統(tǒng)計(jì)與概率（考點(diǎn)突破）-2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題28統(tǒng)計(jì)與概率

鼠務(wù)復(fù)習(xí)目標(biāo)

1.能根據(jù)具體的實(shí)際問題或者提供的資料，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的思想收集、整理和處理一些數(shù)據(jù)，并從中發(fā)現(xiàn)

有價(jià)值的信息，在中考中多以圖表閱讀題的形式出現(xiàn)；

2.了解總體、個(gè)體、樣本、平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、頻數(shù)、頻率等概念，

并能進(jìn)行有效的解答或計(jì)算；

3.能夠?qū)ι刃谓y(tǒng)計(jì)圖、列頻數(shù)分布表、畫頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)折線圖等幾種統(tǒng)計(jì)圖表進(jìn)行具體運(yùn)

用，并會根據(jù)實(shí)際情況對統(tǒng)計(jì)圖表進(jìn)行取舍；

4.在具體情境中了解概率的意義；能夠運(yùn)用列舉法(包括列表、畫樹狀圖)求簡單事件發(fā)生的概率.

能夠準(zhǔn)確區(qū)分確定事件與不確定事件；

，考點(diǎn)梳理

一、數(shù)據(jù)的收集及整理

1.一般步驟：調(diào)查收集數(shù)據(jù)的過程一般有下列六步：明確調(diào)查問題、確定調(diào)查對象、選擇調(diào)查方法、展開

調(diào)查、記錄結(jié)果、得出結(jié)論.

2.調(diào)查收集數(shù)據(jù)的方法:普查與抽樣調(diào)查.

要點(diǎn)詮釋：

(1)通過調(diào)查總體的方式來收集數(shù)據(jù)的，抽樣調(diào)查是通過調(diào)查樣本方式來收集數(shù)據(jù)的.

(2)一般地，當(dāng)總體中個(gè)體數(shù)目較多，普查的工作量較大；受客觀條件的限制，無法對所有個(gè)體進(jìn)行普查；

或調(diào)查具有破壞性時(shí)，不允許普查，這時(shí)我們往往會用抽樣調(diào)查來體現(xiàn)估計(jì)總體的思想.

(3)用抽簽的辦法決定哪些個(gè)體進(jìn)入樣本.統(tǒng)計(jì)學(xué)家們稱這種理想的抽樣方法為簡單的隨機(jī)抽樣.

3.數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì):條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖是三種最常用的統(tǒng)計(jì)圖.

【特別提醒】

這三種統(tǒng)計(jì)圖各具特點(diǎn)：

條形統(tǒng)計(jì)圖可以直觀地反映出數(shù)據(jù)的數(shù)量特征；

折線統(tǒng)計(jì)圖可以直觀地反映出數(shù)據(jù)的數(shù)量變化規(guī)律；

扇形統(tǒng)計(jì)圖可以直觀地反映出各部分?jǐn)?shù)量在總量中所占的份額.

例L

連云港市實(shí)行中考改革，需要根據(jù)該市中學(xué)生體能的實(shí)際情況重新制定中考體育標(biāo)準(zhǔn).為此，抽取了50名

初中畢業(yè)的女學(xué)生進(jìn)行“一分鐘仰臥起坐，，次數(shù)測試.測試的情況繪制成表格如下：

次數(shù)612151820252730323536

人數(shù)1171810522112

⑴求這次抽樣測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；

⑵根據(jù)這一樣本數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，你認(rèn)為該市中考女生“一分鐘仰臥起坐”項(xiàng)目測試的合格標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為多

少次較為合適？請簡要說明理由；

⑶根據(jù)⑵中你認(rèn)為合格的標(biāo)準(zhǔn)，試估計(jì)該市中考女生“一分鐘仰臥起坐”項(xiàng)目測試的合格率是多少？

【答案】

⑴該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)---+.18+.,+25x，

50

+27x2+30x2+32x1+35x1+36x2）

=..4-.>4

眾數(shù)為18,中位數(shù)為18；

⑵該市中考女生一分鐘仰臥起坐項(xiàng)目測試的合格標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為

18次較為合適，因?yàn)楸姅?shù)及中位數(shù)均為18,且50人中達(dá)到18次的人數(shù)有41人，確定18次能保證大多數(shù)人達(dá)

標(biāo)；

⑶根據(jù)⑵的標(biāo)準(zhǔn)，估計(jì)該市中考女生一分鐘仰臥起坐項(xiàng)目測試的合格率為82%.

二、數(shù)據(jù)的分析

1.基本概念：

總體：把所要考查的對象的全體叫做總體；

個(gè)體：把組成總體的每一個(gè)考查對象叫做個(gè)體；

樣本：從總體中取出的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本；

樣本容量：樣本中包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)叫做樣本容量；

頻數(shù)：在記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，每個(gè)對象出現(xiàn)的次數(shù)稱為頻數(shù)；

頻率：每個(gè)對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值（或者百分比）稱為頻率；

平均數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，用數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)就得到這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，位于正中間位置的數(shù)（或正中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)

據(jù)的中位數(shù)；

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；

極差：一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差稱為極差；

方差：我們可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況

,這個(gè)結(jié)果通常稱為方差.

計(jì)算方差的公式：設(shè)一組數(shù)據(jù)是卬，＞、,，?:是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。則這組數(shù)據(jù)的方差是：

即=l[(x.-xf+Uj-x)2+-+(x-x)3]

萬IJ

標(biāo)準(zhǔn)差：一組數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)平方根，叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.

用公式可表示為：ffJ[篇-if+齷-爵-L+啊-重]

胭L1』

【特別提醒】

1.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以用來概括一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

平均數(shù)的優(yōu)點(diǎn)：平均數(shù)的計(jì)算過程中用到了一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)，因此比中位數(shù)和眾數(shù)更靈敏，反映了

更多數(shù)據(jù)的信息.

平均數(shù)的缺點(diǎn)：計(jì)算較麻煩，而且容易受到極端值的影響.

中位數(shù)的優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡單，不容易受到極端值的影響，確定了中位數(shù)之后，可以知道小于中位數(shù)的數(shù)值和

大于中位數(shù)的數(shù)值在這組數(shù)據(jù)中各占一半.

中位數(shù)的缺點(diǎn)：除了中間的值以外，不能反映其他數(shù)據(jù)的信息.

眾數(shù)的優(yōu)點(diǎn)：眾數(shù)很容易從直方圖中獲得，它可以清楚地告訴我們：在一組數(shù)據(jù)中哪個(gè)或哪些數(shù)值出現(xiàn)的

次數(shù)最多.

眾數(shù)的缺點(diǎn)：不能反映眾數(shù)比其他數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)多多少，而且也丟失了很多其他數(shù)據(jù)的信息.

2.極差、方差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的指標(biāo).極差就是一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差.它可以反

映一組數(shù)據(jù)的變化范圍.極差的不足之處在于只和極端值相關(guān)，而方差則彌補(bǔ)了這一不足.方差可以比較全

面地反映一組數(shù)據(jù)相對于平均值的波動(dòng)情況，只是計(jì)算比較復(fù)雜.

2.繪制頻數(shù)分布直方圖的步驟

①計(jì)算最大值與最小值的差；

②決定組距和組數(shù)；

③決定分點(diǎn)；

④畫頻數(shù)分布表；

⑤畫出頻數(shù)分布直方圖.

3.加權(quán)平均數(shù)

在一組數(shù)據(jù)中，各個(gè)數(shù)在總結(jié)果中所占的百分比稱為這個(gè)數(shù)的權(quán)重，每個(gè)數(shù)乘以它相應(yīng)的權(quán)重后所得的平

均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù).

在通常計(jì)算平均數(shù)的過程中，各個(gè)數(shù)據(jù)在結(jié)果中所占的份量是相等的。而實(shí)際情況有時(shí)并非如此，如果要

區(qū)分不同的數(shù)據(jù)的不同權(quán)重，就需要使用加權(quán)平均數(shù).當(dāng)我們改變一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)值所占的權(quán)重時(shí)，這組

數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)就有可能隨之改變.

例2.某校九年級數(shù)學(xué)模擬測試中，六名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦?單位：分)：110,106,109,111,108,11(),下列

關(guān)于這組數(shù)據(jù)描述正確的是()

A.眾數(shù)是110B.方差是16C.平均數(shù)是109.5D.極差是6

【答案】A.

三、概率

1.概率的定義：一般地，如果在一次實(shí)驗(yàn)中，有n種可能結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性相等，事件A包含

其中m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P(A尸

2.概率的求法

(1)用列舉法

(2)用頻率來估計(jì)：事件A的概率：一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率

，總是接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng).這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).

3.事件

必然事件:那些無需通過實(shí)驗(yàn)就能夠預(yù)先確定它們在每一次實(shí)驗(yàn)中都一定會發(fā)生的事件稱為必然事件.

不可能事件：那些在每一次實(shí)驗(yàn)中都一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件.

隨機(jī)事件:無法預(yù)先確定在一次實(shí)驗(yàn)中會不會發(fā)生的事件稱為不確定事件或隨機(jī)事件.

①求一個(gè)事件概率的基本方法是通過大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)；

②當(dāng)頻率在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)時(shí)，這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率；

③概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；

④概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大??；

⑤必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0,因此gP(A)W；

⑥必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為確定事件.

例3.

“六一”兒童節(jié)前夕，我市某縣“關(guān)心下一代工作委員會”決定對品學(xué)兼優(yōu)的“留守兒童”進(jìn)行表彰，某校八年

級8個(gè)班中只能選兩個(gè)班級參加這項(xiàng)活動(dòng)，且8(1)班必須參加，另外再從其它班級中選一個(gè)班參加活動(dòng).8(

5)班有學(xué)生建議采用如下的方法：將一個(gè)帶著指針的圓形轉(zhuǎn)盤分成面積相等的4個(gè)扇形，并在每個(gè)扇形上分

別標(biāo)上1,2,3,4四個(gè)數(shù)字，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次，將兩次指針?biāo)傅臄?shù)字相加，(當(dāng)指針指在某一條等分線上時(shí)

視為無效，重新轉(zhuǎn)動(dòng))和為幾就選哪個(gè)班參加，你認(rèn)為這種方法公平嗎？請說明理由.

【答案】

方法不公平.

用表格說明：

和、二次

v1234

12345

23456

34567

45678

所以，8(2)班被選中的概率為：--，8(3)班被選中的概率為：二

16:6

】

8(4)班被選中的概率為：二N，8(5)班被選中的概率為：A一=±,

15：￡4

8(6)班被選中的概率為：—,8(7)班被選中的概率為：三=二

16168

8(8)班被選中的概率為：所以這種方法不公平.

16

綜合訓(xùn)練

1.(2021?建昌縣教師進(jìn)修學(xué)校九年級)小紅根據(jù)去年4-10月本班同學(xué)去孔子學(xué)堂聽中國傳統(tǒng)文化講座的

人數(shù),()

A.46,42,27

【答案】C

【分析】

先利用折線統(tǒng)計(jì)圖得到7個(gè)數(shù)據(jù)，將這7個(gè)數(shù)按大小順序排列，找到最中間的數(shù)即為中位數(shù)，根據(jù)眾數(shù)的定

義求得眾數(shù).

【詳解】

解：這組數(shù)據(jù)從大到小為：27,32,32,32,42,42,46,

故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)32.

32出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為32人.

故選：C.

2.（2021?福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級期中）某班有8名同學(xué)報(bào)名參加書法比賽，其中5名女生、3名男生

,現(xiàn)從中任意挑選4人參加比賽，則下列事件中為必然事件的是（）

A.挑選的4人都是男生B.挑選的4人中至少有1名男生

C.挑選的4人都是女生D.挑選的4人中至少有1名女生

【答案】D

【分析】

根據(jù)必然事件的定義：在一定條件下，一定會發(fā)生的時(shí)間，由此判斷即可.

【詳解】

解：A挑選的4人都是男生這是不可能發(fā)生的，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、挑選的4人中可以全部是女生，沒有男生，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、挑選的4人都是女生這是隨機(jī)的，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、挑選的4人中，男生最多只能有3人，則挑選的4人中至少有1名女生，故此選項(xiàng)符合題意；

故選D.

3.（2021?浙江衢州市?九年級期中）在一個(gè)裝有黑色圍棋的盒子中摸出一顆棋子，摸到一顆白棋是（）

A.必然事件B.不確定事件C.不可能事件D.無法判斷

【答案】C

【分析】

根據(jù)必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不

確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：在一個(gè)裝有黑色圍棋的盒子中摸出一顆棋子，摸到一顆白棋是不可能的，

因而這是一個(gè)不可能事件.

故選C.

4.（2021?山東九年級期末）一個(gè)不透明的口袋中裝有10個(gè)黑球和若干個(gè)白球，小球除顏色外其余均相同

,從中隨機(jī)摸出一球記下顏色，再放回袋中，不斷重復(fù)上述過程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球

,由此估計(jì)口袋中白球的個(gè)數(shù)約為（）

A.10個(gè)B.20個(gè)C.30個(gè)D.40個(gè)

【答案】B

【分析】

在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，設(shè)未

知數(shù)列出方程求解.

【詳解】

解：設(shè)白球有x個(gè)，

解得：x=20,

經(jīng)檢驗(yàn)x=20是分式方程的解，

即白球有20個(gè)，

故選：B.

5.（2021?連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級）我校開展了“好書伴我成長”讀書活動(dòng)，為了解5月份九年級學(xué)生

的讀書情況，隨機(jī)調(diào)查了九年級50名學(xué)生讀書的冊數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示，下列說法正確的是（）

冊數(shù)01234

人數(shù)41216171

A.眾數(shù)是17B.中位數(shù)是2C.平均數(shù)是2D.方差是2

【答案】B

【分析】

在這組樣本數(shù)據(jù)中，3出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以求出了眾數(shù)；將這組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中

處于中間的兩個(gè)數(shù)都是2,從而求出中位數(shù)是2；先根據(jù)表格提示的數(shù)據(jù)得出50名學(xué)生讀書的冊數(shù)，然后除

以50即可求出平均數(shù)；根據(jù)方差公式即可得出答案.

【詳解】

???這組樣本數(shù)據(jù)中，3出現(xiàn)了17次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3；

將這組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中處于中間的兩個(gè)數(shù)都是2,

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2；

觀察表格，可知這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為:

(0X4+1X12+2X16+3X17+4xl)-50=—；

這組數(shù)據(jù)的方差為：

點(diǎn)［4x(04.98)2+12x(1-1.98)2+16x(2-1.98)2+17x(3-1.98)2+(4-1.98)1#2,

故選：B.

6.（2021?全國九年級課時(shí)練習(xí)）某校欲招聘一名教師，對甲、乙、丙、丁四位候選人進(jìn)行了面試和筆試

,他們的成績?nèi)缦卤恚?/p>

候選人甲乙丙T

面試86929083

測試成績（百分制）

筆試90838392

根據(jù)面試成績和筆試成績分別賦予6和4的權(quán)后的平均成績進(jìn)行錄用，學(xué)校將錄用（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【分析】

首先根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的含義和求法，分別求出三人的平均成績各是多少；然后比較大小，判斷出誰的平均

成績最高，即可判斷出誰將被學(xué)校錄取.

【詳解】

me+3#/*90x4+86x6_,

甲的平均成績=6+4=8o7.6（分），

、.83x4+92x6.

乙的平均成績=—————=8oo8.4（分），

6+4

壬83x4+90x6°C、

丙的平均成績=6+4=872（分），

十小十92x4+83x6”「

T的平均成績=———-——=86.6（分）

6+4

?■?88.4>87,6>87.2>86.6,

???乙的平均成績最高,

???學(xué)校將錄用乙.

故選：B.

7.（2021?河南鄭州市?鄭州外國語中學(xué)）小晨和小紅今年初中畢業(yè)，假如考入同一所高中，該所高中招10

個(gè)班，如果隨機(jī)分班，那么小晨和小紅分到同一個(gè)班級的概率是.

【答案

【分析】

通過列表展示所有100種等可能的結(jié)果，找出小晨和小紅分到同一個(gè)班級的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求

解.

【詳解】

解：列表為：

◎

際42345678910

1?

2?

3*

4?

5?

6?

7?

8?

9?

10?

共有100種等可能的結(jié)果，其中小晨和小紅分到同一個(gè)班級的結(jié)果數(shù)為10,

所以小晨和小紅分到同一個(gè)班級的概率=轉(zhuǎn)=A.

故答案為布.

8.（2021?沙坪壩?重慶一中）重慶一中即將舉行90周年校慶文藝匯演，初三（二）班有兩名男生一名女生

報(bào)名參加，初三（五）班有一名男生兩名女生報(bào)名參加.若分別從這兩個(gè)班的報(bào)名同學(xué)中隨機(jī)地各選一名

同學(xué)，則選中的兩名同學(xué)恰好一男一女的概率是.

【答案】

【分析】

列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】

解：列表如下，

男男女

男（男，男）（男，男）（女,男）

女（男，女）（男，女）（女，女）

女（男，女）（男，女）（女，女）

由表可知，共有9種等可能結(jié)果，其中選中的兩名同學(xué)恰好一男一女的有5種結(jié)果，

所以選中的兩名同學(xué)恰好一男一女的概率為3，

故答案為：I".

9.（2021?建昌縣教師進(jìn)修學(xué)校九年級）“校園安全”受到全社會的廣泛關(guān)注，某中學(xué)對部分學(xué)生就安全知

識的了解程度，采用隨機(jī)抽樣的方式進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了下面兩幅不完整的

統(tǒng)計(jì)圖.

請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中所提供的信息解答下列問題：

（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有—人.

（2）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中Z”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)；

（3）若從對校園安全知識達(dá)到了“了解”程度的2個(gè)男生和3個(gè)女生中隨機(jī)抽取2人參加校園安全知識競賽,

請用樹狀圖或列表法求出恰好抽至打個(gè)男生和1個(gè)女生的概率.

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【答案】（1）60；（2）見解析，60；（3）樹狀圖見解析，-

【分析】

（1）根據(jù)樣本容量=頻數(shù)十頻率即可求解；

（2）先根據(jù)頻率=頻數(shù)+樣本容量求出頻率，再根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角=360。*頻率即可求解;

（3）根據(jù)概率的定義和畫樹狀圖法即可求解.

【詳解】

⑴解:30+50%=60,

故答案為：60.

（2）學(xué)生共有：30+50%=60（人），

的人數(shù)為