圓壓軸題 -2023年上海中考數學一輪復習（解析版）

專題18圓壓軸題

t

1m命題趨勢

以圓為背景的綜合問題是中考壓軸題的命題趨勢之一，按往年命題趨勢猜測，很大概率會和平行線

段分線段成比例（2020年），梯形，特殊平行四邊形（最新熱點）等知識點結合，主要考查學生挖掘信息的

能力，難題分解能力，數學綜合能力

5知識導圖

5重點考向

.

考點一

定圓結合直角三角形，考察函數關系，圓心距，存在性問題;

考點二

定圓結合直角三角形；三角形相似，線段與周長的函數關系；

考點三

定圓結合直角三角形；考察函數關系，三角形面積比值問題；

考點四

定圓結合平行線，弧中點，考察函數關系，與圓相切問題；

考點五

動圓結合三角形，考察三角形相似，考察三角形相似，函數關系;

考點六

動圓結合內切直角三角形，三角形相似，線段比，圓位置關系；

考點七

動圓結合定圓，考察函數關系，與圓有關的位置關系；

考點八

動圓結合定圓，函數關系，四邊形，正多邊形結合的問題。

4一.心

總倒引裾

一、解答題

1.(2022?上海嘉定?統(tǒng)考二模)在半圓。中，48為直徑，AC,為兩條弦，且NC4O+乙0/2=90。.

(1)如圖1,求證：益等于①;

(2)如圖2,點尸在直徑上，DF交4c于點、E,若AE=DE,求證：AC=2DF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接2C,若/尸=2,BC=6,求弦ND的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)2A/5

【分析】(1)連接8。、CD,先證再證乙DC4=ND4C,可得出ND=C￡＞,即可推出結論；

(2)連接3D、CD,過點。作。GL4c于點G,則〃)G/=90。，可證得。G垂直平分NC,得出NC=Z4G,再

證尸三△。/G,推出/G=￡＞尸，即可得出/C=2￡＞尸；

(3)取8c中點77,連接的、OD,則BH=CH=*BC=3,OHLBC,ffiRtAOED=RtABHO,推出。E=2/f=3,

OD=OA=5,則在RtAOED中,求出DE的長，在RtAAED中,可求出AD的長.

(1)

證明：如圖：連接AD、CD

AB為直徑

UDB=9Q°

/J)BA+^DAB=9Q°

ADAC+^DAB=90°

^DAC=Z.DBA

又,：乙DCA=ADBA

U)AC=Z-DCA

■■AD=CD

AD=CD

(2)

證明：如圖：連接3。、CD,過點。作DG1/C于點G

由⑴知NO=CO

0G垂直平分NC

AC=2AG

,/AE=DE

ZADF=ZDAC

mic+miB=90。

，^ADF+/-DAB=90°

ZDFA=ZAGD=90°

又AD=DA

:.LADF咨LDAG(AAS)

:.DF=AG

:.AC=2DF

(3)

解：取SC的中點H,連接?！āD,則BH=CH=*BC=3,OHIBC

ZOHB=90°=ZDFO

,/OA=OB

.?.OH是小臺。中位線

:.AC=2OH

由(2)知AC=2DF

OH=DF

OD=OB

RtAOFD三RtABHO(HL)

OF=BH=3

OD=OA=AF+OF=2+3=5

??.在放△(?尸。中，DF2=OD2-OF2=52-32=16

在Rt^AFD中,AD=>jAF2+￡>F2=A/22+16=275

【點睛】本題考查了圓的有關概念及性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等，解題關鍵是第(2)問能

夠證明乙4ED=90。，第(3)問能夠通過作適當的輔助線構造全等三角形等.

2.(2021春?上海徐匯?九年級統(tǒng)考階段練習)已知：。。的半徑為3,OCL弦N8,垂足為。，點E在。。

上，ZECO=ZBOC,射線CE與射線OS相交于點尸.設48=x,,CE=y,

備用圖1備用圖2

(1)求了與X之間的函數解析式，并寫出函數定義域；

(2)當AOE尸為直角三角形時，求N2的長；

(3)如果8尸=1,求E尸的長.

【答案】⑴y=j36-尤2,函數定義域為(0<x<6)

⑵/8=3&或3

(3)1或：

【分析】⑴過點。作。加CE,垂足為凡先利用垂徑定理得到=EH=gEC=gy,然

后利用勾股定理求得。。=叵三，最后通過證△0D3三即可得到E8=0D,求得結論；

2

⑵當△。所為直角三角形時，存在以下兩種情況：①若40FE=9Q。；②若NEO尸=90。分別求解即可；

(3)分兩種情況①當CF=。9=。8-8/=2時，可得：ACFOs^cOE；②當CF=O9=O8+8F=4時，可

得：ACFOMCOE,利用相似三角形的性質即可求解.

(1)

過點。作。H1CE,垂足為77,

???在圓。中，OOL弦4B,OHL弦CE,AB=x,CE=y,

：.BD=-AB=-x,EH=-EC=-y,

2222

?在RtAODB中,OD-+BD2=BO2,02=3,

,?,OZ>=^36"—,

2

■.OC=OE,

:.乙ECO=4CEO,

■：^ECO=^BOC,

?CEO=(BOC,

又,叱ODB=COHE=90。,OE=OB

:△ODBzAEHO

:?EH=OD,

.y二飛36一》2j

"2~-T~,

???y=飛36-xz函數定義域為(0＜、＜6)

(2)

當AOM為直角三角形時，存在以下兩種情況:

①若乙。巫=90°,貝IJ/CO9=40。產=45。

,?ZODB=90。,

???々8045。

又??,OA=OB

：ZO4B=UBO=45。,

山03=90。

,AOAB是等腰直角三角形

:?AB=C-0B=3C

②若乙磯加=90°,

則乙?！?=乙COF=ZOCF=30°

???4003=90。,

?45。=60。

又??，OA=OB

??.△OAB是等邊三角形

；.AB=0B=3

(3)

①當CF=OF=OB—BF=2時，

OC19

可得：ACFOFCOE,CE=2J=L

CF2

95

:.EF=CE—CF=——2=-.

22

②當CF=OF=OB+BF=4時,

or29

可得：4CF0FC0E,CE=^-=~,

CF4

97

：.EF=CF-CE=4——=-.

44

【點睛】本題考查了有關圓的知識的綜合題，分類討論是解決問題的關鍵.

3.(2023春?上海?九年級專題練習)如圖，等邊A45C內接于。。，P是標上任一點(點P與點N、8重

合)，連接/尸、BP,過點C作CMIIAP交尸/的延長線于點

⑴求乙4PC和NAPC的度數；

(2)求證：AACM=ABCP；

(3)若P4=l,尸8=2,求四邊形尸8cA1的面積；

(4)在(3)的條件下，求標的長度.

【答案】(1)ZAPC=6O°,乙BPC=60°

(2)見解析

(4)2名

9

【分析】⑴根據等邊三角形的性質得到418C=N8/C=4CB=60。，根據圓周角定理即可得到

UPC=UBC=6Q°,4BPC=4BAC=6G°；

(2)根據平行線的性質得到NBP"+ZW=18O。，乙PCM=ABPC,求得zAf=N8PC=60。，根據圓周角定理得到

NP/C+"C2=180。，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；

(3)作P//1CM于〃，根據全等三角形的性質得到CM=CP,AM=BP,根據直角三角形的性質得到尸〃，根

據三角形的面積公式即可得到結論；

(4)過點8作8Q1/P,交4P的延長線于點0,過點N作/N18C于點N,連接08,求得乙P8Q=30。，得

到尸0,根據勾股定理得到80和NN,根據弧長公式即可得到結論.

【解析】(1)解：???A48C是等邊三角形，

工乙4BC=LBAC=^ACB=6。。,

BC=BC，AC=AC^

??^APC=/-ABC=60°,乙BPC=^BAC=600；

(2)證明：???CM山?，

?"PAM?乙AM80。，

Z-PCM=Z.BPC,

■:乙BPC=4B4c=60。,

：ZPCM=4PC=6。。,

?.AM=180°-^BPM=180°-SPC+乙BPC)=180°-120°=60°,

???L\4=CBPC=6。。,

又3、P、B、。四點共圓，

???4。/。+乙尸。5=180。，

vzAMC+zP^C=180°,

：./.MAC=Z.PBC,

?：AC=BC,

在△4CM和△BC尸中，

"AM=ZBPC

</MAC=/PBC,

AC=BC

?.AACM=ABCP(AAS)；

(3)解：???CM|5尸，

???四邊形心CM為梯形，

作PHLCM于H,

???△ACMwABCP,

:?CM=CP,AM=BP,

又乙M=60。,

???△尸CM為等邊三角形，

CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3,

在RtAPMH中,4PH=30。,

：.PH=ML,

2

■■.Sa^PBCM=-(PB+CM)xPH=-(2+3)x述=1^/1；

2224

(4)解：過點3作3Q14P,交/尸的延長線于點0,過點/作/N13C于點N,連接02,

.-.^BPQ=60°,

.?2尸3。=30°,

:.PQ=gpB=l,

在尸0中，BQ=j2。-]2=5

在MA孤3中，4B=JAQ2+BQ2=J(l+l『+(若『=近,

□△ABC為等邊三角形，

???/N經過圓心O,

177

：.BN=-AB=—,

22

■■AN=^AB2-BN2=—,

2

用

在比ABON中，設20=x,則ON=—-x,

2

解得：X=叵,

3

■.■^BOA=Z.BCA=120°,

10nV21「

...前的長度為120萬x亍=2氏.

180—9-

【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，等邊三角形的判

定和性質，平行線的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

4.(2021秋?上海金山?九年級期末)定理：一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半.如圖1,

AA=^O.

己知：如圖2,/C是的一條弦，點。在上(與“、C不重合)，聯(lián)結。E交射線于點E,聯(lián)結

(1)求弦NC的長.

(2)當點E在線段04上時，若△D0E與A4EC相似，求乙DC4的正切值.

(3)當?！?1時，求點4與點D之間的距離(直接寫出答案).

【答案】(1)8

⑵！

⑶2指或!|后^.

【分析】(1)過點。作0HMe于點〃，由垂徑定理可得由銳角三角函數和勾股定理可

求解；

(2)分兩種情況討論，由相似三角形的性質可求NG,EG,CG的長，即可求解；

(3)分兩種情況討論，由相似三角形和勾股定理可求解.

(1)

如圖2,過點。作。771/C于點〃

圖2

由垂徑定理得：AH=CH=-AC,

OH3

在Rt^.OAH中，tanZ.OAC-----=—,

AH4

???設O7f=3x,4H=4x,

-OH2+AH2=OA2,

???(3x)2+(4x)2=52,

解得：x=±l,(x=-1舍去)，

：.OH=3,AH=4,

：.AC=2AH=S；

(2)

如圖2,過點。作OHL/。于〃，過￡作￡^14。于6,

圖2

■：/-DEO=/-AEC,

.?.當△DO￡與A4EC相似時可得：Z-DOE=/-A或者乙DOE=4CD；

?/AD=AD

AACD=-ADOE,

2

???UCD于乙DOE

???當△。?！昱c八4￡。相似時，不存在功（加=乙4。。情況，

???當△。?！昱c八4￡。相似時，Z.DOE=Z.A,

.,QDIMC,

ODOE

~AC~^4E

?：OD=OA=5,/C=8,

55-AE

8AE

^￡AGE=Z.AHO=9Q0,

??GEWOH,

圖2

：.AAEG~AAOH,

AEEG_AG

^AO~~OH~^H

40EGAG

—==

1334,

5

???EG=—

13

323272

：,AG=—CG=8——=——

131313

在Rt2\CEG中,tanZZ)G4=—=-；

CG3

(3)

當點E在線段ON上時，如圖3,過點E作EG1/C于G,過點。作。于，，延長/O交。。于M,

連接40,DM,

圖3

由(1)可得OH=3,4H=4,4C=8,

-OE=\,

-?AE=4,ME=6,

??EGWOH.

：.AAEG~AAOH,

AEAGEGA

…1612

??AG—,EG

5

24

??.GC=y,

:,EC=yjGC2+EG2

??,ZM是直徑,

；DM=900=乙EGC,

又???乙以=4。，

心EGCs^ADM,

ECEG

??而一茄’

127512

???5二，

10—AD

:.AD=2也；

當點￡在線段40的延長線上時，如圖4,延長40交。。于M,連接40,DM,過點E作EGL4C于G,

圖4

[824]6

同理可求EG=M，AG=—,AE=6,GC=—

256_2V145

???EC=y)GC2+EG2

25――

???/〃是直徑,

：.^ADM=900=/-EGC,

又??2M=4C,

??△EGJ^ADM,

ECEG

''AM-AD'

18

???5_，

10—AD

3應叵

29

綜上所述：的長是2/或要回

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性質與判定，圓

周角定理，正切的作出輔助線是解題的關鍵.

5.2021?上海?統(tǒng)考二模)如圖，已知扇形408的半徑04=4,4408=90。，點C、。分別在半徑CM、0B

上(點C不與點A重合)，聯(lián)結。.點尸是弧22上一點，PC=PD.

(2)當點。與點B重合，點P為弧48的中點時，求/0CD的度數；

s

(3)如果OC=2,且四邊形ODPC是梯形，求產1的值.

【答案】(1)I；(2)67.5°；(3)&-1或3+庭

【分析】(1)由題意NCOD=90。，cotzODC=—可以假設。。=3鼠OC=4左，則0)=5后，證明NC

OC4

=OC=4k=2,推出左=g,繼而可得結論.

(2)如圖2中，連接OP,過點尸作尸￡，。/于￡,PF1OBF.利用全等三角形的性質證明△PCB是等

腰直角三角形，可得結論.

(3)分兩種情形:如圖3T中，當OCIIPD時,如圖3-2中，當尸C||。。時，分別求解即可.

【解析】解：(1)如圖1中，

.?.設OD=3k,OC=4k,則CD=5k,

???以為半徑的圓。與圓O相切,

:?CD=DB=5k,

??.OB=OD+DB=3k+5k=4,

工k=y,

5

??,CD)：

(2)如圖2中，連接0P過點P作PE1CM于E,PFLOBF,

圖2

，:PA=PB^

?"OP=￡POB,

''PELOA,PFLOB,

：.PE=PF,

??2PEC=dFB=9。。,PD=PC,

?-RtAPEC=RtAPFB(HL),

:,人EPC="PB,

?:乙PEO=乙EOF=ZOFP=90°,

.?ZE尸9=90。，

：?乙EPF=^CPB=90。,

；?"CB=dBC=45°,

,：OP=OB,4P06=45。,

??.△03尸=N。尸5=67.5。，

???ZC8O=67.5。-45。=22.5。，

???4。0)=90?！?2.5。=67.5。；

(3)如圖3T中，當。QIP。時，過點。作CE1尸。，連接OP,

圖3?1

vOCIIPZ),

:/PDO=zJOD=90°,

■:CE1PD,

.ZCEQ=9O。,

???四邊形OCEO是矩形，

：.OC=DE=2,CE=OD,

設PC=PD=x,EC=OD=y,

則有N+y2=i6,x2=y2+(x-2)2,可得x=22,(不合題意的已經舍棄),

'-PD=2A/6—2,

???SAPCDSAOCD=PDOC==-1，

如圖3—2中，當PCIQO時，過點。作。E1CP,連接。夕，

圖3?2

-PCWOD.

"COD=乙OCE=乙CED=90°,

???四邊形OCED是矩形，

：.OC=DE=2,CE=OD,

???0尸=4,OC=2,

；?PC=7OP2-OC2=V42-22=2G，

：.PD=PC=2G,

■-PE=y]pD2-DE2=^（2V3）2-22=2y/2,

:.EC=OD=2B26，

HC_243R

工。J8一2百-2行”，

s—

綜上所述，產1的值為：?-1或3+n.

【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了兩圓的位置關系，解直角三角形，等腰三角形的性質，梯形的性質等

知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題，屬于中考壓軸題.

6.(2021?上海青浦?統(tǒng)考二模)已知：在半徑為2的扇形/08中，=機。(0＜加4180),點C是筋上

的一個動點，直線/C與直線。8相交于點。.

(1)如圖1,當0＜加＜90,ABCD是等腰三角形時，求一。的大小(用含％的代數式表示)；

s

(2)如圖2,當加=90,點。是標的中點時，連接45,求“二的值;

(3)將就沿/C所在的直線折疊，當折疊后的圓弧與a所在的直線相切于點E,且。￡=1時，求線段

AD的長.

【分析】(1)。在N8弧線上，所以/03C為銳角，為鈍角，則ABCD是等腰三角形，僅有BC=BD

這一種情況，扇形NO8中，OA=OC=OB,BC=BD,由邊相等得對應角相等，三角形內角和為180。，可

?m°

得zNO=—；

(2)過。作的延長線于M,連接OC,C為中點，可知

AC=BC,NAOC=/COB=45。,/。=。。=3。,邊相等得對應角相等，即可求得

ZACB=\35°,/BCD=45°,/C80為ABCD的外角，可得N4BD=/D,/C48=/C84由角相等可推

出4B=AD,在Rt"03中，由勾股定理知3M=2,在等腰直角“。8中48=亞，根據等高三角

SNARDADAM

形的面積比等于底的比*也=弁=7還可得結果；

^AABCA1V

(3)E為弧ZEC與。6切點，知/、E、C在半徑為2的另一個圓上，在RtAOEO中，由勾股定理知

00,=5得四邊形2OCO'是菱形，由菱形對角線性質，可以推出AO'OESADOP，得OP=#，在RM/R7

中，由勾股定理得/尸=姮，即可求出的長.

2

【解析】解:(1)C在弧線上，

為銳角，

:.NCBD為鈍角，

則ABCD是等腰三角形時，僅有BC=BD這一種情況，

:.ND=NBCD,

連接0c貝!|CM=0C=08,

ZOAC=/OCA,ZOCD=ZOBC,

ZOBC=ZD+/BCD=2ND,

在AOCD中，ZCOD+2ZD+2ZD=180。，

ZAOC=m°-/COD=m0+4^D-180°,

.?.//0C=：義(180。-//00

m°

=180°-------2/。

2

在△40。中，m°+ZOAC+ZD=lSO°f

mo

.?.180°+------ND=180°,

2

(2)過。作延長線于M,連接OC,

,；c為凝中點，

AC=BC,

ZBAC=ZABCS.AO=CO=BO,

??.ZOAC=ZOCA=NOCB=OBC,

-.ZACO+ZBCO=^x(360°-90°)=135°,

???/BCD=45。,

??.45°+^ODA=NABC+NABD=45°+^ABC,

??.ZABC=ZADO=ZBAC,

：.BD=AB=2y/2(勾股定理)，

???BM=DM=2

???NMBD=NOBA=45。,

??.BM=DM,

：.AM=AB+BM=2y[2+2,

AN=yAB=^2，

.S…AD_AM_2區(qū)2fh

'&BC4cANV2一一

圖2

(3)圖2如下：

???E為弧線NEC與。切點，

以、E、C在半徑為2的另一個圓上,

O'E=2,0E=l,

.■-oo'=4s(勾股定理)，

又；OA=OC=2,O'A=OC=2,

.??四邊形N0C(7是菱形，

.-.AC1OO'S.AC,。?；ハ嗥椒?，

且/OOE共角，

△O'OEs^DOP,

分黑且。苧。T

OP=，

AP==—（RM/P。，的勾股定理）

2

AD=AP+PD=而

【點睛】本題考查圓的綜合應用，熟練掌握等腰三角形的性質、相似三角形的判定與性質、菱形的判定和

性質、勾股定理等是解題關鍵.

7.（2022春?上海?九年級專題練習）已知。。的直徑48=4,點尸為弧48上一點，聯(lián)結尸/、PO,點、C為

劣弧/P上一點（點C不與點/、P重合），聯(lián)結8c交P/、PO于點力、E.

7

⑴如圖，當cosNC2O=g時，求2c的長;

8

(2)當點C為劣弧AP的中點，且△￡口?與A4OP相似時，求乙42c的度數;

(3)當AD=2DP,且△BEO為直角三角形時，求四邊形NOED的面積.

【答案】（1）（2）18。；（3）|或:目

【分析】（1）解法一：如圖1,過點。作OG18C于點G,根據垂徑定理和余弦的定義可得8C的長；解法

7

二：如圖2,連接ZC,根據圓周角定理可得心。2=90。，根據cosNC2O=g可得2C的長；

O

（2）如圖3,如圖3,連接。C,根據題意可知：△￡￡＞尸與A40P相似只存在一種情況：△DPEM0P4,

得乙DPE=4P40,設418C=a,則=（OC=NCOP=2a,在△OEB中根據三角形外角的性質列方程可得結論

(3)當△RE。為直角三角形時，N02E不可能是直角，所以分兩種情況：①如圖4,當乙次)2=90。時，作

輔助線，作平行線，根據平行線分線段成比例定理計算/〃，OH,28的長，根據面積差可得結論；②如

圖5,當乙。班=90。時，連接NC,證明々1BC=3O。，分別計算各邊的長，根據面積差可得結論.

【解析】解：(1)解法一：如圖1,過點。作0G1BC于點G,

圖1

：.BG=^BC,

,?弘5=4,

：.OB=2,

7BG

,?,cosZ-CBO=-=—,

o(JD

7

??BG=—,

4

7

；.BC=2BG=—；

2

圖2

?MB是。。的直徑，

.-.z^C5=90°,

BC7

-'-cosZ-ABC=——=-,

AB8

BC_7

1'V-8)

7

；.BC=3；

(2)如圖3,連接。C,

E

AOB

圖3

?："=",尸與A4O尸相似，

心DPEFOPA,

???乙DPE=^PAO,

是凝的中點，

???"OC=4co尸，

設。BC=a,貝！j4OC=4CQP=2a,

,：OB=OC,

:?（OCB=^OBC=a,

是標的中點，

???。。14尸，

?24。=90。-2a,

工乙DEP=LOEB=9。。-2a,

在中，乙4OP—OEB+乙4BC,

.?.4a=90°-2a+a,

???a=18°,

45C=18。；

（3）分兩種情況：

①如圖4,當乙灰犯=90。時，過D作DHL4B于H,

圖4

???DH11PO,

ADAH

~PD~~OH

???AD=2PD,

：?AH=2HO,

???/B=4,

428

：,AH=_,OH=~,BH=一,

333

,：AO=OP,々0尸=90。，

.-.ZJ=45°,

4

：.AH=DH=-,

3

-OEWDH,

OEOB日”孚=看

???訪=麗,即：9

33

??.S四邊形AOED=S“BD-S^OEB

141,

==-x4x-------x2x1

232

=：一5.

3'

②如圖5,當乙。班=90。時，連接/C,

圖5

,:乙C=￡OEB=9Q°,

■■ACWOE,CE=BE,

■：AD=2DP,

同理得/C=2PE,

■：AO=BO,

；.AC=2OE,

；.OE=PE=yOP,

；.4C=；4B,

???乙45C=30。,

,-AB=4,

；.0B=2=AC,OE=1,BE=6,5c="2-22=2百,

:.CE=V3,

-ACWPE,

CDADc

——==2,

DEDP

???CD+DE=V3,

：.CD=巫,

3

???S四邊形AOED=S?BC-SAOEB-S44cZ）

==—x2x2^3——x1x6——x2x2”,

2223

=54

~6~f

綜上，四邊形/。研》的面積是:或上叵.

【點睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的性質和判定，解直角三角形，等腰三角形的性質

等.（1）中能借助定理構造直角三角形是解題關鍵；（2）能借助相似三角形以及圓周角定理表示相關角是

解題關鍵；（3）中注意分類討論和正確構造圖形.

8.（2021?上海?九年級專題練習）如圖，已知在四邊形23CD中，AD//BC,NABC=90°,以為直徑的

（2）過點。作。〃，所，垂足為點設O"=y,試用/的代數式表示V；

（3）設點G為。C的中點，聯(lián)結OG、OD,AODG是否能成為等腰三角形？如果能，試求出廠的值；如不

能，試說明理由.

【答案】（1）3；（2）J:.6富；U）AOOG能成為等腰三角形，—2丘

-r2+4

【分析】(1)證。尸為梯形/BCD的中位線，得出尸=g(/D+3C)=3即可；

(2)連接。。、OC,過點。作。于“，貝|。1/=8。-2屈=4,由勾股定理得出℃=2產工,

由四邊形48co的面積=ADOC的面積+入4?！ǖ拿娣e+A3OC的面積，進而得出答案；

(3)證。G是梯形/BCD的中位線，得出0G//4D,0G=3,DG=；CD=M+4,由勾股定理得

OD=477\^分三種情況，分別求解即可.

【解析】解：(1)-??0FHBC,OA=OB,

???為梯形ABCD的中位線，

=；(/。+8C)=；(1+5)=3,即OO的半徑長為3；

(2)連接0。、0C,過點。作。。于“，如圖1所示：

AD//BC,ZABC=90°,且。M_L8C,

四邊形為矩形，

則現(xiàn)f=M=l，

:.CM=BC-BM=4,

DC=yjDM2+CM2=^(2r)2+42=2，丸+4,

???四邊形/BCD的面積=AD0C的面積的面積+△BOC的面積,

(l+5)x27-=—x2ylr2+4xy+—rxl+—7"x5,

2、,2-22

整理得：3n/774；

'r2+4

(3)AOAG能成為等腰三角形，理由如下：

,??點G為DC的中點，04=08,

???0G是梯形ABCD的中位線，

OG//AD,OG=；(/Z>+2C)=g(l+5)=3,

DG=-CD=y/r2+4,

2

由勾股定理得：0D=y]OA2+AD2=Vr2+12=A/F2+1，

分三種情況：

①DG=。。時，則“+4=爐11，無解；

Vr2+1=3,解得：r=2&;

ZGOD=NGDO,

???OG//AD,

:"ADO=ZGOD,

ZADO=ZGDO,

是N4DG的平分線,

由題意知：CM，/。，

又OHLCD,

OA=OH,

則此時圓。和CD相切，不合題意;

綜上所述，AOOG能成為等腰三角形，廠=2亞.

【點睛】本題考查了垂徑定理、梯形中位線定理、勾股定理、角平分線的性質、等腰三角形的性質等知識;

熟練掌握垂徑定理和梯形中位線定理是解題的關鍵.

9.（2022?上海?九年級專題練習）如圖，已知AB是半圓。的直徑，AB=6,點C在半圓O上.過點A作

AD1OC,垂足為點D,AD的延長線與弦BC交于點E,與半圓O交于點F（點F不與點B重合）.

（1）當點F為數的中點時，求弦BC的長；

r）p

（2）設OD=x,—=y,求y與x的函數關系式；

AE

（3）當AAOD與4CDE相似時，求線段OD的長.

—3-x3

【答案】（1）3百；（2）y=；（3）—

62

【分析】（1）連結OF,交BC于點H.得出NBOF=NCOF.貝此AOC=4COF=ZJBOF=60。，可求出BH,

BC的長；

（2）連結BF.證得ODIIBF,則D老F=j3』-r，即D筆F=39-r，得出D筆F=3—-r，則得出結論；

DF3+xAD3+xAE6

（3）分兩種情況：①當ZDCE=4DOA時，ABIICB,不符合題意，舍去，②當4DCE=4DAO時，連結

13_

OF,證得4OAF=30。，得出0口=5。4=5，則答案得出.

.-.OF1BC,BC=2BH.

.?ZBOF=NCOF.

???OA=OF,OC1AF,

.-.ZAOC=ZCOF,

.-.ZAOC=ZCOF=ZBOF=60°,

在RtABOH中，sinzBOH,

OB2

???AB=6,

???OB=3,

,BH=述，

2

???BC=2BH=3百；

(2)如圖2,連結BF.

???AF1OC,垂足為點D,

???AD=DF.

又???OA=OB,

.-.ODHBF,BF=2OD=2x.

DECD_3-x

「EF—BF2x'

DE_3—x

"DF-3+7，

DE3-x

n即n——=---，

AD3+x

DE_3—x

**=，

AE6

(3)AAOD和4CDE相似，分兩種情況：①當4DCE=4DOA時，ABIICB,不符合題意，舍去.

②當NDCE=4DAO時，連結OF.

???OA=OF,OB=OC,

/.zOAF=zOFA,zOCB=zOBC.

vzDCE=zDAO,

??.△OAF=ZOFA=ZOCB=zOBC.

vzAOD=ZOCB+ZOBC=2zOAF,

??ZOAF=30。，

1八，3

??.OD=—OA=—.

22

3

即線段OD的長為萬.

【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，直角三角形的性質，圓周角定理，相似三角形

的判定和性質，銳角三角函數，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造基本圖形

解決問題.

10.（2021?上海?九年級專題練習）如圖，已知半圓。。的直徑45=10,弦CQII48,且C￡>=8,E為弧CD

的中點，點尸在弦上，聯(lián)結％,過點E作尸石的垂線交弦CQ于點G,交射線08于點?

（1）當點廠與點5重合時，求C尸的長；

（2）設CP=x,OF=y,求歹與x的函數關系式及定義域；

（3）如果GQ=GR求尸尸的面積.

備用圖

1

【答案】（1）CP=2；（2）y=-°-（0?x<3）;（3）正

4-x2

【分析】（1）如圖1,連接EO,交弦CD于點”，根據垂徑定理得￡01/8,由勾股定理計算

OH7cCP-CH?=3,可得即的長，證明ZHPE=N#GE=45。，則PE=G￡從而可得結論;

（2）如圖2,連接OE,證明列比例式可得結論；

（3）如圖3,作PQL48,分別計算尸￡和斯的長，利用三角形面積公式可得結論.

【解析】（1）連接E。，交弦CD于點

圖1

???￡為弧的中點，

???EOL4B,

-CDWAB,

???OHLCD,

??CH=LCD,

2

連接CO,

?；4B=10,CQ=8,

.，.CO=5,CH=4,

:，OH7cO?-CH?=3,

：.EH=EO-0H=2,

???點產與點5重合，

.ZOBE=^HGE=45。,

-PELBE,

；/HPE=LHGE=45。,

:.PE=GE,

??.PH=HG=2,

:CP=CH-PH=4-2=2；

(2)如圖2,連接。E,交CD于H,

?；CPEH+COEF=9。。，乙OFE+乙OEF=900,

圖2

??.LPEH=20FE,

?:乙PHE=CEOF=9G。，

:?△PEHMEFO,

EHPH

??司―茄’

,:EH=2,FO=y,PH=4-x,EO=5,

2_4-x

‘丁丁’

???歹="-(0”x<3).

4-x

(3)如圖3,過點尸作PQU3,垂足為。,

圖3

?:GP=GF,

：^GPF=Z-GFP,

-CDUB,

，乙GPF=LPFQ,

??,PELEF,

；.PQ=PE,

由(2)可知，△PEHFEFO,

PEPH

''~EF~~EO'

?：PQ=OH=3,

??,PE=3,

,:EH=2,

??PH=VPE2-EH2=y/5，

"EF"

???EF=3V5,

??,S^PF=gPE'EF=:乂3乂3小=?

【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵

是學會添加常用輔助線，構造相似三角形列比例式解決問題，屬于中考壓軸題.

管用圖

在模擬檢測

.

一、解答題

1.(2022?上海嘉定?統(tǒng)考二模)在半圓。中，48為直徑,AC,AD為兩條弦，且4。1。+乙0/5=90。.

(1)如圖1,求證：等于西；

(2)如圖2,點尸在直徑48上，DF交AC于點E,若AE=DE,求證：4c=2DF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接BC,若Nb=2,BC=6,求弦4D的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)275

【分析】(1)連接8。、CD,先證再證NDC4=〃UC,可得出4D=CD,即可推出結論；

(2)連接3D、CD,過點。作。GL4c于點G,則乙DG/=90。，可證得。G垂直平分NC,得出NC=Z4G,再

證△/￡＞尸三△D/G,推出/G=￡＞尸，即可得出NC=2D廠；

(3)取3c中點X,連接OD,則BH=CH=3BC=3,OH1BC,ffiRtAOED=RtABHO,推出OE=AH=3,

OD=OA=5,則在RtAOED中，求出DE的長，在RtAAED中，可求出AD的長.

(1)

證明：如圖：連接8。、CD

AoB

AB為直徑

UDB=90°

■-ADBA+/LDAB=90°

，.?Z/14C+zZM2=90°

U)AC=")BA

又：4DCA=KDBA

ADACNDCA

：.AD=CD

AD=CD

(2)

證明：如圖：連接AD、CD,過點。作DG1/C于點G

D---------

ZDGA=90°

由⑴知AD=CD

DG垂直平分NC

AC=2AG

AE=DE

/ADF=/DAC

^DAC+^DAB=9G°

，乙ADF+乙DAB=90。

，ZDFA=ZAGD=90°

又＜AD=DA

,\Z\ADF^ADAG(AAS)

DF=AG

:.AC=2DF

(3)

解：取BC的中點“，連接0"、OD,貝ij5〃=C〃=gBC=3,OHIBC

ZOHB=90°=ZDFO

?/0A=0B

二.OH是小臺。中位線

:.AC=2OH

由(2)知AC=2DF

OH=DF

'：OD=OB

二.Rt/\OFD=Rt/\BHO(HL)

0F=BH=3

OD=OA=AF+0F=2+3=5

在Rt/\OFD中，DF2=OD2-OF2=52-32=16

?，?在Rt/\AFD中,AD=\lAF2+DF2=722+16=275

【點睛】本題考查了圓的有關概念及性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等，解題關鍵是第(2)問能

夠證明乙4陽=90。，第(3)問能夠通過作適當的輔助線構造全等三角形等.

2.(2021春?上海徐匯?九年級統(tǒng)考階段練習)已知：。。的半徑為3,OCL弦N8,垂足為。，點E在。。

上，ZECO=ZBOC,射線CE與射線05相交于點尸.設=,CE=y,

(1)求了與X之間的函數解析式，并寫出函數定義域；

(2)當AOE尸為直角三角形時，求42的長；

(3)如果AF=1,求E尸的長.

【答案】⑴了=436-/，函數定義域為(0<x<6)

⑵/2=3&或3

(3)1或：

【分析】(1)過點。作?！?CE,垂足為“，先利用垂徑定理得到==EH=\EC=\y,然

2222

后利用勾股定理求得叵三，最后通過證△88三△E"。即可得到，求得結論；

2

(2)當尸為直角三角形時，存在以下兩種情況：①若"尸￡=90。；②若4￡6下=90。分別求解即可；

(3)分兩種情況①當C尸=。尸=。2-8尸=2時，可得：ACFOFCOE；②當CF=。尸=。5+5尸=4時，可

得：△CFOs^cOE,利用相似三角形的性質即可求解.

(1)

過點。作?！?CE,垂足為“，

,??在圓。中，OUL弦N8,OH，弦CE,AB=x,CE=y,

：.BD=-AB=-x,EH=-EC=-y,

2222

??,在RtAODB中，OD?+BD2=BO2,05=3,

.-.QD=^36~—,

2

?：OC=OE,

???乙ECO=cCEO,

,:(ECO=LBOC,

：?乙CEO=LBOC,

又???CODB=^OHE=9。。，OE=OB

:△ODBdEHO

:.EH=OD,

.y_736-X2

?''一―丁

*e*y=y/36—x2函數定義域為(0<x<6)

(2)

當△(?￡尸為直角三角形時，存在以下兩種情況:

①若乙OFE=90。,則4CO廠=4。。尸=45。

??2。。3=90。，

???450=45。

又,：OA=OB

；/OAB=乙45045。，

???々05=90。

??.△OAB是等腰直角三角形

:?AB=EOB=36

②若Z￡O9=90。,

則乙?！阞=(COF=NOCF=30°

??2。。3=90。，

.'./-ABO=60°

又?；OA=OB

???△OAB是等邊三角形

；.AB=OB=3

(3)

①當CF=OF=OB-BF=2時，

OC29

可得：△(7方。?CE=——=-,

CF2

95

；.EF=CE—CF=——2=-.

22

②當CF=0F=0B+BF=4時，

DC2

可得：△CFOFCOE,CE=^-=-9,

CF4

97

：.EF=CF-CE=4——=-.

44

【點睛】本題考查了有關圓的知識的綜合題，分類討論是解決問題的關鍵.

3.(2023春?上海?九年級專題練習)如圖，等邊A48C內接于。。，P是藍上任一點(點P與點N、8重

合)，連接/尸、BP,過點C作CMIIAP交尸/的延長線于點

(1)求ZAPC和NAPC的度數;

(2)求證：AACM=ABCP；

(3)若P4=l,PB=2,求四邊形PSCM■的面積;

(4)在(3)的條件下，求益的長度.

【答案】(1)"尸C=60。,4BPC=60°

(2)見解析

「、156

(4)2⑸

【分析】(1)根據等邊三角形的性質得到乙42C=乙8/。=乙4c2=60。，根據圓周角定理即可得到

^APC=^ABC=60°,乙BPC=￡BAC=60。；

(2)根據平行線的性質得到Z■即%什4W=180。，Z-PCMMBPC,求得ZM=NAPC=60。，根據圓周角定理得到

乙P4C+4CB=180。,根據全等三角形的判定定理即可得到結論；

(3)作P//1CM于兄根據全等三角形的性質得到CM=CP,AM=BP,根據直角三角形的性質得到根

據三角形的面積公式即可得到結論；

(4)過點方作交4尸的延長線于點0,過點Z作/N1BC于點N,連接。3,求得乙PBQ=30。，得

至IJP。，根據勾股定理得到50和4N,根據弧長公式即可得到結論.

【解析】(1)解：???A48C是等邊三角形，

；2BC=^BAC=L4cB=60。,

，.京=前，AC=AC^

：./.APC=/-AB