圓（易錯(cuò)點(diǎn)梳理+練習(xí)）帶解析-2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

第14講圓易錯(cuò)點(diǎn)梳理

易錯(cuò)點(diǎn)梳理

易錯(cuò)點(diǎn)01在弧'弦'圓心角之間的關(guān)系中忽略“在同圓或等圓中”這一前提條件

只有“在同圓或等圓中”，弧、弦、圓心角之間的關(guān)系才能成立。

易錯(cuò)點(diǎn)02忽視弦所對(duì)的圓周角的多種可能而漏解

忽視弦所對(duì)的圓周角的多種可能而漏解在同一個(gè)圓中，一條弦對(duì)著兩種圓周角，這兩種圓周角互補(bǔ)。

易錯(cuò)點(diǎn)03忽視弦的位置的不同情況而漏解

在同一個(gè)圓中，求兩條平行弦的距離時(shí)，兩條弦可能在圓心的同側(cè)，也可能在圓心的兩側(cè)，解題時(shí)應(yīng)分類

討論。

易錯(cuò)點(diǎn)04混淆三角形的外心和內(nèi)心

三角形的內(nèi)心是指三角形內(nèi)切圓的圓心，是三角形3條角平分線的交點(diǎn)；三角形的外心是指三角形外接圓

的圓心，是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn).。

*例題分析

考向01與圓有關(guān)的性質(zhì)

例題1：（2021?山東臨清?九年級(jí)期中）如圖，A8為。。的直徑，ZBED=20°,則NAC。的度數(shù)為（）

A.80°B.75°C.70°D.65°

【答案】C

【思路分析】連接5C,證明NAC5=90。，ZZ）CB=20°,可得結(jié)論.

【解析】解：連接3C

；A2是直徑，

/./ACB=90。，

:NDCB=NDEB=2Q。,

：.ZACD=90°-ZDCB=70°,

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查圓周角定理，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

例題2：（2021?山東陵城?九年級(jí)期中）如圖,AC是。O的直徑，弦BD1AO于E,連接BC,過點(diǎn)O作OFLBC

于若8cm,AE=2cm,則△OFC的面積是（）

A.40cm2B.20cm2C.10cm2D.5cm2

【答案】D

【思路分析】根據(jù)垂徑定理得出OE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理得出BC的長(zhǎng)，從而得到OC的長(zhǎng)，即可求出

2

△BOC的面積，再根據(jù)三線合一定理得到BF=CF,則SAOfC==|sAfiOC=5cm,由此求解即可.

【解析】解：連接

A

C

「AC是。。的直徑，弦瓦）_LAO于E,8。=8cm,A￡=2cm.

/.BE=^BD=4cm,

在RtAOEB中，OE2+BE2=OB2,即OE2+42=（OE+2）2

解得：0￡=3cm,

OC=OA=OE+AE=5cmf

1o

2

S^BOC=—OC-BE=10cm,

?：OB=OC,OFLBC,

：.BF=CF,

?1_2

,?^/\OFC=S&OBF=5s△BOC—5cm

1

92

SAOFC=—OF?FC=5cm,

故選D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握垂徑定理.

考向02與圓有關(guān)的位置關(guān)系

例題3：下列說法：①平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的?。虎谠诘葓A中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧

也相等；③等弧所對(duì)的圓心角相等；④過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓；⑤圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的

對(duì)稱軸；⑥三角形的外心到三角形的三邊距離相等.正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【思路分析】由垂徑定理的推論可判斷①，由圓心角，弧，弦之間的關(guān)系可判斷②③，由不在同一直線上

的三點(diǎn)確定一個(gè)圓可判斷④，由圓的對(duì)稱軸是直線可判斷⑤，由三角形的外心的性質(zhì)可判斷⑥，從而可得

答案.

【解析】解：當(dāng)被平分的這條弦是直徑時(shí)，平分弦的直徑，不平分這條弦所對(duì)的弧；故①不符合題意；

在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧也不一定相等；因?yàn)閳A當(dāng)中任意一條弦都與兩條弧相對(duì)，故②

不符合題意；等弧所對(duì)的圓心角相等；正確，故③符合題意；過不在同一直線上的三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓；故

④不符合題意；圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸；故⑤不符合題意；三角形的

外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.故⑥不符合題意；故選A

【點(diǎn)撥】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，垂徑定理的推論，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，圓的確定，三角形

的外心的性質(zhì)，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

例題4：（2021?山東?德州市第九中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在R3AO5中，。8=4也，NA=30。，。。的半

徑為3,點(diǎn)尸是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作。。的一條切線產(chǎn)。（其中點(diǎn)。為切點(diǎn)），則線段尸。長(zhǎng)度的最小

值為（）

A.2版B.26C.3A/3D.472

【答案】C

【思路分析】連接0P、。。，作于P,根據(jù)切線的性質(zhì)得到。。，尸。，根據(jù)勾股定理得到「。=

歷。，根據(jù)垂線段最短得到當(dāng)。尸，時(shí)，。尸最小，根據(jù)30度角直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算

即可.

【解析】連接。P、OQ,作OPUAB于P,

是。。的切線，

C.OQLPQ,

PQ=^OP2-OQ2=/OP2-9，

當(dāng)OP最小時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度最小，

當(dāng)0P_LA3時(shí)，。尸最小，

在RtAAOB中，ZA=30°,OB=4^/3,

/.AB=2OB=8A/3,

由勾股定理得：QA=〃產(chǎn)-OB2=J（8A）?-（4舟=12

在RtAAOP中，ZA=30°,

.,.OA=2OP=12,

：.OP'=6,

，線段PQ長(zhǎng)度的最小值=762-9=36，

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查的是切線的性質(zhì)、勾股定理、含30度角直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，掌握?qǐng)A的切線

垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

考向03正多邊形與圓

例題5：（2021?江蘇宿遷?九年級(jí)期中）如圖，在正六邊形ABCDEF中，則ZAC尸的度數(shù)為（）

A.30°B.35°C.20°D.25°

【答案】A

【思路分析】由正六邊形的性質(zhì)得出/2=/氏4尸=NAFE=120。，BC=AB=AF=FE,由等腰三角形的性質(zhì)和三

角形內(nèi)角和定理得出N2AC=N2CA=30。，ZFAE=ZFEA=3>0°,求出NCAE=30。.

【解析】解：：六邊形ABCDEF是正六邊形，

ZB=ZBAF=ZAFE=12QO,BC=AB=AF=FE,

：.ZBAC=ZBCA=30°,

\'AB//CF,

：.ZCAB=ZACF=30o.

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，

求出N2、NBAP和/尸的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

例題6：（2021?浙江?杭州市采荷中學(xué)九年級(jí)期中）下列關(guān)于正多邊形的敘述，正確的是（）

A.正九邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形

B.存在一個(gè)正多邊形，它的外角和為720。

C.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓

D.不存在每個(gè)外角都是對(duì)應(yīng)每個(gè)內(nèi)角兩倍的正多邊形

【答案】C

【思路分析】根據(jù)正多邊形、軸對(duì)稱、中心對(duì)稱的性質(zhì)分析，即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)多邊形外角和的性質(zhì)，

即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)正多邊形與圓的性質(zhì)分析，即可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)正多邊形和外角的性質(zhì)分析，即可

判斷選項(xiàng)D,從而得到答案.

【解析】正九邊形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)A不正確；

任何多邊形的外角和都為360。，故選項(xiàng)B不正確；

任何正多邊形都有一個(gè)外接圓，故選項(xiàng)C正確；

等邊三角形的每個(gè)外角都是對(duì)應(yīng)每個(gè)內(nèi)角兩倍，故選項(xiàng)D不正確；

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了正多邊形、軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、正多邊形與圓、外角的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握

正多邊形、軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、正多邊形與圓、外角的性質(zhì)，從而完成求解.

考向04弧長(zhǎng)與扇形面積的計(jì)算

例題7：（2021?浙江?杭州市天杭實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，半徑為10的扇形AOB中，ZAOB=90°,C

為弧AB上一點(diǎn)，CDLOA,CELOB,垂足分別為。、E,若/CDE為36。,則圖中陰影部分的面積為（）

A.lOnB.9兀C.8兀D.6兀

【答案】A

【思路分析】連接OC交DE于F,證得四邊形ODCE是矩形,得到AODEm△ECO絲匕DOgAECD,

推出sODE=SOCE，zCOE=ZCDE=36°,再利用扇形面積公式計(jì)算.

【解析】解：如圖，連接。C交。E于尸，

\'CD±OA,CELOB,

：.ZCDO=ZCEO=ZAOB=90°,

四邊形ODCE是矩形，

：.MODE/XECOQXDOCQMECD,

s0DE=S0CE,zCOE=ZCD￡=36°,

陰影部分的面積=367xlV=10萬(wàn),

360

故選：A.

【點(diǎn)撥】此題考查了矩形的判定及性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算公式，熟記矩形的判定及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

例題8：（2021?江蘇宿遷?九年級(jí)期中）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。。，線段在對(duì)角線3D上運(yùn)動(dòng).若

。。的面積為6萬(wàn)，MN=1,則^AMN周長(zhǎng)的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【思路分析】由正方形的性質(zhì)，知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)C作C4〃B。，且使C4=l,連接

AA，交BD于點(diǎn)、N,取NM=1,連接AM、CM,則點(diǎn)/、N為所求點(diǎn),進(jìn)而求解.

【解析】解：連接AC,

。。的面積為6兀，則圓的半徑為#,則BO=2#=AC,

由正方形的性質(zhì)，知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于2。的對(duì)稱點(diǎn)，BD1AC,

過點(diǎn)C作C4〃8O,且使C4=l,

：.CA'±AC,

連接AA，交8。于點(diǎn)N,取NM=1,連接AM、CM,則點(diǎn)M、N為所求點(diǎn),

理由：'：A'C//MN,且4C=MN,則四邊形MC4N為平行四邊形,

則A'N=CM=AM,

故4AMN的周長(zhǎng)=AMMN+MN=AV+1為最小,

則4A=J（2府+儼=5,

則4AMN的周長(zhǎng)的最小值為5+1=6,

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓的性質(zhì)、點(diǎn)的對(duì)稱性、平行四邊形的性質(zhì)等，確定點(diǎn)“、N的位置是本題解題的關(guān)

鍵.

NW微練習(xí)

一、單選題

1.（2021?天津?yàn)I海新?九年級(jí)期中）如圖，A2是。。的直徑，C,D是。。上的兩點(diǎn)，連接AC,CD,AD,

若ZADC=75。，則NBAC的度數(shù)是（

A.15°B.25°

【答案】A

【解析】解：連結(jié)BC,

是。0的直徑,

ZACB=90°,

ZABC=ZADC=15°,

ABAC=90°-ZABC=90°-75°=15°,

故選A.

2.（2021?浙江省寧波市實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，C是以A8為直徑的半圓。上一點(diǎn)，連結(jié)AC,BC,

分別以AC,為斜邊向外作等腰直角三角形△AC。，△BCE,弧AC和弧的中點(diǎn)分別是N.連接

DM,EN,若C在半圓上由點(diǎn)A向8移動(dòng)的過程中，DM：EN的值的變化情況是（）

A.變大B.變小

C.先變大再變小D.保持不變

【答案】D

【解析】解：如圖，連接OE,0C.

,/AAOC是等腰直角三角形

：.ZADC=90°,DA=DC,

■：OA=OC,

二。。垂直平分線段AC,

...點(diǎn)M在線段。。上,

：.ZODC=45°,

同法點(diǎn)N在0E上，NOED=45。,

：.ZDOE=90°,

'：ZODE=ZOED,

：.OD=OE,

?：OM=ON,

：.DM=EN,

.".DM：EN的值不變.

故選：D.

3.（2021?廣東?廣州市第七中學(xué)九年級(jí)期中）若等腰直角三角形的外接圓半徑的長(zhǎng)為2,則其內(nèi)切圓半徑的

長(zhǎng)為（）

A.亞B.2A/2-2C.2-72D.收一2

【答案】B

【解析】如圖所示，4ABC是等腰直角三角形，0D是它的外接圓，OE是它的內(nèi)切圓，連接AE、BE,

:等腰直角三角形的外接圓半徑的長(zhǎng)為2,

：.AB=4,

二在RtZXABC中，AC=BC=26，

:。E是內(nèi)切圓，

：.EF=EG=ED,

,?S^ABC=S&ACE+S^BCE+

=-xACxEF+-xBCxEG+-xABxED

222

=1x￡Fx(AC+BC+AB),

S&ABC=LACxBC,

EF=2^2-2.

故選：B.

4.（2021?江蘇玄武?九年級(jí)期中）如圖，。。是△ABC的外接圓，NA=62。，E是3。的中點(diǎn)，連接OE并

延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)。，連接B。，則/。的度數(shù)為（）

?

D

A.58°B.59°C.60°D.61°

【答案】B

【解析】解：連接。，

?

D

???四邊形A8OC是圓內(nèi)接四邊形，NA=62。，

.\ZCDB+ZA=180°,

：.ZBDC=180°-ZA=118°,

YE是邊8C的中點(diǎn)，

???ODLBC,

：.BD=CD,

：.ZODB=ZODC=1/BDC=59。,

故選：B.

5.（2021?江西興國(guó)?九年級(jí)期末）如圖，邊長(zhǎng)為4的正六邊形A8C。斯的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，AF//x

軸，將正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n次，每次旋轉(zhuǎn)60°,當(dāng)?=2020時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（)

x

A.(-2,2石)B.(-2,-2白)C.(2,-273)D.(2,273)

【答案】B

OH=dol—AH?=2A/3，

,/六邊形ABCDEF是正六邊形,

；?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,2白），點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,2若），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,-2白）,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,-2萬(wàn)），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4,0）,

六邊形ABCDEF是正六邊形，

/.正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)6次回到原位置，

2020-6=336...4,

...當(dāng)“=2020時(shí)，頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)C重合，

.,?此時(shí)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,-273）,

故選：B.

6.古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中記載了用尺規(guī)作某種六邊形的方法，其步驟是：①在。。上任

取一點(diǎn)A,連接4?并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)3；②以點(diǎn)2為圓心，2。為半徑作圓弧分別交。。于C,。兩點(diǎn)；

③連接CO,DO并延長(zhǎng)分別交0。于點(diǎn)E,F；④順次連接BC,CF,FA,AE,ED,DB,得到六邊形AFCBDE.連

接AD,EF,交于點(diǎn)G,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是.

c

A.△AOE的內(nèi)心與外心都是點(diǎn)GB.ZFGA=ZFOA

C.點(diǎn)G是線段E尸的三等分點(diǎn)D.EF=42AF

【答案】D

【解析】解：如圖，

在正六邊形AEDBCF中，ZAOF=ZAOE=ZEOD=60°,

OF=OA=OE=OD,

：.AAOF,AAOE,△E。。都是等邊三角形，

：.AF=AE=OE=OFfOA=AE=ED=ODf

???四邊形AEOR四邊形AODE都是菱形，

C.ADLOE,EFLOA,

???△AOE的內(nèi)心與外心都是點(diǎn)G,故A正確，

VZ￡AF=120°,NEAD=30。,

ZMD=90°,

,/ZAFE=30°,

/.ZAGF=ZAOF=60°,故3正確，

VZGAE=ZGEA=30°,

：.GA=GE,

'：FG=2AG,

：.FG=2GE,

???點(diǎn)G是線段跖的三等分點(diǎn)，故C正確，

：AF=AE,ZME=120°,

:.EF=0AF,故。錯(cuò)誤,

故答案為：D.

7.（2021?山東巨野?九年級(jí)期中）如圖，等邊4ABC及其內(nèi)切圓與外接圓構(gòu)成的圖形中，若外接圓的半徑為

【答案】B

：△ABC是等邊三角形，大。O是△ABC的外切圓,

：.AO=OB=OC,

:小。。是△ABC的內(nèi)切圓，

OM=ON=OP,

：.ZAOC=nO°,ZAON^ZBON=ZAOP=ZCON=60°,BN=CM=AP=CP,

___120^-x32

.?、陰影一、扇形AOC...............-371,

360

故選：B.

8.（2021?河北古冶?九年級(jí)期中）如圖，等腰AAOB中，頂角/AOB=40。，用尺規(guī)按①到④的步驟操作:

①以。為圓心，。4為半徑畫圓；

②在。。上任取一點(diǎn)尸（不與點(diǎn)A,B重合），連接AP；

③作48的垂直平分線與。。交于N；

④作AP的垂直平分線與。。交于E,F.

結(jié)論I：順次連接M,E,N,尸四點(diǎn)必能得到矩形；

結(jié)論H：。。上只有唯一的點(diǎn)P,使得S扇形FOM=S扇形AOB?

對(duì)于結(jié)論I和II,下列判斷正確的是（）

M

A.I和II都對(duì)B.i對(duì)n不對(duì)

【答案】D

EN,MF.NF.

腦V垂直平分A3,E■尸垂直平分”，由“垂徑定理的逆定理”可知，MN和AP都是。的直徑,

:.OM=ON,OE=OF,

四邊形MENF是平行四邊形,

EF=MN,

四邊形MENF是矩形，故（I）正確,

觀察圖形可知當(dāng)NMOF=ZAOB,

一S扇形F0”=S扇形40B>

觀察圖形可知，這樣的點(diǎn)尸不唯一（如下圖所示），故（II）錯(cuò)誤,

P'

故選：D.

二、填空題

9.（2021?福建福清?九年級(jí)期中）如圖，A8是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓上，AB=5,AC=4,。是我上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD過點(diǎn)C作CELA。于E,連接BE,下列四個(gè)結(jié)論正確的有.（填序號(hào)）

①點(diǎn)B與點(diǎn)C的距離是3；②CE=BE；③CE長(zhǎng)的最大值2.4；@BE的長(zhǎng)的最小值是2班-2.

【答案】①③

【解析】解：連接BC,取AC的中點(diǎn)T,連接ET,BT.

,：AB是直徑,

ZACB=90°,

?1-BC=7AB2-AC2=J52-42=3,故①正確，

當(dāng)點(diǎn)。與C重合時(shí)，BE>CE,故②錯(cuò)誤，

當(dāng)點(diǎn)。與B重合時(shí)，CE的值最大，最大值=￡=2.4,故③正確，

'：EC±AD,

：.NAEC=90。，

,:CT=AT,

：.ET=^AC=2,

'?*BT=y/BC2+CT2=732+22二V13,

：.BE>BT-ET=-JY3-2,

???BE的最小值為屈-2.故④錯(cuò)誤，

故答案為：①③.

10.（2021?江蘇宿遷?九年級(jí)期中）如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,/4=34。，點(diǎn)2、C在。。上，邊A3、

AC分別交。。于。、E兩點(diǎn)，點(diǎn)8是弧CO的中點(diǎn)，求/4BE的度數(shù).

【答案】11°

【解析】解：連結(jié)CD

VZABC=90°,ZA=34°

ZACB=90°-ZA=90°-34°=56°

:點(diǎn)B是弧CO的中點(diǎn)

：.^BC=^BD

NBCD=NBDC

/BCD+ZBDC=90°

：.ZBCD=ZBDC=45°

：.ZACD=ZACB-/BCD=56。一45。=11°

又：NABE=NACD（同弧所對(duì)的圓周角相等）

/.ZABE=U°

11.（2021?江蘇灌南?九年級(jí)期中）在即ABC中，ZC=90°,AB=5,周長(zhǎng)為12,那么△ABC內(nèi)切圓半徑

為.

【答案】1

【解析】解：設(shè)切點(diǎn)分別為。、F、E,連結(jié)。。，OF,OE

在放△ABC中，ZC=90°,AB=5,AB+BC+AC=12,

：.BC+AC=12-AB=n-5=l,

：AC,BCAB為圓的切線，

：.AF=AE,BD=BE,CD=CF,ODLBC,OFLAC,

：.CD+CF^BC+AC-AB=7-5=2,

：.CD=l,

'：ZC=90°,ZODC=ZOFC=90°,

，四邊形CDO尸為矩形，

CD=CF,

四邊形。。尸為正方形，

AABC內(nèi)切圓半徑r=CD=1.

故答案為1.

B

12.（2021?江蘇新吳?九年級(jí)期中）如圖，正方形A8C。內(nèi)接于。O,線段在對(duì)角線8。上運(yùn)動(dòng)，若。。

的面積為2兀，MN=1,則△AMN周長(zhǎng)的最小值為

【答案】4

【解析】解：OO的面積為2兀，則圓的半徑為0,貝1加。=2夜=43

由正方形的性質(zhì)，知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn),

過點(diǎn)C作C4〃B。，且使C4=l,

連接44'交8。于點(diǎn)M取M0=1,連接AM、CM,則點(diǎn)M、N為所求點(diǎn),

理由：'：A'C//MN,且4C=MN,則四邊形MC4N為平行四邊形,

則A'N=CM=AM,

故4AMN的周長(zhǎng)=AM+AN+MN=A441為最小，

則4A=?2可+f=3,

則4AMN的周長(zhǎng)的最小值為3+1=4,

故答案為：4.

13.（2021?山東青島?中考真題）如圖，正方形A3a（內(nèi)接于00,PA,PZ）分別與00相切于點(diǎn)A和點(diǎn)

尸D的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.已知AB=2,則圖中陰影部分的面積為.

【答案】5-萬(wàn)

【解析】解：連接AC,OD,

:四邊形BCD是正方形，

：.ZB=90°,

；.AC是。。的直徑，ZAOD=90°,

VB4,尸。分別與。。相切于點(diǎn)A和點(diǎn)，

：.ZPAO=ZPDO=90°,

四邊形AOZJP是矩形，

OA=OD,

矩形AODP是正方形，

：.ZP=90°,AP=AO,AC//PE,

：.ZE=ZACB=45°,

△CDE是等腰直角三角形，

'：AB=2,

；.AC=2AO=2夜，DE=42CD=2y/2,

:.AP=PD=A0=6,

：.PE=3日

；?圖中陰影部分的面積=：（4。+尸￡）?人尸一；402.%=；（2&+3&）*&-；（&）2.%=5-萬(wàn)

故答案為：5-71.

14.（2021?江蘇新吳?九年級(jí)期中）如圖，在菱形ABCD中，Z￡>=60°,43=2,以2為圓心、BC長(zhǎng)為半徑

畫衣，點(diǎn)尸為菱形內(nèi)一點(diǎn)，連接外,尸2,PC.當(dāng)△2PC為等腰直角三角形時(shí)，圖中陰影部分的面積為.

【答案】

32

【解析】解：連接AC,延長(zhǎng)AP,交BC于E,

在菱形A5C。中，ZD=60°fAB=2,

：.ZABC=ZD=60°,AB=BC=2,

?二△ABC是等邊三角形，

：.AB=ACf

在△AP3和△APC中，

AB=AC

<AP=AP,

PB=PC

（SSS）,

：.APAB=APAC,

J.AELBC,BE=CE=\,

???△B尸。為等腰直角三角形，

PE=-BC=1,

2

n

在放△AB石中，AE=^±AB=y/3,

2

.\AP=73-L

??S陰影S扇形48c-SAPAB~SAPBC

3602232

故答案為：2萬(wàn)一道+i.

32

三、解答題

15.如圖，AB是；O的直徑，點(diǎn)C在。。上，。為。。外一點(diǎn)，且NADC=90。,2ZB+ZZMB=18O°.

（1）求證：直線8為。。的切線.

（2）若。C=2A/LA￡>=2,求。P的半徑.

（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積.

【答案】（1）證明過程見解析；（2）4；（3）6^-y

【解析】（1）證明：如圖1,

圖1

連接PC,貝(J/4PC=2N8,

V2ZB+Z￡>AB=180°,

ZAPC+Z￡>AB=180°,

J.AD//PC,

*.?ZADC=90°,

???ZZ)CP=90°,

：.PCLDC,

故直線CD為。尸的切線；

(2)如圖2,連接ACPC,

VZ)C=2A/3,AD=2,ZADC=90°,

???AC=VOC2+AD2=V122+42=4

ZCAD=60°,

由(1)得AO〃尸C,

???ZCAD=ZACP=60°,

又PA=PC,

???△APC是等邊三角形，

.,.PC=M=AC=4,

故。尸的半徑是4；

(3)梯形ADC尸二;(AD+PC)xCZ)=;(2+4)x2^3—6A/3,S扇形APL4二——,

223603

；?S陰影部分二S梯形4DCP-S扇形4尸6A/3--

故陰影部分的面積為66-與.

16.（2021?浙江?杭州市天杭實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）圖，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，A8是。。的直

徑，ZD=108°,連結(jié)AC.

（1）求乙BAC的度數(shù);

（2）若48=8,且/OCA=27。，求。C的長(zhǎng)度;

（3）在（2）的條件下，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留兀）.

【答案】（1）NBAC的度數(shù)為18。；（2）。。的長(zhǎng)度為4&;（3）4%—8.

【解析】解：（1）:四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，ZADC=1O8°,

：.ZB=180o-ZA￡>C=180o-108°=72°,

；A2是。。的直徑，

ZACB=90°,

:.NBAC=90°—72°=18°；

(2)如圖，連接OC,OD,

'：ZA￡)C=108°,ZDCA=21°,

：.ZDAC=180°-108°-27°=45°,

：.ZDOC=2ZDAC=90°,

U：AB=8,

：.OO=OC=OA=4,

，在處△OS中，DC=7or>2+OC2=V42+42=472；

(3)VZDOC=90°,OD=4,

.90^-x42

??3扇形08=-----------=4"，

360

又,**=—2xOCxOD=—2x4x4=8,

,.S陰影=S扇舷。CD-SAOCD=4"一8.

17.(2021?湖北新洲?九年級(jí)期中)如圖，A8為。。的直徑，點(diǎn)C為防的中點(diǎn)，CDLAE交直線AE于。點(diǎn).

(1)求證：0C〃4。；

(2)若DE=1,CD=2,求。。的直徑.

【答案】(1)見解析;(2)5.

【解析】(1)連接BE.

是直徑，

AZAEB=90°,BPAD±BE,

;點(diǎn)C為助的中點(diǎn)，

：.EC=CB,

J.OCLEB,

.'.OC//AD；

(2)設(shè)BE交OC于點(diǎn)T.

；CDLAD,

：.ZD=ZDET=ZCTE=90°,

，四邊形。ETC是矩形，

：.CD=ET=2,DE=CT=1,

'：OC±EB,

：.BT=TE=2,

設(shè)OB=OC=r,

OT=OC-CT=r-\

在RfABOT中，由勾股定理得：產(chǎn)=（"1）2+22,

18.如圖1,二次函數(shù)y=oy2-2以-3。（a<0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y

軸的正半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。.

（1）求頂點(diǎn)。的坐標(biāo)（用含。的代數(shù)式表示）.

（2）若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C.

①求。的值.

②如圖2,點(diǎn)E是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接8E,將△繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，得到△PMN（點(diǎn)P、

M、N分別和點(diǎn)0、B、E對(duì)應(yīng)），并且點(diǎn)M、N都在拋物線上，作MFLx軸于點(diǎn)E若線段求

點(diǎn)〃、N的坐標(biāo).

③如圖3,點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，以Q為圓心的圓過A、8兩點(diǎn)，并且和直線8相切，求點(diǎn)。的坐

標(biāo).

【答案】(1)(1,-4/；(2)①T；②"弓，9、??；③(1,-4+2倔或(1,-4-2屈

【解析】解：(1)y=ax2-lax-3a=a(x-1)2-4a,

0(1,—4a).

(2)①1以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C,

為直角三角形，且NACD=90。；

由y=ax2—2ax-3a=a(x—3)(x+l)知，

4(3,0)、B(-LO)、C(0,-3a),則:

AC=。2+9、CD2=a2+1>AD2=16O2+4

由勾股定理得：AC2+CD2=AD2,

即：9a2+9+a2+l=16a2+4,

化簡(jiǎn)，得：a2=1,由a<0,得：ci——1,

②'a=—l,

二拋物線的解析式：y=-x2+2x+3,0(1,4).

,將\OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。得到NPMN,

.?.PM//X軸，S.PM=OB=1-,

設(shè)”(尤,-/+2；1+3),則0尸=了，

MF=—JC+2x+3,BF=OF+OB=x+1?,

BF=2MF,

.'.%+!—2(—+2x+3),

化簡(jiǎn),得：2f-3尤-5=0,

解得：X]=-l(舍去)、x=—,

22

\吟，

04=1,

37

.U，

.?點(diǎn)N,尸的橫坐標(biāo)相同，

.二,

又QN到拋物線上,

2

c3。15

+2x-F3=—,

24

③設(shè)。Q與直線C￡＞的切點(diǎn)為G,連接QG,過C作于如下圖:

C（0,3）、0（1,4）,

.-.CH=DH=1,即ACHD是等腰直角三角形，

■■^QGD也是等腰直角三角形，

即：QD2=2QG\

設(shè)！2（1,力,貝I］。=4-6,QG2=QB2=b2+4-

得：（4-牙=2（從+4）,

化簡(jiǎn)，得：加+助-8=0,

解得：b=-4±2-j6;

即點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,-4+2局或（1,-4-2娓）.

19.（2021?江蘇新吳?九年級(jí)期中）在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單:

已知線段BC=4,使用作圖工具作/BAC=30。，嘗試操作后思考：

（1）這樣的點(diǎn)A唯一嗎？

（2）點(diǎn)A的位置有什么特征？你有什么感悟？

學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后得到：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以為弦的圓弧上（點(diǎn)8、C除外）

小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D1）.

圖1圖2備用圖

(1)小華同學(xué)提出了下列問題，請(qǐng)你幫助解決.

①該弧所在圓的半徑長(zhǎng)為；

②△ABC面積的最大值為；

(2)經(jīng)過比對(duì)發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點(diǎn)不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們

記為A',請(qǐng)你利用圖1證明/BAC>30°；

(3)請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問題：如圖2,已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)為AB=2指，

BC=4,點(diǎn)P在直線CD的左側(cè)，且/。尸C=60。.

①線段PB長(zhǎng)的最小值為；

②若SPCD=與S^AD，則線段PD長(zhǎng)為.

【答案】⑴①4；②8+4指；(2)見解析；(3)①2若-2；②指+近

【解析】(1)解：①設(shè)。為圓心，連接8。，CO,

VZBCA=30°,

：.ZBOC=6Q°,又OB=OC,

:AOBC是等邊三角形，

：.OB=OC=BC=4,即半徑為4,

故答案為：4；

②:△ABC以BC為底邊，BC=4,

當(dāng)點(diǎn)4到BC的距離最大時(shí)，AABC的面積最大，

如圖，過點(diǎn)。作BC的垂線，垂足為E,延長(zhǎng)EO,交圓于￡>,以BC為底，則當(dāng)A與。重合時(shí)，△ABC的

面積最大，

：.BE=CE=2,00=30=4,

??0E=y/