高中數(shù)學(xué)《3.1.1函數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)3

《3.1.1函數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)一知識(shí)結(jié)構(gòu)圖內(nèi)容考點(diǎn)關(guān)注點(diǎn)函數(shù)概念及其表示函數(shù)的概念函數(shù)的定義及三要素函數(shù)的定義域使解析式有意義函數(shù)的解析式定義域分段函數(shù)自變量的取值范圍二.學(xué)法指導(dǎo)1．判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個(gè)條件(1)A，B必須是非空實(shí)數(shù)集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)．對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的是函數(shù)關(guān)系，“一對(duì)多”的不是函數(shù)關(guān)系．2．判斷函數(shù)相等的方法(1)先看定義域，若定義域不同，則不相等；(2)若定義域相同，再化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，看對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同．3．函數(shù)求值的方法（1）已知fx的表達(dá)式時(shí)，只需用a替換表達(dá)式中的x即得fa的值.（2）求fga的值應(yīng)遵循由里往外的原則.4.對(duì)于用關(guān)系式表示的函數(shù)．如果沒有給出定義域，那么就認(rèn)為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量取值的集合．這也是求某函數(shù)定義域的依據(jù)．5.函數(shù)符號(hào)y＝f(x)是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，它是抽象符號(hào)之一．首先明確符號(hào)“y＝f(x)”為y是x的函數(shù)，它僅僅是函數(shù)符號(hào)，不是表示“y等于f與x的乘積”.6.作函數(shù)圖象必須要讓作出的圖象反映出圖象的伸展方向，與x軸、y軸有無交點(diǎn)，圖象有無對(duì)稱性，并標(biāo)明特殊點(diǎn)．7.求函數(shù)解析式的主要方法有：代入法、待定系數(shù)法、換元法、解方程組法(消元法)，注意有的函數(shù)要注明定義域.8.分段函數(shù)求函數(shù)值的方法：(1)確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間．(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．9．已知函數(shù)值求字母取值的步驟：(1)先對(duì)字母的取值范圍分類討論．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通過解方程求出字母的值．(4)檢驗(yàn)所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi)三.知識(shí)點(diǎn)貫通知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的概念1.定義一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。2.三要素：對(duì)應(yīng)關(guān)系，定義域，值域。例1.下列各組函數(shù)中是相等函數(shù)的是()A．y＝x＋1與y＝eq\f(x2－1,x－1)B．y＝x2＋1與s＝t2＋1C．y＝2x與y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2與y＝x2【答案】B【解析】A，C選項(xiàng)中兩函數(shù)的定義域不同，D選項(xiàng)中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故A，C，D錯(cuò)誤，選B.知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的定義域1.求函數(shù)定義域的常用方法：1若fx是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零.2若fx是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零.3若fx是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使冪運(yùn)算有意義的實(shí)數(shù)集合.4若fx是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個(gè)部分定義域的交集.5若fx是實(shí)際問題的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際問題，使實(shí)際問題有意義.例題2：求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝2＋eq\f(3,x－2)；(2)f(x)＝(x－1)0＋eq\r(\f(2,x＋1))；(3)f(x)＝eq\r(3－x)·eq\r(x－1)；(4)f(x)＝eq\f(x＋12,x＋1)－eq\r(1－x).【答案】(1){x|x≠2}(2){x|x>－1且x≠1}(3){x|1≤x≤3}(4){x|x≤1且x≠－1}【解析】(1)當(dāng)且僅當(dāng)x－2≠0，即x≠2時(shí)，函數(shù)f(x)＝2＋eq\f(3,x－2)有意義，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠2}．(2)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,\f(2,x＋1)≥0，,x＋1≠0，))解得x>－1且x≠1，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>－1且x≠1}．(3)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x－1≥0，))解得1≤x≤3，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|1≤x≤3}．(4)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,1－x≥0，))解得x≤1且x≠－1，即函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≤1且x≠－1}．知識(shí)點(diǎn)三求函數(shù)的解析式1.求函數(shù)解析式的四種常用方法1待定系數(shù)法：若已知fx的解析式的類型，設(shè)出它的一般形式，根據(jù)特殊值確定相關(guān)的系數(shù)即可.2換元法：設(shè)t＝gx，解出x，代入fgx，求ft的解析式即可.3配湊法：對(duì)fgx的解析式進(jìn)行配湊變形，使它能用gx表示出來，再用x代替兩邊所有的“gx”即可.4方程組法或消元法：當(dāng)同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系中的兩個(gè)之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時(shí)，可構(gòu)造方程組求解.例題3.(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x－2eq\r(x)，則f(x)＝________；(2)已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，若f(f(x))＝4x＋8，則f(x)＝________；(3)已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，則f(x)＝________.【答案】(1)f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．(2)f(x)＝2x＋eq\f(8,3)或f(x)＝－2x－8.(3)f(x)＝eq\f(2,3)x－1【解析】(1)x2－4x＋3(x≥1)(2)2x＋eq\f(8,3)或－2x－8(3)eq\f(2,3)x－1[(1)法一(換元法)：令t＝eq\r(x)＋1，則t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．法二(配湊法)：f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＋1－4eq\r(x)－4＋3＝(eq\r(x)＋1)2－4(eq\r(x)＋1)＋3，因?yàn)閑q\r(x)＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．(2)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－8.))所以f(x)＝2x＋eq\f(8,3)或f(x)＝－2x－8.(3)由題意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，聯(lián)立可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx－2f－x＝1＋2x，,f－x－2fx＝1－2x，))消去f(－x)可得f(x)＝eq\f(2,3)x－1.]知識(shí)點(diǎn)四分段函數(shù)的求值問題1.如果函數(shù)y＝f(x)，x∈A，根據(jù)自變量x在A中不同的取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．例題4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2<x<2，,2x－1，x≥2.))(1)求f(－5)，f(－eq\r(3))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))的值；(2)若f(a)＝3，求實(shí)數(shù)a的值．【解析】(1)由－5∈(－∞，－2]，－eq\r(3)∈(－2,2)，－eq\f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－eq\r(3))＝(－eq\r(3))2＋2×(－eq\r(3))＝3－2eq\r(3).∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－eq\f(5,2)＋1＝－eq\f(3,2)，而－2<－eq\f(3,2)<2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(9,4)－3＝－eq\f(3,4).(2)當(dāng)a≤－2時(shí)，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合題意，舍去．當(dāng)－2<a<2時(shí)，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合題意．當(dāng)a≥2時(shí)，2a－1＝3，即a＝2符合題意．綜上可得，當(dāng)f(a)＝3時(shí)，a＝1或a＝2.五易錯(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)一函數(shù)的定義域例題5.將函數(shù)y＝eq\f(3,1－\r(1－x))的定義域用區(qū)間表示為________．【答案】(－∞，0)∪(0,1]【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0，))解得x≤1且x≠0，函數(shù)的定義域用區(qū)間表示為(－∞，0)∪(0,1]．．誤區(qū)警示

求函數(shù)的定義域應(yīng)使得解析式有意義，式子有意義的幾條準(zhǔn)則應(yīng)考慮全面。易錯(cuò)二集合中元素的互異性例題6.已知f(eq\r(x))＝x－4eq\r(x)，則f(x)＝________；【答案】f(x)＝x2－4x(x≥0)．【解析】令t＝eq\r(x)，則t≥0，x＝t2，代入原式有f(t)＝t2－4t，f(x)＝x2－4x(x≥0)．錯(cuò)誤區(qū)警