2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點突破和專題檢測專題11導(dǎo)數(shù)的概念運算及幾何意義

專題11導(dǎo)數(shù)的概念、運算及幾何意義9題型分類一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)1.概念函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或．注：①增量可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與無限接近；③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．2.幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點處的切線的斜率．3.物理意義函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導(dǎo)數(shù)是物體在時刻的瞬時加速度，即．二、導(dǎo)數(shù)的運算1.求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義（1）在點的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．（2）過點的切線方程設(shè)切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．（一）導(dǎo)數(shù)的定義對所給函數(shù)式經(jīng)過添項.拆項等恒等變形與導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)相同，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接寫出．題型1：導(dǎo)數(shù)的定義11．（2024高二下·北京·期中）已知函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圖象以及導(dǎo)數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】由圖象可知，即.故選：D12．（2024高三上·云南楚雄·期末）已知某容器的高度為20cm，現(xiàn)在向容器內(nèi)注入液體，且容器內(nèi)液體的高度h（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時，液體上升高度的瞬時變化率為3cm/s，則當(dāng)時，液體上升高度的瞬時變化率為（

）A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義直接求得.【詳解】由，求導(dǎo)得：.當(dāng)時，，解得（舍去）.故當(dāng)時，液體上升高度的瞬時變化率為.故選：C13．（2024高二下·天津·期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則（）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，將增量化成即可得到.【詳解】因為所以故選：B14．（2024高二下·重慶·階段練習(xí)）若函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義進行求解即可．【詳解】由導(dǎo)數(shù)定義可得，所以．故選：A．15．（2024高三·全國·課后作業(yè)）若在處可導(dǎo)，則可以等于（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義對各選項逐一分析計算并判斷得出結(jié)果.【詳解】由導(dǎo)數(shù)定義，對于A，，A滿足；對于B，，，B不滿足；對于C，，，C不滿足；對于D，，，D不滿足.故選：A.（二）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對所給函數(shù)求導(dǎo)，其方法是利用和.差.積.商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求導(dǎo)問題．題型2：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)21．（2024·湖北武漢·三模）已知函數(shù)，則.【答案】2【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)，求出函數(shù)，再求函數(shù)值作答.【詳解】由函數(shù)求導(dǎo)得：，當(dāng)時，，解得，因此，，所以.故答案為：222．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則．【答案】【分析】對等式兩邊求導(dǎo)得，將代入可得關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因為，則，故，故．故答案為：.23．（2024高三·全國·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)；(3)(4)；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求導(dǎo)法則，逐一對各個求導(dǎo)即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以.（2）因為，所以.（3）因為，所以（4）因為，所以24．（2024高三·全國·課后作業(yè)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則求解即可.【詳解】（1）.（2），所以.（3）.（4）.（5）.（6），故.（三）導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線在點處的切線的斜率．這里要注意曲線在某點處的切線與曲線經(jīng)過某點的切線的區(qū)別．（1）已知在點處的切線方程為．（2）若求曲線過點的切線方程，應(yīng)先設(shè)切點坐標(biāo)為，由過點，求得的值，從而求得切線方程．另外，要注意切點既在曲線上又在切線上．題型3：在某點處的切線方程31．（2024·廣東廣州·三模）曲線在點處的切線方程為．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，利用點斜式求切線方程.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，所以函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，所以曲線在點處的切線斜率為，所以曲線在點處的切線方程為，即，故答案為：.32．（2024·全國）函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算出和的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.【詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題33．（2024高三上·陜西·階段練習(xí)）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解出直線的斜率，然后求出直線方程即可；【詳解】因為，所以所求切線的斜率，故該切線的方程為,即故選：A.34．（2024·全國）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由切點設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.【詳解】設(shè)曲線在點處的切線方程為，因為，所以，所以所以所以曲線在點處的切線方程為.故選：C35．（2024·全國）曲線y=2sinx+cosx在點(π，–1)處的切線方程為A． B．C． D．【答案】C【分析】先判定點是否為切點，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】當(dāng)時，，即點在曲線上．則在點處的切線方程為，即．故選C．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取導(dǎo)數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題．學(xué)生易在非切點處直接求導(dǎo)數(shù)而出錯，首先證明已知點是否為切點，若是切點，可以直接利用導(dǎo)數(shù)求解；若不是切點，設(shè)出切點，再求導(dǎo)，然后列出切線方程．題型4：過某點的切線方程41．（2024·湖南·模擬預(yù)測）過點作曲線的切線，則切點的橫坐標(biāo)為，這條切線在x軸上的截距為．【答案】【分析】設(shè)出切點坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率為，再由兩點間斜率公式可得，解得，即可求得切線方程，進而得出結(jié)果.【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，因為，所以，即，解得，所以切線方程為，可知該切線在x軸上的截距為．故答案為：，42．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）曲線過坐標(biāo)原點的兩條切線方程為，.【答案】【分析】由對稱性，只需先求當(dāng)時，的切線方程.設(shè)切點，利用斜率相等建立方程求解即可.【詳解】當(dāng)時，，設(shè)切點為，則，即，解得，則切線斜率為，切線方程為.又因為為偶函數(shù)，所以當(dāng)時，切線方程為.故答案為：，.43．（山東新高考聯(lián)合質(zhì)量測評20232024學(xué)年高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）過點作曲線的兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點坐標(biāo)為，即可得到切線方程，依題意關(guān)于的方程有兩個不同的解、，利用韋達定理計算可得.【詳解】因為，所以，設(shè)切點坐標(biāo)為，所以，所以切線方程為，所以，即，依題意關(guān)于的方程有兩個不同的解、，即關(guān)于的方程有兩個不同的解、，所以.故選：D題型5：已知切線求參數(shù)問題51．（2024·重慶·三模）已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實數(shù)a＝（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，求解即可.【詳解】由且x不為0，得設(shè)切點為，則，即，所以，可得.故選：C52．（2024·全國）設(shè)曲線y=axln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】D試題分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即f′（x0）表示曲線f（x）在x=x0處的切線斜率，再代入計算．解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案選D．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．53．（2024·全國）曲線在點處的切線的斜率為，則．【答案】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可．【詳解】解：則所以故答案為3.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．54．（2024·全國）已知曲線在點處的切線方程為，則A． B． C． D．【答案】D【解析】通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達式，求得，將點的坐標(biāo)代入直線方程，求得．【詳解】詳解：，將代入得，故選D．【點睛】本題關(guān)鍵得到含有a，b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關(guān)系．題型6：切線平行、垂直、重合問題61．（2024·安徽六安·三模）若函數(shù)與的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線平行，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)函數(shù)圖象上切點為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)求出切點坐標(biāo)與切線方程，設(shè)函數(shù)的圖象上的切點為，根據(jù)，得到，再由，即可求出，從而得解；【詳解】解：設(shè)函數(shù)圖象上切點為，因為，所以，得，所以，所以切線方程為，即，設(shè)函數(shù)的圖象上的切點為，因為，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以．故選：A62．（2024·湖南長沙·一模）已知直線與曲線相交于，且曲線在處的切線平行，則實數(shù)的值為（

）A．4 B．4或3 C．3或1 D．3【答案】B【分析】求出導(dǎo)函數(shù).設(shè)，由曲線在處的切線平行，得到.易得都是方程的解，因此可代入后兩式比較從而得出只含有的方程，可解出值，代入檢驗是我們都容易忘記的，是易錯點，解題時要注意．【詳解】設(shè)，由得，由題意，因為，則有．把代入得，由題意都是此方程的解，即①，，化簡為②，把①代入②并化簡得，即，，當(dāng)時，①②兩式相同，說明，舍去．所以．故選：B．63．（2024高三上·浙江·期中）若函數(shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線垂直的性質(zhì)，以及余弦函數(shù)進行求解.【詳解】因為，所以，因為函數(shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，不妨設(shè)函數(shù)在和的切線互相垂直，則，即①，因為a一定存在，即方程①一定有解，所以，即，解得或，又，所以或，，所以方程①變?yōu)?，所以，故A，B，D錯誤.故選：C.64．（2024高三·江西撫州·開學(xué)考試）已知曲線在點處的切線互相垂直，且切線與軸分別交于點，記點的縱坐標(biāo)與點的縱坐標(biāo)之差為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線方程，繼而求得的坐標(biāo)，可得的表達式，由此設(shè)，可利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】由題意知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為切線互相垂直，所以，所以，所以，直線的方程為，令，得，故，直線的方程為，令，得，故，所以，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，所以，即，故選：A.65．（2024高三上·河北邯鄲·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處的切線與直線平行，則（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】由條件，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩平行直線的斜率關(guān)系列方程求.【詳解】函數(shù)的定義域為，由已知，故，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，所以，因為函數(shù)在處的切線與直線平行，所以，所以，經(jīng)驗證，此時滿足題意.故選：D.66．（2024高二下·湖南·期中）已知曲線在點P處的切線與直線垂直，則點P的橫坐標(biāo)為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】設(shè)P點坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程，求得答案.【詳解】設(shè)，點，則，由在點P處的切線與直線垂直可得，即，又，∴,故選：B題型7：公切線問題71．（2024·山東煙臺·三模）若曲線與曲線有兩條公切線，則的值為．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別寫出兩曲線的切線方程，讓兩切線方程的系數(shù)相等，得到方程組，消去一個變量后，問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可．【詳解】令，，則，，設(shè)，則曲線在處切線為，設(shè)，則曲線在處切線為，由題意，消去得，由題意，方程有兩個不同的實數(shù)根，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取極大值；當(dāng)時，取極小值，又當(dāng)時，根據(jù)以上信息作出的大致圖象，

由圖可知當(dāng)，即時，直線與的圖象有兩個交點，從而方程有兩個不同的實數(shù)根，所以，曲線與曲線有兩條公切線時，的值為．故答案為：．72．（2024·全國）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．【答案】【詳解】試題分析：對函數(shù)求導(dǎo)得，對求導(dǎo)得，設(shè)直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，由點在切線上得，由點在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.【考點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義【名師點睛】函數(shù)f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）的幾何意義是曲線y＝f（x）在點P（x0，y0）處的切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為y?y0＝f′（x0）（x?x0）．注意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的不同．73．（2024高二下·浙江杭州·期中）若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為.【答案】1【分析】構(gòu)造函數(shù)，設(shè)切點為，設(shè)，設(shè)切點為，結(jié)合條件得到是函數(shù)和的圖象與曲線交點的橫坐標(biāo)，利用對稱性得出關(guān)于直線對稱，從而得出，，然后計算出．【詳解】設(shè)，則，設(shè)切點為，則，則切線方程為，即，直線過定點，所以，所以，設(shè)，則，設(shè)切點為，則，則切線方程為，即，直線過定點，所以，所以，則是函數(shù)和的圖象與曲線交點的橫坐標(biāo)，易知與的圖象關(guān)于直線對稱，而曲線也關(guān)于直線對稱，因此點關(guān)于直線對稱，從而，，所以．故答案為：1.題型8：切線的條數(shù)問題81．（2024高二下·福建廈門·期中）若曲線過點的切線有且僅有兩條，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】或【分析】設(shè)切點，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將點的坐標(biāo)代入切線方程化簡，得到關(guān)于的二次方程，則此方程有兩個不相等的實根，從而由可求得答案.【詳解】，設(shè)切點，則切線的斜率為，故切線方程為，取，代入，得，∵，∴有兩個不等實根，故，解之，得或，故答案為：或82．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）若曲線有兩條過的切線，則的范圍是．【答案】【分析】由題可將曲線有兩條過的切線轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線有兩個交點，然后利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，畫出大致圖象，即可得答案．【詳解】設(shè)切線切點為,，又，所以切線斜率為因為，所以切線方程為：．又切線過，則，即則由題可知函數(shù)圖象與直線有兩個交點，由得，由得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，又，，，．據(jù)此可得大致圖象如下．

則由圖可得，當(dāng)時，曲線有兩條過的切線．故答案為：.83．（2024高三上·福建漳州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是．【答案】【分析】設(shè)出切線的方程，根據(jù)切點和斜率列方程組，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【詳解】設(shè)過點的直線為，，設(shè)切點為，則，得有三個解，令，，當(dāng)，得或，，得，所以在，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又，，有三個解，得，即.故答案為：【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程，首先要關(guān)注的是給定的點是在曲線上還是在曲線外，兩種情況的求法有區(qū)別，也有共同點，共同點是關(guān)注切點和斜率，這兩個是求解切線問題的突破口.求“解的個數(shù)”問題，可轉(zhuǎn)化為極值或值域問題來進行研究.84．（2024高三上·河北·階段練習(xí)）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函數(shù)的圖象，由圖象觀察得出結(jié)論．【詳解】作出函數(shù)的圖象，由圖象可知點在函數(shù)圖象上方時，過此點可以作曲線的兩條切線，所以，故選：B．題型9：最值問題91．（2024·江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是.【答案】4.【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為切點與直線之間的距離，然后利用導(dǎo)函數(shù)確定切點坐標(biāo)可得最小距離【詳解】當(dāng)直線平移到與曲線相切位置時，切點Q即為點P到直線的距離最小.由，得，，即切點，則切點Q到直線的距離為，故答案為．【點睛】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取導(dǎo)數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.92．（2024·山東聊城·三模）若直線與曲線相切，則的最大值為（）A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，然后利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性求最值即可.【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，因為，所以，故切線的斜率為：，，則.又由于切點在切線與曲線上，所以，所以.令，則，設(shè)，，令得：，所以當(dāng)時，，是增函數(shù)；當(dāng)時，，是減函數(shù).所以.所以的最大值為：1.故選：B.93．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知方程求出的關(guān)系，再根據(jù)不等式中“1”的整體代換即可得出答案.【詳解】對求導(dǎo)得，由得，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選：D．94．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】考慮到兩曲線關(guān)于直線對稱，求的最小值可轉(zhuǎn)化為求P到直線的最小距離，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線對應(yīng)的切點坐標(biāo)，從而得此距離【詳解】解：與互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對稱先求出曲線上的點到直線的最小距離．設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點，．，，解得．．得到切點，點P到直線的距離．最小值為．故選：B．95．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】考慮到兩曲線關(guān)于直線對稱，求的最小值可轉(zhuǎn)化為求P到直線的最小距離，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線方程，從而得最小距離.【詳解】解：與互為反函數(shù)，它們圖像關(guān)于直線對稱；故可先求點P到直線的最近距離d，又，當(dāng)曲線上切線的斜率時，得，，則切點到直線的距離為，所以的最小值為．故選：D．96．（2024·四川·一模）若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知過點作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時，點到直線距離的最小，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】解：過點作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時，點到直線距離的最小.設(shè)切點為，，所以，切線斜率為，由題知得或（舍），所以，，此時點到直線距離.故選：C一、單選題1．（2024·云南保山·二模）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得公切線方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合，得到，令，求得，令，求得和，得到函數(shù)的單調(diào)性和最小值，進而得到，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因為，設(shè)切點為，則，則公切線方程為，即，與聯(lián)立可得，所以，整理可得，又由，可得，解得，令，其中，可得，令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，即，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域為，所以且，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：A.【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．2．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知偶函數(shù)在點處的切線方程為，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及偶函數(shù)的性質(zhì)計算即可.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以，即；由題意可得：，所以.故選：A3．（2024高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知是曲線上的任一點，若曲線在點處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知對任意的恒成立，結(jié)合參變量分離法以及基本不等式可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，因為曲線在其上任意一點點處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，所以，對任意的恒成立，則，當(dāng)時，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，，解得.故選：B.4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為，由切點坐標(biāo)求出切線方程，代入坐標(biāo)，關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)解，變形后轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象有兩個交點，構(gòu)造新函數(shù)由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的圖象后可得.【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，由于，因此切線方程為，又切線過點，則，，設(shè)，函數(shù)定義域是，則直線與曲線有兩個不同的交點，，當(dāng)時，恒成立，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，結(jié)合圖像知，即.故選：D.5．（2024·湖南·二模）若經(jīng)過點可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】設(shè)出切點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線，由切線經(jīng)過可得出一個方程，根據(jù)題意切線只有一條，也就是轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程只有一個解的問題.【詳解】設(shè)切點．因為，所以，所以點處的切線方程為，又因為切線經(jīng)過點，所以，即.令，則與有且僅有1個交點，，當(dāng)時，恒成立，所以單調(diào)遞增，顯然時，，于是符合題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，遞減，當(dāng)時，，遞增，所以，則，即．綜上，或．故選：D6．（2024高三上·上海閔行·期末）若函數(shù)的圖像上存在兩個不同的點，使得在這兩點處的切線重合，則稱為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中不是“切線重合函數(shù)”的為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】“切線重合函數(shù)”的充分條件是，存在有，據(jù)此逐項分析驗證即可.【詳解】對于A，顯然是偶函數(shù)，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增；在時，，都取得極小值，由于是偶函數(shù)，在這兩點的切線是重合的，故A是“切線重合函數(shù)”；對于B，是正弦函數(shù)，顯然在頂點處切線是重合的，故B是“切線重合函數(shù)”；對于C，考察兩點處的切線方程，，兩點處的切線斜率都等于1，在A點處的切線方程為，化簡得：，在B點處的切線方程為，化簡得，顯然重合，C是“切線重合函數(shù)”；對于D，，令，則，是增函數(shù)，不存在時，，所以D不是“切線重合函數(shù)”；故選：D.7．（2024高二·江蘇·專題練習(xí)）已知A，B是函數(shù)，圖象上不同的兩點，若函數(shù)在點A、B處的切線重合，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出函數(shù)在點A、B處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系式，從而得出，令函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其范圍，可得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，的導(dǎo)數(shù)為；當(dāng)時，的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)，為函數(shù)圖象上的兩點，且，當(dāng)或時，，故，當(dāng)時，函數(shù)在處的切線方程為：；當(dāng)時，函數(shù)在處的切線方程為兩直線重合的充要條件是①，②，由①②得：，，令，則，令，則，由，得，即時有最大值，在上單調(diào)遞減，則.a的取值范圍是.故選：B.8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判斷出與關(guān)于直線對稱，然后說明與無交點，再求出曲線上的點到直線的最小距離，則的最小值為，即可得出答案．【詳解】解：與互為反函數(shù)，所以與的圖像關(guān)于直線對稱，設(shè)，則，令得，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以與無交點，則與也無交點，下面求出曲線上的點到直線的最小距離，設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點，，，，解得，，得到切點，到直線的距離，的最小值為，故選：D．9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知實數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A． B．8 C．4 D．16【答案】B【分析】利用絕對值的性質(zhì)及兩點間的距離公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點到直線的距離公式即可求解.【詳解】由得，，，即，，的幾何意義為曲線上的點到直線上的點連線的距離的平方，不妨設(shè)曲線，直線，設(shè)與直線平行且與曲線相切的直線方程為，顯然直線與直線的距離的平方即為所求，由，得，設(shè)切點為，，則，解得，直線與直線的距離為，的最小值為8．故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決此題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為求曲線上的點到直線上的點連線的距離的平方，進而再轉(zhuǎn)化為求曲線上的點到直線上點的距離的平方，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點到直線的距離公式即可.10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中，．若存在正數(shù)，使得成立，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】動點在函數(shù)的圖像上，在直線的圖像上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到曲線的最小距離，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線上斜率為2的切線方程，由點到直線的距離公式即可得到最小值．【詳解】解：函數(shù)可以看作是動點與動點之間距離的平方，動點在函數(shù)的圖像上，在直線的圖像上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到曲線的最小距離，由得，當(dāng)時，解得，即曲線上斜率為2的切線，切點為，曲線上點到直線的距離，則，根據(jù)題意，要使，則，此時恰好為垂足，由，解得．故選：A．11．（2024·寧夏銀川·一模）已知實數(shù)滿足，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將問題轉(zhuǎn)化為求解直線上的點與曲線上的點之間的距離的最小值的問題，利用導(dǎo)數(shù)可求得與平行的切線對應(yīng)的切點，求解該切點到直線的距離即可.【詳解】，又，表示點與曲線上的點之間的距離；點的軌跡為，表示直線上的點與曲線上的點之間的距離；令，則，令，即，解得：或（舍），又，的最小值即為點到直線的距離，的最小值為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解最小值的關(guān)鍵是將所求式子進行變形后，根據(jù)其幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為直線上的點與曲線上的點之間的距離的最小值的求解問題，從而利用求解切線的方式來求得最小值.12．（2024·全國）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知，點在直線上，可得，令，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線的圖象有兩個交點.故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認識的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.13．（2024·全國）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.14．（2024高二下·四川宜賓·期末）已知為函數(shù)圖象上一點，則曲線在點處切線斜率的最小值為（

）A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.【詳解】函數(shù)定義域為，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以曲線在點處切線斜率的最小值為.故選：C15．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的圖像上有一動點，則在此動點處切線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由導(dǎo)數(shù)求切線斜率不范圍，利用斜率和傾斜角的關(guān)系，求傾斜角的取值范圍.【詳解】設(shè)切線的傾斜角為，則，∵，∴切線的斜率，則.故選：B16．（2024·全國）曲線在點處的切線的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】B【分析】首先求出導(dǎo)函數(shù)，再求出導(dǎo)數(shù)值，即可得到切線的斜率，從而得到切線的傾斜角；【詳解】解：因為，所以，所以，所以曲線在點處的切線的斜率，所以切線的傾斜角為故選：B17．（2024高二下·陜西西安·期中）設(shè)函數(shù)是上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線在處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，為極值點，是上以5為周期，也是極值點，極值點處導(dǎo)數(shù)為零【詳解】解：是上可導(dǎo)偶函數(shù)，的圖象關(guān)于軸對稱，在處取得極值，即，又的周期為5，，即曲線在處的切線的斜率0，故選：．【點睛】本題考查函數(shù)的周期性、奇偶性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值點滿足的條件，屬于基礎(chǔ)題.18．（2024·山東）若函數(shù)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有性質(zhì)．下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是A． B． C． D．【答案】A【分析】若函數(shù)y＝f（x）的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點，使這點的導(dǎo)函數(shù)值乘積為﹣1，進而可得答案．【詳解】解：函數(shù)y＝f（x）的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點，使這點的導(dǎo)函數(shù)值乘積為﹣1，當(dāng)y＝sinx時，y′＝cosx，滿足條件；當(dāng)y＝lnx時，y′0恒成立，不滿足條件；當(dāng)y＝ex時，y′＝ex＞0恒成立，不滿足條件；當(dāng)y＝x3時，y′＝3x2＞0恒成立，不滿足條件；故選A．考點：導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì).19．（2024高二下·河南鄭州·期中）若曲線在處的切線與直線垂直，則實數(shù)（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可表示出切線的斜率，再得到直線的斜率，根據(jù)兩直線垂直斜率之積為得到方程，即可求出參數(shù)的值.【詳解】因為，所以，則，所以曲線在點處的切線的斜率為，又直線的斜率，由切線與直線垂直可知，即，解得．故選：B．20．（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測）定義：若直線l與函數(shù)，的圖象都相切，則稱直線l為函數(shù)和的公切線．若函數(shù)和有且僅有一條公切線，則實數(shù)a的值為（

）A．e B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)直線與的切點為，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可推得切線方程為，.兩條切線重合，即可得出有唯一實根.構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線與的切點為，因為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知該直線的斜率為，即該直線的方程為，即.設(shè)直線與的切點為，因為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知該直線的斜率為，即該直線的方程為，即.因為函數(shù)和有且只有一條公切線，所以有，即有唯一實根.令，則.解，可得.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.所以在處取得最大值.當(dāng)時，，，函數(shù)圖象如圖所示，

因為，有唯一實根，所以只有.故選：C21．（2024·全國）已知函數(shù)，若，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可知直線介于與軸之間，利用導(dǎo)數(shù)求出直線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由題意可作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像.由圖像可知：函數(shù)的圖像是過原點的直線，當(dāng)直線介于與軸之間符合題意，直線為曲線的切線，且此時函數(shù)在第二象限的部分的解析式為，求其導(dǎo)數(shù)可得，因為，故，故直線的斜率為，故只需直線的斜率.故選：D【點睛】本題考查了不等式恒成立求出參數(shù)取值范圍，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.二、多選題22．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個零點，任意選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線，設(shè)與軸交點的橫坐標(biāo)為，并稱為的1次近似值；過點作曲線的切線，設(shè)與軸交點的橫坐標(biāo)為，稱為的2次近似值.一般地，過點（）作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值.對于方程，記方程的根為，取初始近似值為，下列說法正確的是（

）A． B．切線：C． D．【答案】ABD【分析】由函數(shù)零點的存在性定理和，得到，可判定A正確；求得，設(shè)切點，求得切線方程，令，求得，可判定D正確；當(dāng)時，求得，得出切線方程，可判定B正確；計算求得的值，可得判定C錯誤.【詳解】由，可得，即，根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理，可得，所以A正確；又由，設(shè)切點，則切線的斜率為，所以切線方程為，令，可得，所以D正確；當(dāng)時，可得，則，所以的方程為，即，所以B正確；由，可得，，此時，所以C錯誤；故選：ABD23．（2024高二下·江蘇宿遷·期末）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓法.首先，設(shè)定一個起始點，如圖，在處作圖象的切線，切線與軸的交點橫坐標(biāo)記作：用替代重復(fù)上面的過程可得；一直繼續(xù)下去，可得到一系列的數(shù)，，，…，，…在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)，近似值相等時，該值即作為函數(shù)的一個零點.若要求的近似值(精確到0.1)，我們可以先構(gòu)造函數(shù)，再用“牛頓法”求得零點的近似值，即為的近似值，則下列說法正確的是（

）A．對任意，B．若，且，則對任意，C．當(dāng)時，需要作2條切線即可確定的值D．無論在上取任何有理數(shù)都有【答案】BCD【分析】利用特殊情況判斷選項A；求出曲線在處的切線方程與軸的交點橫坐標(biāo)，即可判斷選項B；求出，，即可判斷選項C、D【詳解】A，因為，則，設(shè)，則切線方程為，切線與軸的交點橫坐標(biāo)為，所以，故A錯誤；B，處的切線方程為，所以與軸的交點橫坐標(biāo)為，故B正確；C，因為，，所以兩條切線可以確定的值，故C正確；D，由選項C可知，，所以無論在上取任何有理數(shù)都有，故D正確.故選：BCD24．（2024·海南?？凇ひ荒＃┲本€是曲線的切線，則實數(shù)的值可以是（

）A．3π B．π C． D．【答案】AB【分析】設(shè)切點為，由題意可得，解得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，即，即可得出答案.【詳解】設(shè)切點為，∵直線恒過定點，，∴，∴，∴，∵，∴可取，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，，則，則，所以，∴當(dāng)時，；當(dāng)，，故A，B正確，C，D不正確.故選：AB.三、填空題25．（2024·海南·模擬預(yù)測）在等比數(shù)列中，，函數(shù)，則．【答案】【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入0，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求答案.【詳解】因為，所以．因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，于是．故答案為：26．（2024·遼寧大連·一模）已知可導(dǎo)函數(shù)，定義域均為，對任意滿足，且，求.【答案】【分析】利用函數(shù)值的定義及函數(shù)的求導(dǎo)法則，結(jié)合導(dǎo)數(shù)值的定義即可求解.【詳解】由題意可知，令，則，解得，由，得，即，令，得，即，解得.故答案為：.27．（2024高三·全國·專題練習(xí)）曲線在點處的切線方程為．【答案】【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)幾何意義和直線方程的點斜式求法即可求解.【詳解】因為，所以，則，又，所以曲線在點處的切線方程為，即．故答案為：.28．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).若的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則曲線在點處的切線方程為【答案】【分析】，令，，易得直線x＝1為的一條對稱軸，從而可得的圖象也關(guān)于直線x＝1對稱，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可求得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】，令，，則，令，，解得x＝2k＋1，，當(dāng)k＝0時，x＝1，所以直線x＝1為的一條對稱軸，故的圖象也關(guān)于直線x＝1對稱，則有，解得b＝－1，則，，，，故切線方程為.故答案為；.29．（2024·湖南·模擬預(yù)測）若函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為．【答案】【分析】首先根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，求的值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.【詳解】因為是奇函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，所以，則，故，所以，所以曲線在點處的切線方程為，化簡得.故答案為：30．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知過原點的直線與曲線相切，則該直線的方程是．【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)出切點，然后求導(dǎo)，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，設(shè)該切線方程，且與相切于點，，整理得，∴，可得，∴.故答案為：.31．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，過點存在3條直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義寫出過的切線方程，進而有有三個不同值，即與有三個不同交點，導(dǎo)數(shù)研究的極值，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由，設(shè)切點為，則切線斜率為，所以，過的切線方程為，綜上，，即，所以有三個不同值使方程成立，即與有三個不同交點，而，故、上，遞減，上，遞增；所以極小值為，極大值為，故時兩函數(shù)有三個交點，綜上，的取值范圍是.故答案為：32．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）過點作曲線的切線，寫出一條切線方程：.【答案】或（寫出一條即可）【分析】設(shè)切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將代入求得切點坐標(biāo)，即可得切線方程.【詳解】由可得，設(shè)過點作曲線的切線的切點為，則，則該切線方程為，將代入得，解得或，故切點坐標(biāo)為或，故切線方程為或，故答案為：或33．（2024·海南海口·模擬預(yù)測）過軸上一點作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數(shù)的一個可能值為．【答案】，，，只需寫出一個答案即可【分析】設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，代入一點，關(guān)于的方程沒有實數(shù)解，由判別式解不等式求整數(shù)的值.【詳解】設(shè)切點為，因為，所以切線方程為．因為切線經(jīng)過點，所以，由題意關(guān)于的方程沒有實數(shù)解，則，解得．因為為整數(shù)，所以的取值可能是，，.故答案為：，，，只需寫出一個答案即可34．（2024·全國·模擬預(yù)測）過坐標(biāo)原點作曲線的切線，則切點的橫坐標(biāo)為.【答案】或【分析】設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將代入，即可求得本題答案.【詳解】由可得，設(shè)切點坐標(biāo)為，所以切線斜率，又因為，則切線方程為，把代入并整理可得，解得或.故答案為：或35．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）若過點有條直線與函數(shù)的圖象相切，則當(dāng)取最大值時，的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)過點的直線與的圖象的切點為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過點，可得，則方程解的個數(shù)即為切線的條數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】設(shè)過點的直線與的圖象的切點為，因為，所以切線的斜率為，所以切線的方程為，將代入得，即，設(shè)，則，由，得或，當(dāng)或時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，又0，所以恒成立，所以的圖象大致如圖所示，由圖可知，方程最多個解，即過點的切線最多有條，即的最大值為3，此時.故答案為：.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.36．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則曲線過點的切線方程為．【答案】或【分析】設(shè)切點為，對函數(shù)進行求導(dǎo)，且代入可得，故可由點斜式得到切線方程，將代入即可求得或，即可求得切線方程【詳解】設(shè)切點為，由，得，∴，得，∴，，∴切點為，，∴曲線在點M處的切線方程為①，又∵該切線過點，∴，解得或．將代入①得切線方程為；將代入①得切線方程為，即．∴曲線過點的切線方程為或．故答案為：或37．（2024·河北邯鄲·三模）若曲線與圓有三條公切線，則的取值范圍是．【答案】【分析】易得曲線在點處的切線方程為，再根據(jù)切線與圓相切，得到，化簡為，根據(jù)曲線與圓有三條公切線，則方程有三個不相等的實數(shù)根，令，由曲線與直線有三個不同的交點求解.【詳解】解：曲線在點處的切線方程為，由于直線與圓相切，得（*）因為曲線與圓有三條公切線，故（*）式有三個不相等的實數(shù)根，即方程有三個不相等的實數(shù)根.令，則曲線與直線有三個不同的交點.顯然，.當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；且當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此，只需，即，解得.故答案為：38．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）若曲線和曲線恰好存在兩條公切線，則實數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】設(shè)與曲線相切的切點為，與曲線相切的切點為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，可得到，由此構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩解問題即可.【詳解】由題意得，設(shè)與曲線相切的切點為，與曲線相切的切點為，則切線方程為，即，，即，由于兩切線為同一直線，所以，得．令，則，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增．即有處取得極小值，也為最小值，且為．又兩曲線恰好存在兩條公切線，即有兩解，結(jié)合當(dāng)時，趨近于0，趨于負無窮小，故趨近于正無窮大，當(dāng)時，趨近于正無窮大，且增加幅度遠大于的增加幅度，故趨近于正無窮大，由此結(jié)合圖像可得a的范圍是，故答案為：39．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知曲線與曲線有且只有一條公切線，則．【答案】【分析】設(shè)公切線的切點坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義、斜率公式列出方程化簡，分離出后，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值，即可求.【詳解】設(shè)曲線在處的切線與曲線相切于處，，故曲線在處的切線方程為，整理得.，故曲線在處的切線方程為，整理得.故由(1)再結(jié)合知，將(1)代入(2)，得，解得且，將代入(1)，解得且，即且，令，則，.令，，則在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，且，又兩曲線有且只有一條公切線，所以只有一個根，由圖和知.故答案為：.40．（2024·福建南平·模擬預(yù)測）已知曲線和曲線有唯一公共點，且這兩條曲線在該公共點處有相同的切線l，則l的方程為．【答案】【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，即可求得，繼而求出切點坐標(biāo)以及切線斜率，即得答案.【詳解】設(shè)曲線和曲線在公共點處的切線相同，則，由題意知，即，解得，故切點為，切線斜率為，所以切線方程為，即，故答案為：41．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是.【答案】【分析】由題可將曲線有兩條過的切線轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線有兩個交點.后利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，畫出大致圖象，即可得答案.【詳解】設(shè)切線切點為，因，則切線方程為：.因過，則，由題函數(shù)圖象與直線有兩個交點.，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，，.據(jù)此可得大致圖象如下.則由圖可得，當(dāng)時，曲線有兩條過的切線.故答案為：42．（2024高三上·陜西西安·階段練習(xí)）若曲線的某一切線與直線平行，則切點坐標(biāo)為，切線方程為.【答案】【分析】用導(dǎo)數(shù)和切線的斜率，求得切點的橫坐標(biāo)，進而求得的坐標(biāo)，代入點斜式即可求出切線方程.【詳解】因為，所以，又切線與直線平行，所以切線的斜率為，設(shè)切線與曲線相切于點，則，解得，則切點的坐標(biāo)為.由于切線的斜率為，過點，所以該切線方程為：，即.故答案為：，43．（2024·陜西）設(shè)曲線在點（0,1）處的切線與曲線上點處的切線垂直，則的坐標(biāo)為．【答案】【詳解】設(shè).對y＝ex求導(dǎo)得y′＝ex，令x＝0，得曲線y＝ex在點(0，1)處的切線斜率為1，故曲線上點P處的切線斜率為－1，由，得，則，所以P的坐標(biāo)為(1，1)．考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義．44．（2024·江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點（e，1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標(biāo)是.【答案】.【分析】設(shè)出切點坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值可得切點坐標(biāo).【詳解】設(shè)點，則.又，當(dāng)時，，點A在曲線上的切線為，即，代入點，得，即，考查函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，當(dāng)時，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實數(shù)根，此時，故點的坐標(biāo)為.【點睛】導(dǎo)數(shù)運算及切線的理解應(yīng)注意的問題：一是利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點．45．（2024·江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，點P在曲線上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標(biāo)為.【答案】（2，15）【詳解】試題分析：設(shè)點p（a,b）(a<0),∵，∴，∴點P處的切線的斜率為,解得a=2,∴，故點P的坐標(biāo)為考點：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義點評：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在點處切線的斜率，即四、解答題46．（2024·北京）已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的最大值；（2）若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；（3）問過點分別存在幾條直線與曲線相切？（只需寫出結(jié)論）【答案】(1)(2)(3)見解析【詳解】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)等于0求出，再代入原函數(shù)解析式，最后比較大小，即可；（2）設(shè)切點，由相切得出切線方程，然后列表并討論求出結(jié)果;(3)由（2）容易得出結(jié)果.由得，令，得或，因為，，，，所以在區(qū)間上的最大值為.（2）設(shè)過點P（1，t）的直線與曲線相切于點，則，且切線斜率為，所以切線方程為，因此，整理得：，設(shè)，則“過點存在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同零點”，=，與的情況如下：01+00+t+3所以，是的極大值，是的極小值，當(dāng)即時，過點存在3條直線與曲線相切時，t的取值范圍是.（3）過點A（1，2）存在3條直線與曲線相切；過點B（2，10）存在2條直線與曲線相切；過點C（0，2）存在1條直線與曲線相切.考點：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識的同時，考查分類討論、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，考查同學(xué)們分析問題與解決問題的能力.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題是高考的熱點，在每年的高考試卷中占分比重較大，熟練這部分的基礎(chǔ)知識、基本題型與基本技能是解決這類問題的關(guān)鍵.47．（2024·北京）設(shè)函數(shù)=[]．（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．【答案】(1)1

(2)（，）【詳解】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)得a；（2）先求導(dǎo)數(shù)的零點：，2；再分類討論，根據(jù)是否滿足在x=2處取得極小值，進行取舍，最后可得a的取值范圍．詳解：解：（Ⅰ）因為=[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設(shè)知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．此時f(1)=3e≠0．所以a的值為1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，則當(dāng)x∈(，2)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(2，+∞)時，f′(x)>0．所以f(x)<0在x=2處取得極小值．若a≤，則當(dāng)x∈(0，2)時，x–2<0，ax–1≤x–1<0，所以f′(x)>0．所以2不是f(x)的極小值點．綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．點睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解.48．（2024·全國）已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)3(2)【分析】（1）先由上的切點求出切線方程，設(shè)出上的切點坐標(biāo)，由斜率求出切點坐標(biāo)，再由函數(shù)值求出即可；（2）設(shè)出上的切點坐標(biāo)，分別由和及切點表示出切線方程，由切線重合表示出，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意知，，，，則在點處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點，，則，解得，則，解得；（2），則在點處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點，，則，則切線方程為，整理得，則，整