全等三角形（強(qiáng)化訓(xùn)練）解析版

專題16全等三角形（10個高頻考點）（強(qiáng)化訓(xùn)練）

【考點1全等三角形的概念及其性質(zhì)】

1.（2022,江蘇鹽城??？既＃┤鐖D，將AABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)后得到△ABC.若乙4=40°,^B'=110°,

則N8C4的度數(shù)是（）

A.90°B.80°C.50°D.30°

【答案】D

【分析】旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，根據(jù)三角形的內(nèi)角等于180。即可算出NBC4的度數(shù).

【詳解】由題意可得AABC三△4B'C

???AB=NB'=110°

ZC=180°-Z.A-Z.B=180°-40°-110°=30°

故選:D

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，理解和熟記相應(yīng)的知識，仔細(xì)理解題意是解決本題的

關(guān)鍵.

2.（2022?遼寧鞍山?模擬預(yù)測）下列說法正確的是（）

A.所有的等邊三角形是全等形

B.面積相等的三角形是全等三角形

C.到三角形三邊距離相等的點是三邊中線的交點

D.到三角形三個頂點距離相等的是三邊中垂線的交點

【答案】D

【分析】根據(jù)全等三角形的判定知兩個等邊三角形不一定全等即可判定A錯誤；面積相等的三角形不一定

是全等三角形可判定B錯誤；根據(jù)到三角形三邊距離相等的點是內(nèi)角平分線的交點，可判定C錯誤；根

據(jù)到三角形三個頂點距離相等的點是三邊中垂線的交點即可判定D正確.

【詳解】解：A、兩個等邊三角形不一定全等，故此選項不符合題意；

B、面相等的三角形不一定是全等三角形，故此選項不符合題意；

C、到三角形三邊距離相等的點是內(nèi)角平分線的交點，故此選項不符合題意；

D、到三個頂點距離相等的是三邊中垂線的交點，故此選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定的判定定理，等邊三角形的性質(zhì)，三角

形三邊垂直平分線的交點的性質(zhì)，三角形內(nèi)角平分線的交點性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?河南?模擬預(yù)測）如圖所示，兩個三角形全等，則Na等于（）

A.72°B.60°C.58°D.50°

【答案】D

【分析】根據(jù)圖形得出DE=48=a,DF=AC=c,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出ND=乙4=50。，即可得

出選項.

【詳解】解：；DE=AB=a,DF=AC=c,

又???△28C和AOEF全等，

Z-D=Z.A=50°,

z.a=50°,

故選：D.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，能熟記全等三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的

對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.

4.（2022?上海靜安?統(tǒng)考二模）下列說法中，不正鯽的是（）

A.周長相等的兩個等邊三角形一定能夠重合B.面積相等的兩個圓一定能夠重合

C.面積相等的兩個正方形一定能夠重合D.周長相等的兩個菱形一定能夠重合

【答案】D

【分析】利用全等圖形的定義，以及等邊三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)分析選項

即可.

【詳解】解：由題意可知：

A.周長相等的兩個等邊三角形一定能夠重合，周長相等說明等邊三角形的邊長相等，且等邊三角形的每一

個角都為60。，故說法正確，不符合題意；

B,面積相等的兩個圓一定能夠重合，面積相等說明圓的直徑相等，故說法正確，不符合題意；

C.面積相等的兩個正方形一定能夠重合，面積相等說明正方形的邊長相等，且正方形的每個角都為90。，故

說法正確，不符合題意；

D.周長相等的兩個菱形一定能夠重合，周長相等雖然可以說明菱形的邊長相等，但是不能保證菱形的每個

角對應(yīng)相等，故說法不正確，符合題意；

故選：D

【點睛】本題考查全等圖形的定義，等邊三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是掌握性質(zhì)，并進(jìn)行分析.

5.（2022?山東淄博?統(tǒng)考中考真題）如圖，若0ABemAOE,則下列結(jié)論中一定成立的是（）

A.AC=DEB.0BA￡）=ECA￡C.AB=AED.0ABC=0AEZ）

【答案】B

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：^ABC^ADE,

SAC^AE,AB^AD,EL4BC=0A￡>￡,^BAC^DAE,

EI0BAC-SDAC=SDAE-EDAC,

即0員1。=團(tuán)。4￡

故A,C,D選項錯誤，B選項正確，

故選：B.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【考點2一次證明全等三角形】

6.（2022?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）如圖，B是線段AC的中點，AD\\BE,BD\\CE,求證：4ABDm4BCE.

DE

【答案】證明過程見詳解

【分析】運(yùn)行平行線的性質(zhì)可證0A二回防C,WBA=BC,結(jié)論即可得證.

【詳解】證明財是AC中點，

^\AB=BC,

團(tuán)4DIIBE,

團(tuán)朋二回EBC,

回喇EC,

幽。8A二團(tuán)C,

在媯3。和回BCE1中，

24=Z.EBC

AB=BC,

.Z-DBA=Z-C

團(tuán)團(tuán)45。團(tuán)團(tuán)3CE(ASA).

【點睛】本題考查了全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行同位角相等的知識是解答本題的

關(guān)鍵.

7.(2022?浙江衢州?統(tǒng)考中考真題)已知：如圖，Zl=Z2,Z3=Z4.求證：AB=AD.

【分析】由回3=回4可得&4C8=EIAC。，然后即可根據(jù)ASA證明ELACBaMCD,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即得結(jié)

論.

【詳解】解：團(tuán)43=44,^ACB+Z3=180°,^ACD+z4=180°,

0ZXCB=AACD,

zl=z2

回AC=AC,

Z..ACB=Z.ACD

幽4cB釀ACO,

BAB=AD.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明EACBEEACD是解本題的關(guān)鍵.

8.(2022?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題)如圖，在DABC。中，點。為對角線8。的中點，EF過點、。且分別交A8、

OC于點￡、F,連接。E、BF.

(l)ADOFBABOE；

(2)DE=BF.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形ABC。的性質(zhì)，利用ASA即可證明ADO配ABOE；

(2)證明四邊形的對角線互相平分，進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：回四邊形ABCO是平行四邊形，。是8〃的中點，

^AB^DC,OB=OD,

回回。8￡=回0￡)/.

2OBE=/.ODF

在△8OE和△Z)。尸中，OB=0D!

Z-BOE=Z.DOF

釀團(tuán)。。/(ASA)；

(2)證明：^BOE^\DOF9

團(tuán)EO=FO,

BOB=OD,

團(tuán)四邊形5即尸是平行四邊形.

國DE=BF.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判

定和性質(zhì)，證明三角形全等是解決問的關(guān)鍵.

9.（2022?山東青島?山東省青島實驗初級中學(xué)?？寄M預(yù)測）（1）如圖1,ZB=ZD=90°,E是BD的中點，

4E平分NB4C,求證：CE平分N4M

（2）如圖2,AM||CN,NB4C和“CD的平分線并于點E,過點E作BD14M,分別交AM、CN于B、D,

請猜想力B、CD、AC三者之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論，不要求證明.

（3）如圖3,AM||CN,ABAC和N4CD的平分線交于點E,過點E作不垂直于AM的線段BD,分別交AM、CN

于8、。點，且8、。兩點都在4C的同側(cè)，（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說

明理由.

【答案】（1）見解析；（2）AC=AB+CD；（3）成立，理由見解析

【分析】（1）過E作EF14C于R根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EF=BE,從而求出EF=DE,然后根據(jù)角平

分線的判定證明即可；

（2）過E作于后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到BD1CD,由角平分線的性質(zhì)得到BE=EF,證得RtA

AEFmRt△ABE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=AB,同理CF=CD,等量代換得到結(jié)論；

（3）成立，在4C上截取根據(jù)角平分線定義得到NB4E=NF4E,推出AABE三△4FE,根據(jù)角

平分線的性質(zhì)得到N4BE+乙CDE=180°,求得NCFE=乙CDE,證得△CEFdCDE,根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）如圖1,過￡作EF1AC于R

EINB=90°,4E平分NB4C,

=BE,

國石是2。的中點,

團(tuán)BE=DE,

團(tuán)EF=DE,

國乙D=90°,

團(tuán)CE平分44CD；

(2)如圖2,過后作EF_L/C于R

胤4M||CN,BDJ.AM,

回8。1CD,

財E平分N84C,

國BE=EF,

在Rt△4EF與Rt△中，

(BE=EF

UF=AE'

團(tuán)Rt△AEF=Rt△ABE,

EL4F=AB,

同理CT=CD,

團(tuán)4c=AF+CF,

團(tuán)4C=4B+CO；

(3)成立，如圖3,在4c上截取AF=4B,

團(tuán)4E平分

回NB/E=Z.FAE,

在448￡*與44FE中,

'AB=AF

/-BAE=^FAE,

、AE=AE

[?]△ABEAFE,

國匕AFE=乙ABE,

①4M||CN,

國乙ABE+乙CDE=180°,

^AAFE+乙EFC=180°,

回Z_CFE=Z-CDE,

團(tuán)CE平分乙4CD,

團(tuán)乙FCE=Z-DCE,

在ACEF與△CDE中，

Z.CFE=Z.CDE

乙FCE=乙DCE,

、CE=CE

HACEF=△CDE,

0CF=CD,

團(tuán)AC=AF+CF,

團(tuán)4c=AB+CD.

【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，正確的

作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

10.(2022?江蘇徐州?？级?如圖1,把等腰直角三角板AMN放在平面直角坐標(biāo)系％。y中，點/坐標(biāo)為(0,4),

乙MAN=90°,AM=AN.三角板ZMN繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)，AM.AN與x軸分別交于點。、E.Z.AOE,Z.AOD

的角平分線OG、OH分別交AN、AM于點3、C.點尸為8C的中點.

圖1圖2

⑴求證：AB=AC；

(2)如圖2,若點。的坐標(biāo)為(-3,0),求線段的長度；

⑶在旋轉(zhuǎn)過程中，若點。的坐標(biāo)從(-8,0)變化到(-2,0),則點P的運(yùn)動路徑長為(直接寫出結(jié)

果)

【答案】⑴見解析

冷

【分析】(1)直接根據(jù)角平分線作出輔助線構(gòu)造全等三角形即可證明.

(2)首先根據(jù)坐標(biāo)求出直線4。的表達(dá)式y(tǒng)=[x+4,然后由垂直得出直線力N的表達(dá)式y(tǒng)=-|x+4,最后

聯(lián)立直線方程求出8、C兩點的坐標(biāo)即可得出答案.

(3)設(shè)直線力M的表達(dá)式為y=znx+4,根據(jù)垂直得出AN的表達(dá)式為y=-+4,聯(lián)立直線方程得出點C

的坐標(biāo)為(-高，品)，點B的坐標(biāo)為(怒,怒)，再根據(jù)中點坐標(biāo)公式求得點P的坐標(biāo)為?詈,2),得出點P

的運(yùn)動路徑在y=2這條直線上，最后根據(jù)條件即可求出答案

(1)

過點2作4尸垂直O(jiān)H于點F,47垂直。G于點T,

???OG,0H分另IJ平分乙4。凡Z.AOD,

???/.COA=乙BOA=45°,

AF=AT,

???ACAB=乙COB=90°,

???乙4co+AABO=180°,

???ACO+Z.ACF=180°,

???Z-ACF=Z.ABO,

在RSZCF和RtAZBT中，有

Z.ACF=乙ABT

/-AFC=/-ATB,

、AF=AT

???/\AFC=ATB,

AC=AB.

由題思得可知：IQH-y=—x,IQQ-y=x,

設(shè)匕0:y=kx+b,

???0（—3,0）,4（0,4）,

.[b=4JU

'l-3/c+b=0[k=3,

4

???iAD-y=/+4，

???AN1AM,

???5v：y=--%+4,

r4,（x=-^

聯(lián)立[y=/+r解得|「，

[y=-xy=-

點C的坐標(biāo)為（—苫,-y-），

同理可得點B的坐標(biāo)為（￡，T）,

.BC=%+與2m2=皿

1（77）（77）7

（3）

設(shè)直線的表達(dá)式為y=mx+4,則4N的表達(dá)式為y=—5第+4,

聯(lián)立｛/="解得『一”,

[y=^

???點C的坐標(biāo)為（-舟舟，

同理可得點B的坐標(biāo)為（翟,懸）,

設(shè)點P的坐標(biāo)為（4）,%）,

???P為BC中點，

/4m4

?n+im+1_2m-2

Xp—

2m+1

4+4m

m+1M+I_2

yp=2一

二點P的坐標(biāo)為（零,2）,

即點P始終在直線y=2上運(yùn)動,

由此可知P點的運(yùn)動路徑長度為起始橫坐標(biāo)之差,

當(dāng)。的坐標(biāo)為（一8,0）時，代入y=nu:+4,得=[,

此時點P的坐標(biāo)為（-|,2）,

當(dāng)。的坐標(biāo)為（一2,0）時，代入y=mx+4,得m=2,

此時點P的坐標(biāo)為G，2）,

二點P的運(yùn)動路徑長為:一（-|）

【點睛】本題屬于一次函數(shù)與幾何綜合，內(nèi)容涉及廣泛，包括證明全等，求點的坐標(biāo)以及路徑長度，解題

的難點在于求路徑的長度，而關(guān)鍵在于求出點的路徑軌跡，根據(jù)軌跡去求長度，本題難度較大，屬于壓軸

題.

【考點3多次證明全等三角形】

11.（2022?遼寧大連?統(tǒng)考二模）如圖，ACLBC,ADLBD,AD^BC.AD,8C交于點O.求證：OC=OD.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)HL證明R/EL4B。和R/MAC全等，進(jìn)而利用A4s證明0AOC和全等解答即可.

【詳解】證明：VACXBC,AD±BD,

：.ZC=ZD=90°.

在RtAABD和RtABAC中，

(AD=BC,

lAB=BA,'

:.RtAABD烏RtABAC(HL),

：.BD=AC,

在△AOC和△B。。中，

zC=皿

X.AOC=/-BOD,,

,AC=BD,

:.△NOgXBOD(A4S),

?.OC=OD.

【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)證明4財8。和R/0B4C全等.

12.(2022?二模)已知：如圖，BD為A4BC的角平分線，且8。=BC,E為BD延長線上的一點，BE=BA,

過E作EF12B,F為垂足.求證：

(l)AASO=AEBC；

(2)AE=CE；

(3)BA+BC=2BF.

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)由角平分線得出乙48。=4EBC,利用全等三角形的判定證明即可；

(2)由(1)中結(jié)論得出NBCE=NB￡M,ABCD和ABE4為等腰三角形，結(jié)合條件可得出NDCE=ZD4E,

由等角對等邊即可證明；

(3)過點E作EG18C交BC的延長線于點G,利用角平分線的性質(zhì)可得EF=EG,根據(jù)直角三角形的判定得

出RtdBFEwRt/BGE,RtAAFE=RtACGE,FA=CG,結(jié)合圖形，利用線段間的數(shù)量關(guān)系即可證明.

【詳解】（1）B0為AABC的角平分線，

???Z.ABD=Z.EBC,

在A48。與AEBC中，

AB=EB

Z.ABD=乙EBD,

BD=BC

AABD=AEBC(SAS)；

(2)???AABD=AEBC,

???乙BCE=Z.BDA,

乙BCE=乙BCD+Z.DCE,Z-BDA=Z.DAE+乙BEA,

???乙BCD+Z.DCE=Z.DAE+Z-BEA,

???BD=BC,BE=BA,

??.ABCO和ABE/為等腰三角形，

???Z-ABD=Z.EBC,

???乙BCD=4BEA,

Z.DCE=Z.DAE,

???AE=EC；

(3)如圖，過點E作EG1BC交BC的延長線于點G,

??.EF=EG,

在/?以列法與RMBGE中，

(EF=EG

SE=BE'

???RtABFE=RtABGE{HL)9

BF=BG,

在尸E與RMCGE中,

(EF=EG

iEA=EC'

???RtAAFE=RtACGE(HL),

FA=CG,

??.BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF.

【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等角對等邊及角平分線的性質(zhì)等，理解題意，熟練掌握

運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

13.(2022?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測)如圖，△ABC是等邊三角形，點O在邊/C上，4”18。于點”，以AH為邊

在Z”右側(cè)作等邊△/￡”，EH交BC于點、F,求證：點F是的中點.

【答案】見解析

【分析】利用SAS證明三△C4E,得乙4"8=乙4磯;，從而得出乙尸EC=30。，作GB||CE,交EF的延長

線于G,說明4G=Z.BHG=30°,得BG=BH,由^BAH=△C/E可得，BH=CE,貝ijBG=CE,再利用AAS

證明△BGF工△CEF,得BF=CF.

【詳解】證明：,??△48C、△/￡7/是等邊三角形，

AB=AC,AH=AE,ABAC=AHAE,

???乙BAH=Z.CAE,

在△8/”和4G4E中，

AB=AC

乙BAH=/LCAE,

、AH=AE

??.△BAHC/E(SAS),

乙AHB=2LAEC,

???AH1BD,

???乙AHB=90°,

???Z-AEC=90°,

???^AEH=60°,

???乙FEC=30°；

作GBIICE,交EF的延長線于G,

G

???乙G=Z-FEC=30°,

???AAHE=60°,乙AHB=90°,

???Z.BHG=30°,

Z.G=乙BHG,

??.BG=BH,

[?]△BAHCAE

團(tuán)BH=CE,

BG=CE,

在△BGF和ACEF中，

2BFG=4EFC

ZG=4CEF,

.BG=CE

.?.ABGF=△CEF(AAS),

BF=CF,

.??點F為BC的中點.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作

輔助線構(gòu)造全等三角形.

14.(2022?河南?模擬預(yù)測)如圖，已知RtSABCIHRtSADE，HABC=0ADE=9O°,BC與DE相交于點F,連接CD,

EB.

(1)圖中還有幾對全等三角形，請你一一列舉；

(2)求證:CF=EF.

A

【答案】⑴△AZXWIABE,△C。/同回防人⑵證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)Rt團(tuán)ABC回Rt團(tuán)ADE,得出AC=AE,BC二DE,AB=AD,團(tuán)ACB二團(tuán)AED,團(tuán)BAC二團(tuán)DAE,從而推出國CAD二團(tuán)EAB,

回ACDRBAEB,團(tuán)CDF團(tuán)團(tuán)EBF；

（2）先證得回CDF盟EBF,進(jìn)而得到CF二EF.

【詳解】（1）圖中其它的全等三角形為：回ACD麗AEB,回DCF麗BEF；

（2）團(tuán)Rt回ABC回Rt回ADE,

團(tuán)AC二AE,AD=AB,團(tuán)CAB二團(tuán)EAD,

團(tuán)團(tuán)CAB-團(tuán)DAB二回EAD-團(tuán)DAB.

即團(tuán)CAD二團(tuán)EAB.

釀CAD幽EAB,

團(tuán)CD=EB,團(tuán)ADC二團(tuán)ABE.

又團(tuán)團(tuán)ADE二團(tuán)ABC,

團(tuán)團(tuán)CDF二團(tuán)EBF.

又回團(tuán)DFC二團(tuán)BFE,

釀CDF團(tuán)團(tuán)EBF.

0CF=EF.

15.（2022?福建福州??？寄M預(yù)測）如圖1,OA=2,OB=4,以A點為頂點，AB為腰在第三象限作等腰直角

△ABC.

（1）求C點的坐標(biāo).

(2)如圖2,0A=2,P為y軸負(fù)半軸上的一個動點，若以P為直角頂點，PA為腰作等腰直角AAPD,過D作

DEIBx軸于E點，求OP-DE的值.

(3)如圖3,點F坐標(biāo)為(一4,—4),點G(0,m)在y軸負(fù)半軸，點H(n,0)在x軸的正半軸，且FHE1FG,

求m+n的值.

【答案】答案見解析.

【分析】(1)作CDI3AD,易證回ACD=I3OAB,即可求證△ACD03BAO,可得AD=OB,CD=OA即可解題；

(2)作DFIBOP,易證EIAPO=I3PDF,即可證明△AOPEBPFD,可得AO=PF,DE=OF,即可解題；

(3)作FDI3HD,FE0OG,易證EIEFG=I3DFH,即可證明△EFGEEJDFH,可得EG=DH,即-m-4=n+4,即可解題.

00CAD+EIACD=9OO,0CAD+0OAB=9O",

00ACD=0OAB,

在AACD和ABA。中，

'/.ADC=Z.AOB

Z.ACD=/.OAB

.AC=AB

aSACDEHBAO,(AAS)

0AD=OB,CD=OA,

團(tuán)點C坐標(biāo)為(-6,-2)；

⑵作DF0OP,

00APO+0DPF=9O°,EPDF+0DPF=9O",

EBAPOI3PDF,

在回AOP和I3PFD中,

zAOP=zPFD

/APO=4PDF

、AP=PD

RIRIAOP團(tuán)國PFD,（AAS）

團(tuán)AO=PF,DE=OF,

[?]OP-DE=OP-OF=FP=AO=2；

⑶作FD回HD,FE0OG,則FE=FD=4,

團(tuán)團(tuán)EFG+團(tuán)OFE=90°,團(tuán)OFE+團(tuán)DFH=90°,

團(tuán)團(tuán)EFG二團(tuán)DFH,

ZEFG=ZDFH

在團(tuán)EFG和團(tuán)DFH中，EF=DF，

/FDH=ZFEG

團(tuán)團(tuán)EFG團(tuán)團(tuán)DFH,（ASA）

團(tuán)EG=DH,BP-m-4=n+4,

0m+n=-8.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證團(tuán)ACD麗BAO,

團(tuán)AOP配1PFD,回EFG回團(tuán)DFH是解題的關(guān)鍵.

【考點4網(wǎng)格中的全等三角形】

16.（2022?浙江寧波?統(tǒng)考一模）如圖，△ABC是正方形網(wǎng)格圖中的格點三角形（頂點在格點上），請分別在

圖1,圖2的正方形網(wǎng)格內(nèi)按下列要求畫一個格點三角形.

（1）在圖1中，以為邊畫直角三角形△A3。（。與C不重合），使它與△ABC全等.

（2）在圖2中，以A8為邊畫直角三角形△ABE,使它的一個銳角等于且與△ABC不全等.

圖1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【分析】（1）如圖L根據(jù)三邊對應(yīng)相等的兩三角形全等作圖即可;

（2）根據(jù)三組對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似作圖.

【詳解】解：（1）如圖1,

ZiAC。為所求；

(2)如圖2,

△ABO為所求.

D

:::::IAI1]

A\\\D

=H+S::二巾N

clii渺

圖1圖二

【點睛】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖：應(yīng)用與設(shè)計作圖主要把簡單作圖放入實際問題中.首先要理

解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖.此題靈活應(yīng)用

相似三角形的判定與性質(zhì).

17.（2022?河北?模擬預(yù)測）如圖是一個4X4的正方形網(wǎng)格，圖中所標(biāo)示的7個角的角度之和等于0

B.540°C.270°D.315°

【答案】A

【分析】觀察圖形，可知△ABCWAAZV,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知41=Z/1ZK,進(jìn)而有N1+47=180°,

同理可得42+N6=180°,Z3+Z5=180°,Z4=45。然后即可得出答案.

i^ABC^^AZV（SAS）

Z1=N&ZV

zl+z7=180°

同理可得

z2+z6=180°,z3+N5=180°,

Z4=45°

Z1+Z2+Z3+Z4+z5+Z6+Z7=180°x3+45°=585°

故選A

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

18.（2022?河北?模擬預(yù)測）如圖，在5x5方格中，每個小方格都是邊長為1的正方形，△ABC是格點三角

形（即頂點恰好是正方形的頂點），那么與△48C有一條公共邊且全等的所有格點三角形的個數(shù)是（）.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】以BC為公共邊時有3個三角形，以AC為公共邊時有1個三角形與EABC全等.

【詳解】解析：畫出符合題意要求的三角形如圖所示

以BC為公共邊的三角形有8個，分別是ABC。，XBCE,ABCF

以4B為公共邊的三角形有0個

以AC為公共邊的三角形有1個，為4ACG

共3+0+1=4個

故選：C

【點睛】本題考查了全等三角形的判定的應(yīng)用，找出符合條件的所有三角形是解此題的關(guān)鍵.解題時考慮

要全面，不要漏解.

19.（2022?北京海淀?統(tǒng)考一模）如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，A,B,C,D,E是網(wǎng)格線交點.請畫出一

個小DEF,使得△DEF與A4BC全等.

【答案】見解析（只要畫出一種即可）

【分析】根據(jù)兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等進(jìn)行作圖即可.

【詳解】解：SiDE=AB,

團(tuán)分兩種情況：NDEF=N4BC=135?；騈EDF=A4BC=135。，找出點尸的位置，連接。尸、EF,

BC=EF或FD=CB,

^BABC^iDEF（SAS）或0A8O3EIEZ用（SAS）,

即為要求作的△DEF，如圖所示：

情況一情況二情況三情況四

故答案為：見解析（只要畫出其中一種即可）

【點睛】本題主要考查了在方格紙中作一個三角形與已知三角形全等，解題的關(guān)鍵是確定點B的位置.

20.（2022?北京?北京市第一六一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A,B,C,D均落在

格點上，貝靦BAC+回ACD=

B

D

【答案】90

【分析】先證明團(tuán)DCE釀ABD（SAS）,得回CDE二團(tuán)DAB,根據(jù)同角的余角相等和三角形的內(nèi)角和可得結(jié)論.

【詳解】在團(tuán)DCE和團(tuán)ABD中,

CE=BD=1

回4E=ZADB=90°,

.DE=AD=3

團(tuán)團(tuán)DCE團(tuán)團(tuán)ABD(SAS),

團(tuán)團(tuán)CDE=?DAB,

回團(tuán)CDE+回ADC=回ADC+團(tuán)DAB=90°，

團(tuán)團(tuán)AFD=90°,

回回BAC+回ACD=90°,

【點睛】本題網(wǎng)格型問題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定及直角三角形各角的關(guān)系，本題構(gòu)建全等三角

形是關(guān)鍵.

【考點5尺規(guī)作圖與全等三角形】

21.（2022?吉林白山?統(tǒng)考二模）仔細(xì)觀察用直尺和圓規(guī)作一個角乙4。'夕等于已知角乙4。8的示意圖，請你

根據(jù)圖形全等的知識,說明畫出NAO'B，=乙4。8的依據(jù)是（)

A.SASB.D.AAS

【答案】B

【分析】根據(jù)作圖過程可知O'C'=oc，CD'=CD,O'D'=OD,所以運(yùn)用的是三邊對應(yīng)相等，兩三角形全

等作為依據(jù).

【詳解】解：根據(jù)作圖過程可知0'。=OC,CD'=CD,O'D'=OD,

在小。?！辏┖?OLD，中，

（O'C=OC

{O'D'=OD,

VCD'=CD

OCD=△O'C'D'（SSS）,

Z.A'0'B'=A.A0B,

故選：B.

【點睛】本題考查基本作圖一作一個角等于已知角，其理論依據(jù)是三角形全等的判定“SSS〃，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握相關(guān)的判定定理.

22.（2022?甘肅武威??？级＃┮阎篈C是回4BCD的對角線.

（1）用直尺和圓規(guī)作出線段4C的垂直平分線，與4。相交于點E,連接CE.（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，若力B=3,BC=5,求△￡）￡■￡1的周長.

【答案】⑴見解析；（2）8

【分析】（1）以A、C為圓心，以大于決C的長為半徑畫弧，兩弧交于兩點，連接兩點即可；

（2）由（1）可得OA=OC,0AOE=0COF=9OO,再由平行線的性質(zhì)可得EIAEOWCF。，根據(jù)AAS即可證明全等.

【詳解】解：（1）如圖，CE為所作；

(2)團(tuán)四邊形4BCD為平行四邊形,

SAD=BC=5,CD=AB=3,

回點E在線段ac的垂直平分線上,

EIE力=EC,

0△DCE的周長=CE+DE+CD=E2+DE+CD=4。+CD=5+3=8.

【點睛】本題考查作圖，熟練掌握基本作圖是解題關(guān)鍵

23.（2022?廣東廣州?校考二模）如圖，四邊形A8C。是正方形，E是BC上一點，。附4E于點?

⑴過點2作AE的垂線交AE于點尸（尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）;

⑵根據(jù)（1）中作圖，若BP=3,PF=1,求A8的長.

【答案】⑴見解析

（2）5

【分析】（］）根據(jù)過直線外一點作垂線的方法即可求解.

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可證明△力DF=△B4P,從而得到力尸=BP=3,進(jìn)而可得4P=4,利用勾股定理即可計

算出的長.

（1）

如圖所示，

點尸即為所求.

(2)

13四邊形A8CD是正方形,

AB=AD,/.BAD=90°,

???DF1AE,BP1AE,

.-./.DFA=4APB=90°,

???^BAP+/.DAP=4BAP+“BP=90°,

.-.Z.ADF=Z.BAP,

在△力。尸和4B4P中，

/-DFA=AAPB

Z.ADF=Z.BAP,

.AD=BA

：.^ADF=^BAP（A4S）,

E1AF=BP=3,

0PF=1,

0AP=4,

AB=y/AP2+BP2=J42+32=5,

0A8的長為5.

【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，勾股定理.正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是

根據(jù)題意作圖，證明全等三角形.

24.（2022?江西吉安??？家荒＃┏咭?guī)作圖之旅

下面是一副純手繪的畫作，其中用到的主要工具就是直尺和圓規(guī)，在數(shù)學(xué)中，我們也能通過尺規(guī)作圖創(chuàng)造

出許多帶有美感的圖形.

尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，只允許使用圓規(guī)和直尺，來解決平面幾何作圖問題.

【作圖原理】在兩年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里中，我們認(rèn)識了尺規(guī)作圖，并學(xué)會用尺規(guī)作圖完成一些作圖問題，請仔

細(xì)思考回顧，判斷以下操作能否通過尺規(guī)作圖實現(xiàn)，可以實現(xiàn)的畫V,不能實現(xiàn)的畫x.

（1）過一點作一條直線.（）

（2）過兩點作一條直線.（）

（3）畫一條長為3cm的線段.（)

（4）以一點為圓心，給定線段長為半徑作圓.（）

【回顧思考】還記得我們用尺規(guī)作圖完成的第一個問題嗎？那就是"作一條線段等于已知線段"，接著，我們

學(xué)習(xí)了使用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，作角平分線，過直線外一點作垂線……而這些尺規(guī)作圖的背后都

與我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)原理密切相關(guān)，下面是用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法及說理，請補(bǔ)全過程.

已知:0AOB.

求作：乙4'。'8'使乙4'0'B'=AAOB

作法：（1）如圖，以。為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA,于點C,D；

（2）畫一條射線。7T,以點。，為圓心，OC長為半徑畫弧，交04于點C，；

（3）以點C，為圓心，；

（4）過點。'畫射線O'B',貝吐4'0'B'=N40B.

求證：Z.A'0'B'=/.AOB

0C=O'C

證明：TOD=。'。'

CD=CD'

AOCD=AO'C'D'()

所以N40'B'=乙AOB()

【小試牛刀】請按照上面的范例，完成尺規(guī)作圖并說理：過直線外一點作已知直線的平行線.

已知：直線，與直線外一點A.

求作：過點A的直線1,使得

可以聯(lián)想到平行線的

有關(guān)判定，也可以想到

平行四邊形相關(guān)性

【創(chuàng)新應(yīng)用】現(xiàn)實生活中許多圖案設(shè)計都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)原理，下面是一個常見商標(biāo)的設(shè)計示意圖.假設(shè)你擁

有一家書店，請利用你手中的刻度尺和圓規(guī)，為你的書店設(shè)計一個圖案.要求保留作圖痕跡，并寫出你的

設(shè)計意圖.

這里的設(shè)計圖還用到了“黃金分

割比例”增加設(shè)計美感，因此，

你也可以使用刻度尺調(diào)整設(shè)計

圖中元素的比例關(guān)系

【答案】【作圖原理】(1)V；(2)V；(3)X；(4)V；【回顧思考】作法：以點C'為圓心，以CO為半徑畫弧,

與第二步中所畫的弧相交于說理：SSS,全等三角形對應(yīng)角相等；【小試牛刀】答案見解析；【創(chuàng)新應(yīng)用】

答案見解析.

【分析】［作圖原理］根據(jù)五種基本作圖判斷即可；

［回顧思考］利用全等三角形的判定解決問題即可；

［小試牛刀］利用同位角相等兩直線平行解決問題即可；

［創(chuàng)新應(yīng)用］答案不唯一，畫出圖形，說明設(shè)計意圖即可.

【詳解】解：［作圖原理］：(1)過一點作一條直線.可以求作；

(2)過兩點作一條直線.可以求作；

(3)畫一條長為3cm的線段.不可以求作；

(4)以一點為圓心，給定線段長為半徑作圓.可以求作；

故答案為：V,V,x,V；

［回顧思考］:作法：(1)如圖，以。為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA,0B于點C,D；

（2）畫一條射線O'A',以點。'為圓心，0C長為半徑畫弧，交O'A'于點C'；

（3）以點C'為圓心，以C為圓心，CD長為半徑畫弧與第二步中所畫的弧交于點D，；

（4）過點D'畫射線O'B',貝崛A'O'B'=［3AOB.

說理：由作法得已知：0c=0'C',OD=O'D',CD=C'D',

求證：0A'O'B'=EIAOB.

OC=O'C

證明：在I30CD和EIO'C'D'中｛?！?=。7/,

CD=C'D'

00OCD00O,C,D,(SSS),

a3A'0'B'=EIA0B（全等三角形的對應(yīng)角相等），

故答案為：以C，為圓心，CD長為半徑畫弧與第二步中所畫的弧交于點D，，SSS,全等三角形的對應(yīng)角相等;

［小試牛刀］：如圖，直線I'即為所求（方法不唯一），

［創(chuàng)新應(yīng)用］:如圖所示（答案不唯一），設(shè)計意圖：書架中隱藏著無限寶藏,

【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

25.（2022?河北唐山?統(tǒng)考一模）【提出問題】課間，一位同學(xué)拿著方格本遇人便問：“如圖所示，在邊長為1

的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C都是格點，如何證明點A、B、C在同一直線上呢？"

C

—I---------[7

B

A

【分析問題】一時間，大家議論開了.同學(xué)甲說："可以利用代數(shù)方法，建立平面直角坐標(biāo)系，利用函數(shù)的

知識解決"，同學(xué)乙說："也可以利用幾何方法..."同學(xué)丙說："我還有其他的幾何證法"......

【解決問題】請你用兩種方法解決問題

方法一（用代數(shù)方法）：

方法二（用幾何方法）:

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解.

【分析】（1）以點B為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則點C為（1,2）,利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析

式，然后判斷點A是否在直線BC上即可；

(2)在格點中構(gòu)造兩個三角形，證明OABDEBBCE,得至gABD=EIBCE,利用平角的定義，得到E1ABCE80。，即

可得到點A、B、C在同一條直線上.

【詳解】解：(1)如圖，以點B為原點建立平面直角坐標(biāo)系，

則點C坐標(biāo)為(1,2),

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx,

解得：k=2,

回直線BC的解析式為：y=2%；

當(dāng)x=-1時，y=2x(-1)=-2,

El點A(—1,一2)在直線BC上，

團(tuán)A、B、C三點在同一條直線上；

(2)如圖，在網(wǎng)格中構(gòu)造兩個三角形，EIABD和團(tuán)BCE；

團(tuán)網(wǎng)格的邊長為1,

0AD=BE=1,BD=CE=2,ED=fflE=90o,

00ABDE0BCE,

aBABD=ElBCE,

EI0BCE+0CBE=9OO,

00ABD+0CBE=9O°,

EBABC=I3ABD+回DBE+EICBE=90°+90°=180°,

（BA、B、C三點在同一條直線上.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，以及平角的定義，解題的關(guān)鍵是掌握證

明全等三角形的方法和利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.

【考點6利用倍長中線模型證明全等三角形】

26.（2022?浙江紹興?模擬預(yù)測）如圖，△ABC中，AB=8,AC=6,4。是8c邊上的中線，則4。的取值范

圍是■

【答案】1<2。<7

【分析】延長AO到E,使2。=DE,連接BE,VEAADC^^EDB,得到力C=BE=6,在AABE中，根據(jù)

三角形三邊關(guān)系定理得出AB-BE<AE<AB+BE,代入求出即可.

【詳解】解：延長A￡）到E,使4。=。凡連接BE,如下圖：

是BC邊上的中線，

團(tuán)80=CD

在Aaoc和AEOB中

AD=DE

AADC=Z.EDB

.DC=BD

EIA4DCmAEDBISAS)

團(tuán)4c=BE=6

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE

團(tuán)8—6V2AD<8+6

團(tuán)1<ZD<7

故答案為1<2D<7

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

27.（2022?安徽?模擬預(yù)測）【閱讀理解】

課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題:

如圖，EL48c中，若AB=8,AC=6,求8C邊上的中線AQ的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖，延長到點E,使。E=A。，連結(jié)8E.請根

據(jù)小明的方法思考：

F.

⑴由已知和作圖能得到AADC三AEDB的理由是（）.

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

⑵AQ的取值范圍是（）.

A.6<AD<8B.12<AD<16C.1<AD<7D.2<AD<14

⑶【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)"中點"、"中線"字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知

條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中.

【問題解決】如圖，是0ABe的中線，BE交AC于點E,交AD于尸，且AE=EF.求證：AC=BF.

【答案】（1）5

⑶見解析

【分析】(1)根據(jù)A￡)=DE,^ADC^BDE,2￡>=￡>C推出MDC和團(tuán)即2全等即可；

(2)根據(jù)全等得出8E=AC=6,AE=2AD,由三角形三邊關(guān)系定理得出8-6<24。<8+6,求出即可；

(3)延長AD到M,使AD=DM,連接BM,根據(jù)SAS證0Aoe推出BM=AC,0CAD=0M,根據(jù)AE=EF,

推出回C4￡>=EABE=I32F￡),求出勖7Z>=IW,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可.

【詳解】(1)團(tuán)在0AOC和回即8中

(AD=DE

(BD=CD

fflADCEBEDB(SAS),

故選8;

(2)回由(1)知：^ADCS^EDB,

BBE=AC=6,AE-2AD,

回在EIABE中，AB=8,由三角形三邊關(guān)系定理得：8-6<2AD<8+6,

01<A￡><7,

故選：C.

(3)延長A。到點M,使AO=DM,連接

A

0A￡)是0A2C中線

0CD=BD

團(tuán)在ElADC和團(tuán)1〃歷中

DC=DB

/.ADC=4MDB

DA=DM

0AX￡)CSAMDB(SAS)

aBM=AC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）

0C4Z）=EM（全等三角形的對應(yīng)角相等）

0A￡=EF,

00CAZ）=0AFE（等邊對等角）

^3\AFE=^BFD,

EBBFD=I3M,

SiBF^BM（等角對等邊）

又EIBM=AC,

0AC=BF.

【點睛】本題考查了三角形的中線，三角形的三邊關(guān)系定理，等腰三角形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)

和判定等知識點，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力.

28.（2022?山西?統(tǒng)考一模）閱讀材料，解答下列問題.

如圖1,已知EABC中，AD為中線.延長AD至點E,使DE=AD.在0AOC和回即B中，AD=DE,^ADC=^EDB,

BD=CD,所以，^ACD^\EBD,進(jìn)一步可得到AC=BE,AC〃8E等結(jié)論.

在已知三角形的中線時，我們經(jīng)常用"倍長中線”的輔助線來構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決一些相關(guān)的計算

或證明題.

解決問題：如圖2,在0ABe中，是三角形的中線，點/為AD上一點，MBF=AC,連結(jié)并延長8尸交

AC于點E,求證：AE=EF.

【答案】詳見解析

【分析】延長AD到M,使DM=AD,連接BM,根據(jù)SAS推出△BDMEEICDA,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BM=AC,

0CAD=0M,根據(jù)BF=AC可得BF=BM,推出EIBFM/M,求出mAFE=EIEAF即可.

【詳解】如圖，延長4D至點M,使得并連結(jié)BM,

E

回40是三角形的中線,

團(tuán)BD=CD,

在△MOB和△ADC中,

BD=CD,

乙BDM=^CDAf

DM=DA,

0AMDB=△ADC,

團(tuán)AC=MB,乙BMD=KCAD,

團(tuán)BF=AC,

團(tuán)BF=BM,

團(tuán)NBMD=乙BFD,

國乙BFD=Z.EFAfZ-BMD=Z-CAD,

^EFA=Z.EAF,^AE=EF.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)用性

質(zhì)進(jìn)行推理的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)“倍長中線"法作出輔助線來構(gòu)造全等三角形.

29.（2022,浙江寧波?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形ABCD中，M,N分別為邊BC,CD的中點，且OMAN

=MBC,則翳的值是一.

【答案】q

【分析】延長AM與。C的延長線交于點￡,先證明0ABM3MCM,得AM與AE的關(guān)系，A8與EN和EZ）的

關(guān)系，再證明SEAA匹ED4,由相似三角形比例線段便可得結(jié)論.

【詳解】解：延長AM與DC的延長線交于點E,

團(tuán)四邊形ABCD為平行四邊形，

^\AB=CD,ABHCD,08=回。，

^B=SMAN,

團(tuán)0是BC的中點，N是CD的中點,

1

^\BM=CM,CN=DN=-CD

2f

在朋3M和蛇CM中，

乙B=Z.ECM

BH=CM,

ZAHB=乙EMC

^\ABM^\ECM(ASA),

[E4B=CE,AM=EM,

^AE=2AMEN=-ABED=2AB,

f2f

團(tuán)回應(yīng)小=回￡),同后=回片，

^\EAN^\EDAf

膽=弛，即EA2=ED?EN,

EDEA

0(2AM)2=2AB?|AB,

胖=更.

AB2

故答案為：y.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵

是構(gòu)造全等三角形與相似三角形，已知中點，往往倍長中線作為輔