上海市閔行區(qū)2023-2024學(xué)年高一年級上冊1月學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研（期末）數(shù)學(xué)試卷

上海市閔行區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研（期末）數(shù)學(xué)試卷

姓名：班級：考號：

題號——總分

評分

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7T2題每題5分）考生應(yīng)在答

題紙相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.設(shè)集合4={0,1,2,3,4,5},B={x\x<1},則ZCB=.

2.用有理數(shù)指數(shù)幕的形式表示E=_______.（其中a>0,b>0）

7b3

3.若％y=l（%,yER）,則/+產(chǎn)的最小值為.

4.已知/。先？=a,2b=5,貝！J/og215=.（用a、b表不）

5.若函數(shù)y=e,%G[1,e],則此函數(shù)的最小值為.

2A2,x>2,

6.已知/(%)=1若/(%o)=l,則％0=

—x—25,，%<2,

7.如圖為三個幕函數(shù)y=y=xa2,y=久。3在其定義域上的局部圖像，則實數(shù)a1,a2,。3從小到大的排列順

序為.（請用連接）

8.已知關(guān)于無的不等式|久+1|+|久—a|W5有解，則實數(shù)a的取值范圍為.

9.已知y=〃工）是定義在R上的奇函數(shù)，且它在區(qū)間（-8,0]上是嚴格增函數(shù)，若不等式f（2a-3）+7X1-

a）<0成立，則實數(shù)a的取值范圍為.

10.在滬教版教材必修第一冊第四章的章首語中有這樣一段話：“通過固定等式加=c中的三個量a,b,c中的一

個量，研究另兩個量的相互關(guān)系和變化規(guī)律，定義三種基本而應(yīng)用廣泛的函數(shù)一幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函

數(shù)”.若令c=e（e是自然對數(shù)的底數(shù)），將a視為自變量％（久>0,%。1）,則b為久的函數(shù)，記作b=f（久），

若不等式（久―2k）fO）>0對任意的xe（0,l）U（l,+8）恒成立，則實數(shù)k的值為.

11-已知/'0）=2久，若對任意的久1e[小，九]，存在唯一的久2e[m,n],使得/（久1）,y（%2）=1，則血+n的

1

值為.

12.將函數(shù)y=㈤的圖像繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角a((T<a<360。)，在a的變化過程中，每一個旋轉(zhuǎn)角a都對

應(yīng)一條折線，若該折線不是任何函數(shù)的圖象，則a的取值范圍為.

二'選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第1374題每題4分，第15-16題每題5分)每題有且

只有一個正確選項.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.已知a,bER,則“a>l,b>1”是"ab>1”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

14.下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0,+8)上是嚴格減函數(shù)的是()

21

A.y=%3B.y=c.y=ln\x\D.y=2^-2X

15.歷史上數(shù)學(xué)計算方面的三大發(fā)明是阿拉伯?dāng)?shù)字、十進制和對數(shù)，其中對數(shù)的發(fā)明，大大縮短了計算時間，為

人類研究科學(xué)和了解自然起了重大作用，對數(shù)運算對估算“天文數(shù)字”具有獨特的優(yōu)勢.已知lg2X0.301,IgS?

0.699,則2.52023的估算值為()

A.IO805B.IO806C.IO807D.1O808

/ogi(l—%),-1<x<n,

2(方V，皿)的值域是[一1,2],有下列結(jié)論：①當(dāng)幾=0

{22-1%-2|-2,n<x<m

時，me[2,4]；②當(dāng)n='時，me4,4]；③當(dāng)Zie[0,%)時，znC[2,4].其中正確結(jié)論的個數(shù)為()

A.0個B.1個C.2個D.3個

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.

17.設(shè)集合2={劉2久一1]<3},B=(x\x2-(b+l)x+b<0}.

(1)若b=4,試用區(qū)間表示集合4B,并求ZUB；

(2)若3=[1,5],求不等式然〉0的解集.

2

18.已知f(x)=log2(x+1).

(1)解不等式/(%)<1;

(2)判斷函數(shù)y=/(2x)在其定義域上的單調(diào)性，并嚴格證明.

19.進口博覽會是一個展示各國商品和服務(wù)的盛會，也是一個促進全球貿(mào)易和交流的重要平臺.某汽車生產(chǎn)企業(yè)

想利用2023年上海進口博覽會這個平臺，計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成

10%2+2000%,0<%<28,

本3000萬元，每生產(chǎn)無(百輛)，需投入流動成本CO)(萬元)，且C0)=

2504久+型360^0一6400,%>28.

x

其中100x6Z.由市場調(diào)研知道，每輛車售價25萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.

(1)寫出年利潤SQ)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量工(百輛)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.

(總利潤=總銷售收入-固定成本-流動成本)

20.已知/(久)=果g(x)=x+b,其中a,bER.

(1)判斷函數(shù)y=也(久)|的奇偶性，并說明理由；

(2)當(dāng)a=2時，若函數(shù)y=/(久)與y=|g(x)|的圖像有且只有三個公共點，求b的取值范圍；

(3)記尸(久)=/(x)+g(x),若函數(shù)y=F(x)在區(qū)間(0,2)上有兩個不同的零點，求按+2(6-a)的取值范

3

21.已知函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的定義域均為D,若對任意的打，-c。(為1+/2)都有1。(無1)一9(￡2)1<

-/(久2)1成立，則稱函數(shù)y=g(x)是函數(shù)y=/(%)在。上的乜函數(shù)

(1)若/(%)=3久+1,9(久)=X,D-R,判斷函數(shù)y=g(x)是否是函數(shù)y=/(久)在。上的“L函數(shù)”，并

說明理由；

(2)若/?(%)=/+2,g{x}=7%2+a,D=[0,+8),函數(shù)y=g(久)是函數(shù)y=/(%)在。上的"函數(shù)”,

求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若/(%)=%,D-[0,2],函數(shù)y=g(久)是函數(shù)y=/(久)在。上的"函數(shù)”，且g(0)=g(2),求證：

對任意的％i，X2eD(X1。久2)都有一。(%2)1<1.

答案解析部分

1.【答案】{0,1］

【解析】【解答】因為集合Z={0,1,2,3,4,5},B={x\x<1},所以ACB={0,1}.

故答案為：{0,1}.

【分析】本題主要考查交集的運算，根據(jù)題意已經(jīng)知道集合A和集合B,根據(jù)交集的運算即可求解.

2.【答案】ab-l

【解析】【解答】由題意可得：—y/a2xb~3-(a2h-3)2-ab~2..

故答案為：尤一號

【分析】本題主要考查指數(shù)算的運算，將分數(shù)指數(shù)易化作分式指數(shù)幕進行計算即可求解.

3.【答案】2

【解析】【解答】根據(jù)基本不等式不等式有：久2+y222A=2xy=2,當(dāng)且僅當(dāng)久2=y2,gpx=y,ngx=.y

時取等號.

故答案為：2.

【分析】本題主要考查基本不等式及其運用，根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式公式，進行求解即可.

4.【答案】a+b

【解析】【解答】log215=log注x5=log23+log2s=a+b.

故答案為：a+b.

【分析】本題主要考查對數(shù)的加法運算法則，根據(jù)對數(shù)的加法運算法則進行計算即可求解.

5.【答案】e

【解析】【解答】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知道：y=eh在［1,e］上為增函數(shù)，則當(dāng)x=e時，函數(shù)有最小值e.

故答案為：e.

【分析】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=談，當(dāng)a>1時為增函數(shù)，當(dāng)a<1時，函數(shù)為

減函數(shù)，據(jù)此求解即可.

6.【答案】2

1

【解析】【解答】當(dāng)近22時，f(殉)=2孫一=1,解得劭=2,當(dāng)久o<2時，/(%0)=吊尸=L解得與=3

時，不符合題意舍去，

綜上所述=2,

故答案為：2.

【分析】本題主要考查分段函數(shù)，根據(jù)題意分劭>2和孫<2分別代入函數(shù)進行求值即可求解.

7.【答案】的<

【解析】【解答】根據(jù)y=產(chǎn)1的圖像知道肉<-1,根據(jù)y=嚴2的圖像知道o<<1,根據(jù)y=產(chǎn)3的圖像

知道。3>L故<口2<

故答案為：<。2<a3

【分析】本題主要考查幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)幕函的圖像和性質(zhì)判定出：ai<-1,0<a2<l,。3〉1,

即可求解.

8.【答案】[-6,4]

【解析】【解答】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得：|%+1|+|久—a|2|久+1—(久一a)|=|1+a|,當(dāng)且僅當(dāng)(X+1)(久―

a)<0,時取等號，

又因為關(guān)于久的不等式氏+1|+|久—可35有解，則只需|l+a|W5,即可，解得—6W尤<4,即實數(shù)a的

取值范圍為[-6,4]

故答案為：卜6,4].

【分析】本題主要考查不等式的性質(zhì)，根據(jù)絕對值不等式求得W+l|+|x-a|>|l+a|,即原不等式的最小值

為|l+a],在利用恒成立問題解題即可.

9.【答案】(一8,2)

【解析】【解答】因為y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它在區(qū)間(-8,0]上是嚴格增函數(shù)，所以y=f(￡)

在[0,+8)單調(diào)遞增，

即y="%)在R上單調(diào)遞增，y=〃久)是定義在R上的奇函數(shù)，所以—“1—a)=/(a—1),

又f(2a-3)+/(I-a)<0可變形為/(2a-3)<-/(I-a),即f(2a-3)<f(a-1),又因為y=f(尤)在R

上單調(diào)遞增，

所以2a—3<a—1,解得a<2,則實數(shù)a的取值范圍為(―8,2].

故答案為：(—8,2].

【分析】本題主要考查函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，因為函數(shù)為奇函數(shù)，且它在區(qū)間(-8,0]上是嚴格增函數(shù)，所

以y=/(久)在R上單調(diào)遞增，且一f(l一a)=f(a-1),將原不等式變形為/(2a-3)<f(a-1),然后利用函

數(shù)的單調(diào)性，去掉對應(yīng)法則，解一元一次不等式即可.

6

10.【答案】1

【解析】【解答】根據(jù)題意可得：%b=e,兩邊同時取對數(shù)可得：b=log：=?=—,所以人工)=右且(龍〉

0,%W1),

又因為當(dāng)尢e(o,1)時，fO)<0,則根據(jù)O—2k)f(x)>0可得：x—2k<0,對xC(0,1)恒成立，即

對工e(0,1)恒成立，

所以k2號,又當(dāng)％e(L+8)時/(無)>0,則根據(jù)(久一2k)fO)>0可得：x-2k>0,對尤e(L+oo)

恒成立，

即對xe(l,+8)恒成立，則左同，故綜上所述：實數(shù)k的值為;.

故答案為：

【分析】本題主要考查函數(shù)模型的建立，恒成立問題，根據(jù)題意及指對互化及換底公式得到：/(久)=/且(久>

0,久。1),在分類討論%e(o,1)和%e(1,+8)時判定出了(%)的正負，然后結(jié)合恒成立問題進行求解即可.

11.【答案】0

【解析】【解答】因為〃嗎=2,底數(shù)2>1,所以函數(shù)〃無)=2,為R上的增函數(shù)，

又/(%1)./(%2)=2%iX2犯=2X1+X2=1,則％1+冷=°，

所以％2=—%1，又因為對任意的％1e[租，71],存在唯一的％2E[g，兀]，使得/(%1),/(%2)=1即％1+%2=。，

即對任意的％16[m,71],存在一/G[m,71],

所以區(qū)間[TH,幾]關(guān)于原點對稱，則TH+71=0.

故答案為：0.

【分析】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)題意可得：%2=-％1，，進而得到：對任意的％1e[m,n],存在-6

\m,?i],所以區(qū)間[TH,九]關(guān)于原點對稱，即可求出答案.

12.【答案】45°<a<135°或225°<a<315°

【解析】【解答】畫出函數(shù)y=|%|的圖像，如下圖所示，當(dāng)該函數(shù)的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)時，根據(jù)函數(shù)的定

義知道，當(dāng)函數(shù)圖象旋轉(zhuǎn)到二、三象限或者一、四象限時，其圖像均不是函數(shù)圖象，則旋轉(zhuǎn)的角度a滿足的條

件是：45°<a<135°或225°<a<315°.則則a的取值范圍為｛例45。<a<135?；?25。<a<315°).

7

故答案為：［?|45°<a<1350??2250<a<315°).

【分析】本題主要考查函數(shù)的定義、函數(shù)圖象的變換，根據(jù)函數(shù)的定義知：“允許多對一”，“不允許一對多”就

是允許多x對應(yīng)一個y,但是不允許一個x對應(yīng)多個y,據(jù)此可以得到：當(dāng)函數(shù)圖象旋轉(zhuǎn)到二、三象限或者一、

四象限時，其圖像均不是函數(shù)圖象，即可得到答案.

13.【答案】A

【解析】【解答】充分性：當(dāng)a>1,b>1時，能推出ab>1,即充分性成立，必要性：ab>1時不能推出a>

1,b>1,

故必要性不成立，所以“a>1,b>1”是“ab>1”的充分非必要條件.

故答案為：A.

【分析】本題主要考查充分條件、必要條件的判定，根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合充分性和必要性進行判斷即可求解.

14.【答案】B

【解析】【解答】對于A選項：函數(shù)了=久|在區(qū)間(0,+8)上是嚴格增函數(shù)，故不符合題意；

1111

對于B選項:y=/O)=亦，/(_x)=(_二2豆=東=/(%)，所以了=號為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，+

8)上是嚴格減函數(shù)，則B選項符合題意；

對于C選項：y="|x|在區(qū)間(0,+8)上是嚴格增函數(shù)，故不符合題意；

對于D選項：y=/(%)=2-X-2X,/(-x)=2x-2-x=-(2-x-2X),則y=一2,為奇函數(shù)，不符合題意.

故答案為：B.

【分析】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進行逐項判斷即可求解.

15.【答案】A

【解析】【解答】令》=2.52023,兩邊同時以10為底取對數(shù)得:IgX=02.52023=2023國2.5,即，=

20231g(1)=2023ag5-伍2),

又Zg2七0.301,lg5?0.699,所以Zg'=2023(加5—Zg2)=2023(0.301—0.699)=805,則％n1()805

故答案為：A.

【分析】本題主要考查了指對互化、對數(shù)的運算法則，令％=2.52023,兩邊同時以10為底取對數(shù)得：2礦=

8

功2.52。23=2023s2.5,根據(jù)對數(shù)的減法運算即可得出答案.

16.【答案】D

logi^l-%),-1<x<n,

【解析】【解答】/(%)=,2設(shè)無(%)=22-|X-21-2,當(dāng)X>2時，/l(x)=

22-\X-2\-2,n<x<m

2"%—2,

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知道其在(2,+8)上單調(diào)遞減，當(dāng)-1<%<2時，伏%)=2工-2,函數(shù)在[-1,2)

上單調(diào)遞增，

2

所以八⑺在[—L2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，則當(dāng)x=2時取得最大值：%(2)=2-2=2.同理

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知道>=-嗎，為單調(diào)遞增函數(shù)，

2

綜上可得函數(shù)/(%)的圖像如下圖所示：

令22TA2|_2=_I,解得：久=0或％=4,對于①當(dāng)n=0時，y=，?！?1-0)=。，又/⑺的值域為[一

1,2],結(jié)合/(%)的圖像知7HC[2,4],故①正確;對于②當(dāng)71=*時，4I)=Zogjl—,)=2，/(-1)=

/招(1+1)=-1,所以小€得，4]則②正確；

對于③當(dāng)代[0,%)時，嗎(1-%)w[1，logi(l-n)),且,logi(l-n)<2,

所以小6[2,4]則③正確，綜上所述正確結(jié)論的個數(shù)為3個.

故答案為：D.

【分析】本題主要考查分段函數(shù)、符合對數(shù)函數(shù)、符合指數(shù)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的值域畫出/(久)的圖

像，然后結(jié)合端點n的取值及函數(shù)圖象進行逐項判定即可求解.

17.【答案】(1)解：由題意可得：一3<2久一1<3,解得：一1<久<2,得4=(一1,2),

因為b=4,所以/—5x+4M0,BP(%—1)(%—4)<0,解得1WxW4,

故8=[1,4],

所以2UB=(-1,4].

9

（2）解：由題意得了一（6+1）%+6=0有兩個根為1和5,由韋達定理定理可得：1x5=b,所以b=5,

則罷工>。的解集為（一8，-1）u（5,+8）.

【解析】【分析】本題主要考查含絕對值不等式，一元二次不等式的解法、并集的運算、一元二次方程與一元二

次不等式的聯(lián)系，（1）根據(jù)含絕對值不等式的解法得到：-3<2久-1<3,從而結(jié)合A集合在將b=4,代入B

集合的一元二次不等式解得B集合，在根據(jù)并集的運算即可求解；

（2）根據(jù)題意可得/—（b+l）x+b=0有兩個根為1和5,由韋達定理定理可得：1x5=b,所以b=5,

解出原不等式即可求解.

18.【答案】（1）解：不等式八>）<1等價于1092（%+1）<2。。22，

因為y=在（0，+8）上是嚴格增函數(shù)，

所以tn，解得-

+1<2

因此不等式/（%）<1的解集為（一1,1）.

（2）解：f（2支）=2。。2（2久+1）在定義域％€（—稱,+8）上是嚴格增函數(shù).

證明：設(shè)巧，％2是定義域（-稱，+8）上任意給定的兩個實數(shù)，且

則0<2%i+1<2%2+1，

因為y=/。先%在（0，+8）上是嚴格增函數(shù)，

所以2。。2（2%1+1）<log2（2x2+1）,

即/（2必）</（2%2），

即證函數(shù)y=/（2久）在其定義域上是嚴格增函數(shù).

另解

f（2無）=log2（2x+1）在定義域%G（-1,+8）上是嚴格增函數(shù).

證明:令/i（x）=f（2x）=1。。2（2%+1）,

設(shè)久1，久2是定義域（-*，+8）上任意給定的兩個實數(shù)，且勺<K2，

2Y+1

%（％1）-八（久2）=2。。2（2%1+1）-1。。2（2%2+1）=衰亙,

因為0<2%1+1<2%2+1，所以0<2丫1]1<1，則1。。22V0,

乙人2I乙九2?-1-

所以八（尤1）-/l（X2）<0,

即證函數(shù)y=/（2%）在其定義域上是嚴格增函數(shù).

【解析】【分析】本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)性的證明，不等式/（久）<1等價于log2{x+V）<log22,

然后利用y=/。取%在（0，+8）上是嚴格增函數(shù)，去掉對應(yīng)法則f,變?yōu)橐辉淮尾坏仁?，再結(jié)合定義域即可

10

求解；

⑵設(shè)%%2是定義域(T，+8)上任意給定的兩個實數(shù)，且％1<%2，則0<2%1+1<2久2+1，利用y=

1。陽支在(0,+8)上是嚴格增函數(shù)即可證明結(jié)論.

19.【答案】(1)解：當(dāng)0<%<28時，

S(x)=2500%-(10%2+2000%)-3000=-10%2+500%-3000.

當(dāng)28時，

3600

5(%)=2500%-(2504%+-6400)-3000=-4x-等臀+3400.

X

—10%2+500%—3000,0<%<28,

綜上S(x)

.3竿+3400,x>28.

(2)解：當(dāng)0<%<28時,

S(x)=-10x2+500%-3000=-10(/-50%)-3000=-10(x2-25)+3250,,

當(dāng)x=25時，S(x)max=5(25)=3250萬元

當(dāng)工228時,

3600

S(x)=-4x-----------+3400<3400-2=3160

人

當(dāng)且僅當(dāng)久=30時，S(x)max=5(30)=3160<3250萬元

綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為25百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為3250萬元.

【解析】【分析】本題主要考查分段函數(shù)的實際應(yīng)用，(1)利用總利潤=單件利潤x數(shù)量結(jié)合題干中的流動成本

分段寫出S(x)的解析式即可；

(2)當(dāng)0<久<28時，利用二次函數(shù)配成的頂點式求得利潤的最值，當(dāng)%228時，利用基本不等式即可求得

最值.

20.【答案】(1)解：定義域為R,關(guān)于原點對稱,

記/i(x)=|g(x)|=\x+b\,

當(dāng)b=0,h(-x)=h(x),故函數(shù)y=|g(x)|是偶函數(shù)；

當(dāng)bHO,h(—b)wh(b),—b)力一h(b),故函數(shù)y=|g(x)|既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

(2)解：結(jié)合函數(shù)圖象，只需考慮與y=-x—b(—b>0)有且只有一個公共點時，

得到/=—x—b(b<0)有且只有一個解，

即久2+b久+2=0只有一個解，由△=b2—8=0解得b=-2V2,

結(jié)合圖像，有一b>2應(yīng)，所以6<-2金.

11

[另解]若y=/(%)與y=|g(%)|的圖像只有三個公共點，即/(%)=|g(x)|有三個根.

即1=?￡+加。>0)有三個根；

即方程b=馬-%(%>0)有一根，方程b=—^―%(%>0)有兩個根；

將函數(shù)y=b分別與函數(shù)y=^—%(%>0)和函數(shù)y--^—x(x>0)相交得

b<-2V2.F(x)=^+x+b=0

(3)解：由在區(qū)間(0,2)上有兩個不同的零點，得方程/+b%+a=0在

(0,2)上有兩個不同的實根%1，且%1，%2e(0,2).

由韋達定理得丁，

于是按+2(8—Cl)—(%i+上)2+2(--%2—%],%2)=(%1—+(%2—1)2—2,

因為％16(0,2)9%2E(。，2),W%29所以d+2(JJ-ci)￡(—2,0).

【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷、函數(shù)零點的運用，(1)利用函數(shù)的奇偶性定義，并對b的值

是否為0進行討論即可求解；

(2)將a=2代入函數(shù)后，將原問題轉(zhuǎn)化為y=|=|x+b|(x>0)由三個根，結(jié)合對勾函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求

解；

(3)由在區(qū)間(0,2)上有兩個不同的零點，得方程%2+