人教版八年級數(shù)學上冊壓軸題專練：全等三角形的六種模型全梳理（原卷版）

專題03全等三角形的六種模型全梳理

幾何探究類問題一直屬于考試壓軸題范圍，在三角形這一章，壓軸題主要考查是證明三

角形各種模型，或證明線段數(shù)量關系等，接來下我們針對其做出詳細分析與梳理。

類型一、倍長中線模型

目的:①構造出一組全等三角形;②構造出一組平行線。將分散的條件集中到一個三角形中o

例1.【閱讀理解】

課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題:

如圖1,AABC中，若AB=8,AC=6,求邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2,延長AD到點￡,使=

連接BE.請根據(jù)小明的方法思考：

(1)如圖2,由已知和作圖能得到△ADC沿八EDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

(2)如圖2,AO長的取值范圍是.

A.6<AD<8B.6<AD<8C.1<AD<7D.1<AD<7

【感悟】

解題時，條件中若出現(xiàn)"中點"、"中線"字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的

已知條件和所求證的結論轉化到同一個三角形中.

【問題解決】

(3)如圖3,AD是4WC的中線，BE交AC于點E,交AD于尸，且=求證：AC=BF.

例2.(培優(yōu))已知AACB和ADCE都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,連接AD,BE,

點廠為8E中點.

圖1圖2

(1)如圖1,求證：BF=；AD；

⑵將繞C點旋轉到如圖2所示的位置，連接AE,BD,過C點作，AD于M點.

①探究AE和的關系，并說明理由；

②連接FC,求證：F,C,M三點共線.

【變式訓練1】如圖，AABC中，BD=DC=AC,E是。C的中點，求證：AB=2AE.

【變式訓練2】(1)如圖1,已知AABC中，AD是中線，求證：AB+AC>2AD；

(2)如圖2,在ABC中，D,E是BC的三等分點，求證：AB+AC>AD+AE；

(3)如圖3,在AABC中，D,E在邊BC上,且3D=CE.求證：AB+AC>AD+AE.

【變式訓練3】（1）閱讀理解：

如圖①，在AABC中，若AB=8,AC=5,求3C邊上的中線AD的取值范圍.可以用如下方

法：將△420繞著點。逆時針旋轉180。得到△EBD,在△/■中，利用三角形三邊的關系

即可判斷中線4）的取值范圍是；

（2）問題解決：

如圖②，在AABC中，。是BC邊上的中點，DELDF于點D，DE交AB于點E,DF交AC

于點F,連接EF,求證：BE+CF>EF-

（3）問題拓展：

如圖③，在四邊形ABCD中，ZB+ZZ）=180o,CB=CD,ZBCZ）=100o,以C為頂點作一

個50。的角，角的兩邊分別交AB、AD于￡、/兩點，連接EF,探索線段BE,DF,EF之間

的數(shù)量關系，并說明理由.

C

CE%D

i:

ABB

AEAEB

圖①圖②圖③

類型二、截長補短模型

截長補短法使用范圍：線段和差的證明（往往需證2次全等）

BCE十"

例1.如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE,C4平分N3CD,ZCAD=-ZBAE.

2

A

CD

（1）求證：CD=BC+DE；

（2）若/B=75。，求/E的度數(shù).

例2.（培優(yōu)）在AABC中，BE,8為AABC的角平分線，BE,CD交于點F.

(1)求證：ZBFC=90°+^ZA；

(2)已知NA=60。.

①如圖1,若BD=4,BC^6.5,求CE的長;

②如圖2,若M=AC,求NAEB的大小.

圖1圖2

【變式訓練1】如圖，△皿。為等邊三角形，若/。3。=/。^=￡（0。<1<60。），則々8=

（用含。的式子表示）.

【變式訓練2】如圖，在四邊形中，A3=AO,/B+NAOC=180。，點E、尸分別在直

線BC、CD上，^.ZEAF=^ZBAD.

（1）當點E、尸分別在邊BC、CO上時（如圖1）,請說明KFuBE+EO的理由.

⑵當點E、尸分別在邊8C、8延長線上時（如圖2）,（1）中的結論是否仍然成立？若成

立，請說明理由；若不成立，請寫出E尸、BE、ED之間的數(shù)量關系，并說明理由.

【變式訓練3］閱讀下面材料：

【原題呈現(xiàn)】如圖1,在AABC中，0A=2勖，8平分0AC2,AO=2.2,AC=3.6,求BC

的長.

【思考引導】因為CD平分0AC8,所以可在BC邊上取點E,使EC=AC,連接。E.這樣

很容易得到ADEO3AD4C,經(jīng)過推理能使問題得到解決(如圖2).

【問題解答】(1)參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問題；

(2)拓展提升：如圖3,已知AABC中，AB=AC,EIA=20o,8。平分回ABC,BD=23,BC

=2.求的長.

1

B匕-----c

圖1圖3

類型三、一線三等角模型

應用：①通過證明全等實現(xiàn)邊角關系的轉化，便于解決對應的幾何問題；

②與函數(shù)綜合應用中有利于點的坐標的求解。

例1.如圖1,ZACB^90,AC^BC,AD1CE,BELCE,垂足分別為。，E.

(1)若AD=2.5cm,DE—1.1cm,求BE的長.

(2)在其它條件不變的前提下，將CE所在直線變換到JLBC的外部(如圖2),請你猜想

AD,DE,BE三者之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；

⑶如圖3,將(1)中的條件改為：在AABC中，AC=BC,D,C,E三點在同一條直線上,

并且有NBEC=NADC=ZBC4=。，其中a為任意鈍角，那么(2)中你的猜想是否還成立?

若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

例2.在正方形ABCD中，點E在射線CB上（不與點8,C重合），連接D8,DE,過點E

作EF_LZ）E,并截取EF=DE（點D,尸在8C同側），連接M.

（1）如圖1,點E在BC邊上.

①依題意補全圖1;

②用等式表示線段3。，BE,蛇之間的數(shù)量關系，并證明；

（2）如圖2,點E在CB邊的延長線上，其他條件均不變，直接寫出線段8D,BE,BF之

間的數(shù)量關系.

圖1圖2

【變式訓練1】通過對數(shù)學模型"K字"模型或"一線三等角"模型的研究學習，解決下列問題:

［模型呈現(xiàn)］如圖1,ZBAD=90°,=過點8作BC±AC于點C,過點。作。E1AC

于點E.求證：BC=AE.

［模型應用］如圖2,且AE=AB,5CLCD且BC=C。，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù),

計算圖中實線所圍成的圖形的面積為.

［深入探究］如圖3,ZBAD=ZCAE^90°,AB=AD,AC=AE,連接BC,DE,且8C_LAF

于點凡OE與直線AF交于點G.若BC=21,AF=12,則△ADG的面積為.

【變式訓練2]（1）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形.如

圖1,已知：在AABC中，ZSAC=90°,AB=AC,直線/經(jīng)過點A,BD2直線/,CEL直

線/,垂足分別為點。，E.求證：DE^BD+CE.

（2）組員小明想，如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖2,將（1）中的條件

改為:在AABC中，AB=AC,DA,E三點都在直線/上,并且有N&M=NAEC=NBAC=a,

其中a為任意銳角或鈍角.請問結論上=9+CE是否成立？若成立，請你給出證明；若

不成立，請說明理由.

（3）數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3,過

△ABC的邊AB,AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,A8是BC邊上的高.延長交

EG于點/.若S4ABG=[,則-

類型四、手拉手模型

例1.【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1,AABC和VADE均為等邊三角形，點2,D,￡在同一直線

上，連接CE,容易發(fā)現(xiàn)：①/3EC的度數(shù)為」②線段3D、CE之間的數(shù)量關系為一

【類比探究】

（2）如圖2,AABC和VADE均為等腰直角三角形，ABAC=ZDAE=90°,點、B,D,E在

同一直線上，連接CE,試判斷N3EC的度數(shù)以及線段跳、CE、OE之間的數(shù)量關系，

并說明理由；

【問題解決】

（3）如圖3,ZAOB=ZACB=90°,04=4,03=8,AC=BC,則OC?的值為一.

例2.(培優(yōu))如圖1,在中，ZA=90°,AB=AC,點D、E分別在邊AB,AC上,

AD=AE,連接。C,點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點.

圖1

⑴觀察猜想：

圖中，線段與PN的數(shù)量關系是，位置關系是

(2)探究證明:

把VADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN,BD,CE,判斷APMN的形狀,

并說明理由;

⑶拓展延伸:

把VADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉，若AD=4,AB=10,請直接寫出APMN面積的最大值.

【變式訓練1】如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=BC,點。是AB中點，NMON=90。,

將NMON繞點O旋轉，NMON的兩邊分別與射線AC、CB交于點。、E.

(1)當4/ON轉動至如圖一所示的位置時，連接CO,求證：&COD.BOE；

⑵當/MON轉動至如圖二所示的位置時，線段C。、CE、AC之間有怎樣的數(shù)量關系？請

說明理由.

【變式訓練2】已知在“SC中，AB^AC,過點2引一條射線8M,。是8M上一點

【問題解決】

⑴如圖1,若NABC=60。，射線8M在/ABC內(nèi)部，9)8=60。，求證：ZBDC=60°,小

明同學展示的做法是：在上取一點E使得AE=AD,通過已知的條件，從而求得NBDC

的度數(shù)，請你幫助小明寫出證明過程；

【類比探究】

⑵如圖2,己知NABC=NAD3=30。.

①當射線8M在/ABC內(nèi)，求/加C的度數(shù)

②當射線在BC下方，如圖3所示，請問NMC的度數(shù)會變化嗎?若不變，請說明理由，

若改變，請求出NBDC的度數(shù)；

類型五、半角模型

例1.已知：邊長為4的正方形ABC。，SEAF的兩邊分別與射線C2、OC相交于點E、F,

圖1圖2圖3

思路分析：

⑴如圖1,國正方形ABCZ）中，AB=AD,SBAD=S\B=^ADC=90°,

回把繞點A逆時針旋轉90。至則凡D、E在一條直線上,

.度，

根據(jù)定理，可證：△AEFIBAE'F.

團EF=BE+DF.

類比探究:

（2）如圖2,當點E在線段CB的延長線上，探究ERBE、。尸之間存在的數(shù)量關系，并寫出

證明過程;

拓展應用:

(3)如圖3,在AABC中，AB=AC,D、E在BC上，0BAC=20DA￡.若SAA8C=14,S^ADE

=6,求線段80、DE、EC圍成的三角形的面積.

例2.(培優(yōu))如圖，CA^CB,CA±CB,NECF=45°,CD=CF,ZACD=ZBCF.

（1）求NACE+N3CF的度數(shù)；

（2）以E為圓心，以AE長為半徑作弧；以P為圓心，以防長為半徑作弧，兩弧交于點G,

試探索AEFG的形狀？是銳角三形，直角三角形還是鈍角三角形？請說明理由.

【變式訓練1】已知四邊形A8CD中，AB^AD,BCSiCD,AB=BC,0ABe=120。，0MBN=

60°,回MBN繞8點旋轉，它的兩邊分別交AD0c（或它們的延長線）于E、F.

（1）當回MBN繞8點旋轉到A￡=C尸時（如圖1）,試猜想AE,CF,EF之間存在怎樣的數(shù)

量關系？請將三條線段分別填入后面橫線中：—+—=—.（不需證明）

（2）當回繞B點旋轉到（如圖2）時，上述（1）中結論是否成立？請說明理由.

（3）當回MBN繞B點旋轉到A歷CB（如圖3）時，上述（1）中結論是否成立？若不成立,

線段AE,CF,EF又有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的猜想，不需證明.

【變式訓練2】（1）如圖，在正方形ABC。中，E、E分別是BC,8上的點，且RF=45。.直

接寫出BE、DF、E廠之間的數(shù)量關系;

(2)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、/分別是BC,8上的點,

S.ZEAF=^ZBAD,求證：EF=BE+DF;

(3)如圖，在四邊形A3。中，AB=AD,ZB+ZA￡>C=180°,延長BC到點E,延長8到

點、F,使得ZE4尸則結論EF=BE+Db是否仍然成立？若成立，請證明；不成

立，請寫出它們的數(shù)量關系并證明.

類型六、旋轉模型

例.如圖，在&4BC中，鉆=4?,/34?=。(0。＜。＜60。)，點。在“1BC內(nèi)，BD=BC,

NDBC=60。，點石在AABC外，ZECB=150°,ZABE=60°.

(1)ZADB的度數(shù)為;

⑵小華說△厄妹是等腰三角形，小明說m是等邊三角形，的說法更準確，

并說明理由；

(3)連接DE,若DELBD,DE=1。,求A￡)的長.

例2.(培優(yōu))已知點C為線段上一點，分別以AGBC為邊在線段AB同側作AACD和

△BCE,且C4=CD.CB=CE,ZACD=ZBCE,直線AE與BD交于點元

A

(1)如圖1,可得△ACE絲；若NACZ)=60。，則NAFB=.

(2)如圖2,若ZACD=a,則NA/B=.(用含a的式子表示)

⑶設NACD=a,將圖2中的AACD繞點C順時針旋轉任意角度(交點/至少在3D/忘中

的一條線段上)，如圖3.試探究WB與a的數(shù)量關系，并予以說明.

【變式訓練1】在拓0ABe中，EACB=90°,CA=C8,點。是直線A8上的一點，連接CD,

將線段C。繞點C逆時針旋轉90。，得到線段CE,連接班.

（1）操作發(fā)現(xiàn)

如圖1,當點。在線段A8上時，請你直接寫出與8E的位置關系為；線段B。、

AB,即的數(shù)量關系為；

（2）猜想論證

當點D在直線A8上運動時，如圖2,是點。在射線A8上，如圖3,是點。在射線上,

請你寫出這兩種情況下，線段8。、AB,EB的數(shù)量關系，并對圖2的結論進行證明；

（3）拓展延伸

若AB=5,BD=1,請你直接寫出MOE的面積.

DBXBD

圖1圖2

【變式訓練2】如圖，等邊中,OE//54分別交3C、AC于點。、E.

（1）求證：ACDE是等邊三角形;

BDC

（2）將ACDE繞點C順時針旋轉6（。。＜6＜360。），設直線AE與直線相交于點尸.

①如圖，當0。＜夕＜180。時，判斷/包中的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是,

說明理由；

②若45=7,CD=3,當8,D,E三點共線時，求8。的長.

B

CE

課后訓練

1.已知：如圖，在AABC中，N3=60。，D、E分別為AB、BC上的點，且AE、。交于

點、F.若AE、8為44BC的角平分線.

(1)求ZA/C的度數(shù)；

(2)若A￡)=6,CE=4,求AC的長.

(1)如圖1,若點。，B,C在同一直線上，連接A￡),CE,則AD與CE的關系為.

(2)如果將圖1中的△瓦比繞點2在平面內(nèi)順時針旋轉到如圖2的位置，那么請你判斷AZ)與

CE的關系，并說明理由

⑶如圖3,若AB=6,應＞=2,連接AE,分別取DE,AE,AC的中點M,P,N,連接MP,

NP,MN,將ABDE繞點B在平面內(nèi)順時針旋轉一周，請直接寫出旋轉過程中AMPN的面

積最大值和最小值.

3.問題背景：

如圖1,在四邊形ABC。中=ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,E、尸分別是BC,

C。上的點，且SEAP=60。，探究圖中線段BE,EF,ED之間的數(shù)量關系.小王同學探究此

問題的方法是，延