人教版數(shù)學(xué)高二選修4-1導(dǎo)學(xué)案四弦切角的性質(zhì)

高中數(shù)學(xué)-打印版精心校對完整版四弦切角的性質(zhì)1.通過對弦切角定理的探究，體會(huì)分類思想、特殊化思想和化歸思想在數(shù)學(xué)中的作用.2.理解弦切角定理，能應(yīng)用定理證明相關(guān)的幾何問題．1．在前面我們研究過與圓有關(guān)的哪兩種角？這兩種角是如何定義的？答案前面我們研究過圓心角和圓周角；頂點(diǎn)在圓心，兩邊與圓相交的角叫做圓心角，頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓相交的角叫做圓周角．2．在同圓或等圓中圓心角與圓周角各有什么性質(zhì)，它們又有怎樣的關(guān)系？答案在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧也相等；相等的弦或相等的弧所對的圓心角相等．同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．3．如下圖，圓周角∠CAB，讓射線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生無數(shù)個(gè)圓周角，當(dāng)AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至與圓相切時(shí)，停止旋轉(zhuǎn)，得∠BAE.這時(shí)∠BAE還是圓周角嗎？為什么？答案不是圓周角，因?yàn)榻堑囊贿吪c圓相切，只有角的兩邊都與圓相交時(shí)，才是圓周角．1．弦切角的概念定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖所示，∠ACD和∠BCD都是弦切角．2．弦切角定理定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．3．與弦切角定理有關(guān)的結(jié)論(1)弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半．(2)弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半．(3)如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等.要點(diǎn)一利用弦切角解決與角有關(guān)的問題例1如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線CE和⊙O切于點(diǎn)C，AD⊥CE垂足為D，求證：AC平分∠BAD.證明連接BC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B＋∠CAB＝90°，∵AD⊥CE，∴∠ADC＝90°.∴∠ACD＋∠DAC＝90°.又∵AC是弦，且直線CE和⊙O切于點(diǎn)C，∴∠ACD＝∠B.∴∠DAC＝∠CAB，即AC平分∠BAD.規(guī)律方法(1)利用弦切角解決與角有關(guān)問題的步驟：①根據(jù)圖形及弦切角的定義找出與題目有關(guān)的弦切角；②利用弦切角定理找出與其相等的角；③綜合運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行角的求解．(2)要注意圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理、相似三角形、射影定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．跟蹤演練1如圖，經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)T的切線和弦AB的延長線相交于點(diǎn)C.求證：∠ATC＝∠TBC.證明∵CT切⊙O于T，∴∠DTA＝∠ABT，∵∠ATC＋∠DTA＝180°，∠TBC＋∠ABT＝180°.∴∠ATC＝∠TBC.要點(diǎn)二利用弦切角解決與長度有關(guān)的問題例2如圖，已知MN是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，MN平行于弦CD，弦AB交CD于E，求證：AC2＝AE·AB.證明連接BC，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(MN∥CD?∠MAC＝∠ACD,MN切⊙O于A?∠MAC＝∠B))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(∠ACD＝∠B,∠CAE＝∠CAB))?△ACE∽△ABC?eq\f(AC,AB)＝eq\f(AE,AC)?AC2＝AB·AE.規(guī)律方法(1)此題主要是利用弦切角的性質(zhì)去證明兩個(gè)角相等，再利用三角形相似證比例中項(xiàng)，這種類型的題較常見．(2)證明線段相等，借助于弦切角定理和圓的其他性質(zhì)(如等弧所對的弦相等)以及三角形有關(guān)知識(shí)，我們可以得到特殊三角形或全等三角形，從而證得線段相等．跟蹤演練2已知PA是圓O(O為圓心)的切線，切點(diǎn)為A，PO交圓O于B，C兩點(diǎn)，AC＝eq\r(3)，∠PAB＝30°，則線段PB的長為________．答案1解析連接OA，又PA為⊙O切線，∴∠OAP＝90°，∠C＝∠PAB＝30°，∴∠OBA＝∠OAB＝60°，∴∠P＝∠PAB＝30°，∴PB＝AB，又AC＝eq\r(3)，BC為⊙O直徑，∴∠CAB＝90°，∴AB＝1，∴PB＝1.要點(diǎn)三弦切角的綜合應(yīng)用例3如圖所示，CF是⊙O的直徑，CB是⊙O的弦，CB的延長線與過點(diǎn)F的⊙O的切線交于點(diǎn)P.(1)如圖①，如果∠P＝45°，PF＝10，求⊙O的半徑長；(2)如圖②，如果E是BC上的一點(diǎn)，且滿足PE2＝PB·PC，連接FE并延長交⊙O于點(diǎn)A，求證：點(diǎn)A是的中點(diǎn)．(1)解∵PF是切線，∴△PCF是直角三角形，∵∠P＝45°，∴PF＝CF，∴2r＝PF＝10，∴r＝5，∴⊙O的半徑為5.(2)證明如圖所示，連接FB.∵FP是⊙O的切線，∴∠PFB＝∠FCB.又∵∠P＝∠P，∴△PBF∽△PFC，∴eq\f(PB,PF)＝eq\f(PF,PC)，∴PF2＝PB·PC.又∵PE2＝PB·PC，∴PF2＝PE2，∴PF＝PE，∴∠EFP＝∠FEP.又∵∠EFB＝∠EFP－∠BFP，∠CFE＝∠FEP－∠FCB，∴∠EFB＝∠CFE.∴點(diǎn)A為弧BC的中點(diǎn)．規(guī)律方法(1)弦切角是與圓相關(guān)的很重要的角．其主要功能是協(xié)調(diào)與圓相關(guān)的各種角，如圓心角、圓周角等，是連接圓與三角形全等、三角形相似及與圓相關(guān)的各種直線位置關(guān)系的橋梁．(2)弦切角定理經(jīng)常作為工具，進(jìn)行三角形相似的證明，然后利用三角形相似進(jìn)一步確定相應(yīng)邊之間的關(guān)系，在圓中證明比例式或等積式，常常需要借助于三角形相似處理．(3)弦切角定理有時(shí)還與圓周角定理等知識(shí)綜合運(yùn)用，它們不但在證明方法上相似，在解題功能上也有相似之處，通常都作為輔助工具出現(xiàn)．跟蹤演練3如圖所示，⊙O1與⊙O2交于A、B兩點(diǎn)，過⊙O1上一點(diǎn)P作直線PA、PB分別交⊙O2于點(diǎn)C和點(diǎn)D，EF切⊙O1于點(diǎn)P.求證：EF∥CD.證明連接AB，∵EF是⊙O1切線，由弦切角定理知，∠FPA＝∠PBA，又在⊙O2中，四邊形ABDC為圓內(nèi)接四邊形，∴∠C＝∠ABP，∴∠FPA＝∠C，∴EF∥CD.例4如圖，已知圓上的＝，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長線交于E點(diǎn)，證明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.證明(1)因?yàn)椋?，所以∠BCD＝∠ABC.又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因?yàn)椤螮CB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故eq\f(BC,BE)＝eq\f(CD,BC)，即BC2＝BE·CD.規(guī)律方法本題主要考查圓內(nèi)接四邊形、圓的切線、圓周角、弦切角、三角形相似、弦之間的關(guān)系，題目難易適中，重在考查對平面幾何中基本知識(shí)的掌握．跟蹤演練4如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點(diǎn)，連接DB并延長交⊙O于點(diǎn)E.證明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.證明(1)由AC與圓O′相切于點(diǎn)A，得∠CAB＝∠ADB；同理，∠ACB＝∠DAB，從而△ACB∽△DAB，所以eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,BD)?AC·BD＝AD·AB.(2)由AD與圓O相切于點(diǎn)A，得∠AED＝∠BAD；又∠ADE＝∠BDA，從而△EAD∽△ABD.所以eq\f(AE,AB)＝eq\f(AD,BD)?AE·BD＝AD·AB.又由(1)知，AC·BD＝AD·AB，所以AC·BD＝AE·BD?AC＝AE.1．如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分別為D、E、F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，連接OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于()A．40° B．55°C．65° D．70°答案B解析∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°，∴∠EDF＝55°.2．如圖，AB是⊙O直徑，P在AB的延長線上，PD切⊙O于C點(diǎn)，連接AC，若AC＝PC，PB＝1，則⊙O的半徑為()A．1 B．2C．3 D．4答案A解析連接OC，BC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵AC＝PC，∴∠A＝∠P，∵PC切⊙O于C點(diǎn)，∴OC⊥PC，∴∠A＝∠P＝∠ACO＝eq\f(1,3)(180°－90°)＝30°，∴∠BOC＝60°，∴△BOC為等邊三角形，∴OB＝BC，∵∠PCB＝∠A，∴∠PCB＝∠P，∴BC＝PB＝1，∴OB＝1.3．如圖所示，AD切⊙O于點(diǎn)F，F(xiàn)B，F(xiàn)C為⊙O的兩弦，請列出圖中所有的弦切角_____________．答案∠AFB、∠AFC、∠DFC、∠DFB解析弦切角的三要素：(1)頂點(diǎn)在圓上，(2)一邊與圓相交，(3)一邊與圓相切．三要素缺一不可．4．如圖所示，已知AB與⊙O相切于點(diǎn)M，且＝，且、的長為圓周長的四分之一，則∠AMC＝______，∠BMC＝________，∠MDC＝________，∠MOC＝______.答案45°135°45°90°解析弦切角等于所夾弧所對的圓周角，等于所夾弦所對的圓心角度數(shù)的一半．1．弦切角所夾的弧就是指構(gòu)成弦切角的弦所對的(夾在弦切角內(nèi)部的)一條弧．如圖所示，弦切角∠BCD所夾的弧是，弦切角∠ACD所夾的弧是.2．弦切角定理的證明同圓周角定理的證明極相似，同樣是按圓心與角的位置關(guān)系分情況(如圖所示)進(jìn)行證明．(1)圓心在弦切角∠BAC一邊上；(如圖a)(2)圓心在弦切角∠BAC外部；(如圖b)(3)圓心在弦切角∠BAC內(nèi)部．(如圖c)3．圓心