例題：（2021.山東.單縣湖西學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別

是A（-2,T）,B（0,-4）,C（2,-l）.畫(huà)出..ABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的"卻^,并寫(xiě)出點(diǎn)耳、G的坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，建立平面直角坐標(biāo)系后△ABC的頂點(diǎn)

均在格點(diǎn)上.

(1)寫(xiě)出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);

(2)寫(xiě)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的△44G的頂點(diǎn)A、B1、G的坐標(biāo);

(3)求SABC.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-3,4),B(-4,1),C(-1,2).

(1)在圖中作出AABC關(guān)于無(wú)軸的對(duì)稱(chēng)圖形瓦￡.

(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)：

(3)求AABC的面積.

(4)在無(wú)軸上畫(huà)出點(diǎn)P,使QA+QC最小.

題型七等腰三角形的定義

例題：等腰三角形一邊長(zhǎng)等于2,一邊長(zhǎng)等于3,則它的周長(zhǎng)是()

A.5B.7C.8D.7或8

【變式訓(xùn)練】

1.在等腰“5。中，NA=70。，則NC的度數(shù)不可能是（

A.40°B.55°C.65°D.70°

2.已知等腰三角形一邊長(zhǎng)為4,周長(zhǎng)為10,則另兩邊長(zhǎng)分別為)

A.4,2B.3,3C4,2或3,3D.以上都不對(duì)

題型八根據(jù)等腰三角形中三線(xiàn)合一求解

例題：如圖，ABC中，AB=AC,于點(diǎn)。，NB4D=20。，若5c=26。，則44C的度數(shù)為

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，△A8C中，AB=AC=6fZBAC=120°,是△A3C的中線(xiàn)，AE是△84。的角平分線(xiàn)，DF//AB

交AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)R則。尸的長(zhǎng)是（）

D.4

2.如圖，AABC中，AB=AC,BC=AB的垂直平分線(xiàn)交5C于點(diǎn)D且5OVCD,過(guò)點(diǎn)8作射線(xiàn)AD

的垂線(xiàn)，垂足為及則。。-。舊=.

BD

E

題型九等腰三角形的性質(zhì)與判定

例題：如圖，已知在四邊形ABC。中，AD//BC,ZA=90°,AD=BE,CE±BD,垂足為E.

Bk---------------------------

⑴求證：BD=BC；

(2)若8c=50。，求/QCE的度數(shù).

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，已知在四邊形ABC￡>中，點(diǎn)E在上，ZBCE=ZACD=90°,NBAC=ND,BC=CE.

⑴求證：AC—CD；

(2)若AC=AE,求/ACB的度數(shù).

2.如圖，△ABC中，ZB=ZC=50°.點(diǎn)D在線(xiàn)段8c上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)。不與2、C重合)，連接A。，作NAOE

=50°,OE交線(xiàn)段AC于E.

⑴當(dāng)/54。=20。時(shí)，ZEDC=:;

(2)當(dāng)/54。=。時(shí)，△A8O0ZYDCE?請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)AAZ)E能成為等腰三角形嗎？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)；若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型十等邊三角形的性質(zhì)與判定

例題：如圖，C是上一點(diǎn)，點(diǎn)。，E分別在A3兩側(cè)，ADBE,且ADBC,BE=AC.

(1)求證CD=EC；

(2)連接。E,若NDCE=60。,DC=4,求DE的長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在AABC中，Z