人教版八年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略：二次根式壓軸（四大類型）（解析版）

專題01二次根式化簡常考壓軸(四大類型)

本章內(nèi)容與已學(xué)內(nèi)容“實數(shù)"''整式”“勾股定理”聯(lián)系緊密，同時也是以后將要學(xué)習(xí)的

“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函數(shù)”等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，并為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)

中的不等式、函數(shù)以及解析幾何等的大部分知識作好準(zhǔn)備。

、題型歸納)

【類型一】利用數(shù)軸化簡根式】

【類型二】含字母的二次根式化簡(注意范圍)】

【類型三】雙重二次根式化簡

【類型四】二次根式有意義的條件

【類型一：利用數(shù)軸化簡根式】

【典例1】已知，如圖所示，實數(shù)。、b＞。在數(shù)軸上的位置.化簡：

-|a-b|+V(c-a)2+|b+c|?

【答案】a-2c.

【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可得：

??a-b>0,c-0+c〈0,

,?-Ia-b|+V(c-a)2+|b+c|

—a-Qa-b)-(c-〃)-(b+c)

a-a+b-c+a-b-c

~~o.~2c

【變式1-1］已知實數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖，則化簡：7(a+b)2H(a-b)2-衣，

得()

b0a

A.-3aB.-a+2bC.-2aD.a-b

【答案】A

【解答】解：由題意得：b<0,〃>0,\b\>\a\,

a-b>0,

?,?原式="(〃+。)-(a-b)-a

=-a-b-a+b-a

=-3a.

故選：A.

【變式1-21已知數(shù)mb,。在數(shù)軸上的位置如圖所示：

化筒：_Ia-b|+V(c-a)2,

cb0a

【答案】-c.

【解答】解：由數(shù)軸可知，

c<b<O<a,且

原式=(-。)-(4-。)+4-c=-b-a+b+a-c=-c.

【變式1-3】已知：實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：t(a+l)2+J(b-l)2T

a-b\.

I-+----------_——

-5-4-3-2-1012345

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：-1,b>\,a<b

I.。+1VO,b-I>0,a-/?<0,

J原式=|。+1|+族-1卜|。-加

=-(〃+l)+(Z?-1)+(a-b)

=-a-1+b-1+a-b

=-2

【變式1-4］已知實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡J”_|a+b|+7(c-a)2+|b+c|-

ab0

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：由數(shù)軸可得:

a<0,a+b<0,c-a>0,Z?+c<0,

故原式=-〃+(〃+。)+c-a-b-c

【類型二：含字母的二次根式化簡（注意范圍）】

【典例2］化簡-x舊的結(jié)果是（）

A.B.-C.-V^xD.--/x

x

【答案】4

【解答】解:原式=-

-1J

=-T.V~x

-x

故選：A.

【變式2-1］已知a>b,的化簡結(jié)果是（)

D.-V-a

【答案】D

【解答】解：由題意得：心松產(chǎn)川,

-a

,:d>b,

，(b-a)2>0,

**.4Z<0.

V-a

aX

=-V-a

故選：D.

【變式2-2】化簡以-41114n的結(jié)果正確的是（）

A.B.-2m2\/nC.-2m2-V-nD.2m2V-n

【答案】D

【解答】解：：-4切2〃20,而加220,

."W0,

V-4m4n=l2m2lV-n=2m2V-n，

故選：D.

【變式2-3】化簡-a2，1的結(jié)果是（）

A.-2a\jB.-2〃^/^C.0D.2cr\］-&

【答案】C

［角尾答］解：一〃2p

=-~-/

-a

=-?V~a+fl!V~a

=0.

故選：C.

【變式2-4】化簡二次根式工/下的正確結(jié)果是（）

x

A.V-xB.VxC.-VxD.-V-x

【答案】D

【解答】解：根據(jù)代數(shù)式有意義得：xWO,-％320,

**.x<0,

.,.原式二-^-^/x2?（-X）

*wV-x

x

=』?（-X）

X

="V-X-

故選：D.

【類型三：雙重二次根式化簡】

【典例3】材料：如何將雙重二次根式Ja±2五（。>。，b>0,a±2五>0）化簡呢？如

能找到兩個數(shù)相，n（m>0,力>0）,使得（<i）?+（Jii）2=。，gpm+n—a,且使Jiii?

=Vb>即根那么a±W^=（?）2+（Vn）2±2Vin*Vn=（Viri±Vn）2-

Va±2Vb=I后土爪I（雙重二次根式得以化簡.

例如化簡：.3±2&因為3=1+2且2=1><2,3±26=（百）2+（&）2±2vflX

V2.,.V3±2V2=H±V2I.

由此對于任意一個二次根式只要可以將其化成Ja±2五的形式，且能找到m,n（m>

0,">0）使得m+幾=4,且加?〃=/?,那么這個雙重二次根式一定可以化簡為一個二次根

式.

請同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：

（1）填空：近±2找=_北±料_，112±2。=_，斤土'而_；

（2）化簡：.9±6企;

（3）計算：V3-V5+V2±V3.

【答案】（1）a土近,v7±V5；

（2）V6+V3；

（3）折道或,q-2&

22

【解答】解：（1）V5±276=V（V3±V2）2=V3±V2-V12+2V35=

?（VV士泥）2=W±V5-

故答案為：V3+V2.V7±V5；

⑵V9±6V2=V9±2Vl8=V（V6±V3）2=V6iVs;

=得秒導(dǎo)患

--------------,

2___

同理可得43M+42-愿=而-后-2'亞.

2

【變式3-1】閱讀材料：

小李同學(xué)在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如

3+272=(1+72)2,善于思考的小李同學(xué)進行了以下探索：

22

設(shè)a+bV2=(mtrr/2)2(其中人6、加、"均為整數(shù))，貝|有a+bA/2=m+2n+2innV2-

??a=92+2〃2,b=2.rnn.

這樣小李同學(xué)就找到了一種把類似a+b/5的式子化為平方式的方法.

請你仿照小李同學(xué)的方法探索并解決下列問題：

(1)當(dāng)〃、b、m、幾均為正整數(shù)時，若a+b，§=)2，用含相、孔的式子分別表

ZJNa、by:a――根>+3-2，b~~2〃?幾；

(2)若軟+4?=(nrtW§)2,且。、機、〃均為正整數(shù)，求〃的值；

(3)化簡：725+476.

【答案】(1)m2+3n2,2mn；

(2)。=13或a=7；

(3)I+2V6.

【解答】解：(1)a+bV^=(m+rr/§)2=加2+3層+2?加〃，

??a=加?+3幾2,b—2mn,

古答案為：m2+3n2,2mn；

⑵a+W3=(mtrr/3)2,

由(1)可知4=徵2+3〃2,4=2根小

Vm>〃均為正整數(shù)，

??m=1,幾=2^^m=2,Yl~-1,

.?.〃=13或a=7；

(3)V25+4V6

=V（1+2V6）2

=1+2A/6.

【變式3-2】【閱讀材料】小明在學(xué)習(xí)二次根式時，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以化成另一個式

子的平方，如：

5+276=（2+3）+2V2X3=（V2）2+（V3）2+2>/2xV3=（V2W3）2;

8+2V7=（1+7）+2V1X7=l2+（V7）2+2XixV7=（1+V7）2.

【類比歸納】

（1）請你仿照小明的方法將7+2內(nèi)化成另一個式子的平方；

（2）請運用小明的方法化簡；V11-6V2.

【變式探究】

（3）若且a,m，w均為正整數(shù)，求。的值.

【答案】⑴（V2W5）2；

（2）3-V2；

（3）。=10或22.

【解答】解：（1）7+2^10

=（2+5）+2。2X5

=（V2）2+（亞2+2&XA/5

=（V2+V5）2；

（2）V11-6V2

=V2+9-2xV9xV2

（3-V2）2

=3-企；

（3）V<7+2V21=（Viii+Vn）2,a,m,〃均為正整數(shù)，

:.a+2Mx77=（Vin+Vn）2，a+2xV21Xl=（V^+Vn）2）

m—3,〃=7或：“=21,”=1,

."=3+7=10或a=21+l=22.

【變式3-3】先閱讀下列解答過程，然后再解答:

形如A/m+2正的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)a,b，使a+b=m,ab=n,使得

（V）2+（五）2=m,VaXVb=Vn>那么便有：

Vm±2\[n=7（Va±Vb）2="/a±Vb（。>加

例如：化簡,7+4愿：

解：首先把‘7+4日化為,7+2VI^，這里根=7,77=12,由于4+3=7,4X3=12,即：

（V4）2+（V3）2=7,V4XA/3=V12,所以

V7+4V3=V7+2V12=V（V4+V3）2=2-h/3-

問題：

（1）填空：V4-2V3=_V3-l_-V5-2V6=_V3W2_；

（2）化簡：V19-4V15（請寫出計算過程）；

1

（3）化簡：'1廣巧===

V3+2V2V5+2V6V7+2V12V9+2V20V11+2V30

【答案】（1）V3-1：V3-V2；（2）"715-2；（3）V6-1.

【解答】解：（1）原式=13-2\反+1

=V（V3-1）2

=V3-1；

原式=<3-4后+2

=V（V3-72）2

=正-加；

故答案為：V3-1；V3-V2；

（2）原式=[]5_4任+4

r（6-2產(chǎn)

=V15-2；

（3）原式=__1__+____1___+__1__+__1__+___1___

V2+1V3+V22+V32+75V6W5

=料-1+V3-V2+2-V3+V5-2+V6-V5

=V6-1.

【類型四：二次根式有意義的條件】

【典例4】已知x,y為實數(shù)，尸"-4+山-乂2+1,求孫的平方根.

x-2

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：由題意，得

7X2-4>0,V4-X2^0,且X-2W°

解得％=-2,y=-1

4

xy=—，

2

孫的平方根是+亞

一2

［變式4-1］已知y=V3x-l-Vl-3x+9x,求43x+2y-3的平方根.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：由題意得，3x-120,1-3x20,

解得，X=—,

3

則y=3,

V3x+2y-3=2,

貝il43x+2y_3的平方根是土加.

【變式4-2】已知4a-17+2417-a=6+8-

(1)求°的值；

(2)求的平方根.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)由題意知a-17》0,17-。20,

則a-17=0,

解得：。=17；

(2)由(1)可知a=17,

貝U6+8=0,

解得：b=-8,

故°2-y=]72-(-8)2=225,

則/-廬的平方根為：土/礪=±15.

【變式4-3]已知x滿足12015-x|+Jx-2016=尤，求x-20152的值.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：由題意得，x-2016^0,

解得，x22016,

貝iJx_2015+Vx_2O16=x，

???Vx-2016=2015,

解得x=20152+2016,

則x-20152=2016.

一綴后堆亞________________________________

1.若2<。<3,則Ja2-4a+4f/(a-3)2等于()

A.5-2aB.1-2aC.2a-5D.2a-1

【答案】c

【解答】解：：2<a<3,

**Va2-4a+4-V(a-3)2

=a-2-(3-〃)

=a-2-3+〃

=2a-5.

故選：C

2.把aJZT中根號外面的因式移到根號內(nèi)的結(jié)果是一】1_.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：原式=--￡，

故答案為：-V-a

3.若|2017-瀏+Mm-2018="z，則“7-20172=2018.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：V|2017-m|+Vm-2018=m,

：.m-201820,

欄2018,

由題意，得加-2017+心-2018=%

化簡，得"m-2018=2017,

平方，得加-2018=20172,

m-20172=2018.

故答案為：2018.

4.若實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，試化簡：-（a+b）2+|b+c|+|a-c|.

1111,

~~hOr

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：根據(jù)題意得：a<b<O<c,且|c|V|A|V|a|,

a+b<0,/?+c<0,a-c<0,

則原式=|a|T〃+O|+|b+d+|a-c\=-a+a+b-b-c-a+c=-a,

5.閱讀材料：康康在學(xué)習(xí)二次根式后、發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，

如：3+272=（1W2）2;善于思考的康康進行了以下探索：

設(shè)a+b&=（mF、歷）2（其中。、b、相、”均為正整數(shù)），

22

則有a+bV2=m+2n+2innV2（有理數(shù)和無理數(shù)分別對應(yīng)相等），

??〃=,b—2m〃.

這樣康康就找到了一種把式子a+b6化為平方式的方法.

請你仿照康康的方法探索并解決下列問題：

（1）當(dāng)。、b、m、〃均為正整數(shù)時，若a+b五二（c+d\^）2，用含。、d的式子分別表

示a、b,得：a=C2+3J2,b—led；

（2）若7-4炳=（e-f近產(chǎn)，且e、/均為正整數(shù)，試化簡：7-4?;

（3）化簡：77+/21-V80-

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：⑴v（c+dV3）2=c2+2V3cd+3d2=c2+3d2+2V3cd-

???。=。2+3屋,b—2cd.

故答案為：02+3屋，2cd.

(2)77-4V3=4-2X2x73+3=22-2X2XV3+(V3)2=(2-V3)2)

7-W3=(2-V3)2-

(3)V7+721-V80

=V7+/l-4V5+20

=V7+/(1-2^)2

=V7+2V5-1

=46+2泥

=Vl+2V5+5

=1("產(chǎn)

=i-*Vs.

6.有這樣一類題目：將?a±2C化簡,如果你能找到兩個數(shù)機、力使扇+層=4且m〃=

Vb?則〃±2將變成扇+啟±2m九，即變成(加土九)2,從而使J@±得以化簡.例

如，因為5+2娓=3+2+2&=(V3)2+(V2)2+2A/2xF=(V3+V2)2,所^5+2^6

=V(V3+V2)2=V3+^2-

請仿照上面的例子化簡下列根式：

⑴V4+273；

⑵V9-4^5.

【答案】(1)Vs+i；

(2)V5-2.

【解答】解：(1)；4+2e=(?)2+12+2XA/3X1=(V3+D2,

V4+2V3=yj(^3+1)2=lV3+11=V3+1,

(2)V9-4A/5=(V5)2+22-2XV5X2=(巡-2)2,

V9-4\^5—(^5-2)2=IV5-2|=V^-2.

7.尤、y均為實數(shù)y<GI+'/TG+工，化簡："―

2y-1

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：由題意得，冗-120且1-x20,

解得力21且xW1,

所以，x=\,

所以，Vd-y)2=217=-1.

y-1y-l

8.若T(99-x)(x-99)=>99-x7x-99，求(%+D卜2mx+2的值

VX-1

【答案】見試題解答內(nèi)容

［解答］解：1.,V(99-x)(x-99)=V99-x*Vx-99>

.,.99-x^O,x-99^0,

解得：x=99,

則原式=(尤+1)R-12，X-^=：(X+1)(X-2)=W00X97=1OV^.

V(x+1)(x-1)

9.先閱讀下列的解答過程，然后作答：

形如4以±Wii的化簡，只要我們找到兩個數(shù)。，b使a+b=機,ab=