中考數(shù)學復習沖刺訓練：全等三角形(含解析)

中考復習專題訓練全等三角形

一、選擇題

1.下列命題中不成立的是（)

A.矩形的對角線相等

B,三邊對應相等的兩個三角形全等

C.兩個相似三角形面積的比等于其相似比的平方

D.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形一定是平行四邊形

2.判斷兩個直角三角形全等的方法不正確的有（）

A.兩條直角邊對應相等B.斜邊和一銳角對應相等

C.斜邊和一條直角邊對應相等D.兩個銳角對應相等

D,只有甲

4.在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B',NB=NB',補充條件后仍不一定能保證△ABC2△AEC,則補充的這

個條件是：（）

A.BC=B'C'B.BA=ZAzC.AC=A'C'D.ZC=ZCz

5.如圖，已知MB=ND,ZMBA=ZNDC,下列條件中不能判定△ABMM△CDN的是（）.

A.ZM=ZNB.AM=CNC.AB=CDD.AMIICN

6.如圖，AAEB、△AFC中，ZE=ZF,ZB=ZC,AE=AF,則下列結(jié)論錯誤的是（)

A.ZEAM=ZFANB.BE=CFC.AACNV△ABMD.CD=DN

7.AABC是格點三角形（頂點在網(wǎng)格線的交點），則在圖中能夠作出△ABC全等且有一條公共邊的格點三

角形（不含△ABC）的個數(shù)是（）

8.在△ABC中，AB=8,AC=6,則BC邊上的中線AD的取值范圍是（）

A.6<AD<8B.2<AD<14C,1<AD<7D.無法確定

9.如圖所示，一位同學書上的三角形被墨跡污染了一部分，很快他就根據(jù)所學知識畫出一個與書上完全一

樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)是（）.

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

10.如圖，PA=PB,OE±PA,OF±PB,則以下結(jié)論：①OP是NAPB的平分線；②PE=PF③CA=BD；

④CDIIAB；其中正確的有（）個.

11.如圖，△ABC和AADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,四邊形ACDE是平行四邊形，連接CE

交AD于點F,連接BD交CE于點G,連接BE；下列結(jié)論中：①CE=BD；②NADB=NAEB；③△ADC是

等腰直角三角形；④CD?AE=EF?CG；一定正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

\2.如圖所示,在NAOB的兩邊上截取AO=BO,OC=OD,連接AD、BC交于點P,連接OP,則下列結(jié)論正

確的是()

①4APS/BPD②△ADO^/BCO(3)AAOP至/BOP④4OCP空/ODP

A.①②③④B.①②③C.②③④D.①③④

二、填空題

13.如圖，在口ABCD中，E、F為對角線AC上兩點，且BEIIDF,請從圖中找出一對全等三角形：

14.如圖，線段AD與BC相交于點0,連結(jié)AB、CD,且NB=ND,要使△A0BV△COD,應添加一個條件

是（只填一個即可）

15.AABC中，ZBAC：NACB:NABC=4：3：2,且4AB8△DEF,則NDEF='

16.如圖，AB=AC,點D在AB上，點E在AC上，DC、EB交于點F,△ADC&△AEB,只需增加一個條件,

這個條件可以是

17.如圖，將正方形紙片ABCD沿MN折疊，使點D落在邊AB上，對應點為D，，點C落在C，處.若AB=6,

AD，=2,則折痕MN的長為.

18.小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標有1、2、3、4的四塊），你認為將其

中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應該帶第塊.

19.如圖是兩個全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長，那么根據(jù)圖中提供的信息可知N1的度數(shù)為

20.如圖，ZA=ZD,OA=OD,ZDOC=50°,則NDBC=度.

21.在RtAACB中，ZACB=90°,點D在邊BC上，連接AD,以點D為頂點，AD為一邊作等邊△ADE,連接

BE,若BC=7,BE=4,ZCBE=60°,則NEAB的正切值為.

22.如圖，ZACB=90°,AC=BC,BE_LCE于E,AD_LCE于D,下面四個結(jié)論：

①NABE=ZBAD；@ACEBV&ADC；

③AB=CE；④AD-BE=DE.

正確的是（將你認為正確的答案序號都寫上）.

三、解答題

23.如圖，AB_LBD于點B,ED_LBD于點D,AE交BD于點C,且BC=DC.求證：AB=ED.

24.已知：如圖，E,F是QABCD的對角線AC上的兩點，BEIIDF,求證：AF=CE.

25.如圖，矩形ABCD,E、F在AB、CD上，且EFIIAD,M為EF的中點，連接AM、DM,求證：AM=DM.

26.如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD,AD、BE相交于點P,BQ_LAD于Q,PQ=4,PE=1.

（1）求證：NBPQ=60。（提示：利用三角形全等、外角的性質(zhì)）

（2）求BE的長.

27ZABC為等腰直角三角形，NABC=90。，點D在AB邊上（不與點A,B重合），以CD為腰作等腰直角

△CDE,ZDCE=90°.

(1)如圖1,作EF±BC于F,求證：△DBS△CFE；

(2)在圖1中，連接AE交BC于M,求音:的值;

n\,1

國1

(3)如圖2,過點E作EHLCE交CB的延長線于點H,過點D作DGLDC,交AC于點G,連接GH.當點

D在邊AB上運動時，式子直/等的值會發(fā)生變化嗎？若不變，求出該值；若變化請說明理由.

(1ri.D

答案解析

一、選擇題

1.【答案】D

【解析】【分析】A、矩形的對角線相等，成立；

B、三邊對應相等的兩個三角形全等，成立；

C、兩個相似三角形面積的比等于其相似比的平方，成立;

D、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形可以是等腰梯形.故選：D.

【點評】本題考查學生對一些幾何概念和定理的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題。

2.【答案】D

【解析】【解答】解：1.兩條直角邊對應相等，則斜邊相等，故兩三角形全等，，A正確；

?.■斜邊和一銳角對應相等，則另一銳角對應相等，根據(jù)角邊角即可求證兩三角形全等，，B正確；

...斜邊和一條直角邊對應相等，則另一直角邊對應相等，根據(jù)邊邊邊即可求證兩三角形全等，；.C正確；

1.兩銳角相等可證明兩三角形相似，但無法證明兩三角形全等，，D錯誤.

故選D.

【分析】根據(jù)求證直角三角形全等對每個選項進行分析，即可解題.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：在AABC和乙三角形中，有兩邊a、c分別對應相等，且這兩邊的夾角都為50。，由

SAS可知這兩個三角形全等；在△ABC和丙三角形中，有一邊a對應相等，和兩組角對應相等，由AAS

可知這兩個三角形全等，

所以在甲、乙、丙三個三角形中和△ABC全等的是乙和丙，

故選：A.

【分析】首先觀察圖形，然后根據(jù)三角形全等的判定方法（AAS與SAS）,即可求得答案.

4.【答案】C

【解析】，分〃7全等三角形的判定可用兩邊夾一角，兩角夾一邊，三邊相等等進行判定，做題時要按判

定全等的方法逐個驗證.

【解答】A、若添加BC=BC,可利用SAS進行全等的判定，故本選項錯誤；

B、若添加NA=NA，，可利用ASA進行全等的判定，故本選項錯誤；

C、若添加AC=AC,不能進行全等的判定，故本選項正確；

D、若添加NC=NC',可利用AAS進行全等的判定，故本選項錯誤；

故選C.

，，點評7本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定，要認真確定各對應關(guān)系.

5.【答案】B

【解析】r分析/根據(jù)普通三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四種.逐條驗證.

【解答】A、NM=NN,符合ASA,能判定△ABMVACDN,故A選項不符合題意；

B、根據(jù)條件AM=CN,MB=ND,ZMBA=ZNDC,不能判定△ABM空△CDN,故B選項符合題意；

C、AB=CD,符合SAS,能判定△ABMVACDN,故C選項不符合題意；

D、AMIICN,得出NMAB=NNCD,符合AAS,能判定△ABM2△CDN,故D選項不符合題意.

故選：B.

，，前刃本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、

SAS,SSS,直角三角形可用HL定理，本題是一道較為簡單的題目.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：?在△AEB和△AFC中，NE=NF,NB=NC,AE=AF,

AEB合△AFC(AAS),

BE=CF,ZEAB=ZFAC,

ZEAM=ZFAN,故選項A、B正確；

?/ZEAM=ZFAN,ZE=ZF,AE=AF,

△ACN2△ABM,故選項C正確；

錯誤的是D.

故選D.

【分析】由NE=NF,ZB=ZC,AE=AF,可證明△AEBV△AFC,利用全等三角形的性質(zhì)進行判斷.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：分三種情況找點，

HF

①公共邊是AC,符合條件的是△ACE；

②公共邊是BC,符合條件的是△BCF、ACBG,ACBH；

③公共邊是AB,符合條件的三角形有，但是頂點不在網(wǎng)格上.

故選D.

【分析】和△ABC全等，那么必然有一邊等于3,有一邊等于又一角等于45。.據(jù)此找點即可，注意

還需要有一條公共邊.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：延長AD至E,使DE=AD,連接CE.

在4ABD和4ECD中，

DE=.4D

，.3=乙CDE，

DB=DC

：.AAB醛AECD(SAS),

CE=AB.

在△ACE中，CE-AC<AE<CE+AC,

即2<2AD<14,

1<AD<7.

故選：C.

E

【分析】延長AD至E,使DE=AD,連接CE.根據(jù)SAS證明△ABD2△ECD,得CE=AB,再根據(jù)三角形的三

邊關(guān)系即可求解.

9.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法可知：除去被墨跡污染的部分仍然有兩個角及夾邊確定，可

以根據(jù)ASA確定所畫三角形與原三角形全等。故選D.

10.【答案】A

【解析】【解答】連接OP、OC>OA、OD、OB、CD、AB.；PC?PA=PD?PB（相交弦定理），PA=P析已知）,

二PC=PD,=AC=BD；在△AOC和△BOD中，

/ZAOC=ZBOD（等弦對等角）,OA=OB（半徑）,OD=OC（半徑）,/.&AOCV'BOD,/.③CA=BD；

OE=OF；X-.'OE±PA,OF±PB,

①OP是NAPB的平分線；二②PE=PF；在△PCD和4PAB中，PC：PA=PD：PB,ZDPC=ZBPA,

△PCD-△PAB,ZPDC=PBA,/.（4）CDIIAB；

綜上所述，①②③④均正確，故答案選A.

【分析】①通過證明AAOCVABOD,再根據(jù)全等三角形的對應高相等求得OE=OF；再根據(jù)角平分線的性

質(zhì)證明0P是NAPB的平分線；②由角平分線的性質(zhì)證明PE=PF；③通過證明△A08△BOD,再根據(jù)全

等三角形的對應邊相等求得CA=BD；④通過證明△PCD-△PAB,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對應角相等證

得NPDC=PBA；然后由平行線的判定得出結(jié)論CDIIAB.

11.【答案】D

【解析】【分析】①利用SAS證明△BA醛ACAE,可得到CE=BD；

③利用SAS證明△BAE合△BAD可得到NADB=ZAEB；

③利用平行四邊形的性質(zhì)可得AE=CD,再結(jié)合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；

④利用已知得出NGFD=NAFE,以及NGDF+NGFD=90°,得出NGCD=NAEF,進而得出△CGD”△EAF,

得出比例式；即可得出結(jié)論.

【解答】

①ZBAC=NDAE=90°,

ZBAC+ZDAC=ZDAE+ZDAC,

即：ZBAD=ZCAE,

???△ABC和4ADE都是等腰直角三角形，

AB=AC,AE=AD,

.〔ABAD叁△CAE(SAS),

CE=BD,

故①正確；

②：△ADC是等腰直角三角形，

ZCAD=45°,

ZBAD=90°+45°=135°,

?/ZEAD=ZBAC=90°,ZCAD=45°,

ZBAE=360°-90o-90o-45°=135<),

又AB=AB,AD=AE,

△BAEg&BAD(SAS),

ZADB=ZAEB；

故②正確；

③四邊形ACDE是平行四邊形，

ZEAD=ZADC=90°,AE=CD,

???△ADE是等腰直角三角形，

：AE=AD,

AD=CD,

,AADC是等腰直角三角形，

③正確；

④：△BADM△CAE,ABAE2△BAD,

/.△CAE2△BAE,

/.ZBEA=ZCEA=ZBDA,

ZAEF+ZAFE=90°,

ZAFE+ZBEA=90°,

ZGFD=ZAFE,ZADB=ZAEB,

ZADB+ZGFD=90°,

/.ZCGD=90°,

,/ZFAE=90°,ZGCD=ZAEF,

△CGD?△EAF,

CD=CG

EFAE'

CD?AE=EF?CG.

故④正確，

故正確的有4個.

故選：D.

「點刃此題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定

與性質(zhì)；本題綜合性強，難度較大，注意細心分析，熟練應用全等三角形的判定以及相似三角形的判定

和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

12.【答案】A

【解析】【分析】由AO=BO,OC=OD,Z0=Z0,可證得②△AD。2△BC。，所以有NC0P=NDOP,又

OC=OD,OP=OP,可證得④△OCPV△ODP,所以有PC=PD,又NCAP=NDBP,NCPA=NDPB,可證得

①AAPC2△BPD,所以有PA=PB,又AO=BO,OP=OP,可證得③△AOP號△BOP.

【解答】；AO=BO,OC=OD,Z0=Z0

△AD。合△BCO(SAS),故②正確；

ZCOP=ZDOP

OC=OD,OP=OP

,AOCP^AODP(SAS),故④正確；

PC=PD

???ZCAP=ZDBP,ZCPA=ZDPB

△APS△BPD(AAS),故①正確；

PA=PB

?，-AO=BO,OP=OP

△AOP2△BOP(SSS),故③正確.

故選A.

【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA和

HL,做題時，要根據(jù)已知條件結(jié)合圖形進行思考.

二、填空題

13.【答案】△ADF2△BEC

【解析】【解答】解：..?四邊形ABCD是平行四邊形，

AD=BC,ZDAC=ZBCA,

,/BEIIDF,

NDFC=ZBEA,

/.ZAFD=ZBEC,

在4ADF與仆CEB中，

[NDAC=ZBCA

NJFZ)=￡BEC，

IAD=BC

：.△AD0△BEC(AAS),

故答案為：△ADFMABEC.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)，可得到等邊或等角，從而判定全等的三角形.

14.【答案】OB=OD

【解析】【解答】解：添加條件OB=OD,

在小ABO和4CDO中，

'/B=/D

?B0=D0,

ZA0B=ZC0D

...AAOBVACOD(ASA)，

故答案為：OB=OD.

【分析】添加條件OB=OD,可利用ASA定理證明小AOBV△COD.

15.【答案】40

【解析】【解答】因為NBAC：ZACB：ZABC=4：3：2,所以NBAC=80°,ZACB=60°ZABC=40°；又因

為XAB8&DEF,所以NDEF=NABC=40°

【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和可求得三個角的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形對應角對應相等，即可解得角的

度數(shù).

16.【答案】AD=AE

【解析】【解答】解：添加條件：AD=AE,在AABE和AACD中，

ZLA，

I4R=4C

：.△AD醒△AEB(SAS),

故答案為：AD=AE.

【分析】△ADC和△AEB中，己知的條件有AB=AC,ZA=ZA；要判定兩三角形全等只需條件一組對應角

相等或AD=AE即可.

17.【答案】2

【解析】【解答】解：作NHAD,垂足為F,連接DDTND，，

%.........................:C

??,將正方形紙片ABCD折疊，使得點D落在邊AB上的D，點，折痕為MN,

/.DD'_LMN,

-/ZA=ZDEM=90°,NADD'=NEDM,

△DAD'-△DEM,

ZDDzA=ZDME,

在^NFM和^DAD，中

乙NMF

乙NFM，

NF=D4

ANFM空△DADZ(AAS),

FM=AD=2cm,

又；在RtAMNF中,FN=6cm,

???根據(jù)勾股定理得：MN=出+2?=2J10

故答案為：2Iit.

【分析】作NFLAD,垂足為F,連接DD-ND一1,將正方形紙片ABCD折疊，使得點D落在邊AB上的D，

點，折痕為MN,二DD，J_MN,由NA=NDEM=90。，ZADDz=ZEDM,得△DAD，DEM再由相似三角形

對應角相等得出NDDzA=ZDME,再由角角邊得到4NFM合△DAD，由全等三角形對應邊相等得出FM=ADZ,

在RtAMNF中，F(xiàn)N=6cm,由勾股定理得出MN的長度。

18.【答案】2

【解析】【解答】解：1、3、4塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內(nèi)的三個證明全等的要素，所以不能帶

它們?nèi)ィ?/p>

只有第2塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA,滿足題目要求的條件，是符合題意的.

故答案為：2.

【分析】本題應先假定選擇哪塊，再對應三角形全等判定的條件進行驗證.

19.【答案】70°

【解析】【解答】解：根據(jù)三角形內(nèi)角和可得N2=180。-50。-60。=70。，因為兩個全等三角形，

所以N1=Z2=70°,

故答案為：70。.

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算出N2的度數(shù)，然后再根據(jù)全等三角形的對應角相等可得

Z1=Z2=70°.

20.【答案】25

【解析】【解答】：ZA=ZD,OA=OD,ZAOB=ZDOC,/.△AOB^*DOC(ASA),OB=OC,/.△BOC

是等腰三角形,ZDBC=ZACB；.-ZDOC=50°/.ZDBC=25".

【分析】結(jié)合圖形和所給條件可判定兩三角形全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對應角對應相等，利用

等腰三角形的性質(zhì)和外角就可解得此題.

21.【答案】

11

【解析】【解答】解：過點D作DF_LBE于點F,如圖1所示.

???△ADE是等邊三角形,

AD=DE=AE,ZADE=60°.

,/ZCBE=60°,

/.ZADE=ZDBF=60°,

/.BD=2BF,ZADC+ZBDE=ZDEF+ZBDE=120°,

/.ZADC=ZDEF.

[CAbC=士DEF

o

在AACD和ADFE中，ZJCD=ZZ>F￡=90-

IAn=nr

：.AAC醛△DFE(AAS),

AC=DF,CD=FE.

BC=7,BE=4,

...設(shè)CD=FE=x,貝l|：BD=7-x,BF=4-x.

BD=2BF,

7-x=2(4-x),

/.x=l.

CD=FE=1,BD=6,BF=3.

AC=DF=BF=3,;.

由勾股定理可得：AD=DE=AE=屈三訪^2Jj,AB=-BC'=2斤.

過點E作EG±AB于點G,如圖2所示.

AE2-AG2=BE2-BG2

??（訪，-2=42一（］麗_9j,

AG=22板,EG=d后.-.d=生I，

19V19

一￡r

.-.tanzEAB=-=：_=、".

三叵—

故答案為：亞.

11

【分析】過點D作DFLBE于點F,由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合角的計算即可得出AD=DE、NADC=NDEF,利

用全等三角形的判定定理AAS即可證出△ACD2△DFE,由此即可得出AC=DF、CD=FE,由BC=7,BE=4,可

設(shè)CD=FE=x,貝lj：BD=7-x,BF=4-x.根據(jù)BD=2BF即可得出關(guān)于x的方程，解之即可得出X的值，再根據(jù)

勾股定理即可得出AD、AB的長度，過點E作EGLAB于點G,由勾股定理可得AE2-AG2=BE2-BG2,代

入數(shù)據(jù)可得出AG、EG的長度，利用正切的定義即可得出NEAB的正切值.

22.【答案】①、②、④

【解析】【解答】解：NBEF=NADF=90°,NBFE=NAFD

①NABE=ZBAD正確

?/Z1+Z2=90°Z2+ZCAD=90°

Z1=ZCAD

又NE=ZADC=90°,AC=BC

（2）ACEB號△ADC正確

CE=AD,BE=CD

④AD-BE=DE.正確

而③不能證明，

故答案為①、②、④.

故填①、②、④.

【分析】首先由△AEF與^ADF中分別有兩個直角及對頂角得到①是正確的，利用等腰三角形的性質(zhì)及其

它條件，證明△CEBV△ADC,則其他結(jié)論易求，而無法證明③是正確的.

三、解答題

23.【答案】證明：---AB±BD,ED±BD,

ZABC=ZD=90°,

在4ABCEDC中

'use=2D

BC=DC,

ZACB^ZECD

ABCV△EDC(ASA)

AB=DE

【解析】【分析】首先根據(jù)垂直可得NABC=ND=90。，再有條件NACB=NDCE,CB=CD,可以用ASA證明

△ABCV△EDC,再根據(jù)全等三角形對應邊相等得到結(jié)論AB=DE.

24.【答案】證明：在平行四邊形ABCD中，

ADIIBC,AD=BC,

ZACB=ZCAD.

文:BEIIDF,

ZBEC=ZDFA,

[/<C5=LDAC

在ABEC與ADFA中，￡BEC乙DFd，

IAD^RC

：.△BEC合△DFA,

/.CE=AF.

【解析】【分析】先證NACB二NCAD,再證出△BECM△DFA,從而得出CE二AF.

25.【答案】證明：：四邊形ABCD是矩形，

/.AEIIDF,ZBAD=90°,

,/EFIIAD,

「?四邊形AEFD是矩形，

/.AE=DF,ZAEM=ZDFM=90°,

.「M為EF的中點,

/.EM=FM,

[A￡=DF

在4AEM和4DFM中，N.小'/=乙DFM，

IFA/=FA/

/.△AEM之△DFM(SAS),

AM=DM.

【解析】【分析】由矩形的性質(zhì)得出AEIIDF,NBAD=90。，再由EFIIAD,證出四邊形AEFD是矩形，得出

AE=DF,ZAEM=ZDFM=90",由SAS證明△AEM2△DFM,得出對應邊相等即可.

26.【答案】(1)解：如圖,

AB=AC,ZBAE=ZACD=60°,

又AE=CD,

△BAE2△ACD,

Z1=Z2,

?/