浙教版八年級數(shù)學(xué)下冊常見幾何模型解讀與提分訓(xùn)練：中點(diǎn)模型之斜邊中點(diǎn)模型、中位線模型、中點(diǎn)四邊形模型（原卷版）

專題03中點(diǎn)模型之斜邊中點(diǎn)模型、中位線模型、中點(diǎn)四邊形模型

中點(diǎn)模型是初中數(shù)學(xué)中一類重要模型，它在不同的環(huán)境中起到的作用也不同，主要是結(jié)合三角形、四

邊形、圓的運(yùn)用，在各類考試中都會(huì)出現(xiàn)中點(diǎn)問題，有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)在壓軸題當(dāng)中，我們不妨稱之為“中

點(diǎn)模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等問題，因此探尋這類問題的解題規(guī)律對初中幾何的學(xué)習(xí)有著

十分重要的意義。

常見的中點(diǎn)模型：①垂直平分線模型；②等腰三角形“三線合一”模型；③“平行線+中點(diǎn)”構(gòu)造全等

或相似模型（與倍長中線法類似）；④直角三角形斜邊中點(diǎn)模型；⑤中位線模型；⑥中點(diǎn)四邊形模型。本

專題就中點(diǎn)模型的后三類模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1：直角三角形斜邊中線模型

定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

如圖1,若AD為RrZVlBC斜邊上的中線，則：

（1）AD=-BC=BD=DC；（2）AABD,△ACD為等腰三角形；（3）ZADB=2/C,ZADC^IZB.

2

圖1圖2

拓展：如圖2,在由兩個(gè)直角三角形組成的圖中，M為中點(diǎn)，則（1）AM=MD-,（2）ZAMD=2ZABD.

模型運(yùn)用條件：連斜邊上的中線（出現(xiàn)斜邊上的中點(diǎn)時(shí)）

例L（2023?遼寧丹東?統(tǒng)考中考真題）如圖，在,.ABC中，/3=45。,的垂直平分線交A3于點(diǎn)。，交8c

于點(diǎn)E（BE>CE）,點(diǎn)尸是AC的中點(diǎn)，連接AE、EF,若BC=7,AC=5,則△CEF的周長為.

例2.（2023?福建莆田??？寄M預(yù)測）如圖，在中，ZABC=9Q°,ZA=3O°,。是AC的中點(diǎn),

連接8。，將線段8。繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段3E,連接OE,CE,則NCED的度數(shù)是（）

C.30°D.35°

例3.（2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)。為菱形ABCD的對角線AC,8□的交點(diǎn)，過點(diǎn)C作CELAB

于點(diǎn)E,連接OE,若8=3,OE=2,則菱形ABCD的面積為.

例4.（2023上?四川成都?九年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，N/WC=NADC=90。，NBAD=45°,

連接AC、BD.M是AC的中點(diǎn)，連接施、DM.若AC=10,貝h.BMD的面積為

例5.（2023上?浙江?九年級專題練習(xí)）如圖，ZMON=90°,矩形A3CD在NMON的內(nèi)部，頂點(diǎn)A,5分

別在射線OU,ON上,AB=4,BC=2,則點(diǎn)。到點(diǎn)。的最大距離是（）

A.272-2B.2a+2C.275-2D.亞+2

例6.（2023下?廣東?八年級假期作業(yè)）如圖，在，ABC中，BD,CE分別是AC,A8邊上的高，M,N分別

是BC和即的中點(diǎn).求證：MNLED.

A

模型2：中位線模型

三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。

如圖，在三角形ABC的A8,AC邊的中點(diǎn)分別為。、E,貝UOE//BC且。E=工3C,AABCo

2

中點(diǎn)三角形：三角形三邊中點(diǎn)的連線組成的三角形，其周長是原三角形周長的一半，面積是原三角形面積

的四分之一。

模型運(yùn)用條件：構(gòu)造中位線（出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)）。

例1.（2023?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）如圖，把兩根鋼條。408的一個(gè)端點(diǎn)連在一起，點(diǎn)C,。分別是

OA,03的中點(diǎn).若CD=4cm,則該工件內(nèi)槽寬AB的長為cm.

例2.（2023下,浙江金華?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，AB=4,點(diǎn)、E、/分別是邊CD、AD

的中點(diǎn)，連接BE、BF,點(diǎn)、M、N分別是BE、即的中點(diǎn)，則的長為（）

A.75B.J2C.2.72D.2

例3.（2022?湖北荊州?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知矩形A5CZ）的邊長分別為〃，b,進(jìn)行如下操作：第一次,

順次連接矩形A3CQ各邊的中點(diǎn)，得到四邊形AgG"；第二次，順次連接四邊形A^iGA各邊的中點(diǎn)，得

到四邊形4坊。2。2；…如此反復(fù)操作下去，則第〃次操作后，得到四邊形4紇GR的面積是（）

abababab

A.B.----rcD

~T2〃T-k-聲

例4.（2022?浙江臺(tái)州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在一MC中，ZACB=90°,D,E,尸分別為AB,BC,CA

的中點(diǎn).若所的長為10,則。的長為.

例5.（2023,湖南郴州?統(tǒng)考二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，/。=135。,42=夜,4￡>=3,點(diǎn)G、H

分別是邊C￡>,8C上的動(dòng)點(diǎn)，連接AG,G/f,點(diǎn)E是AG上的中點(diǎn)，點(diǎn)歹是GH上的中點(diǎn)，連接斯，則跖的

最大值與最小值的差為.

例6.（2023?河南信陽??？既＃?shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)中點(diǎn)知識(shí)時(shí)，遇到如下一個(gè)問題：如圖①，

在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AO的中點(diǎn)，BF=1,連接BE,CF,點(diǎn)C,H分別是BE,CF的中

點(diǎn)，連接G”，求G”的長.小組成員展開討論，方法多樣、其中小佳同學(xué)的做法最具有推廣性.

小佳同學(xué)是這樣思考的：題目中有兩個(gè)中點(diǎn)，我想到用中位線，但是這兩個(gè)中點(diǎn)所在的線段是交叉狀態(tài)，

所以可以通過軸對稱將它變成"共頂點(diǎn)"的圖形、這樣就可以構(gòu)造出三角形的中位線.具體如下：如圖②.過

點(diǎn)尸作EPLCD,垂足為尸，易證四邊形3cp尸是矩形，連接取、則點(diǎn)H也是3尸的中點(diǎn)，連接￡P(guān),則GH

是△麻產(chǎn)的中位線，計(jì)算出叱的長度即可求出GH的長度.

根據(jù)以上信息，請回答以下問題：（1）點(diǎn)是3尸中點(diǎn)的依據(jù)是

（2）請根據(jù)小佳同學(xué)的思路寫出具體的證明過程.

模型3：中點(diǎn)四邊形模型

中點(diǎn)四邊形：依次連接四邊形四邊中點(diǎn)連線的四邊形得到中點(diǎn)四邊形。

中點(diǎn)四邊形是中點(diǎn)模型中比較經(jīng)典的應(yīng)用。中點(diǎn)四邊形不僅結(jié)合了常見的特殊四邊形的性質(zhì)，而且還會(huì)涉

及中位線這一重要知識(shí)點(diǎn)，總體來說屬于比較綜合的幾何模塊。

結(jié)論1：順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形.

結(jié)論2：順次連結(jié)對角線互相垂直四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是矩形.（特例：箏形與菱形）

如圖2,已知點(diǎn)M、N、P、。是四邊形ABC。各邊中點(diǎn)，ACLDB,則四邊形MNP。為矩形。

結(jié)論3：順次連結(jié)對角線相等四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是菱形.（特例：等腰梯形與矩形）

如圖3,已知點(diǎn)M、N、P、。是四邊形ABC。各邊中點(diǎn)，AC=DB,則四邊形MNP。為菱形。

結(jié)論4：順次連結(jié)對角線相等且垂直的四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是正方形.

如圖4,已知點(diǎn)M、N、P、。是四邊形4BCD各邊中點(diǎn)，AC=DB,AC±DB,則四邊形MNP。為正方形。

推廣與應(yīng)用

1）中點(diǎn)四邊形的周長：中點(diǎn)四邊形的周長等于原四邊形對角線之和。

2）中點(diǎn)四邊形的面積：中點(diǎn)四邊形的面積等于原四邊形面積的工。

2

例1.（2023?廣東陽江?統(tǒng)考二模）若順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則四邊形ABCD

的兩條對角線AC,BD一定是（）

A.互相平分B.互相平分且相等C.互相垂直D.相等

例2.（2023下?上海普陀?八年級統(tǒng)考期中）四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、”分別是AB、BC、CD、AD的

中點(diǎn)，下列條件中能使四邊形石打汨為矩形的是（）

A.AB1BCB.AB=BDC.AC=BDD.ACJ.BD

例3.（2023?遼寧撫順?中考模擬）如圖，AC,3D是四邊形ABCD的對角線，點(diǎn)E,尸分別是AD,3C的

中點(diǎn)，點(diǎn)、M,N分別是AC,3。的中點(diǎn)，連接EM,MF,FN,NE,要使四邊形項(xiàng)OW為正方形，則需

添加的條件是（）

A.AB=CD,AB±CDB.AB=CD,AD=BCC.AB=CD,AC1BDD.AB=CD,AD//BC

例4.（2023?云南昆明?統(tǒng)考二模）如圖，在任意四邊形A8CD中，E,F,G,//分別是A3,BC,CD,

D4上的點(diǎn)，對于四邊形EFG”的形狀，某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，通過動(dòng)手實(shí)踐，探索出如下結(jié)論,

其中錯(cuò)誤的是（）

A

a是各邊中點(diǎn)，且AC=3。時(shí)，四邊形￡FGH為菱形

B.當(dāng)E,F,G,H是各邊中點(diǎn)，且AC/應(yīng)）時(shí)，四邊形EFG”為矩形

C.當(dāng)E,F,G,//不是各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFG8可以為平行四邊形

D.當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFGH不可能為菱形

例5.（2023?廣東?統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABC。四邊的中點(diǎn)分別為E,F,G,H,對角線AC與2。相交

于點(diǎn)O,若四邊形EFGH的周長是3,則AC+B。的長為（）

A.3B.6C.9D.12

例6.（2023上?廣東佛山?九年級?？茧A段練習(xí)）定義：對于一個(gè)四邊形，我們把依次連接它的各邊中點(diǎn)得

到的新四邊形叫做原四邊形的"中點(diǎn)四邊形如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形

叫做"中方四邊形

【概念理解】：（1）下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是.

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

【性質(zhì)探究】：（2）如圖1,四邊形A3CD是"中方四邊形”，觀察圖形，直接寫出四邊形ABCD的對角線AC,

3。的關(guān)系;

【問題解決】：（3）如圖2.以銳角ABC的兩邊A3,AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形A5DE和正方形

ACFG,連接BE,EG,GC.求證：四邊形3CGE是"中方四邊形”;

【拓展應(yīng)用】：如圖3,已知四邊形ABCD是"中方四邊形”，M,N分別是AB,8的中點(diǎn).

（4）試探索AC與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（5）若AC=2,求A3+CD的最小值.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABC。的面積為3,點(diǎn)E在邊C。上，且CE=LBABE

的平分線交于點(diǎn)孔點(diǎn)M,N分別是BE,BP的中點(diǎn)，則的長為（）

D

A-TB-TC2苴"

2.（2023?河北?統(tǒng)考中考真題）如圖，在中,AB=4,點(diǎn)M是斜邊的中點(diǎn)，以AM為邊作正

方形AMEF，若S正方形A”.=16,則SABC=()

A

A.4A/3B.8A/3C.12D.16

3.（2020?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，在RtABC中，Z4CB=90°,。是A2的中點(diǎn)，BELCD,交CO的延

長線于點(diǎn)E.若AC=2,BC=26,則8E的長為（）

A.gB.1C.V3D.&

32

4.（2022?湖北黃岡?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在ABC中，D,E,尸分別為3C,AC,A3邊的中點(diǎn)，AHLBC

于H,FD=5,則HE等于（）

A.4B.5C.2退D.3萬

5.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考三模）如圖，將一個(gè)含30。角的直角三角板的斜邊和量角器的直徑所在的邊重合放

置，其中點(diǎn)。所在位置在量角器外側(cè)的讀數(shù)為11?！?，ZACB=90°,連結(jié)DC交A3于點(diǎn)E,則/BEC的度數(shù)

是（）

A.55°B.65°C.75°D.85°

6.（2023?河南信陽?校考三模）如圖，在一ABC中，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在。E上，且

ZAFB=90°.若AB=8,EF=1,則BC的長為（）

A.9B.10C.10.5D.12

7.（2023?河南駐馬店?統(tǒng)考三模）如圖，菱形ABCD的對角線AC、8。相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)A作于

點(diǎn)、E,連接OE,若03=4,S菱形ABCD二16,則OE的長為（）

A.275B.4C.2D.新

8.（2023?湖北黃石?統(tǒng)考中考真題）如圖，在，ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)3,C為圓心，大

于的長為半徑畫弧，兩弧相交于E,尸兩點(diǎn)，取和BC交于點(diǎn)。；②以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫

弧，交A3于點(diǎn)。③分別以點(diǎn)D,C為圓心，大于;CD的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)連接AM,AM

和8交于點(diǎn)N,連接QV若AB=9,AC=5,則ON的長為（）

22

9.（2023?浙江衢州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在，ABC中，AB=A,AC=5,BC=6,點(diǎn)、D,E,尸分別是

AB,BC,CA的中點(diǎn)，連結(jié)。E,EF,則四邊形ADE尸的周長為（）

A

A.6B.9C.12D.15

10.（2023?陜西榆林?統(tǒng)考三模）如圖，在A5C中，AD13C于點(diǎn)O,且CD=2E）,M,N分別為CD、

AO的中點(diǎn)，連接3N、MN,若AC=6,則3N的長為（）

A.3B.4C.5D.6

12.（2023?浙江?一模）如圖，在...ABC中，AB=AC,現(xiàn)以A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交ARAC

于點(diǎn)M,N.再分別以Af,N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，射線AZ）交BC于點(diǎn)E,

點(diǎn)尸為AC的中點(diǎn)，連結(jié)EF.若AC=4,BC=6,則△<?￡■/的面積為（）

A3sR3A/7

24

14.（2023,內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=4,ZA=120°,順次連接菱形ABCD各

邊中點(diǎn)E、F、G、H,則四邊形EFGH的周長為（）

A.4+2A/3B.6+2A/3C.4+4出D.6+4有

14.（2023下?河北保定?八年級統(tǒng)考期末）我們把順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)

四邊形.下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）

①任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形;②平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形

③矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形;④菱形的中點(diǎn)四邊形是正方形;⑤正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

15.（2023?浙江臺(tái)州?統(tǒng)考一模）如圖，ABC中，AB=4C=4,4。平分N54C,點(diǎn)￡為AC中點(diǎn)，則DE

的長為_.

16.（2023?北京石景山?統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)M,N分別為BC,CD的中點(diǎn)，若MN=5,

17.（2023?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在府AABC中，ZABC=90°,D、E、尸分別為AB、BC、CA

的中點(diǎn)，若BF=5,則OE=.

18.（2023?陜西西安?校考二模）如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=6,CD是八ABC的中線，E是

以》的中點(diǎn)，連接AE,BE,若AELBE,垂足為E,則AC的長為.

BC

19.（2023?青海西寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ABAC=90°,D,E分別是A3,BC的中點(diǎn),

915

連接AE,DE,若DE="AE=—,則點(diǎn)A到8C的距離是

22

20.（2023下?山東德州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)、E、F、G、X分別是四邊形ABCD邊A3、BC、CD、

D4的中點(diǎn)，下列說法；①若AC=