人教版八年級數(shù)學上冊壓軸題專練：平方差與完全平方公式壓軸題的四種考法（原卷版）

專題07平方差與完全平方公式壓軸題的四種考法

類型一、平方差公式逆運算

例1.計算：8x(72+1)(74+1)(78+1)(716+1)+1=

2017?=

例2.計算:

2016x2018+1

【變式訓練。計算-哥?『盛人/『一

【變式訓練2].若4=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1,則4—2022的末位

數(shù)字是.

【變式訓練3】閱讀：在計算(xf卜"+尤1+/2+…+工+1)的過程中，我們可以先從簡單

的、特殊的情形入手，再到復雜的、一般的問題，通過觀察、歸納、總結，形成解決一類問

題的一般方法，數(shù)學中把這樣的過程叫做特殊到一般.如下所示：

【觀察】①(x-l)(x+l)=Y-i；

②+尤+1)=尤3-1.

③(X-I)(d+x2+X+1)=X”-1；

⑴【歸納】由此可得：(x-D(x"+x"T+x"-2+…+x+l)=;

(2)【應用】請運用上面的結論，解決下列問題:計算：2的+22磔+22。2+…+22+2+1=

(3)計算：220-219+218-217+..-23+22-2+1=;

(4)若_?+/+V+f+x+1=0,求^2022的值.

類型二、完全平方公式(換元法)

例.設a=x-2022,b=x-2024,c=x-2023.^a2+b2=16,則c,的值是()

A.5B.6C.7D.8

【變式訓練1】已知("-2016)(2019-")=1,則5-2016)2+(〃-2019>=

【變式訓練2]已知(2018-a)(a-2021)=-5,求(°-2018)°+(0-2021)2=

【變式訓練3】閱讀理解：

已知a+b=-4,ab=3,求/+〃的值.

解：0a+b=-4,

回(a+6)2=(-4『.

即a2+2ab+b2—16.

Sab—3,

Sa2+b2=10.

參考上述過程解答：

(1)已知。-匕=-3,ab=-2.求式子Qa-b)(a2+b2)的值；

(2)若〃2-"-p=-10,--12,求式子(m—p)?的值.

類型三、完全平方公式變形

例.已知，一人=5,且。一/?=10,貝U4+〃+/一4〃一〃0一〃0等于（）

A.105B.100C.75D.50

例2.已矢口/一3%+1=0,求尤，+二=.

【變式訓練1】.已知/=2”5,y2=2x+5（*y）,則/+2/,2+伊3的值為

【變式訓練2】已知421=0,則人5e的值為+5的值為一

【變式訓練3].如果N+4y2-2x-4y+2=0,則(2x-3y)2-(3y+2無)2=

類型四、完全平方公式與幾何綜合

例.兩個邊長分別為。和6的正方形如圖放置（圖①），其未疊合部分（陰影）面積為4；

若再在圖①中大正方形的右下角擺放一個邊長為6的小正方形（如圖②），兩個小正方形

疊合部分（陰影）面積為邑.

（1）用含。、6的代數(shù)式分別表示耳、邑；

（2）若〃一人=8,ab=13,求5]+邑的值；

（3）用。、6的代數(shù)式表示邑；并當品+邑=34時，求出圖③中陰影部分的面積S3.

圖①圖②圖③

【變式訓練1】若尤滿足(9-X)(X-4)=4,求(4-X)2+(X-9)2的值.

解：設9—x=a,尤一4=人，則(9一龍)(％—4)=。。=4,。+6=(9—尤)+(*—4)=5,

EI(9-x)2+(x-4)2=a2+&2=(a+Z?)2-2a/>=52-2x4=17

請仿照上面的方法求解下面問題：

NR

(1)若x滿足(％—10)(了-20)=15,求(無一10)2+(x_20)2的值；

(2)已知正方形ABC。的邊長為x,E,尸分別是A。，0c上的點，且AE=1,CF=3,長方

形EA〃叫的面積是48,分別以。下作正方形MFRN和正方形GEDH,求陰影部分的面

積.

【變式訓練2】如圖1,是一個長為2根，寬為2”的長方形，沿圖中虛線用剪刀將其均分成

四個小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形.

2m

圖1

⑴圖2中正方形陰影部分的面積為二

⑵請你用兩種不同的方法分別求圖2中陰影部分的面積，可以得到等式是「

9

(3)若x—y=-4,孫=則無+>=_；

⑷若無2一丫2=3,孫=2,求x—y的值

【變式訓練3】【閱讀材料】

"數(shù)形結合”是一種非常重要的數(shù)學思想方法.比如：北師大版七年級下冊教材在學習"完全

平方公式”時，通過構造幾何圖形，用幾何直觀的方法解釋了完全平方公式：

（a+bY=a2+2ab+b2（如圖1）.利用"數(shù)形結合"的思想方法，可以從代數(shù)角度解決圖形問

題，也可以用圖形關系解決代數(shù)問題.

圖1圖2圖3圖4

【方法應用】

根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：

⑴由圖2可得等式：；由圖3可得等式：；

（2）利用圖3得到的結論,解決問題:若a+b+c=15,ab+ac+bc=35，貝l]a2+b2+c2=;

（3）如圖4,若用其中x張邊長為。的正方形，y張邊長為6的正方形，z張邊長分別為a,b

的長方形紙片拼出一個面積為（2a+3（4+2b）長方形（無空隙、無重疊地拼接）.

①請畫出拼出后的長方形；

②尤+y+z=；

⑷如圖4,若有3張邊長為a的正方形紙片，4張邊長分別為a,b的長方形紙片，5張邊長

為6的正方形紙片.從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張.把取出的這些紙片拼成一

個正方形（無空隙、無重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為.

課后訓練

1.設。=%-2017,b=%—2019,c—x-2018.若〃+廿=34,則H的值是（

A.16B.12C.8D.4

則/+2等于（

2.已矢口a?—a—2—0，)

a

A.3B.5C.-3D.1

3.若“，匕滿足2/+2aZ?-4a+4=0,貝！Ja+3b的值為.

4.已知尤滿足(x-2020)2+(2022-x)2=10,則(%-2021)2的值是.

5.如圖1是一個長為4a、寬為6的長方形，沿圖1中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形,

然后用四塊小長方形拼成的一個"回形"正方形(如圖2).

圖2圖3

(1)觀察圖2,請你寫出(a+6＞、g一92、油之間的等量關系是；

9s

(2)利用⑴中的結論，若x+y=5,xy=-,求(尤-y)的值；

(3)如圖3,點C是線段A3上的一點，分別以AC、BC為邊在AB的同側作正方形ACDE和

正方形CBFG,連接EG、BG、BE,當5c=1時，ABEG的面積記為跖，當3c=2時，ABEG

的面積記為S?，…，以此類推，當=〃時，ABEG的面積記為S“，計算

$50-S49+邑8-S47+…+S?—S］的值.

6.知識生成：我們已經(jīng)知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式.

例如：由圖①可以得到(。+6)2=/+2劭+62,基于此，請解答下列問題：

(1)直接應用：若孫=5,x+y=7,直接寫出f+y2的值為；

(2)類比應用：填空：

①若x(4—無)=2,貝|/+(工-4)2=；

②若(x-3)(無-5)=2,則(a-3)2+(a-5)2=；

⑶知識遷移：如圖②，一農(nóng)家樂準備在原有長方形用地(即長方形A3CD)上進行裝修和

擴建，先用長為120m的裝飾性籬笆圍起該長方形用地，再以AD,8為邊分別向外擴建

正方形4)GH、正方形DCEF的空地，并在這兩塊正方形空地上建造功能性花園，該功能

性花園面積和為ZOOOn?,求原有長方形用地ABCD的面積.

7.圖1是一個長為2m，寬為2〃的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后

按圖2的形狀拼成一個正方形.

⑴圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于

(2)觀察圖2你能寫出下列三個代數(shù)式(〃?+〃)2,(〃2-〃)2,〃?〃之間的等量關系.

⑶運用你所得到的公式，計算若7加=-2,根-〃=4,求：

①(加+〃)2的值.

②m4+n4的值.

⑷用完全平方公式和非負數(shù)的性質(zhì)求代數(shù)式f