原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)混合還原-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

第19講原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)混合還原

知識梳理

1、對于礦(x)+/(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=「./(x),

2、對于4'(幻+妙(%)〉。(<0),構(gòu)造g(%)=f?/(%)

3、對于x-/'(x)-/(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=Z8,

X

4、對于x-/(x)-0Xx)>°(<0),構(gòu)造8(刈=午

5、對于八x)+〃x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=eJ/(x),

6、對于/'(x)+mx)>o(<0),構(gòu)造g(x)=*?〃>)

7、對于"x)-/(x)>0(<0)，構(gòu)造g(x)=卒，

ex

8、對于八x)-飲x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=1g

e

9、對于sin%?/'(x)+cosx?/a)>0(<0),構(gòu)造g(x)=/(%)?sinx,

10、對于sinx?/'(x)-cosx?/(%)>0(<0),構(gòu)造g(x)=

sinx

11、對于cosx?7'(%)-sinx?/(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=/(x)?cosx,

12、對于cosx，/'(x)+sinx?/(%)>0(<0),構(gòu)造g(x)=

cosx

13、對于/(%)-/(%)>>(<0),構(gòu)造g(x)=*/(x)—口

14、對于/'(x)lnx+￡(2>0(<0),構(gòu)造g(x)=lnx?/(x)

15、f\x)+c=[/(x)+cx]f；f(x)+g\x)=[/(x)+g(x)了；f\x)-gf(x)=[/(x)-g(x)了；

/'(x)g(x)—/(x)g'(x)

16、ff(x)g(x)+/(x)gr(x)=[/(x)g(x)]f;

g2(%)

必考題型全歸納

題型一：利用//(%)構(gòu)造型

例L(安徽省馬鞍山第二中學(xué)2024學(xué)年高三上學(xué)期10月段考數(shù)學(xué)試題)已知/&)的定義

域為(0,+￥),八幻為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足/(x)<-M'(x),則不等式

+的解集是()

A.(0,1)B.(2,+￥)C.(1,2)D.(1,+￥)

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)尸4⑴，xe(0,+⑹，則j/=〃x)+M'(x)<0,

所以函數(shù)>=力。)的圖象在(0,+e)上單調(diào)遞減.

又因為所以(x+l)/(x+l)>(x2-1)/(/-1),

所以+解得x〉2或x<-l(舍).

所以不等式/(x+l)>(x-l)/(/-l)的解集是(2,+s).

故選：B.

例2.(河南省溫縣第一高級中學(xué)2024學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(x)

的定義域為(0,+8),且滿足〃x)+4(x)>0(#卜)是/'(x)的導(dǎo)函數(shù))，則不等式

(11)/仁一+的解集為()

A.(一叫2)B.。,+⑹C.(1,2)D.(-1,2)

【答案】C

【解析】令g(x)=M(x),則g'(x)=/(x)+4'(x)>0,即g(x)在(0,+⑹上遞增，

又x+l>0,則(x_l)/(x2_l)</(x+l)等價于(/_1)/(/_1)<&+1)/(》+1),即

g(x2-l)<g(x+l)，

x2-l>0

所以<x+l>0,解得l<x<2,原不等式解集為(1,2).

X2—1<X+1

故選：C

例3.(黑龍江省大慶實驗中學(xué)2024屆高三下學(xué)期5月考前得分訓(xùn)練(三)數(shù)學(xué)試題)已知

函數(shù)“X)的定義域為(0,+功，/⑺為函數(shù)”X)的導(dǎo)函數(shù)，若，/(x)+/(x)=l,〃1)=0,

則不等式/(2'-3)>0的解集為()

A.(0,2)B.(log23,2)C.(log23,+(?)D.(2,+oo)

【答案】D

【解析】由題意得，4(x)+/(x)=J

即[/(x)]=(lnx+。)'，

所以的1(x)=lnx+c,即/(x)=更二+2，

XX

又〃1)=0,所以C=O,故/(x)=F，

/(刈=匕學(xué)=0,可得x=e,

在(0,e)上，r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

在(e,+?0上，/V)<0,/(x)單調(diào)遞減,

所以的極大值為/(e戶L簡圖如下：

所以/(x)>0,2*-3>1,x>2.

故選：D.

變式1.(2024屆高三第七次百校大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(新高考))已知定義在R上的偶函數(shù)

了=/(力的導(dǎo)函數(shù)為7=/'(x),當(dāng)x>0時，")+小)>0,且/⑵=1,則不等式

7

〃2x-l)<J的解集為()

2x—1

-00,22，+C°

_L2_L2

252

【答案】c

【解析】當(dāng)x>0時，礦(x)+〃x)>0,所以當(dāng)x>0時，xf\x)+f(x)>0,

令尸(x)=#(x),則當(dāng)x>0時，F(xiàn)'(x)=xf\x)+f(x)>Q,

故尸（x）=M"（x）在（0,+司上單調(diào)遞增，

又因為v=/（x）在R上為偶函數(shù)，所以尸（x）=V"（x）在R上為奇函數(shù)，

故尸（x）=#（x）在R上單調(diào)遞增，因為〃2）=1,所以尸（2）=2/（在=2,

17

當(dāng)x＞上時,7（2尤一1）＜^^可變形為（2x-l）/（2x-l）＜2,即尸（2x-l）〈尸（2）,

22x—1

因為尸（切=立可在R上單調(diào)遞增，所以2尤一1＜2,解得尤＜；3,13

17

當(dāng)x＜上時，/（2x-l）＜----可變形為（2x-l）/（2x-l）＞2,即P（2x-1）＞尸（2）,

22x—1

因為尸卜）=獷（可在R上單調(diào)遞增，所以2x-l＞2,解得故無解.

綜上不等式/（2x-l）＜二的解集為（Hl

2x—1122/

故選：C.

變式2.（四川省綿陽市鹽亭中學(xué)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知定義在（0,+8）

n3

上的函數(shù)滿足2力卜）+小/卜）＜0,〃2）=；,則關(guān)于x的不等式/'（x）＞/的解集為

（）

A.（0,4）B.（2,+oo）C.（4,+oo）D.（0,2）

【答案】D

【解析】令〃（尤）=x?（x）,則1卜）=2"）+力卜）＜0,所以力⑺在（0,+8）單調(diào)遞減,

不等式f（x）＞W(wǎng)可以轉(zhuǎn)化為，f（x）＞4x.=2242）,即〃（切＞可2）,所以0＜x＜2.

故選：D.

變式3.（河南省豫北重點高中2024學(xué)年高三下學(xué)期4月份模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）已知函

數(shù)〃x）的定義域為（0,+司,其導(dǎo)函數(shù)是/'（X）,且2/（x）+礦（x）＞x.若/⑵=1,則不

等式3/（x）-x-營＞0的解集是（）

A.（0,2）B.（2,+oo）

。?［端D."

【答案】B

【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2〃x)-$3,其中x>0,

則g'(x)-2M+=x[2/⑴+礦⑴一]]>0,

1OA

故函數(shù)g(x)=x2〃x)一]x3在(0,+8)上為增函數(shù),且g⑵=4/⑵-§=

414

因為x>0,由3〃X)7-5>0可得x2/(x)-§x3>§,即g(x)>g(2),解得尤>2.

故選：B.

變式4.(廣西15所名校大聯(lián)考2024屆高三高考精準(zhǔn)備考原創(chuàng)模擬卷(一)數(shù)學(xué)試題)已

知Ax)是定義在R上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/'(尤),/(-1)=4,且3/(x)+/(尤)>3,則不等

式/(x)<l+4的解集為()

X

A.(-甩-1)。(1,+8)B.(-l,0)U(0,l)c.(0,1)D.(1,+%

【答案】C

【解析】設(shè)g(x)=d/O)-/,

則g(x)在R上為奇函數(shù)，且g(0)=0.

又g'(x)=3x2/(x)+x3f\x)-3x2=X2[3/(X)+xf'(x)-3],

當(dāng)x>0時，g'(尤)>0,所以g(x)在(0,+co)上為增函數(shù)，

因此g(x)在R上為增函數(shù).

又/(T)=/(D=4,當(dāng)x>0時，不等式/(x)<l+弓化為x3/(尤)-d<3,

X

即g(x)<g⑴，

所以0<%<1；

當(dāng)x<0時，不等式/(、)<1+=化為//(工)>/+3,即g(%)>3=g⑴，

x

解得x〉l,故無解，

3

故不等式/(x)<1+4的解集為(0,1).

x

故選：C

【解題方法總結(jié)】

1、對于礦(x)+/(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=%?/(%),

2、對于礦(x)+4f(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=—?/(%)

題型二：利用綽構(gòu)造型

例4.(河南省信陽市息縣第一高級中學(xué)2024學(xué)年高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題)已知定義

，

在(0,+￥)的函數(shù)滿足：Vxe(O,+<?),/(x)-x/'(x)<Or其中#(x)為〃x)的導(dǎo)函數(shù),

則不等式(2》-3)〃工+1)>歷+1)〃2工-3)的解集為()

A.由B.(4,+8)

C.(-1,4)D.(-叫4)

【答案】A

【解析】設(shè)g(x)=W，g，(x)=L'(?；"x),

因為Vx￡(0,+oc)J(x)-礦(x)<0,

所以在(0,+￥)±g%)>0,

所以g(x)在(0,+￥)上單調(diào)遞增，

由已知，/'(x)的定義域為(0,+￥),

所以x+l〉0,2x-3〉0,

所以(2工一3"(丫+1)>(》+1)〃2工一3)等價于勺了>￥^,

即g(x+l)>g(2x-3),

x+1>0

3

所以2x-3>0,解得“<4,

2

x+1>2x-3

所以原不等式的解集是［I，

故選：A.

例5.已知定義域為｛小邦｝的偶函數(shù)於)，其導(dǎo)函數(shù)為/。)，對任意正實數(shù)x滿足獷口)>次0,

若g(x)=￡0，則不等式g(x)<g(l)的解集是()

X

A.(-00,1)B.(-1,1)

C.(-00,0)U(0,l)D.(-l,0)U(0,l)

【答案】D

【解析】因為以)是定義域為｛鄧#0｝的偶函數(shù)，所以八一x)=/a).對任意正實數(shù)x滿足

xf'(x)>2/(x),

所以礦(x)-2〃x)>0,

因為g(x)=/(a,所以g(x)也是偶函數(shù).

*u/cI皿礦⑸―2/0)、八

二x￡(0,+oo)時，g(X)=------3----->0，

X

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(一8,0)單調(diào)遞減，

若g(x)<g(l)，則|x|<1(X知)，解得0<x<1或一14<0,

故g(x)<g(l)的解集是(一1,O)U(0,1),

故選：D

例6.(江蘇省蘇州市2024屆高三下學(xué)期3月模擬數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(x)是定義在及上

的奇函數(shù)，/(2)=0,當(dāng)x>0時，有#'(x)-/(x)>0成立，則不等式M'(x)>。的解集是

()

A.(-co,-2)u(2,+co)B.(-2,0)(2,+oo)

C.(-co,-2)(0,2)D.(2,+co)

【答案】A

【解析】1(x)-/(x)>0成立設(shè)g(x)=W，

貝=J。)丁(力>0,即x>0時g(x)是增函數(shù)，

當(dāng)x>2時,g(x)>g(2)=0,此時/(x)>0；

0<x<2時,g(x)<g(2)=0,此時/(x)<0.

又是奇函數(shù)，所以-2<x<0時，/(無)=-〃-x)>0；

x<—2時“x)=-/(f)>0

/、「/(x)〉0f/(x)<0

則不等式尤?/(x)>0等價為J：；?；?10,

可x>2—2,

則不等式力(村〉0的解集是(-g-2)U(2,+8),

故選：A.

變式5.（西藏昌都市第四高級中學(xué)2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)/（x）是定義在

（一卜，0）（0，+）的奇函數(shù)，當(dāng)xe（O,+8）時,xf,（x）＜/（x）,則不等式

V（2-x）+（x-2）/（5）＜0的解集為（）

A.-3）u（3,+co）B.（-3,0）口（0,3）

C.（-3,O）u（O,7）D.（e，-3）0（2,7）

【答案】D

【解析】令g（x戶/尸，

??,當(dāng)X￡（0,+8）時，//（X）,

.,.當(dāng)xe（0,+co）時，g[x）=＞

g（x）在（0,+co）上單調(diào)遞減；

又〃x）為（-卜，0）（0，+）的奇函數(shù)，

.：g（r）=/Iz@=zZH=/?=g（x）,即g（x）為偶函數(shù)，

-x-xX

；.g（x）在（-8,0）上單調(diào)遞增；

又由不等式5/（2-力+卜一2）05）＜0得3（2-X）＜（2-力/（5）,

當(dāng)2-x＞0,即x＜2時，不等式可化為-X）＜/區(qū),即g（2r）＜g（5）,

2-x5

由g（x）在（0，+8）上單調(diào)遞減得2-尤＞5,解得尤＜-3,故x＜-3；

當(dāng)2-x＜0,即x＞2時，不等式可化為.（2-X）＞/包,即g（2-x）＞g（5）=g（-5）,

2-x5

由g（x）在（-8,0）上單調(diào)遞增得2-尤＞-5,解得尤＜7,故2＜無＜7；

綜上所述，不等式述（2-尤）+@-2）/（5）＜0的解集為:（-雙-3”（2,7）.

故選：D.

【解題方法總結(jié)】

1、對于尸（x）_/（x）＞0（＜0）,構(gòu)造g（x）=2區(qū),

2、對于x-7'(x)-虹(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)="

題型三：利用e""(x)構(gòu)造型

例7.(河南省2024學(xué)年高三上學(xué)期第五次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題)已知定義在R上的函數(shù)/'(x)

滿足〃x)+/(x)>0,且有/⑶=3,則/(無)>3e3T的解集為()

A.(3,+co)B.(1,+?)C.D.(-℃,1)

【答案】A

【解析】設(shè)尸(X)=,則r(x)=/(x)C=e[/(x)+r(x)]>0,

...尸(無)在尺上單調(diào)遞增.

又"3)=3,則/⑶=/(3).e3=3e3.

V/(x)>3e3T等價于C>3e123,即尸(x)>尸(3),

，x>3,即所求不等式的解集為(3,+s).

故選：A.

例8.(河南省2024學(xué)年高三上學(xué)期第五次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)已知定義在尺上的函數(shù)/(x)滿

111一X

足y(x)+/'(x)>0,且有川)=萬，則2〃x)>e〒的解集為()

A.(一°°，2)B.(l,+°o)

C.(-°0/)D.(2,+oo)

【答案】B

【解析】設(shè)尸⑺=/(/次X,則如)="力"+21/(力.三=戌二匕「1小)+/，(川">0,

1111

所以函數(shù)尸(X)在R上單調(diào)遞增，又/(1)=；，所以尸(1)=/(1)./=工/.

22

l_X1

又2〃x)>碎x等價于〃壯”>$5，即尸卜)>尸(1),所以x>l,

即所求不等式的解集為+s).

故選：B

例9.(廣東省佛山市順德區(qū)北洛鎮(zhèn)莘村中學(xué)2024屆高三模擬仿真數(shù)學(xué)試題)已知尸(x)是

函數(shù)y=/(x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)，對于任意的xeR都有r(x)+1(x)>l,且〃0)=2023,

則不等式eX/(x)>e'+2022的解集是()

A.(2022,+oo)B.(-雙0)U(2023,+e)

C.(-0>,0)U(0,+co)D.(0,+co)

【答案】D

【解析】法一：構(gòu)造特殊函數(shù).令〃司=2023,則/'(x)+/(x)=2023>l滿足題目條件，把

/(x)=2023代入e*/(x)>e*+2022得2023ex>ex+2022解得x>0,

故選：D.

法二：構(gòu)造輔助函數(shù).令g(x)=e"(x)-e"則g，(x)=e，(〃x)+/(x)-l)>0,

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

又因為g(0)=/(0)-1=2022,所以e，〃x)>e，+2022og(x)>g(0),所以尤>0,

故選：D.

變式6.(寧夏吳忠市2024屆高三一輪聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)函數(shù)/(x)的定義域是R,/(0)=2,

對任意xeR,f(x)+/'(x)>l,則不等式：廿?/")>6'+1的解集為()

A.尤>0}B.{x|x<0}

C.{尤［x<-l或x>l}D.{尤［x<-l或0<x<l}

【答案】A

【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=e"(x)-e=l,則g(0)=/(0)-2=0,

g，(x)=(x)+/(x)-1］>0,則函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，

由e-7(x)>ex+l可得g(x)=e"(x)-e-l>0=g(0),可得x>0,

因此，不等式7?/(%)>er+l的解集為{力>0}.

故選：A.

【解題方法總結(jié)】

1、對于/'(x)+/(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=e，?/(x),

2、對于/■'(*)+V(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=e"「/(x)

題型四：用等構(gòu)造型

例10.(安徽省六安市第一中學(xué)2024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)定義在(-2,2)上的函數(shù)

f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f\x),滿足：/(x)+e4V(-x)=0,/⑴=e2,且當(dāng)x>0時，/''(》)>2〃尤)，

則不等式《2了(2-x)<e4的解集為()

A.(1,4)B.(-2,1)C.(1,+℃)D.(0,1)

【答案】A

【解析】令g(x)=密,則02回(0+6%-22(-力=0可得8@)+8(-0=0

所以g(x)=?2是(-2,2)上的奇函數(shù)，

,，晨)''(梆2'-2/小)/’(止2小)

g⑴-一'

當(dāng)x>0時，r(x)>2/(x),所以g'(x)>0,

g(x)=?2是(0,2)上單調(diào)遞增，

所以g(x)=2^是(-2,2)上單調(diào)遞增，

因為g(i)=4^=—=1,

ee

由e2xf(2-%)</可得e2b2-)g(2-尤)<e”即g(2-尤)<1=g⑴，

f(x)[_2<2_x<2

由g(無)=竽是(-2,2)上單調(diào)遞增，可得解得：1〈尤<4,

c—X<1

所以不等式e2"(2-x)<e4的解集為(1,4),

故選：A.

例11.(廣東省汕頭市2024屆高三三模數(shù)學(xué)試題)已知定義在R上的函數(shù)"X)的導(dǎo)函數(shù)為

/'(X),且滿足r(x)-〃x)>0,/(2021)=e2021,則不等式/(口門/代的解集為()

A.甘⑼,+動B.(0,e2021)C.(e皿,+oo)D.(0,e皿)

【答案】D

【解析】令fJnx,則》=/,

所以不等式/〈五等價轉(zhuǎn)化為不等式/?)<#=』，即與<1

構(gòu)造函數(shù)g⑺=4。，則g?=_'(')―/(’),

ee

由題意，g'⑴所以g(。為R上的增函數(shù)，

e

又/(2021)=泮i,所以g(2021)="：Rl)=l，

e

所以g?)=qi<l=g(2021),解得/<2021,即:lnx<2021,

所以0<x<e2*,

故選：D.

例12.(陜西省安康市2024屆高三下學(xué)期4月三模數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,

且對任意xeR,〃x)-7'(x)<0恒成立，則e"(x+l)>eV(2x-3)的解集是()

A.(4,+oo)B.(-1,4)

C.(-℃,3)D.(-℃,4)

【答案】D

【解析】設(shè)g(x)=竽，該函數(shù)的定義域為R,

則g，(x)=/'(x：/(x)〉o,所以g(x)在R上單調(diào)遞增.

由e"(無+1)>e”(2x-3)可得>勺7),GPG(X+Q>G(2X_3),

又g@)在R上單調(diào)遞增，所以x+l>2x-3,解得x<4,

所以原不等式的解集是(-%4),

故選：D.

變式7.(新疆克拉瑪依市2024屆高三三模數(shù)學(xué)試題)定義在R上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為

/(X)，=對于任意的實數(shù)》均有l(wèi)n3.7(x)<，(x)成立，且y=/(x-；)+i的圖像關(guān)

于點心，1)對稱，則不等式〃x)-3Z>0的解集為()

A.(1,+oo)B.(-1,+oo)C.(_oo,-1)D.(_co,1)

【答案】A

【解析】因為y=/(x-；)+i的圖像關(guān)于點(。，1)對稱，

所以V=〃x)是奇函數(shù)，

因為對任意的實數(shù)X均有l(wèi)n3./(x)</(x)成立，

所以對任意的實數(shù)x均有l(wèi)n3.7(x)-/，(x)<0成立,

令g(無)=勺^，

所以g(x)在尺上遞增,

因為g(l)=，4，

又/⑴7*—>0=^J>0=>：og(x)>g(l),

所以x>l,

故選：A

變式8.(浙江省紹興市新昌中學(xué)2024屆高三下學(xué)期5月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題)若定義在R

上的函數(shù)/'(x)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且滿足/■'(x)>/(x)J(2022)=e2°22,則不等式

/,山/<也的解集為()

A.(O,e6066)B.(O,e2022)

20226066

C.(e,+CO)D.(e,+CO)

【答案】A

【解析】由題可設(shè)尸(x)=等，因為/'(x)-〃x)>0,

eex

所以函數(shù)尸(x)在R上單調(diào)遞增，

又F(2022)=〃斐2)=1,不等式/gInx]<近可轉(zhuǎn)化為"3"<p

e2J工1nx

e3

d；lnx]<l=F(2022),

所以；lnx<2022,解得0℃6°66,

所以不等式上Inx]<哄的解集為(0,e6066).

故選：A.

變式9.(吉林省長春市吉大附中實驗學(xué)校2024學(xué)年高三上學(xué)期第四次摸底考試數(shù)學(xué)試題)

設(shè)了'(X)是函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)，且r(x)>3〃x)(xeR),/Q^|=e(e為自然對數(shù)的底數(shù)),

則不等式/(lnx)<x3的解集為()

A.8]B.g+°°)C.(0而D.(%+⑹

【答案】C

【解析】令g(x)=/^,則g，(x)

ee

因為/'(X)>3/(x)(xeR),

所以g，(x)=/'(x：]"x)>0,

所以函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù),

)<1

不等式/(lnx)<x3即不等式x3

x>0

1

/(Inx)_/(Inx)

又g(lnx)=_Li2=i

e31nxx3g

e

所以不等式/(lnx)<d即為g(lnx)<

BPInx<—,解得0<x<Ve，

所以不等式/(Inx)<d的解集為(0,浜).

故選：C.

變式10.(四川省綿陽市南山中學(xué)2024學(xué)年高三二診熱身考試數(shù)學(xué)試題)已知定義在R上

的可導(dǎo)函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),滿足/''(》)</(x),且/(-x)=/(2+x),/(2)=1,

則不等式/(x)<e，的解集為()

A.(-8,2)B.(2,+oo)C.(l,+8)D.(0,+力)

【答案】D

【解析】因為/(-x)="X+2),所以了=f(x)的圖像關(guān)于直線X=1對稱，所以/(0)=/(2)=1,

設(shè)gQ)=羋，則g'(x)=/W-/(x)，因為/'(x)</(x),所以g，(x)=/(x)/(x)<o,

eeex

所以g(x)在R上為減函數(shù)，

又g(0)=△P=1，因為/(尤)<e*,所以g(x)<l,,g(x)<g(0),所以x>0.

e

故選：D.

變式11.(山東省煙臺市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(%)的定義域為R,其導(dǎo)函

數(shù)為廣(力，且滿足了'(x)+/(x)=e：/⑼=0,則不等式l)/(x)<eT的解集為

().

A.卜,JB."

C.(-1,1)D.

【答案】C

【解析】由/'(力+/(力=b得e"")+e、〃x)=l,即

可設(shè)e"(x)=x+m,

當(dāng)x=0時，因/(0)=0得%=0,

所以/■(無)=》心，

(e~'——可化為xe(e~、—1)<e—,

即xex-xe-A<e--,

e

設(shè)g(x)=xe"_xef,

Hg(-x)=-xe~x+xexg(x),故g(x)為偶函數(shù)

g'(x)=ex+xex+xe-x-e-x,

當(dāng)xNO時，因xe'+xeT?0,ex-e^>0,

故g'(x)=e*+xex+xe^-e-^O,所以g(x)在區(qū)間［0,+??)上單調(diào)遞增，

因g⑴=e_e、,

所以當(dāng)X20時g(x)=xe，-xe-工<e--的解集為［0,1),

e

又因g(x)為偶函數(shù)，故g(x)<e-J的解集為(-1,1).

e

故選：C

變式12.(江西省九江十校2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)設(shè)函數(shù)/(X)的定義域為R,

其導(dǎo)函數(shù)為了'(x),且滿足〃x)>/'(x)+l,/(0)=2023,則不等式「"&)>b+2022(其

中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集是()

A.(2022,+oo)B.(ro,2023)C.(0,2022)D.(一心。)

【答案】D

【解析】設(shè)g(x)=3二)，

e

???f(x)>/(x)+1,即fix-)-/(x)+l<0,

，/、

...g,(x)=f\x)~f(x)—+\<0,

e

.-.g(x)在R上單調(diào)遞減，又八0)=2023,

不等式e-V(x)>/+2022="x)T>2022=/(0)-1=,

e*e

即g(x)>g(0),.-.x<0,

???原不等式的解集為(-*0).

故選：D

【解題方法總結(jié)】

1、對于尸(x)-/(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=/2,

ex

2、對于小)-4)>0(<。)，構(gòu)造g(x)=詈

題型五：利用sinx、tanx與/(x)構(gòu)造型

例13.(江西省2024屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題)定義在區(qū)間［一/5)上的可導(dǎo)函數(shù)/(x)

關(guān)于了軸對稱，當(dāng)xe層)時，/，(x)cosx>/(x)sin(-x)恒成立，則不等式

>。的解集為()

tanx

【答案】C

【解析】因為/<x)cosx>/(x)sin(-X),化簡得—(x)cosx+/(x)sinx>0,

構(gòu)造函數(shù)/0)=回/(x)=/‘a(chǎn))coo：〃x)si*

cosxcosX

即當(dāng)Xe時，F(xiàn)(x)>0,F(x)單調(diào)遞增,

所以由「⑺一『>。=/(力>=四>4,

tanxtanxcosxsinx

即尸(x)>咽-XJ.因為尸(x)為偶函數(shù)且在xe上單調(diào)遞增,

一卜《且X”。

兀兀71兀71

所以―<---X<解得工￡

2452

1x1>——X

112

故選：C.

例14.(天津市南開中學(xué)2024屆高三下學(xué)期統(tǒng)練二數(shù)學(xué)試題)已知可導(dǎo)函數(shù)/(x)是定義在

上的奇函數(shù).當(dāng)時，/(x)+/\x)tanx>0,則不等式

71

cosx-XH—+sinx,/(—x)〉0的解集為)

2

71

A.B.C.

2

【答案】D

【解析】當(dāng)可叼時，〃小小)，>。,則C，(x)sinx>0

則函數(shù)sinM(x)在(0,口上單調(diào)遞增，又可導(dǎo)函數(shù)/(x)是定義在(一］弓)上的奇函數(shù)

則sinM(x)是1/3上的偶函數(shù)，且在再,0)單調(diào)遞減，

717171

----<X-\----<——

222r乙曰71)貝+71兀

由，，可得,0,-X￡10,

71712

——<-X<—

L22

71

則無e,。)時，不等式cosx*/Ix+^-1+sinx?/(f)>0

兀71

可化為sin1x+--/x+->sin(-x)-/(-%)

22

上單調(diào)遞增，且f中看71

又由函數(shù)sinj/（x）在X+—G吟,

2

貝！1有m>x+］〉r〉0,解之得一］<x<0

故選：D

/7171\

例15.函數(shù)>=/（%）對任意的工￡［-5，萬J滿足x+2/（x）+八工用112%=，-1（其中/'（X）是函

數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（）

【答案】D

【解析】令/(%)=/(%)tanx,

r

sinx+/(無)1/'(x)sinxcosx+/(x)/(x)sin2x+2/(x)

尸（x）=r（尤）

cosxcos2xcos2X2cos2%

又由已知可得，2/(x)+/'(x)sin2x=eM—x20,所以尸(x)，0,

7171

所以歹（x）在上單調(diào)遞增

71715%71

因為g<||，所以/tan—<frtan—.

31212

571

故正確,

12,D

故選：D

變式13,已知可導(dǎo)函數(shù)/（%）是定義在上的奇函數(shù).當(dāng)xe（0，S時,

/(x)+/z(x)tanx>0,則不等式cosx.X~\—+5由小/'（-@>0的解集為（）

2

兀7171兀

A.2，-6B.C.-2，-4D.一封

【答案】D

【解析】當(dāng)T。用時，小)+小">。,則…3+小">。

則函數(shù)sin獷(X)在［0,3上單調(diào)遞增，又可導(dǎo)函數(shù)“X)是定義在［4,圖上的奇函數(shù)

則sin獷(X)是上的偶函數(shù)，且在［go］單調(diào)遞減，

可得尤4一?0),貝口+540看

貝巾尤?［-今,。］時，不等式cosx-/^x+yj+sinx-/(-x)>0

可化為sin(x+5H+3>sin(-x}f卜x)

又由函數(shù)sin/(x)在］O,?上單調(diào)遞增，且x+^efo,^

則有3>x+］>—x>0,解之得一干<x<0

故選：D

【解題方法總結(jié)】

1、對于sinx?/'(%)+cosx?/(%)〉0(<0),構(gòu)造g(x)=/(%)?sin%,

2、對于sinx。7'(x)-cosx。/(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=

sinx

3、對于正切型，可以通分(或者去分母)構(gòu)造正弦或者余弦積商型

題型六：利用cosx與/(%)構(gòu)造型

例16.(重慶市九龍坡區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題)已知偶函數(shù)/(%)的定義域為為，

其導(dǎo)函數(shù)為尸⑺，當(dāng)0V尤<］時，有r(x)cosx+〃x)sinx>0成立，則關(guān)于x的不等式

)

【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(2,04x<W，

cosx2

f(x)cosx-f(x)(cosx)_/\x)cosx+/(x)sinx

g(x)=>(>

cos2Xcos2X

所以函數(shù)g(x)=△立在

單調(diào)遞增,

COSX

因為函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)g(x)=」CD也為偶函數(shù),

COSX

/(x)△/(x△)在單調(diào)遞減,

且函數(shù)g(x)=這在og單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)=

COSXCOSX

71兀

因為xe，所以cosx>0,

2?2

>的

關(guān)于X的不等式/(x)>2/(g?COSX可變?yōu)?/p>

/(x)，也即g(x)>

COSX兀

cos—

3

\x\>^

所以g(N)>g($，則<"角畢得或一S<x<一g,

兀兀3223

——<x<—

I22

故選:C.

7171

例已知偶函數(shù)Ax)的定義域為,其導(dǎo)函數(shù)為/(X),當(dāng)o<x<］時，有

17.于5

/'(%)cosx+/(x)sinx<0成立，則關(guān)于x

7171

A.W'5

71

C.-卜N

【答案】B

【解析】由題意，設(shè)g(x)=&,貝ljg'(x)=f\x)cosx+f(x)sinx

COSXcos2X

當(dāng)0vx時，因為f\x)cosx+/(x)sinx<0,貝［j有g(shù)'(x)<0,

所以g。)在。弓上單調(diào)遞減,

7171號=①g(x),

又因為“X)在上是偶函數(shù)，可得g(-x)

cos(-x)cosX

所以g(無)是偶函數(shù),

fMf。)兀

71COSX,可得2M〈亞/(馬,

由即-----<-----，即g(x)<g(—)

cosx4cosxcos匹4

4

又由g(x)為偶函數(shù)，且在］o,上為減函數(shù)，且定義域為［-5,5］,則有|刈＞:,

A77Zpt兀兀_p.冗冗

角舉得一一＜X＜一一或一＜、＜一，

2442

即不等式的解集為,

故選：B.

例18.設(shè)函數(shù)/(%)在R上存在導(dǎo)數(shù)r(x),對任意的xwR,有/(X)+〃-X)=2COSX,且

71

在［0,+8)上有/(%)＞—sin%,則不等式/(%)-/X2cosX—sinX的解集是()

71717171

A.—00,—B.—,+00C.—00,—D.—,+00

4466

【答案】B

【解析】設(shè)尸⑺=/(x)-cosx,

：/(%)+/(—X)=2cosx,BP/(x)-cosx=cosx-/(-x),BPF(x)=-F(-x),故尸(x)是奇

函數(shù),

由于函數(shù)/(%)在R上存在導(dǎo)函數(shù)/'(X),所以，函數(shù)/(%)在R上連續(xù)，則函數(shù)/(%)在尺上

連續(xù).

?.,在［0,+°o)上有/'(x)>-sinx,尸(