相似三角形種A字型（2種類型）（解析版）

專項09相似三角形種A字型（2種類型）

'修【解題思路】

有一個公共角（圖①、圖②）或角有公共部分（圖③，NBAC及NDAE有公共部

分NDAF）,此時需要找另一對角相等，另外若題中未明確相似三角形對應頂點,

則需要分類討論，如圖③中可找條件ND=NC或ND=NB.

---------'CBL---------'C

圖①圖②圖③

（平行）（不平行）（旋轉(zhuǎn)型:由A字

型旋轉(zhuǎn)得到）

w【善例合新】

【類型1：平行類A字型】

【典例1］如圖，在△NBC中，DE//BC,DE=2,BC=5,貝的值是（）

DA~\E

【答案】B

【解答】VDE//BC,

:"SHADESS叢ABC，

?:DE=2,BC=5,

:?S/\ADE：SMBC的值為W-，

故選:B.

【變式1-1］如圖，在△NBC中，點￡、/分別在/8、AC±,EF//BC,處=2,四邊形

BE3

BCEE的面積為21,則△/2C的面積是（）

3

【答案】B

【解答】-：EF//BC,

：.AAEFsAABC,

S

.AAEF（AE）2,

^AABC福

..AE=2

,BE.

?.?-A-E_2,

AB5

S

?AAEF_（AE）2=（Z）24

^AABC福525

"""四邊形BCFE的面積為21,SA/BC=SZ\4EF+S四邊形BCFE，

，SAXBC=4+21=25，

故選：B.

【變式1-2］如圖，在△N8C中，點。，￡分別是NC的中點，若△/〃￡的面積是

4c加2,則四邊形8OEC的面積為（）

【答案】C

【解答】解：：點。，E分別是/C的中點,

；.￡>￡是△/BC的中位線,

：.DE^—BC,DE//BC,

2

：.ZADE=ZB,ZAED=ZC,

:.AADEsAABC,

.SAADE_(DE)2=(工)2=工，

,△ABCBC24

,?/UDE的面積是4cm2,

:.AABC的面積是16cm2,

/.四邊形BDEC的面積=ZU8C的面積-AADE的面積

=16-4

=12(cm2),

故選：C.

【變式1-3］如圖，已知每個小方格的邊長均為1,則△48。與△CDE的面積比為()

________A_____________

一/田一r

__/_3二2_

—乙二二一'乙—

B[口⑼

A.2：1B.3：2C.8：1D.4：1

【答案】D

【解答】解：如圖：

_______4____________

-七丁

工標二

B立DV

由題意得：

ZAMB=ZEND=90°,AM=4,BM=2,EN=2,DN=3

.AM_Bj

ENDN

AAB=BM=2)ZABM=ZEDN,

DEDN

：.AB//ED,

:?/ABC=/CED,/BAC=/CDE,

:.AABCsADEC,

SAABC=（膽）2=4,

^ADECDE

.?.△4BC與△CDE的面積比為4：1,

故選：D.

【典例2】如圖，△/8C是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm,高AD=80mm,要把它

加工成矩形零件，使一邊在8c上，其余兩個頂點分別在邊/8、/C上，若這個矩形的

長PN是寬尸0的2倍，求長、寬各是多少？

【解答】解：:四邊形PNM0為矩形,

J.MN//PQ,PN//BC,

：.AAPNSAABC,

設邊寬PQ=xmm,則長PN=2xmm,

??,四邊形MA①為矩形，

：.PN//BC,

\'AD.LBC,

：.AD.LPN,

DH—PQ=xmm,

\"AD=SOmm,

：.AH=(80-x)mm,

■:PNUBC,

：.△APNSAABC,

?PNAH

**BC"AD?

,:BC=120mm,

.2x_8Q-x

??而二80'

解得x=&2_,2x=%.

77

即長為堂2mm，寬為獨小加.

77

【變式2-1］如圖，有一塊三角形余料4BC,BC^120mm,高線/。=90a加，要把它加工成

一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，點尸、M分別在N8,AC±,若滿足加:尸0=

C.50mmD.120mm

【答案】A

【解答】解：如圖，設AD交PN于點、K.

"：PM：P0=2：1,

.?.可以假設PQ=kmm.

;四邊形尸QW是矩形，

：.PM//BC,

：./\APM^/\ABC,

'：AD±BC,BC//PM,

：.AD±PN,

.PM=AK

*'BCAD'

?2k_90-k

,*12090

解得人=36,

.,.PQ-36mm.

故選：A.

【變式2-2］如圖，在△48C,8c=30,高4。=20,正方形EFG"一邊在3C上，點E,F

分別在AC±,AD交EF于點、N,則NN的長為（）

【答案】A

【解答】解：設正方形EFGH的邊長EF=EH=x,

,/四邊形EFGH是正方形，

AZHEF=ZEHG=90°,EF//BC,

^\AEF^/\ABC,

,：AD是△ABC的高，

:.NHDN=90°,

.?.四邊形以"W是矩形，

:.DN=EH=x,

；AAEFsAABC,

???也具（相似三角形對應邊上的高的比等于相似比），

ADBC

V5C=30,0=20,

：.AN=2Q-x,

?20-xx

??----二,

2030

解得：x=12,

?\AN=20-x=20-12=8.

故選：A.

【類型2：不平行A字型】

【典例3］已知如圖，D,E分別是△N2C的邊/C上的點，/AED=/B,AD=3,AB

=8,4E=4.求/C的長度.

A

D/

/

B乙--------

【解答】解：,：/AED=NB,ZA=ZAf

：.△ADEs”CB,

??A?—D_A二E丁

ACAB

"."AD=3,AB=8,AE=4,

?.?3-=4,，

AC8

：.AC=6.

【變式3-1】已知：如圖，在△48C中，/ADE=/C,則下列等式成立的是（）

ABACBCABBCBDBCAB

【答案】B

【解答】解：?.,在△NBC中，ZADE=ZC,ZA=ZA,

：.△4DEs"CB,

.DEAE

??—1?

BCAB

故選：B.

【變式3-2】如圖，0、E分別為△45。的邊45、ZC上的點，若N1=N5,坦=工，4ADE

AC2

的面積等于2,則△45。的面積為（）

A

B

A.4B.8C.10D.12

【答案】B

【解答】解：?.,N1=N2,

^ADE^AACB,

..AD=1

.而~2

.SAADE_1

??------------,

SAACB4

「△/OE的面積等于2,

...△/C8的面積等于8.

故選：B.

【變式3-3］如圖，在△48C中，ZC=90°,AC=4,AB=5,點。在NC上且NO=3,

于點E,求/￡的長.

【解答】解：于點E,ZC=90°,

AZAED=ZC=90a,

,：ZA^ZA,

.?.△ADESAABC,

?.A?DA二E,

ABAC

'：AB=5,AD=3>,AC=4,

.3AE

??-=，

54

."￡=絲.

5

親【限蹤制稼】

1.如圖，在△48C中，DE//BC,坦至，記△，￡)￡的面積為si，四邊形D8CE的面積為

AB7

S2，則二L的值是()

s2

【答案】D

【解答】解：-：DE//BC,

：.ZADE=ZB,ZAED=ZC,

:.△ADEs^ABC,

S

AADE(_5)2.25

,△ABC749

.Si_25

??----，

S224

故選：D.

2.如圖，在平面直角坐標系中，將△048以原點為位似中心放大后得到△0C。，若/(1,

0),C(3,0),則△0/3與△OCD的面積比為()

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：9

【答案】D

【解答】解：'：A(1,0)，C(3,0),

OA—l,OC—3,

:△OAB以原點O為位似中心放大后得到△OCD,

.,.△048與△OCD的相似比是CM：OC=1：3,

...△CM8與△。。的面積的比是1：9.

故選：D.

3.如圖，在△N2C中，點。，E分別在AC±,若坦且△/￡>￡的面積為

ABAC3

9,則四邊形BCED的面積為（）

【答案】C

【解答】解：?.?坦?小，=

ABAC3

:.△ADEsAABC,

S

AADE（AD:2=（工）2=工，

^AABC加39

,.?△4DE的面積為9,

的面積=81,

四邊形BCED的面積=/i/8。的面積-AADE的面積

=81-9

=72,

故選：C.

4.如圖，直線/i〃/2〃b，直線/C，。廠分別交小h，七于點4B,C和點。，E,F,連

結BG//AF,若典＞BG=6,則/尸的長為(

NR=2,)

EF3

1

GF3

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【解答】解：.

EF3

?AB=DE=2

,?而EF百，

.BC_3

??-,

AC5

'：BG//AF,

：.ZCGB=ZCFA,ZCBG=ZCAF,

：./\CBG^/\CAF,

.CB=BG

"AC而，

?.?-3_--6-,

5AF

：.AF=IO,

故選：C.

5.如圖，在△4BC中，DE//BC,EF//AB,下列等式成立的是（）

AD=ECAD=DE口AD=EF

DBFCDBAEDBBC,DBAB

【答案】A

【解答】解：A、,：DE〃BC,EF//AB,

：.ADtDB=AE：EC,AE：CE=BF：CF,

坦黑，所以/選項的等式成立；

DBFC

B、?：EF〃AB,

坦迪，所以2選項的等式不成立;

DBEC

C、?:DE〃BC,

：./\ADE^/\ABC,

坦理，所以C選項的等式不成立;

ABBC

D、*：DE//BC,

：.BD：AD=CE：AE,

,JEF//AB,

:.ACEFs/xcAB,

.EF=CE

"ABAC，

.?.毀WgE,所以O選項的等式不成立.

ADAB

故選：A.

6.如圖，點尸是△NBC的角平分線4G的中點，點、D、￡分別在N8、/C邊上，線段。E

過點況且//DE=NC,下列結論中，錯誤的是（）

GC2BC2AB2BD2

【答案】D

【解答】解：..【G平分N8/C,

NBAG=NCAG,

:點尸是/G的中點，

：.AF=FG=^-,

2

,:NADE=NC,ZDAE=ZBAC,

.?.△DAEsACAB,

：.ZAEB=ZB,

又：ZBAG=ZCAG,

：.△￡/尸S^B/G,

.AEAF=1

"AB=AG~2

?:/ADE=/C,ZBAG=ZCAG,

：./\ADF^/\ACG,

.ADAFDF1

"AC"AG'GC"2

故選：D.

7.已知：如圖，在△48C中，AC=6,BC=8,/8=10,點。位于邊上，過點。作邊

3c的平行線交邊NC于點E,過點。作邊/C的平行線交邊2C于點/，設四邊

形CED廠的面積為丹則y關于無的函數(shù)關系式是（不必寫定義域）

【解答】解：-：DE//BC,DF//AC,

.?.四邊形DECF是平行四邊形,

在△N8C中，AC=6,BC=8,AB=\Q,

,：AC2+BC2=62+82=100,^B2=102=100,

：.AC1+BC1=AB1,

△NBC是直角三角形，

AZC=90°,

四邊形DEC尸是矩形,

'：DE//BC,

：.ZAED=ZC=90°,

：./\AED^/\ABC,

.AE=DE

"ABBC，

.x_DE

??--------，

68

'.DE——x,

3

矩形CEDF的面積=OE?CE,

.,.y=—x(6-x)=--x2+Sx,

■33

故答案為：＞=-生^+8x.

3

8.如圖，E為口/8C。的邊CD延長線上的一點，連結8E交/C于點。，交/。點足

(1)求證：AAOBSACOE；

(2)求證：B02=E0?F0.

【解答】證明：（1）???四邊形/3C。是平行四邊形,

C.AB//CD,

：.△NOBS^COE；

(2)V/\AOB^/^COE,

?.O?-E=OC,，

OBOA

,:AD〃BC,

：.AAOF^ACOB.

?.O?-B=OC1，

OFOA

?.O?-B=-O-E-,

OFOB

即OB~=OF'OE.

9.如圖，在△4BC中，點。，E,尸分別在BC,NC上，DE//AC,EF//AB.

(1)求證：ABDEsAEFC.

(2)若坦=當，AMC的面積為9,求△48C的面積.

FC3

ZBED=ZECF,

"：EF//AB,

：.NB=NFEC,

：.△BDEs^EFC；

(2)'：EF//AB,

:.△ABCs^FEC,

.?.也些=三)2,

S/kFECFC

.-.-A-F-=—4，

FC3

?-?---A?C二7,

FC3

SAABC(AC)2—49

^AFECFC9

又：的面積為9,

...△A8C的面積為49.

10.已知：如圖，點。在三角形/8C的邊上，DE交AC于點E,N4DE=NB,點尸

在4D上，S.AD2=AF'AB.

求證:⑴票噂

(2)AAEF^AACD.

【解答】證明：(1):NADE=NB,

C.DE//BC,

.ADAE

??-=---;

ABAC

(2),:AD2=AF-AB,

.A