平方根重難點題型專訓（九大題型）（原卷版+解析）

專題14平方根重難點題型專訓(九大題型)

旨【題型目錄】

題型一平方根與算術平方根概念理解

題型二求一個數(shù)的算術平方根

題型三利用算術平方根的非負性解題

題型四求算術平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分

題型五與算術平方根有關的規(guī)律探索題

題型六求一個數(shù)的平方根

題型七已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)

題型八利用平方根解方程

題型九平方根的應用

【知識梳理】

知識點一：平方根、算術平方根

1.(1)定義：如果一個數(shù)的平方等于a,這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.一個正數(shù)有

兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根.

2.求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方.

一個正數(shù)a的正的平方根表示為“心”，負的平方根表示為“-Vn".

正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術平方根，記作a.零的算術平方根仍舊是零.

3.算術平方根

正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術平方根，記作“、石

正數(shù)和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。

廠a(47>0)14a>0

4a^=|a|;注意而的雙重非負性:V

L-a(av0)La>0

41經(jīng)典例題一平方根與算術平方根概念理解】

1.(2023秋?安徽蕪湖?八年級校考開學考試)下列說法正確的是()

A.-2是T的平方根B.2是(-2『的平方根

C.(-2)2的平方根是2D.8的平方根是±2

2.（2023春?河北邢臺?七年級?？计谥校┤?023的兩個平方根是加和"，則機+2加7+〃的值是（）

A.0B.2023C.-4046D.4046

3.（2022秋?浙江?七年級期中）若x是最大的負整數(shù),y是最小的正整數(shù),z是平方根等于本身的數(shù)，則x-y-z

的值是.

4.（2023春?北京大興?七年級?？茧A段練習）已知兩個不相等的實數(shù)*，y滿足：,2=%則67的

值為.

5.（2023秋?山西臨汾?八年級統(tǒng)考期末）閱讀與理解

閱讀學習過程，完成“步驟二”中的填空和“步驟三”的求值.

我們在華東師大版八年級上冊，學習了平方根的意義和兩個乘法公式——平方差公式和完全平方公式，下

面是一節(jié)課的探究學習片斷：

步驟一：再探公式，猜想規(guī)律

（a+b）~=+2ab+匕，（a—b）~=a~-2ab+,（a+b）（a—Z?）=-b~.

發(fā)現(xiàn)這兩個公式中包含了兩數(shù)和、兩數(shù)差、兩數(shù)積、兩數(shù)平方和、兩數(shù)平方差，在這五個數(shù)量中，是否存

在“知二求三”的一般性規(guī)律呢？

步驟二：推導變形，得出公式

由（a+b）2=a2+2ab+b2可得。Z+=（a+b）2-2ab,而=（0___（"十^）.

2

由（a-/?）?=a2-2qb+62也可得.?+62=,ab-.

綜合這兩個公式還可得出：〃+從=,ab=.

進一步綜合變形推導可得：a+b=土+或a+b=±Ja2+2a6+Z>2（依據(jù)是）或

a+b={a—b）2+4ab=±y/（a-b）2+4ab,

同理可得：求a—Z?的公式為a-b=.

步驟三：遷移運用，提升能力

若a+A=3,ab=2,請運用“步驟二”中推導出的變形公式，求『+廿,a-b,6一片的值.

51經(jīng)典例題二求一個數(shù)的算術平方根】

1.（2023春?江蘇淮安?八年級統(tǒng)考期末）下列計算正確的是（）

A.79+16=3+4B.J9xl6=3o4C.⑤二后D.^/3?6=0.6

2.（2023春?湖南湘西?七年級校聯(lián)考期中）下列說法正確的是（）

A.T的平方根是2B.T的算術平方根是2

C.1的平方根是1D.0的平方根與算術平方根都是0

3.（2023春?山西呂梁.七年級?？计谥校┤?x5/與-2/y的和是單項式,貝U（機-“丫的算術平方根是.

4.（2023春?遼寧撫順?七年級校聯(lián)考階段練習）若^/^與+|x-22|=x,貝口的值是.

5.（2023春?重慶巴南?七年級統(tǒng)考期末）我們知道，任意一個有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)，任意一個不為

零的有理數(shù)與一個無理數(shù)的積為無理數(shù)，而零與無理數(shù)的積為零，由此可得：如果7放+〃=0,其中〃八九為

有理數(shù).尤為無理數(shù)，那么加=0,〃=0,運用上述知識解決下列問題：

⑴如果（〃7+1）6+〃-2=0,其中5、”為有理數(shù)，求加和w的值；

（2）如果3m-w+12機-;〃+4）石=2,其中根、〃為有理數(shù)，求九一4根的立方根；

⑶若如〃均為有理數(shù)，且（利+1）及+租-17=20-/,求忱+”|的算術平方根.

41經(jīng)典例題三利用算術平方根的非負性解題】

1.（2023春?黑龍江齊齊哈爾?七年級?？茧A段練習）關于代數(shù)式3-而7的說法正確的是（）

A.x=0時最大B.x=0時最小

C.x=-4時最大D.x=-4時最小

【答案】C

【分析】根據(jù)算術平方根的非負性解答即可.

【詳解】解：??,而7,0,

，當x=-4時，3—Jx+4的值最大為3.

故選：C.

【點睛】本題考查非負數(shù)的性質，掌握算術平方根的非負性是解題關鍵.

2.（2022春?湖北武漢?八年級武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？计谥校┤?y-1|+^x-y+10=0,

則J4y-3x的算術平方根為（）

A.5B.±5C.&D.±75

3.（2022秋?福建漳州?八年級校考期中）已知d-2X+1+4^=0，貝.

4.（2023秋?八年級課時練習）若2y—4+（2x—y-3）2=0,則分式三心的值為.

5.（2022秋.黑龍江大慶?八年級校考期末）己知尤，z滿足x2_4x+y2+6y+GM+13=0,求x,y,z的

值.

41經(jīng)典例題四求算術平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分】

1.（2022春?山東日照?七年級?？计谀╆P于“J市”，下面說法不正確的是（）

A.它是數(shù)軸上離原點加個單位長度的點表示的數(shù)

B.它是一個無理數(shù)

C.若"而＜4+1,則整數(shù)。為3

D.它表示面積為10的正方形的邊長

2.（2021?北京?統(tǒng)考中考真題）已知43?=1849,44?=1936,45?=2025,46?=2116.若"為整數(shù)且

?＜72021＜n+l,貝l|”的值為（）

A.43B.44C.45D.46

3.（2023春?四川涼山?七年級校考階段練習）若麗的整數(shù)部分為。，小數(shù)部分為6,貝匹=,

b=?

4.（2023春?全國?七年級專題練習）6-JTT的小數(shù)部分為。，7+如的小數(shù)部分為b，則（。+6）刈丁.

5.（2022春.甘肅隴南.七年級校考階段練習）閱讀下面的文字，解答問題：大家都知道也是無理數(shù)，而且

&〈夜＜“，即1＜也＜2,無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此后的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于

是小明用0-1來表示0的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理，因

為血的整數(shù)部分是1,將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.

又例如：①,：&＜拒＜",即1＜外＜2,.?.目的整數(shù)部分為1,小數(shù)部分為②?：』非〈邪，

即2〈石＜3,...逐的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為（君-2）.

請解答：

如果血的小數(shù)部分為。，g的整數(shù)部分為6,求a+b-而的值;

J【經(jīng)典例題五與算術平方根有關的規(guī)律探究題】

1.（2021秋?廣東茂名?八年級校聯(lián)考期中）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律,

第9行從左至右第5個數(shù)是（）

1

0A/3

2亞娓

幣2723M

A.2MB.741C.50D.751

2.（2023春全國.七年級專題練習）已知：尾=2。，R=3島卮=忠，河=5信

若向區(qū)=10p符合上面規(guī)律，則a+匕的值為（）

Vava

A.179B.109C.210D.104

3.（2023春?廣西崇左?七年級統(tǒng)考期末）請你計算下列四個式子的值："；爐/；713+23+33；

3333

71+2+3+4＞并觀察你的計算結果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出：Jp+23+33+43+53+63+73+83+93+1（）3的

值為.

4.（2023春?北京豐臺?七年級北京豐臺二中?？计谥校?shù)學解密：若第一個式子是囪="+/，第二個

式子是后=次+/,第三個式子是弧=后+&4,…，觀察以上規(guī)律并猜想第五個式子

是.

5.（2023春?廣西南寧?七年級南寧市天桃實驗學校?？计谀╅喿x下面材料，解答問題：

【問題情境】數(shù)學活動課上，老師帶領同學們開展“運用規(guī)律求一個正數(shù)的算術平方根”的實踐活動.

【實踐探究】同學們利用計算器計算出下表中的算術平方根，整理數(shù)據(jù)如下：

70.062570.625^/6^5^/6I5A/625V6250J62500

0.250.7912.57.912579.1250

（1）根據(jù)上述探究，可以得到被開方數(shù)和它的算術平方根之間小數(shù)點的變化規(guī)律是：若被開方數(shù)的小數(shù)點向

右或向左移動___________位，則它的算術平方根的小數(shù)點就相應地向右或向左移動___________位；

（2）已知代處1.732,請運用、上述規(guī)律直接寫出各式的值：血而a,5/300?.

⑶你能根據(jù)力的值說出回的值是多少嗎？請說明理由.

,3【經(jīng)典例題六求一個數(shù)的平方根】

1.（2023春?浙江杭州?七年級校聯(lián)考階段練習）已知|x+2y-5|+|3x-y-1|=。，則孫的平方根是（）

A.2B.+2C.+y/2D.

。的值為（

2.（2023春?河南商丘?八年級統(tǒng)考期中）若1aH—=J11貝°a-)

aa

A.V7B.-V7C.土幣D.7

3.（2023春?浙江杭州?七年級期中）已知a+5=8,a?/=%求/一/+16人=,-------ab=.

2

4.（2023春?黑龍江鶴崗?七年級?？茧A段練習）已知y=>/T萬+萬1+1,則的平方根是.

5.（2023春?福建福州?七年級校聯(lián)考期中）（1）已知儂+可與同正互為相反數(shù).

①求2a-3〃的平方根；

②解關于x的方程/+46_2=0.

（2）已知正實數(shù)y的平方根是機和〃2+6.

①當6=8時，求機

②若加2丫+（07+〃）2y=50,求y的值.

③在②條件下，上是-4+1的小數(shù)部分，求（左+石『的值.（備注：一個數(shù)的小數(shù)部分是指這個數(shù)減去不超

過該數(shù)的最大整數(shù)）

【經(jīng)典例題七已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)】

【例7】（2023春?山西大同?七年級大同市第三中學校?？计谀┤绻粋€正數(shù)的平方根是a+3及2a-15,

那么這個正數(shù)是（）

A.441B.49C.7或21D.49或441

*【變式訓I練】

1.（2023春?安徽亳州?七年級?？计谥校┮粋€數(shù)的算術平方根是x,則比這個數(shù)大2的數(shù)的算術平方根是（)

A.x2+2B.&+2C.&-2D.7772

2.（2023春?廣東肇慶?七年級統(tǒng)考期中）已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是和勿-3,則這個正數(shù)

是.

3.（2023秋?全國?八年級專題練習）已知一個正數(shù)機的兩個不相等的平方根是。+6與24-9.

（1）求這個正數(shù)m；

（2）求關于x的方程OX2-16=0的解.

41經(jīng)典例題八利用平方根解方程】

【例8】（2023春?江蘇南京?七年級校聯(lián)考期中）若（"4=1,伍-4=1,則（c-a）2的值是（）

A.0B.4C.0或4D.2或4

【變式訓練】

1.（2023春?重慶永川?八年級統(tǒng)考期末）若行7=3-x,貝口的值是（）

A.0B.2C.3D.2或3

2.（2023?全國?九年級專題練習）舊知回顧：在七年級學習“平方根”時，我們會直接開方解形如尤②-81=0的

方程（解為％=9,%2=-9）.解題運用：方程（x-18）（x+l）+17x=0解為.

3.（2023?河北秦皇島?統(tǒng)考一模）設益示是一個兩位數(shù)，其中〃是十位上的數(shù)字（1W〃W9）,例如，當〃=4

時，益表示的兩位數(shù)是45.觀察以下等式：

①當〃=1時，152=225=1x2x100+25;

②當"=2時，252=625=2x3x100+25;

③當〃=3時，352=1225=3x4x100+25;

根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題

（1）寫出第六個等式：

（2）寫出你猜想的第九個等式（用含〃的式子表示），并證明:

（3）運用：若益2與100〃的差為2525.求〃的值.

一51經(jīng)典例題九平方根的應用】

【例91（2023秋?河南三門峽?八年級統(tǒng)考期末）如圖是用4個相同的長方形與1個正方形鑲嵌而成的正方

形圖案.已知該圖案的總面積為相，小正方形的面積為若用尤、y表示長方形的兩邊長（％>y）,請觀

察圖案，指出下列關系式：@x+y=4m>②2y=石二品、③.=--—、④若x=2y,則〃z=3〃.這四

個結論中正確的有（）個

A.1個B.2個C.3個D.4個

/【變式訓練】

1.（2023春?全國?七年級專題練習）交通事故統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，每年的汽車追尾事故占所有事故的30%左右.造

成追尾事故的主要原因是剎車距離把握不當，研究發(fā)現(xiàn)，在柏油路面上，剎車距離S與車速V的關系式是S

2

=白一（其中g=10,〃=0.9）,當剎車距離增加一倍時，車速增加（）.

A.1倍B.四倍C.6一1倍D.2倍

2.（2023春?浙江?七年級期末）如圖，正方形ABC。和正方形EFGH分別由兩張相同的長方形紙片無縫拼接

而成，現(xiàn)將其擺放在桌面上，如圖所示，重合部分為甲、乙、丙，其中乙為正方形，記甲、丙的面積分別

S3

為品，S丙，若十=￡,且桌面被所有紙片覆蓋區(qū)域的面積為276cm2,則乙的面積為

3.（2023春?廣西南寧?七年級南寧二中?？计谀┚C合與實踐

【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,把兩個面積都為1cm?的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼成

一個大正方形，則該大正方形的邊長為“江

【知識遷移】若一個圓與一個正方形的面積都是271cm2,設這個圓的周長為C圓，這個正方形的周長為C正,

則C圓/正（填“=”或“〈”或

【拓展延伸】李明想用一塊面積為400cm?的正方形紙片（如圖2所示），沿著邊的方向裁出一塊面積為

300cm2的長方形紙片，使它的長寬之比為5:4.李明能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請說明理由.

圖2

/【重難點訓練】

1.（2023春?山東聊城?八年級校考階段練習）已知3加-1和-2〃L2是某正數(shù)a的平方根，則a的值是（）

164

A.3B.64C.3或--D.64或一

525

2.（2023春?湖北恩施?七年級統(tǒng)考期中）已知實數(shù)。,6,c,d,〃z,若。力互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，加=3,

貝:'+dm2-cd+m的值為（）

m

A.2±A/3B.±1C.yfl±A/3D.y/3+V2

3.（2023春?浙江嘉興?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在一個正方形的內部放置大小不同的兩個小正方形，其中較

大的正方形的面積為11,較小的正方形的面積為4,中間重疊部分的面積為1,則圖中三角形ABC的面積

為（）

AB

A.11B.10C.6D.5

4.（2023春?四川內江?八年級四川省內江市第六中學?？奸_學考試）已知實數(shù)。滿足|2000-司+>/^^=a,

那么.-20002的值是（）

A.1999B.2000C.2001D.2002

5.（2023春?山東德州?七年級?？茧A段練習）已知（尤-3）2+54=0,則以+y的平方根.

6.（2023春?安徽亳州?七年級統(tǒng)考期中）若實數(shù)x,y,z,滿足y2+|x_2023|+J^4=6y—9,貝ij

（1了=-----.

7.（2023春?重慶巴南?八年級統(tǒng)考期中）若一個四位正整數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字大5,千位數(shù)字比百位數(shù)

字大5,則稱這樣的四位正整數(shù)為“尚善數(shù)”.一個四位正整數(shù)加是尚善數(shù)，記為根的百位數(shù)字和個位

數(shù)字依次組成兩位數(shù)與的千位數(shù)字和十位數(shù)字依次組成兩位數(shù)的和，記。（聞為優(yōu)的千位數(shù)字和百位數(shù)字

依次組成兩位數(shù)與加的十位數(shù)字和個位數(shù)字依次組成的兩位數(shù)的差?若為一個正整數(shù),則滿

足條件中機的最大值是.

8.（2023春?青海西寧?七年級統(tǒng)考期末）將圖1中的長方形分成8,C兩部分，恰與正方形A拼接成如圖2的

大正方形.如果正方形A的面積為2,拼接后的大正方形的面積是5,則圖1中原長方形的長是.

~B~

圖1

9.（2023春?山東德州?七年級校考階段練習）（1）若。是最大的負整數(shù)，b是絕對值最小的數(shù)，c是倒數(shù)等

于它本身的正數(shù)，d是9的負平方根.則。=_；b=_；c=_；d=_.

（2）已知一個正數(shù)的兩個平方根是m+3和2根-15.求+5的平方根.

10.(2023春?江西南昌?七年級南昌二中?？计谀?觀察表格，回答問題:

a0.00010.01110010000

y[a0.01X1yz

⑴表格中彳=，y=；z=；

(2)從表格中探究a與&數(shù)位的規(guī)律，利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：

①已知何它3.16,則J1000"；

②已知疝=8.973,若折=897.3,用含機的代數(shù)式表示6,則6=

⑶試比較&與a的大小.

當時，y[a>a;當時，夜=a;當時，yfa<a■

專題14平方根重難點題型專訓(九大題型)

旨【題型目錄】

題型一平方根與算術平方根概念理解

題型二求一個數(shù)的算術平方根

題型三利用算術平方根的非負性解題

題型四求算術平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分

題型五與算術平方根有關的規(guī)律探索題

題型六求一個數(shù)的平方根

題型七已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)

題型八利用平方根解方程

題型九平方根的應用

【知識梳理】

知識點一：平方根、算術平方根

1.(1)定義：如果一個數(shù)的平方等于a,這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.一個正數(shù)有

兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根.

2.求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方.

一個正數(shù)a的正的平方根表示為“口,負的平方根表示為“-口

正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術平方根，記作a.零的算術平方根仍舊是零.

3.算術平方根

正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術平方根，記作“、石二

正數(shù)和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。

廠a(cr>0)14a>0

4a^=|a|；注意否的雙重非負性：R

L-a(n<0)La>0

1經(jīng)典例題一平方根與算術平方根概念理解】

1.(2023秋?安徽蕪湖?八年級?？奸_學考試)下列說法正確的是()

A.-2是T的平方根B.2是(-2『的平方根

C.(-2『的平方根是2D.8的平方根是±2

【答案】B

【分析】利用平方根的定義求解即可.

【詳解】A、Y沒有平方根，故此選項說法錯誤，不符合題意;

B、（-2）2=4,4的平方根有兩個為±2,故此選項說法正確，符合題意；

C、（-2）2=4,4的平方根有兩個為±2,故此選項說法不全，不符合題意；

D、8的平方根是土*,不是±2,故此選項說法錯誤，不符合題意；

故選：B.

【點睛】此題考查了平方根的定義，解題的關鍵是正確理解一個正數(shù)的平方根有兩個，互為相反數(shù)，。的平

方根是0,負數(shù)沒有平方根.

2.（2023春?河北邢臺?七年級?？计谥校┤?023的兩個平方根是加和力，則〃?+2〃加+”的值是（）

A.0B.2023C.-4046D.4046

【答案】C

【分析】根據(jù)平方根的意義可得加+〃=0,3=-2023,然后代入式子進行計算即可得到答案.

【詳解】解：■.?2023的兩個平方根是加和〃，

m+n=0,nm=—2023,

m+2rm+n=m+n+2mn=0+2x（-2023）=-4046,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平方根，如果一個數(shù)x的平方等于那么這個數(shù)工就叫做。的平方根，一個正數(shù)

有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，0的平方根是它本身，負數(shù)沒有平方根，熟練掌握以上知識點是解題的關

鍵.

3.（2022秋?浙江?七年級期中）若x是最大的負整數(shù),y是最小的正整數(shù),z是平方根等于本身的數(shù)，則x-V-z

的值是.

【答案】-2

【分析】根據(jù)題意分別得出。、6、c的值，再代入進行計算即可.

【詳解】解：是最大的負整數(shù)，

x=-l,

??丁是最小的正整數(shù)，

y=1,

???z是平方根等于本身的數(shù),

z=0,

x—y—z=—1—1—0=—2,

故答案為：-2.

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的相關定義，平方根的定義，解題的關鍵是掌握平方根等于本身的數(shù)是0.

4.(2023春?北京大興?七年級?？茧A段練習)已知兩個不相等的實數(shù)滿足：則67的

值為.

【答案】0

【分析】由題意可得X、y是。的兩個不相等的平方根，根據(jù)平方根的性質可得x+y=0即可解答

【詳解】解：：兩個不相等的實數(shù)x，y滿足：

尤、y是”的兩個不相等的平方根

；.x+y=0

Jx+y=0.

故答案為0.

【點睛】本題主要考查了平方根的性質，掌握一個數(shù)的兩個不相等的平方根的和為0成為解答本題的關鍵.

5.(2023秋?山西臨汾?八年級統(tǒng)考期末)閱讀與理解

閱讀學習過程，完成“步驟二”中的填空和“步驟三”的求值.

我們在華東師大版八年級上冊，學習了平方根的意義和兩個乘法公式一平方差公式和完全平方公式，下

面是一節(jié)課的探究學習片斷：

步驟一：再探公式，猜想規(guī)律

(a+b)~=ci~+2ab+,(a—b)~=cT—2ab+b1,(a+b)(a—b)=a~-b~.

發(fā)現(xiàn)這兩個公式中包含了兩數(shù)和、兩數(shù)差、兩數(shù)積、兩數(shù)平方和、兩數(shù)平方差，在這五個數(shù)量中，是否存

在“知二求三”的一般性規(guī)律呢？

步驟二：推導變形，得出公式

由(a+b)2=a2+lab+6,可得/+/=(a+b)2-2ab,而=("十"___("十").

2

由(a-/?)?=-2。6+/也可得“2+/=,ab=.

綜合這兩個公式還可得出：a2+b2=,ab=.

進一步綜合變形推導可得：a+b=±J(a+b)2或a+b=±Ja2+2必+/?(依據(jù)是)或

a+b=(a—b)2+4ab=±^(a-b)2+4ab，

同理可得：求a-b的公式為〃-人=.

步驟三：遷移運用，提升能力

若。+。=3,必=2,請運用“步驟二”中推導出的變形公式，求/+〃，a_bj廿的值.

【答案】步驟二：(-4+2"；(/+』)-(j)2；(0+4+(j)2；m+1—(j)2；平方根的意義；

224

±?a-b)2或土Ja1-2ab+人2或±'(々+6)2一4";步驟三：a2+b2=5,a-b=±l,a2-b1=±3

【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式等結構特點進行變形求值即可.

【詳解】解：步驟二：a2+b2=a2-2ab+b2+lab=(a-Z?)2+2ab,

7laba2+b2-(a2-lab+b1)+b2^-(a-b)2

222

2,22(4+/72)a2++Z??+Q2—2〃Z?+b2(Q+Z?)2+(Q—/?)?

a+b=-------------=-------------------------------------=-----------------------，

222

j4abQ2+2〃Z?+Z??—(Q2—2ab+b2)(〃+/?)2—(Q—b)?

ab=-----=---------------------------------------=-----------------------?

444

依據(jù)是：平方根的意義，

a—b=±yl(a—b)2=鼠a1—Zab+b2=±yJa2+2ab-￥b1-4ab=±y](a+b)2—4ab,

故答案為：m-b)2+2"；(〃+1)-m-l,(。+h+("-,；平方根的意義；土而f

224

或±J〃2-2而+，2或土｛(a+b)2一4曲;

步驟三：

a+b=3,ab=2,

???/+/=(。+切2—2成=32—2x2=5,

a—b=±J(a+6)2-4ab=±，32-4x2=±],

22

a—b=(Q+b)(a—b)=3x(±1)=±3.

【點睛】本題考查了完全平方公式及其變形，平方差公式，平方根等知識點，熟練掌握完全平方公式的變

形是解本題的關鍵.

【經(jīng)典例題二求一個數(shù)的算術平方根】

1.（2023春?江蘇淮安?八年級統(tǒng)考期末）下列計算正確的是（）

A.79+16=3+4B.79x16=3x4C.9=序D.7^6=0.6

【答案】B

【分析】根據(jù)算術平方根對各選項進行計算，然后判斷即可.

【詳解】解：A中衍帚=5*3+4,錯誤，故不符合要求；

B中J9xl6=3x4,正確，故符合要求；

C中內鏟，錯誤，故不符合要求；

D中屈=也*0.6,錯誤，故不符合要求；

10

故選:B.

【點睛】本題考查了算術平方根.解題的關鍵在于正確的運算.

2.（2023春?湖南湘西?七年級校聯(lián)考期中）下列說法正確的是（）

A.Y的平方根是2B.T的算術平方根是2

C.1的平方根是1D.0的平方根與算術平方根都是0

【答案】D

【分析】根據(jù)平方根與算術平方根的性質逐項判斷即可得.

【詳解】解：A、Y是負數(shù)，沒有平方根，則此項錯誤，不符合題意；

B、T是負數(shù)，沒有算術平方根，則此項錯誤，不符合題意；

C、1的平方根是±1,則此項錯誤，不符合題意；

D、0的平方根與算術平方根都是0,則此項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了平方根與算術平方根，解題的關鍵是熟練掌握平方根與算術平方根的性質：一個正數(shù)

的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的平方根是這個數(shù)的算術平方根，0的算術平方根是0;負數(shù)沒

有平方根和算術平方根.

3.（2023春?山西呂梁?七年級?？计谥校┤?》5y"與一2/y的和是單項式，則（根-冷2的算術平方根是.

【答案】4

【分析】根據(jù)同類項的定義解得私〃的值，即可求得（機-"）2的值，然后求其算術平方根即可.

【詳解】解：若3/y”與-2/?的和是單項式，即耳5>"與一2x"y為同類項，

則有m=5,n=l,

（m—ny=（5—l）2=16,

A/16^=4,

（加-〃『的算術平方根是4.

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了同類項、代數(shù)式求值、算術平方根等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵.

4.（2023春?遼寧撫順?七年級校聯(lián)考階段練習）若VT^+|x-22|=x,則x的值是.

【答案】507

【分析】根據(jù)算術平方根，絕對值的非負性，即可求解.

【詳解】解：有意義，

x-23>0

尤223

|x-22|=x-22

??yJx—23+x-22—x

即Jx-23=22

/-x-23=22?

解得：x=507

故答案為：507.

【點睛】本題考查了算術平方根的性質，化簡絕對值，熟練掌握算術平方根的性質是解題的關鍵.

5.（2023春?重慶巴南?七年級統(tǒng)考期末）我們知道，任意一個有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)，任意一個不為

零的有理數(shù)與一個無理數(shù)的積為無理數(shù)，而零與無理數(shù)的積為零，由此可得：如果mr+〃=0,其中辦“為

有理數(shù).尤為無理數(shù)，那么根=0,"=0,運用上述知識解決下列問題：

⑴如果（〃7+1）6+"-2=0,其中〃hw為有理數(shù)，求加和"的值；

⑵如果++若=2,其中辦〃為有理數(shù)，求”-4根的立方根；

⑶若如〃均為有理數(shù)，且W+1）及+加-17=2應-“2,求加+"|的算術平方根.

【答案】⑴加=-1,"=2

(2)“一小然的立方根為2

(3)|機+4的算術平方根為非或6

【分析】(1)根據(jù)題干提供的方法列出加和"的方程求解即可；

(2)先根據(jù)題干提供的方法列出小和〃的方程組求解，然后代入4帆計算即可；

(3)先整理成3+〃=0,其中加、〃為有理數(shù).x為無理數(shù)，再按題干提供的方法求解.

【詳解】(1)V(m+l)^+n-2=0,其中格〃為有理數(shù)，

m+1=0,〃—2=0；

??fn=-1,〃=2.

(2)*.*3m-n+ylm-n+4J\[5=2,

3m—n—2+(2機——n+4]>/5=0,

?:m、〃為有理數(shù)，

3m—n—2=0,

]1

2m——〃+4=0.

I2

fm=-10,

解得

[n=—32.

zz—4m=—32—4x(—10)=8,

???〃一4帆的立方根為2.

(3)V(m+l)V2+m-17=2^-n2,

"2+777—17+(771+1—2)^/2=0,

二川、〃為有理數(shù)，

?**n2+m-17=0?帆+l—2=0,

/.m=1,n=±4,

「?當機=1,〃=4時，|根+〃|=5,I加+〃I的算術平方根為百;

當根=1,〃=—4時，|相+川=3,I相+〃I的算術平方根為由;

綜上所述，I機+〃1的算術平方根為正或

【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，一元一次方程的解法，算術平方根的意義等知識，掌握題目

介紹的解題方法是解答本題的關鍵.

K【經(jīng)典例題三利用算術平方根的非負性解題】

1.（2023春?黑龍江齊齊哈爾?七年級?？茧A段練習）關于代數(shù)式3-而Z的說法正確的是（）

A.x=0時最大B.x=0時最小

C.x=-4時最大D.x=-4時最小

【答案】C

【分析】根據(jù)算術平方根的非負性解答即可.

【詳解】解：：而7,0，

，當x=-4時，3—Jx+4的值最大為3.

故選：C.

【點睛】本題考查非負數(shù)的性質，掌握算術平方根的非負性是解題關鍵.

2.（2022春?湖北武漢?八年級武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？计谥校┤?y-1|+j2x-y+10=0,

則J4y-3x的算術平方根為（）

A.5B.±5C.&D.±75

【答案】C

【分析】根據(jù)平方與算術平方根的和為0,可得平方與算術平方根同時為0,可得出二元一次方程組，根據(jù)

解二元一次方程組的方法，可得答案.

【詳解】[無+y-l|+j2x-y+10=0,

[x+y=1[x=-3

???cs，解得：一

[2x-y=-10[）=4

44y-3x=j4x4-3x（-3）=5,

.?.5的算術平方根為石，

故選：C.

【點睛】此題考查了解二元一次方程組，解題關鍵熟記平方與算術平方根的和為0,可得平方與算術平方根

同時為0.

3.（2022秋?福建漳州?八年級?？计谥校┮阎獱t―2%+1+打三=0,則x+y=.

【答案】4

【分析】根據(jù)偶次方和算術平方根的非負性，求出x、y的值，再代入計算即可.

【詳角星】解：X2—2,x+1+yJy—3=0,即（x—1）+\Jy~3=0,而（x—l）-N0,Jy-320,

/.x-l=0,y—3=0,

解得：％=1,>=3,

.,.%+y=4,

故答案為：4.

【點睛】本題考查偶次方、算術平方根的非負性，掌握偶次方、算術平方根的非負性是解決問題的關鍵.

4.（2023秋?八年級課時練習）若2y—4+（2x—y—3）2=0,則分式三號的值為.

【答案】-7

fx+2y—4=0①

【分析】由算術平方根，偶次方的非負性可得cQ八6，再利用加減法可得X-3y=-l,3x+）=7,

[2尤_y_3=0②

再代入求值即可.

【詳解1解：***Jx+2y-4+（2x~y~3）2=0,

.+2y-4=0①

t[2x-y-3=0@9

①—②得：x—3y+1=0BPx—3y=-1,

①+②得：3x+y—7=0即3x+y=7,

-7,

x-3y-1

故答案為：-7.

【點睛】本題考查的是算術平方根的非負性，二元一次方程組的解法，熟練的利用整體代入法求值是解本

題的關鍵.

5.（2022秋?黑龍江大慶?八年級?？计谀┮阎獂,y,z滿足x2_4x+y+6y+GB+13=0,求x,y,z的

值.

【答案】x=2,y=-3,z=-4.

【分析】先把原方程化為(x-2)2+(y+3)2+^/^^7=0；進而可得x-2=0,y+3=0,z+2=0,據(jù)此求出x、

八z的值即可.

【詳解】解：-4-f+y2+6y+~Jz+4+13=0,

（x-2）2+（y+3）2+Vz+4=0,

x—2=Q,y+3=0,z+4=0,

/.x=2,y=—3fz=-4.

【點睛】本題考查非負數(shù)性質的性質、算術平方根等知識，解答此題的關鍵是把原方程化為非負數(shù)的和的

形式.

4【經(jīng)典例題四求算術平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分】

1.（2022春?山東日照?七年級校考期末）關于“、麗”，下面說法不正確的是（）

A.它是數(shù)軸上離原點Jid個單位長度的點表示的數(shù)

B.它是一個無理數(shù)

C.若戰(zhàn)亞<"1,則整數(shù)°為3

D.它表示面積為10的正方形的邊長

【答案】A

【分析】根據(jù)無理數(shù)的意義和數(shù)軸的性質進行判斷即可.

【詳解】解：A、±加它是數(shù)軸上離原點加個單位長度的點表示的數(shù)，題干的說法錯誤，符合題意；

B、加是一個無理數(shù)，題干的說法正確，不符合題意；

C,V3<V1O<3+1,.?.整數(shù)。為3,題干的說法正確，不符合題意；

D、J記表示面積為10的正方形的邊長，題干的說法正確，不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題考查的是算術平方根的概念和分類以及應用，掌握無理數(shù)的概念和意義是解題的關鍵.

2.（2021.北京.統(tǒng)考中考真題）已知43?=1849,44。=1936,45,=2025,46?=2116.若“為整數(shù)且

?<72021<n+l,則”的值為（）

A.43B.44C.45D.46

【答案】B

【分析】由題意可直接進行求解.

【詳解】解：V432=1849,442=1936,452=2025,462=2116,

442<2021<452，

/.44<V2021<45,

〃=44；

故選B.

【點睛】本題主要考查算術平方根，熟練掌握算術平方根是解題的關鍵.

3.（2023春?四川涼山?七年級校考階段練習）若風的整數(shù)部分為。，小數(shù)部分為6,則。=

【答案】3V10-3

【分析】根據(jù)3<加<4首先確定。的值，則小數(shù)部分即可確定.

【詳解】解:;3<癡<4,

..a=3j

貝1）6=如-3.

故答案是：3,y/10-3.

【點睛】本題主要考查了無理數(shù)的估算，解題的關鍵是確定無理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問題.

4.（2023春?全國?七年級專題練習）6-m的小數(shù)部分為。，7+而的小數(shù)部分為b,則（a+bfli=.

【答案】1

【分析】先分析JTT介于哪兩個整數(shù)之間，再分別求出6-而和7+而介于哪兩個整數(shù)之間，即可求出

6_而和7+而的整數(shù)部分，然后用它們分別減去它們的整數(shù)部分得到。和6,代入即可.

【詳解】解：：3<而<4

；?10<7+而<11，-3>-VTT>-4

???3>6-而>2

，7+而的整數(shù)部分為10，6-而的整數(shù)部分為2,

a=6-711-2=4-711

6=7+而-10=而-3

代入得:

i82018

（?+＜=（4-vn+vn-3）

=]2018

=1

【點睛】此題考查的是實數(shù)（帶根號）的整數(shù)部分和小數(shù)部分的求法.

5.（2022春.甘肅隴南.七年級校考階段練習）閱讀下面的文字，解答問題：大家都知道應是無理數(shù)，而且

&〈拒＜"，即1＜忘＜2,無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此后的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于

是小明用0-1來表示0的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理，因

為力的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.

又例如：@VVT＜A/3＜V4,即1＜外＜2,.?.6的整數(shù)部分為1,小數(shù)部分為（指-1）.②???/＜石＜四，

即2〈石＜3,...有的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為（6-2）.

請解答：

如果血的小數(shù)部分為。，風的整數(shù)部分為6,求a+b-而的值；

【答案】1

【分析】根據(jù)題中的例子求出a,b,再代入計算即可.

【詳解】＜VIT＜屈，即3＜布＜4,

??.而的整數(shù)部分為3,小數(shù)部分為（、/行-3）,即0=而一3

,:歷＜歷＜后，即4＜M＜5,

,舊的整數(shù)部分為4,即6=4.

,,a+匕-而=而■-3+4-而=1，

即a+b-\[\i的值是1.

【點睛】本題考查與算術平方根的整數(shù)部分有關的計算，掌握確定無理數(shù)的估算方法是解題的關鍵.

41經(jīng)典例題五與算術平方根有關的規(guī)律探究題】

1.（2021秋?廣東茂名?八年級校聯(lián)考期中）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，

第9行從左至右第5個數(shù)是（）

1

0

2亞屈

幣2723V10

A.2屈B.聞C.5A/2D.底

【答案】B

【分析】由圖形可知，第〃行最后一個數(shù)為J1+2+3+…+〃=小嗎1,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：由圖形可知，第〃行最后一個數(shù)為J1+2+3+…+w=

:?第8行最后一個數(shù)為=736=6,

則第9行從左至右第5個數(shù)是J36+5=屈,

故選：B.

【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化類，解題的關鍵是根據(jù)題意得出第“行最后一個數(shù)為

2.（2023春全國.七年級專題練習）已知:6|=236|=3器,/+：=4/卜盤=§卮,

若=符合上面規(guī)律，則a+6的值為（）

A.179B.109C.210D.104

【答案】B

79Q3hh

【分析】分析數(shù)據(jù)可得：2+-=22X-,有3=22—1；3+|=32X|,有8=3?—1；…若10+2=102義2,必

33XXaa

有〃