湖北省武漢市九所重點中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

武漢市2024屆九所重點中學(xué)第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷武漢市第一中學(xué)命制2023.10.14本試卷共4頁，22小題，全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘?！镒？荚図樌镒⒁馐马棧?．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則的元素個數(shù)為（）A．4 B．5 C．2 D．02．與垂直的單位向量是（）A． B． C． D．3．以下滿足的虛數(shù)z是（）A． B． C． D．4．多項式的項系數(shù)比項系數(shù)多35，則其各項系數(shù)之和為（）A．1 B．243 C．64 D．05．在集合的所有非空真子集中任選一個，其元素之和為偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．6．如圖，三棱臺中，，現(xiàn)在以下四項中選擇一個，可以證明的條件有（）①； ②；③； ④；A．4個 B．3個 C．2個 D．1個7．拋物線C：的焦點為F，頂點為O，其上兩點A，B滿足；過O點作于C，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．求值：（）A． B． C．1 D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．將三角函數(shù)經(jīng)如下變換后得到的圖象：①將圖象向右平移個單位；②將圖象向左平移個單位；③將圖象向下平移個單位；④將圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴大至原來的2倍；以下變換順序正確的是（）A．④①③ B．④③①① C．②②③④ D．③①④10．等比數(shù)列和函數(shù)滿足，，則以下數(shù)列也為等比數(shù)列的是（）A． B． C． D．11．如圖，在平整的地面上任一點O處觀測點P處的太陽時，可以將太陽一日的運動軌跡看作一個圓，且這個圓在以O(shè)為球心，半徑很大的球面上．白天觀測到的軌跡是其在地面以上的部分．在點O處立一根桿OA（A也可看作球心），它在地面上形成日影，且P，A，三點共線，則白天時點在地面上運動的軌跡可能是（）A．一個拋物線 B．一條直線 C．一個半橢圓 D．雙曲線的一支12．已知，若它的圖象恒在x軸上方，則（）A．的單調(diào)遞增區(qū)間為B．方程可能有三個實數(shù)根C．若函數(shù)在處的切線經(jīng)過原點，則D．過圖象上任何一點，最多可作函數(shù)的8條切線三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．寫出一個焦距為3的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：______．14．平面直角坐標(biāo)系中有一直線l：，用斜二測畫法畫出平面的直觀圖，在直觀圖中直線l恰為x軸和y軸的角平分線，則______．15．已知矩形ABCD和另一點E，，，且，連接AE交直線BC于點F，若的面積為6，則______．16．一張圓形餐桌前有個人，每個人面前及餐桌正中央均各擺放一道菜．現(xiàn)規(guī)定每人只能在相鄰兩人或餐桌中心的三道菜中隨機夾取一道菜，每個人都各夾過一次菜后，記未被夾取過的菜肴數(shù)為，則______，的通項公式為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟．17．（10分）等差數(shù)列中，，的前n項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：對任意正數(shù)k，均存在使得成立．18．（12分）已知函數(shù)，（1）求的極值；（2）作在處的切線交的圖象于另一點，若，求l的斜率．19．（12分）中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且；AB邊上有一點D（D不與三角形的頂點重合）滿足，（1）求C的取值范圍；（2）若，求A．20．（12分）在能源和環(huán)保的壓力下，新能源汽車將成為未來的發(fā)展方向．某市大力推廣新能源汽車，成果顯著，該市近6年的新能源汽車保有量數(shù)據(jù)如下表，年份代號x123456保有量y（萬輛）11.82.745.99.1（1）記時對應(yīng)的汽車保有量為，其相較去年的增長量為，分析發(fā)現(xiàn)變量z和y有線性關(guān)系，試建立變量z和y的回歸方程（精確到0.01）；（2）根據(jù)（1）問的結(jié)果分析：①；②；③當(dāng)中哪一個更適合作為汽車保有量y與年份x的回歸方程類型？判斷并說明理由．附：對于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．21．（12分）空間中的兩平行平面與之間的距離為4，邊長為2的等邊三角形，分別在平面，中，且它們中心的連線垂直于平面；若恒成立，（1）證明：，，兩兩夾角相等；（2）當(dāng)四面體的體積最大時，求（1）問中夾角的余弦值．22．（12分）雙曲線C：經(jīng)過點，且點P到雙曲線C兩漸近線的距離之比為，（1）求C的方程；（2）過點P作不平行于坐標(biāo)軸的直線交雙曲線于另一點Q，作直線交C的漸近線于兩點A，B（A在第一象限），使，記和直線QB的斜率分別為，，（i）證明：是定值；（ii）若四邊形ABQP的面積為5，求．武漢市2024屆九所重點中學(xué)第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)選擇題：1-5：ADCDB 6-8：CCA9．BCD 10．AC 11．ABD 12．AD填空題：13．（答案不唯一） 14．215．或 16．；解答題：17．（10分）解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，于是，因為，所以，所以，解得，則；（2），，考慮，即，即，由于，則時，，且，結(jié)合上述不等式得，整理得，任取整數(shù)，則，原不等式成立，于是對于任意正數(shù)k，均存在使得成立．18．（12分）解：（1）的導(dǎo)函數(shù)，令得，，列表如下：x+00+↑極大值↓極小值↑所以有一個極大值為，一個極小值為．（2）切線l的方程為，整理得，設(shè)，且易知，則，從而，于是，解得，于是，由題意可知，方程有另一解，于是，所以，解得或，時，l的斜率，時，l的斜率；綜上，切線l的斜率為3．19．（12分）解：（1）在中，由正弦定理得，則，又，且，所以，考慮到，則是銳角，若C為鈍角，則，即，此時有，又，則，則；若C為銳角，則，由題意知，則，所以，又，所以，所以，綜上所述，．（2）由題知，若C為鈍角，則中，，不合題意，故C為銳角，也即，中，由余弦定理得，解得，因為，所以，結(jié)合正弦定理知，于是，又，則，又，將上式代入，得，解得．20．（12分）解：（1）設(shè)z關(guān)于y的回歸方程為，時，，，則，，于是z關(guān)于y的回歸方程為．（2）選擇②，理由如下：由（1）問知z和y有線性關(guān)系，故用估計z，知，則，于是，即是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而，滿足②式的形式，故②適宜作為y與x的回歸方程類型．21．（12分）（1）證明：記和的中心分別為點O，，當(dāng)時，記點，，所在位置分別為點，，，易知為正三棱柱，且點，，，，，均在以為圓心的圓上，的半徑為；因為，所以，同理可得，記，則在中，，由上知，于是，且，，，則，下面只需證明，因為，同理有，，而在中，由于，所以和所對弧長相等，即，所以，則，，也即，則，同理有，所以，所以，即，，兩兩夾角相等．（2）解：記直線和的交點為P，連接PA，PC，設(shè)和到平面的距離分別為，，作于G，于H，由（1）問知，，則，，于是平面，平面，從而，，又的面積，若P在線段上（如上圖），則，因為，所以，于是，，則，若P在線段的延長線上（如下圖），則，因為，所以，所以，于是，，則，綜上，當(dāng)時，四面體的體積取最大值，此時，則，則，，由（1）問知，，設(shè)和的夾角為，則．22．（12分）解：（1）將代入雙曲線C得：，雙曲線的漸近線為，即；?。海海瑒t點P到的距離，點P到的距離，因為且，所以，所以，于是，即，又，所以，所以，解得，所以，則，則C：