人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：平行四邊形（壓軸題專練）（解析版）

第十八章平行四邊形（壓軸題專練）

目錄

【考點(diǎn)一矩形中的折疊問題】...............................................................1

【考點(diǎn)二菱形中的折疊問題】...............................................................5

【考點(diǎn)三正方形中的折疊問題】............................................................11

【考點(diǎn)四矩形、菱形、正方形中旋轉(zhuǎn)問題】..................................................15

【考點(diǎn)五矩形、菱形、正方形中求定值問題】................................................22

【考點(diǎn)六矩形、菱形、正方形中求最小值問題】.............................................27

【考點(diǎn)七矩形、菱形、正方形中求最大值問題】.............................................31

【考點(diǎn)八矩形、菱形、正方形中點(diǎn)四邊形問題】.............................................36

【考點(diǎn)一矩形中的折疊問題】

例題：（2023秋?湖南衡陽?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，將矩形ABCD沿著對(duì)角線8。折疊，使點(diǎn)C落在C'處，BC

交于E,若AB=4,BC=8,AE=.

【答案】3

【分析】由折疊可知，NCBD=NEBD,再由AD〃3C,得至*/CBD=NEDB,即可得到=,

于是得到=設(shè)DE=x,則應(yīng)AE=8-x,在MABE中，由勾股定理求出x的值，即可求解；

【詳解】解：由折疊可知，ZCBD=ZEBD,

AD//BC,

:.NCBD=NEDB,

:.ZEBD=ZEDB,

BE=DE,

AD=BC,

:.AE^EC'.

設(shè)=則=AE=8-x,

在RtZXABE1中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2BP42+(8-x)2=x2,

解得：尤=5,

DE=5.

AE=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折變換的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的判定與勾股定理的知

識(shí)，此題難度不大.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023秋?福建福州?八年級(jí)福建省福州第一中學(xué)?？计谀?如圖,長方形ABCD中,E為8C的中點(diǎn)，將ABE

沿直線AE折疊時(shí)點(diǎn)2落在點(diǎn)尸處，連接FC,若/ZMF=16。，則N￡>CF=度.

AD

BEC

【答案】37

【分析】由折疊的性質(zhì)得：FE=BE,ZFAE=ZBAE,ZAEB=ZAEF,求出ZBAE=NE4E=37。，可得到

ZAEF=ZAEB=5T,求出NCEF=74。，求出FE=CE,由等腰三角形的性質(zhì)求出NECF=53。，即可得出

NOC尸的度數(shù).

【詳解】解：?四邊形池。是長方形，

:.ZBAD=ZB=NBCD=90。,

由折疊的性質(zhì)得：FE=BE,ZFAE=ZBAE,ZAEB=ZAEF,

ZDAF=16°,

/BAE=ZFAE=1x（90°-16°）=37°,

ZAEF=ZAEB=90°-37°=53°f

.?.ZCEF=180o-2x53o=74°,

石為BC的中點(diǎn)，

BE-CEf

:.FE=CE,

ZECF=—x(180。-74°)=53°,

2'7

ZDCF=90°-ZECF=37°；

故答案為：37.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；求出/ECF的度數(shù)是

解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）長方形紙片A3CD中，AB=3,BC=4,點(diǎn)￡是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,

把沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接CF,當(dāng)為直角三角形時(shí)，3E的長為.

BEC

【答案】|3■或3

【分析】當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)尸落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示.連接AC,先

利用勾股定理計(jì)算出AC=5,根據(jù)折疊的性質(zhì)得“芯=ZB=90。，而當(dāng)aa如為直角三角形時(shí)，只能得到

ZEFC=90°,所以點(diǎn)A、尸、C共線，即-3沿AE折疊，使點(diǎn)2落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)尸處，則￡B=EF,

AB=AF=3,可計(jì)算出CF=2,設(shè)3E=x,則跖=汨CE=4-x,然后在RtZ\CEF中運(yùn)用勾股定理可計(jì)

算出x.②當(dāng)點(diǎn)P落在AD邊上時(shí)，如答圖2所示.此時(shí)跖為正方形.

【詳解】解：當(dāng)獷為直角三角形時(shí)，有兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)尸落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示.連接AC,

BE

答圖1

在中，AB=3,BC=4,

?*-AC=yjAB2+BC2=V32+42=5，

沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)尸處,

/.ZAFE=ZB=90°,

當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，只能得到N￡FC=90。，

???點(diǎn)A、F、C共線，即23沿AE折疊，使點(diǎn)3落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)尸處,

；?EB=EF,AB=AF=3,

：.CF=5-3=2,

設(shè)3E=x,則EF=x,CE=4-x,

在Rt/XCEF中，

EF2+CF2=CE2,

：.X2+22=（4-X）2

3

解得：x=；；

②當(dāng)點(diǎn)廠落在AC邊上時(shí)，如答圖2所示.

A________n

K口

BEC

答圖2

此時(shí)為正方形，

BE=AB=3.

3

故答案為：5或3；

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等；對(duì)應(yīng)角相等.也考查了矩形的性

質(zhì)以及勾股定理.注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解.

3.（2022秋?江蘇蘇州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，長方形紙片A3CD中,AB=8,BC=12,點(diǎn)、E、尸分

別在邊AD和邊BC上，連接￡F,將紙片沿折疊.

二

BF。BFC

圖⑴圖⑵

(1)如圖(1),若點(diǎn)B落在邊AZ)的延長線上的點(diǎn)G處，求證：GE=GF；

(2)如圖(2),若點(diǎn)8落在邊。的中點(diǎn)"處，求防的長.

【答案】(1)見解析

20

⑵可

【分析】(1)由折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)得出/GEF=/EFG,則可得出結(jié)論；

(2)設(shè)8/=無，由勾股定理得出(12-xy+42=d,求出x即可得出答案.

【詳解】(1)證明：四邊形A3CD是矩形，

:.AD//BC,

:.ZGEF=ZBFE,

將紙片沿所折疊，

:.NBFE=/EFG,

Z.GEF=NEFG,

:.GE=GF;

(2)解：四邊形ABCD是矩形，

;.AD=BC=n,AB=CD=8,

M是8的中點(diǎn)，

:.CM=4,

由折疊的性質(zhì)可知：BF=FM,

設(shè)W=x,

CF2+CM2=FM2,

.,.(12-x)2+42=%2,

解得犬=三，

.fiF_20

3

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，等腰三角形的判定、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握折疊的性質(zhì).

【考點(diǎn)二菱形中的折疊問題】

例題：(2022秋.九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，在菱形ABC。中，ZA=120°,AB=2,點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，以

為對(duì)稱軸將△加￡折疊得到AOGE,再折疊BE使BE落在直線EG上，點(diǎn)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H,折痕為

且交8c于點(diǎn)?

(1)ZDEF=；

(2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則。F的長為.

【答案】90°2.8

【分析】(1)由折疊得NDEG+ZHEF=ZAED+NBEF,再根據(jù)平角的定義可得結(jié)論;

(2)首先證明8、G、。在同一條直線上，再運(yùn)用勾股定理列方程求解即可.

【詳解】解由折疊得，ZAED=ZDEG,NBEF=/HEF

：.ZDEG+ZHEF=ZAED+ZBEF

'：ZAED+ZDEG+ZHEF+ZBEF=180°

ZDEG+ZHEF=-xl80°=90°

2

即/DEF=90°

故答案為：90°；

(2):四邊形ABC。是菱形

：.ADIIBC,DCIIAB,AB=BC=CD=DA=2

：.ZB+ZA=180°

,?ZA=120°

ZB=180°-ZA=180°-120°=60°

:點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，且AB=2

AE=BF=—AB=—x2=1.

22

:點(diǎn)A與點(diǎn)G重合，

"GE=NA=120。

:點(diǎn)B與點(diǎn)H重合

ZEHF=ZB=60°

XAE=EG,BE=EH,AE=BE

：.EG=EH

???點(diǎn)G與點(diǎn)H重合

,?ZDGE+NFHE=ZDGE+ZFGE=100°+80°=l80°

：.B,G,。三點(diǎn)在同一條直線上

過點(diǎn)。作”交BC的延長線于點(diǎn)。，如圖，

'CDCIIAB

：.ZDCO=ZB=60°,DC=AB=2

：.ZCDO=30°

：.CO=-DC=-x2=l.

22

在RJDCO中,OD=VOC2-OC2=A/22-12=A/3

由折疊得，BF=FH,AD=DH^2

^BF=x,則PC=2-x

DF=DF+GF=2+x,FO=FC+CO=2-x+l=3-x

在應(yīng).Z)FO中，DF2=FO2+DO2

：.(2+x)2=(3-X)2+(>/3)2

解得，x—0.8

OF=2+0.8=2.8

故答案為2.8

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是

解答本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?全國?八年級(jí)假期作業(yè))如圖，在菱形ABCD中，ZABC=120°,將菱形折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)

角線8。上的點(diǎn)G處(不與8、。重合)，折痕為若。G=2,BG=6,則BE的長為.

D

G(A')

【答案】2.8

【分析】作即，89于H,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EG=E4,根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到

為等邊三角形，得到AB=BD,根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可.

【詳解】解：作EHLBD于H,

由折疊的性質(zhì)可知，EG=EA,

由題意得，BD=DG+BG=8,

四邊形ABCD是菱形，

.-.AD=AB,ZABD=ZCBD=-ZABC=60°,

2

.二A皿為等邊三角形，

AB=BD=8,

設(shè)班=x,則EG=AE=8—x,

在心EHB中,BH^-x,EH=-x,

22

在Rt_EHG中,EG2=EH2+GH2,即(8-x)?=(**)?+(6-gx)2,

解得，尤=2.8,BPBE=2.8,

故答案為：2.8.

【點(diǎn)睛】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，掌握翻轉(zhuǎn)變換是一種對(duì)

稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

2.(2022秋?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，在菱形A3CD中，F(xiàn)為BC邊上一點(diǎn)、,將dCD尸沿。尸折疊，點(diǎn)C恰好

落在CB延長線上的點(diǎn)E處，連接DE交A3于點(diǎn)G,若BE=3,BF=2,則OR的長為.

【答案】2加

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得C/=EEDFLBC,代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得CF=5,BC=1,由菱形的性質(zhì)得。C=7,

最后根據(jù)勾股定理可得DF的長.

【詳解】解：由折疊得，CF=EF,DFLBC,

■:BE=3,BF=2

：.EF=BE+BF=3+2=5

CF=5

：.BC=BF+FC=2+5=1

?..四邊形ABC。是菱形

：.DC=BC=1

在Rt^DFC中，DC2DF2+CF2

二DF=slDC2-CF2=分刁=2^/6

故答案為：2加

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CP=ER

DFLBC是解答本題的關(guān)鍵.

3.(2023春?江蘇鹽城?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，在矩形A8CD中，點(diǎn)E在邊CD上，將A8CE沿8E折

疊，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)F處，過點(diǎn)尸作EG〃C。，交BE于點(diǎn)G,連接CG.

(1)判斷四邊形CEPG的形狀，并說明理由.

⑵若AB=6,AD=IO,求四邊形CEFG的面積.

【答案】（1）見解析

【分析】（1）由翻折得/8EC=/BEF,FE=CE,根據(jù)FG〃CE,可得NFGE=NBEC,從而/FGE=/BEF,

FG=FE,故FG=EC,四邊形CEFG是平行四邊形，即可得證；

（2）在RfAABF中，利用勾股定理求得AF的長，可得。F=l,設(shè)￡7=x,則C￡=r,DE=3-x,在RfADEF

中，用勾股定理列方程可解得CE,在RtABCE中,即可求出答案.

【詳解】（1）證明：（1）;△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)尸處，

LBCE咨△BFE,

：.ZBEC=ZBEF,FE=CE,

'：FG//CE,

：.ZFGE=ZBEC,

：./FGE=/BEF,

：.FG=FE,

：.FG=EC,

：.四邊形CEFG是平行四邊形，

又：CE=FE,

四邊形CE/G是菱形；

（2）解：?.?矩形ABCD中,AD=10,

：.BC=10,

?.?△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)尸處，

：.BF=BC=IO,

在Rt^ABF中,AB=6,AF=^BF2-AB2=8，

：.DF=AD-AF=2,

設(shè)EF=x,貝ijCE=x,DE=6-x,

在R/AOEF中，DF~+D^=EF2,

22+（6-x）2=x2,解得x=?,

??CE—,

3

四邊形CEFG的面積是：CE?DF=yx2=y.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變化、菱形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問

題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

【考點(diǎn)三正方形中的折疊問題】

例題：（2022秋?廣東梅州.九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將正方形紙片按如圖折疊，AM為折痕，點(diǎn)B落

在對(duì)角線AC上的點(diǎn)E處，則NEMC的度數(shù)為（）

A.22.5°B.30°C.45°D.67.5°

【答案】C

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得？390?,ZACB=^ZBCD=45°,再由折疊可得=/3=90。，然

后利用三角形的外角進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：???四邊形A8CD是正方形，

：.?B90?,ZACB=-ZBCD=45°,

2

由折疊得：

ZAEM=ZB=90°,

：.NEMC=ZAEM-ZACB=90°-45°=45°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將正方形ABCD沿3E對(duì)折，使點(diǎn)A落在對(duì)角線8。上的A處，連接

AC,則/區(qū)4'C=°,

D

【答案】67.5

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出NC3D,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得43=3。，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出

答案.

【詳解】：四邊形ABCD為正方形，

AAB=BC,ZABC=9Q°,BD平分，ABC,

ZCBD=-ZABC=45°,

2

根據(jù)折疊可知，AB=AB,

：.AB=BC,

1800-45°

ZBA'C=ZBCA'=-------------=67.5°.

2

故答案為：67.5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，判定等腰三角形是解題的關(guān)

鍵.

2.(2022秋?福建寧德?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，在正方形A3CD中，AB=4,點(diǎn)￡在8邊上，將VADE

沿AE對(duì)折至△AE2"延長所交BC于點(diǎn)G,G恰好是8C邊的中點(diǎn)，則DE的長是.

41

【答案】-##1-

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明ABG當(dāng)AAG(HL),進(jìn)而得到BG=Gb,由G是BC的中點(diǎn),

得到3G=GF=GC=2,設(shè)=則EF=x,EC=4-x,在RtECG中由勾股定理建立方程求解即可.

【詳解】解：連接AG,

由折疊得：AD=AF,ZAFE=ZD=90°,

:在正方形ABCD中，AD=AB,ZB=ZD=90°,

：.AB=AF,ZB=ZAFE=ZAFG=9Q°,

'：AG=AG,

，.ABGqAFG（HL）,

BG=GF,

VAB=BC=CD^DA=4,G是BC的中點(diǎn)，

BG=GF=GC=2,

設(shè)DE=x,貝ij￡F=尤，EC=4-x,

在RtECG中，由勾股定理得：（X+2）2=22+（4-X）2,

44

解得彳=§,即。E=],

.,4

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，理解折疊的

性質(zhì)、合理的進(jìn)行轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中是解決此類問題常用的方法.

3.（2023春?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)、E為BC上一點(diǎn)、,連接OE,把.DEC沿

DE折疊得到一DEF,延長EF文AB于G,連接DG.

⑴求證：NEDG=45。.

（2）如圖2,E為BC的中點(diǎn)，連接

①求證：BF//DE-,②若正方形邊長為6,求線段AG的長.

【答案】(1)證明見解析；

(2)①證明見解析，②線段AG的長為2

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)可得OC=D4.ZA=ZB=ZC=ZADC=90°,由折疊的性質(zhì)得出/DEE=NC,

DC=DF,Z1=Z2,再求出“尸G=NA,DA=DF,然后由“HL”證明RtADGA三RtADGF,由全等

三角形對(duì)應(yīng)角相等得出，3=/4,得出/2+/3=45。即可；

(2)①由折疊的性質(zhì)和線段中點(diǎn)的定義可得CE=EF=BE,ZDEF=ZDEC,再由三角形的外角性質(zhì)得出

Z5=ZDEC,然后利用同位角相等，兩直線平行證明即可；

②設(shè)AG=x,表示出GT7、8G,根據(jù)點(diǎn)E是8C的中點(diǎn)求出BE、EF,從而得到GE的長度，再利用勾股

定理列出方程求解即可；

【詳解】(1)證明：如圖1：???四邊形A5CD是正方形，

:.DC=DA.ZA=Z5=ZC=ZADC=90°,

AOEC沿DE折疊得到SDEF,

/DFE=NC,DC-DF,N1=N2,

-.ZDFG=ZA=90°fDA=DF,

在RtADGA和RtADGF中,

[DG=DG

[DA=DF'

:.Rt.DGA^RtOG尸(HL),

.*.Z3=Z4,

ZEDG=Z3+Z2=-ZADF+-ZFDC,

22

=1(ZADF+ZFDC),

=-x90°,

2

=45°；

(2)證明：如圖2所示:

G

/

BEC

圖2

AD￡C沿折疊得到ADEF,￡為3c的中點(diǎn)，

,\CE=EF=BE,ZDEF=NDEC,

Z5=Z6,

/FEC=N5+N6,

/DEF+ZDEC=N5+N6,

.*.2Z5=2ZDEC,

即N5=ND￡C,

..BF^DE；

②解：設(shè)AG=x,則G/=無，BG=6-x,

,正方形邊長為6,E為5C的中點(diǎn)，

:.CE=EF=BE=-x6=3,

2

:.GE=EF+GF,

在RtZXGBE中，根據(jù)勾股定理得：（6-媛+32=（3+江，

解得：x=2,

即線段AG的長為2.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、

翻折變換的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)四矩形、菱形、正方形中旋轉(zhuǎn)問題】

例題：（2023秋?陜西渭南?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形A5co是矩形，以點(diǎn)8為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)矩形A3CD得到矩形GBEF,點(diǎn)A,D,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G,F,E,點(diǎn)。恰好在FG的延長線

上.

G

DC

AB

(1)求證：ABDA冬ABDG：

(2)若AD=2,求。尸的長.

【答案】(1)見解析

(2)4

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)矩形ABCD可得AB=3G,ZA=NBG產(chǎn)=NDGB=90。，再根據(jù)斜邊為公共邊，利用“加”

可證得結(jié)論；

(2)由Rtz\BAAgRt/XBDG可知。G=AD,由旋轉(zhuǎn)矩形ABC?？芍狦P=A￡>,即可求得。尸的長度.

【詳解】(1)證明：???旋轉(zhuǎn)矩形ABCD得到矩形GBEF,

AAB=BG,ZA=ZBGF=ZDGB=90°,

在Rt804和RtZXBDG中，

BD=BD,BA=BG.

：.RtABZM^RtABDG(HL).

(2)解：由Rt^BDA絲RtzXBDG可得DG=AZ)=2,

,/旋轉(zhuǎn)矩形A3CD得到矩形GBEF,

GF=AD=2,

：.DF=DG+GF=4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、解題關(guān)鍵是證明Rt△血M絲RtABDG,利用矩形和旋

轉(zhuǎn)性質(zhì)求解.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022秋?廣東廣州?九年級(jí)廣州市第一一三中學(xué)校考期中)如圖，將矩形A3CD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，

得到矩形AFC'D,如果CD=2D4=2,那么CC'=.

cB

【答案】回

【分析】連接CC',先根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出AC,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理求出CC'即可.

【詳解】解：連接CC',

?.?矩形ABC。，CD=2DA=2,

：.ZCDA^90°,AD=1,

?*-AC=VAD2+CD2=小，

.將矩形ABC。繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，得到矩形AB'C'D,

AC=AC'=4S,ZCAC=90°,

CC'=siAC2+AC'2=y/10■

故答案為：A/10.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定

理是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?江西宜春?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將邊長為劣的正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。到

的位置，則陰影部分的面積是

【答案】6-273

【分析】CO交Eg于點(diǎn)E,連接AE；根據(jù)全等三角形性質(zhì)，通過證明△入耳,得ZEAB,=ZEAD；

結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得NEA4=NEAD=30。；根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算，得EB-結(jié)合正方形和三角形面積

關(guān)系計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】如圖，。交用G于點(diǎn)E,連接AE

根據(jù)題意得：NABf=NADE=90。,AB、=AD=6

*.*AE=AE

：.AAB{E^AADE

/EAB、=NEAD

???正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。到A5C2

AZBAB,=30°,ZBAD=90°

；.ZB.AD=90°-ZBAB,=60°

"AB1=ZEAD=30°

：.^-=tanZEABt=—

1

ABt3

EB、=1

*e,5AAB,E=S/^ADE=~ABlXEBi=gx退xl=乎

...陰影部分的面積=2（A5xBC）-2（%^+5皿）=6-26

故答案為：6-2\/3.

【點(diǎn)睛】本題是面積問題（旋轉(zhuǎn)綜合題），考查了正方形、全等三角形、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵

是熟練掌握正方形、全等三角形、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)的性質(zhì).

3.（2022秋?安徽銅陵?九年級(jí)銅陵市第十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在菱形ABCD中，AB=2,ZDAB=60°,

把菱形A3CD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到菱形AB'C-'，則圖中陰影部分的面積為.

B

【答案】3-73##-73+3

【分析】連接AC,3。相交于。，BC與C力'相交于E,根據(jù)菱形的性質(zhì)先求出S-根據(jù)菱形的性質(zhì)和旋

轉(zhuǎn)可得AD=AZ7=2,4D。C三點(diǎn)共線，再求出S.〃虹■,最后根據(jù)S陰影部分=5.放-S.〃姐，即可得答案.

【詳解】解：如下圖，連接AC3。相交于O,8c與C力相交于E,

四邊形ABCD是菱形，ND鉆=60。，

\?CAB30腳CBD,AO=CO,BO=DO,

AB=2,

\DO=l,AO=j3DO=y/3,

AC=2A/3,

菱形ABC。繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到菱形ABCD,

\1D^B307,ADAD=2,

\4旅。三點(diǎn)共線，

\CD^AC-AD=2忖2,

ZDAB=60°,

\?〃姐360?120?120?30?90?,

ZACB=3O。，

\DB=^/3-l,CE=y/3DE=3-^3,

-s陰影部分=s,被；-s〃奶,

際影部分2?1I?(73l)(3-V3j=3-73,

故答案為：3-y/3■

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題.

4.(2022秋?山西呂梁.九年級(jí)統(tǒng)考期中)綜合與實(shí)踐

【情境呈現(xiàn)】如圖1,將兩個(gè)正方形紙片A8C。和g'G放置在一起.若固定正方形A3CD,將正方形短網(wǎng)?繞

(1)【數(shù)學(xué)思考】如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在A3邊上，點(diǎn)G在AD邊上時(shí)，線段BE與0G的數(shù)量關(guān)系是—，位置關(guān)

系是.

(2)如圖2,是將正方形用"G繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度得到的，則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立,

請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

(3)【拓展探究】如圖3,若點(diǎn)。，E,G在同一條直線上，且AB=2AE=2立，求線段BE的長度(直接寫

出答案).

【答案】(1)3E=DG,BEJ.DG

(2)(1)中的結(jié)論成立，證明見解析;

⑶1+夕

【分析】(1)由正方形性質(zhì)可以得到BE與。G相等且垂直；

(2)由SAS可證可得BE=DG,ZABE^ZADG,由余角的性質(zhì)可證BEIDG；

(3)由(2)問結(jié)論連接30,表示出aBDE三邊即可利用勾股定理列方程解題.

【詳解】(1)：四邊形ABCD和A￡FG均為正方形，

BE±DG,AB=AD,AG=AE,

AB-AE=AD-AG,

即3E=DG,

BE與DG的數(shù)量關(guān)系是相等；位置關(guān)系是垂直

故答案為：相等；垂直

(2)(1)中結(jié)論成立，理由如下：

設(shè)BE交AO于O,DG于N,

四邊形ABCD和A￡FG均為正方形，

AE^AG,AB=AD,ABAD=ZEAG=90°,

NBAE=NDAG,

在,4陽和44)3中，

AB=AD

<NBAE=NDAG,

AE^AG

：.AABE^ADG(SAS),

：.BE=DG,ZABE=ZADG,

'：ZABE+ZAOB=90°,

：.ZADG+ZAOB=ZADG+ZDON=90°,

ZDNO=90°,

：.BE1DG-,

(3)連接8Z),

"-'AB=2AE=2A/2,

,A￡=A/2,

EG=6AE=2,BD=&AB=4，

由(2)可得：/BED=90。,BE=DG,

.?.在RtZ\BED中，ED=DG-EG=BE-EG=BE-2,

貝!1￡>6+跳；2=3￡)2，

A(BE-2/+BE2=42

解方程得：BE=±y/7+l,

BE=y/l+l,

即線段BE的長度為e+l.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，靈

活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)五矩形、菱形、正方形中求定值問題】

例題：（2022秋?山東棗莊.九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,〃是上異

于A和。的任意一點(diǎn)，且ME_LAC于E,MFLBD于F,則ME+MF為

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，AB=3,AD=4,可求出矩形的面積，AC,8。的長，由此可知△AOD的面積,

根據(jù)S^OD=S^AOM+S^DOM=^OA.ME+^OD.MF,即可求解.

【詳解】解：如圖所示，設(shè)4C與8。相交于點(diǎn)。，連接OM,

,在矩形ABCD中，AB=3,AD=BC=4,

2222

AC=BD=\lAB+BC=73+4=5，S^ABCD=AB.BC=3x4=12,

SAAW,=；S矩形.co=；xl2=3,OA=OD=1AC=|x5=|,

VMELAC,MFLBD,

???S“8=s-+SADOM=gO4ME+gOD.MF,

：.S”。。=-OA-ME+-OD.MF=-OA.(ME+MF)=-x-x(ME+MF)=3,

.*.ME+MF*,

1?

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，等面積法求高，掌握矩形的性質(zhì)，三角形的等面積法求高是解題的關(guān)

鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022秋?廣東梅州?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，有AE=A3=#)BC

且3C=a,點(diǎn)尸是3E上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到邊AB,AC的距離之和PM+PN的值()

A.有最大值aB.有最小值C.是定值D.是定值業(yè)”

222

【答案】D

【分析】連接AP,過點(diǎn)8作3/1AC,利用SABE=SAPE+SAPB，即可得解.

【詳解】解：連接AP,過點(diǎn)8作3R1AC,交AC于點(diǎn)廠，

:在矩形ABCD中，AE=AB=6BC,BC=a,

?,AB=AC=VAB2+BC2—2a，

?.?sARC=-ABBC=-ACBF

MC22

即：6a?Q=2axBF，

..BF=--

2

?uABE-uAPET°APB，

：.-AEBF=-AEPM+-ABPN=-AE(PM+PNY

2222v7

???PM+PN=BF=—；

2

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)和勾股定理以及等積法求線段.熟練掌握矩形的性質(zhì)，以及等積法求線段的

長度是解題的關(guān)鍵.

2.（2023秋?吉林長春?八年級(jí)長春外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，菱形ABCD的周長為20,面積為24,尸是

對(duì)角線5□上一點(diǎn)，分別作尸點(diǎn)到直線A3、AZ）的垂線段尸E、PF,則尸E+P尸等于.

24

【答案】y

【分析】首先利用菱形的性質(zhì)得出4?=皿=5,SABD=n,進(jìn)而利用三角形面積求法得出答案.

???菱形ABC。的周長為20,

AB=AD=5,

??S菱形BAC。=2SvABD,

?*,SVABD=/x24=12,

而SAABD二S4APB+S^APD，PE-LPF-LAD,

：.-PEAB+-PFAD=n,

22

???5P￡+5尸產(chǎn)=24,

PE+PF=—,

,24

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形的對(duì)邊分別平行，四條邊都相等，兩條對(duì)角線互相垂直平分，并且

分別平分兩組內(nèi)角.也考查了三角形的面積公式.

3.（2022?全國.八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知四邊形A8CD為正方形，AB=5應(yīng),點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)

點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)石作防，。石交于點(diǎn)E以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.

（1）求證：矩形DEFG是正方形；

（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）見解析

（2）是定值，CE+CG=10

【分析】（1）作出輔助線，得到EM=EN,然后再判斷ZMEF=ZNED,得到一DEN三FEM，則有OE=EF,

即可判斷矩形DEFG為正方形；

（2）由四邊形A3CD為正方形，四邊形DE廠G是正方形可知AD=CD,OE=OG,故可得wCDG,

得到AE=CG,即可判斷CE+CG=10,為定值.

【詳解】（1）解：如圖所示，過E作ENLBC于M點(diǎn)，過E作EN_LCZ）于N點(diǎn)，

四邊形ABCD為正方形,

ZBCD=90°,

EMIBC,EN.LCD,

:./EMF=/ENC=/END=90。,

:.ZMEN=90°,

.四邊形DEFG為矩形，

:./FED=90。,

ZMEN-AFEN=ZFED-ZFEN,即ZMEF=NNED,

￡是正方形ABC。對(duì)角線的點(diǎn)，

:.EN=EM,

在硒和△在M中，

ZEMF=/END

<EM=EN,

ZMEF=/NED

:._DEN±FEM(ASA),

：.ED=EF,

..?矩形DEFG為正方形.

(2)CE+CG的值為定值，

.矩形DEFG為正方形，

:.DE=DG,N￡DG=90。，

四邊形AfiCD是正方形，

:.AD=DC,ZADC=90°,

ZEDG-ZEDC=ZADC-ZEDC,即NAP￡=NCDG,

在VADE■和一COG中，

AD=DC

</ADE=ZCDG,

DE=DG

:-ADEMCDG(SAS),

:.AE=CG,

:.CE+CG=CE+AE=AC=6AB=IO,

.\CE+CG=10.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是結(jié)合圖形得出三角形全等.

【考點(diǎn)六矩形、菱形、正方形中求最小值問題】

例題：（2022秋?重慶沙坪壩?八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，E為正方形ABCD邊AZ）上一點(diǎn),

AE=1,DE=3,尸為對(duì)角線3。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則上4+PE的最小值為（）

A.5B.40C.2710D.10

【答案】A

【分析】連接EC交8。于尸點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可知F4+PE的最小值即為線段EC的長，求出EC

的長即可.

【詳解】連接EC,交BD于P點(diǎn)

,?,四邊形43CD為正方形

點(diǎn)和C點(diǎn)關(guān)于3。對(duì)稱

:.PA=PC

PA+PE=PC+PE=EC

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可知叢+PE的最小值即為線段EC的長.

VAE=1,DE=3

：.AD=4

:.DC=4

:.CE=yjDE2+CD2=732+42=5

上4+PE■的最小值為5

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，這是一個(gè)將軍飲馬模型.熟練掌握正方形的性

質(zhì)并且能夠識(shí)別出將軍飲馬模型是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?陜西寶雞?九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知菱形A8C。的兩條對(duì)角線分別為6和8,M、N分別是邊8C、

CD的中點(diǎn)，尸是對(duì)角線3。上一點(diǎn)，則PM+PN的最小值是（)

A.5B.5+C.5及D.不能確定

【答案】A

【分析】作M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接NQ,交BD于P,連接MP,此時(shí)MP+NP的值最小,連接AC,

求出CP、BP,根據(jù)勾股定理求出長，證出MP+NPuQNnBC,即可得出答案.

【詳解】解：作M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)。，連接NQ,交BD于P,連接MP,此時(shí)MP+NP的值最小，連接

AC,則P是AC中點(diǎn)，

：.AC±BD,ZQBP=ZMBP,AB=BC,

即。在AB上，

為BC中點(diǎn)，

；.Q為43中點(diǎn)，

'：MQLBD,

：.AC//MQ,

：N為C。中點(diǎn)，四邊形ABC。是菱形，

BQ//CD,BQ=CN,

，四邊形8QVC是平行四邊形，

PQ//BC,

：.PQ//AD,

而點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，

故尸。是△A3。的中位線，即點(diǎn)尸是8。的中點(diǎn)，

同理可得，PM是AA8C的中位線，

故點(diǎn)尸是AC的中點(diǎn)，

即點(diǎn)尸是菱形ABC。對(duì)角線的交點(diǎn)，

???四邊形是菱形，

則ABPC為直角三角形，

CP=-AC=3,BP=-BD=4,

22

在MABPC中,由勾股定理得：BC=5,

即NQ=5,

：.MP+NP=QP+NP=QN=5,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱一最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，

解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對(duì)稱找出尸的位置.

2.（2022秋?吉林長春?八年級(jí)長春外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）△ABC中，AC=1,AB=6,BC=2,點(diǎn)、P

為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PELAB于E,PFIAC^F,在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的過程中，跖的最小值是（）

【分析】由矩形的性質(zhì)得出EF,A尸互相平分，且EF=AP,再由垂線段最短的性質(zhì)得出AP_L8c時(shí)，AP

的值最小，即AM的值最小，然后由勾股定理求出BC,最后由面積關(guān)系建立等式求出其解即可.

【詳解】解：連接AP,

:在△48C中，AB=BAC=1,BC=2,

：-AB2+AC2=BC2,

即/BAC=90°.

又；于E,PFLAC^F,

.,?四邊形AEP尸是矩形，

：.EF=AP.

根據(jù)垂線段最短可知，AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高,

此時(shí)SaMcn/BC-APn/AC-AB

BP-x2xAP--xlx>/3,

22

解得：”=走

2

.?.防的最小值為在，

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、三角形面積等知識(shí)；由直角三角形

的面積求出AP是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

3.（2022春?江蘇淮安.九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在正方形A3CD中，邊長AB=2,點(diǎn)。是邊C。的中點(diǎn)，

點(diǎn)尸是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，則Z/+PQ的最小值為.

【答案】75

【分析】先連接BQ,連接PB、PD,再根據(jù)正方形的對(duì)稱性得BP=DP,進(jìn)而得出。尸+PQ的最小值，然后

根據(jù)勾股定理求出解即可.

【詳解】解：連接8。，交AC于點(diǎn)尸，連接PB、PD.

.四邊形ABC。是正方形，

，點(diǎn)8與點(diǎn)。關(guān)于AC對(duì)稱，

BP=DP,

：.DP+PQ=BP+PQ>BQ.

VAB=2,點(diǎn)。是邊CD的中點(diǎn)，

CQ=\,BC=2,

在Rt..CBQ中,BQ=4BC2+CQ1=也+G=后,

QP+PQ的最小值為君.

故答案為：75.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理等，得出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)七矩形、菱形、正方形中求最大值問題】

例題：（2022秋?貴州貴陽?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）矩形45co中，AB=S,AD=4,點(diǎn)A是y軸正半軸上任

意一點(diǎn)，點(diǎn)B在無軸正半軸上.連接。D.則的最大值是.

【答案】4四+4##4+4&

【分析】取A3的中點(diǎn)連接MD,當(dāng)OM、成一條直線時(shí)，有最大值，利用勾股定理及直

角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：取AB的中點(diǎn)M,連接。河、MD,當(dāng)。河、成一條直線時(shí)，有最大值，

在^tAADM中,DM=y/AD2+AM2=A/42+42=40，

在RtA4O3中，0M=13=4,

2

*e?OD的最大值是40+4,

故答案為：4A/2+4.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、三角形三邊關(guān)系、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，讀懂題意，得出當(dāng)。加、MD

成一條直線時(shí)，0。有最大值是解本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?福建漳州?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C,AB=6,AC=5,以8C為對(duì)角線作

正方形9CE,連接A￡>,則AO的最大值是（）

A.6B.11C.11,72

【答案】D

【分析】如圖將繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到VCDM.由旋轉(zhuǎn)不變性可知：AB=CM=6,

DA=DM.ZADM=9Q°,得出八位2根是等腰直角三角形，推出=當(dāng)AM的值最大時(shí)，AD

2

的值最大，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出AM的最大值即可解決問題.

【詳解】解：如圖,

將ABDA繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到Y(jié)CDM,

由旋轉(zhuǎn)不變性可知：AB=CM=6,DA=DM,乙31=90。,

.二ADM是等腰直角三角形，

AD=—AM,

2

當(dāng)AM的值最大時(shí)，AD的值最大，

AM,,AC+CM,

.〔AM的最大值為11,

.:9的最大值為謔.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助

線，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

2.（2022秋?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形A3。中，AB=6,ZABC=60°,AC與BD交于點(diǎn)O,

點(diǎn)N在AC上且AN=2,點(diǎn)M在8C上且尸為對(duì)角線8。上一點(diǎn)，則PM-PN的最大值為.

【分析】作點(diǎn)N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)N',連接MN；PN,仄而可得PM—PN=PM-PN'MMN',再根據(jù)菱形

的性質(zhì)、等邊三角形的判定證出是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得MN'=2,由此即

可得.

【詳解】解：四邊形ABCD是菱形，AB=6,

.-.AB=BC=6,OA=OC,AC1BD,

ZABC=60°,

ABC是等邊三角形，

AC=AB=6,ZACB=60°,

/.OA=OC=3,

AN=2,

:.ON=\,

如圖，作點(diǎn)N關(guān)于5。的對(duì)稱點(diǎn)N',連接MN；PN',

則ON'=ON=1,PNf=PN,

:.CN'=OC—ON'=2,PM—PN=PM—PN'SMN',當(dāng)且僅當(dāng)尸,N',M共線時(shí)，等號(hào)成立，

BM=-BC,BC=6,

3

:.CM=-BC=2,

3

:._CW是等邊三角形，

:.MN'=CM=2,

即PM-PN的最大值為2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.（2022秋?湖北黃石?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在菱形ABCD中，A