中考數(shù)學專項復習：一次函數(shù)的應用與綜合篇（解析版）

專題15一次函數(shù)的應用與綜合

知識回顧

1.一次函數(shù)的圖像與性質(zhì):

上的取值b的取值所在象限了隨X的變化情況大致圖像

/

■（圖像交

一二三象/

于y軸正半軸）限/0--------?X

了隨X增大而增大4

■（圖像交

一三四象

于＞軸負半軸）限

■（圖像交

一二四象—

于V軸正半軸）限

.y隨x減小而減小

■（圖像交

二三四象

---------??X

于y軸負半軸）限

一次函數(shù)與X軸的交點坐標公式為：◎0J；與y軸的交點坐標公式為：（缶乃。

2.一次函數(shù)的平移：

①左右平移，自變量上進行加減。左加右減0

即若y=日+b（左中0）向左移動了m個單位，則平移后的函數(shù)解析式為：y=k（x+m）+b（k^G）；

y=kx+b（kw0）向右移動了m個單位，則平移后的函數(shù)解析式為：y=k（x-m）+b（k^0）.

②上下平移，解析式整體后面進行加減。上加下減。

即若y=Ax+W左wO）向上移動了機個單位，則平移后的函數(shù)解析式為：y=kx+b+m（k^O^

若〉=Ax+b（左。0）向下移動了機個單位，則平移后的函數(shù)解析式為：y=kx+b-m（k0）0

3.一次函數(shù)的對稱變換：

①若一次函數(shù)關(guān)于x軸對稱，則自變量不變，函數(shù)值變?yōu)橄喾磾?shù)。

即y=Ax+M左/0）關(guān)于x軸的函數(shù)解析式為：—y=kx+b{k0）,即y=-而一6（左w0）。

②若一次函數(shù)關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)值不變，自變量變成相反數(shù)。

即y=fcv+M左00）關(guān)于V軸的函數(shù)解析式為：y=k（-x）+b（k0）,即y=+左00）。

③若一次函數(shù)關(guān)于原點對稱，則自變量與函數(shù)值均變成相反數(shù)。

即y=Ax+M左w0）關(guān)于原點的函數(shù)解析式為：-y=左（一%）+6（左/0），即了=丘一，（左力0）。

4.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式：

具體步驟：

①設函數(shù)解析式一一j=kx+b（k^O）.

②找點一一經(jīng)過函數(shù)圖像上的點。

③帶入一一將找到的點的坐標帶入函數(shù)解析式中得到方程（或方程組）。

④解一一解③中得到的方程（或方程組），求出由6的值。

⑤反帶入一一將求出的0b的值帶入函數(shù)解析式中得到函數(shù)解析式。

5.一次函數(shù)與一元一次方程：

①若一次函數(shù)y=kx+b（k^0）的圖像經(jīng)過點QQn）,則一元一次方程kx+b=n的解為x=m。

②若一次函數(shù)y=上述+仇（左1w0）的圖像與一次函數(shù),V=左2%+，2（左2中0）的圖像的交點坐標為

（"0"）,則一元一次方程kxx+許=k2x+b2的解為x=mo

6.一次函數(shù)與二元一次方程組：

若一次函數(shù),V=^X+仇（月W0）的圖像與一次函數(shù)>=左2%+與（左2W0）的圖像的交點坐標為

gn）,則二元一次方程組」「7八的解為-

[左2%+$一y=0[y=n

7.一次函數(shù)與不等式:

①若一次函數(shù)y=kx+b*w0)的圖像經(jīng)過點("Q〃),則不等式日+■的解集取點(70〃)上方

所在圖像所對應的自變量范圍；不等式區(qū)+■的解集取點gn)下方所在圖像所對應的自變量范

圍。

②若一次函數(shù)y=月》+許體W0)的圖像與一次函數(shù)y=左2%+與(左2W0)的圖像的交點坐標為

(“Q〃)，則不等式上1%+/^^2%+人2的解集取函數(shù)V=姬+法―產(chǎn)0)的圖像在〉=k2x+b2(k2w0)圖

像上方的部分所對應的自變量的范圍；不等式舟工+，2》+3的解集取函數(shù)＞=月》+許體H0)的圖

像在y=左2%+3(k2*0)圖像下方的部分所對應的自變量的范圍。這兩部分都是以兩個函數(shù)的交點為

分界點存在。

8.分段函數(shù)：

在一次函數(shù)的實際應用中，最常見為分段函數(shù)。分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應方式的函數(shù)，

要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學合理，又要符合實際。

關(guān)鍵點：①分段函數(shù)各段的函數(shù)解析式。

②各個拐點的實際意義。

③函數(shù)交點的實際意義。

9.一次函數(shù)的綜合：

(1)一次函數(shù)與幾何圖形的面積問題

首先要根據(jù)題意畫出草圖，結(jié)合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積.

(2)一次函數(shù)的優(yōu)化問題

通常一次函數(shù)的最值問題首先由不等式找到x的取值范圍，進而利用一次函數(shù)的增減性在前面范

圍內(nèi)的前提下求出最值。

(3)用函數(shù)圖象解決實際問題

從已知函數(shù)圖象中獲取信息，求出函數(shù)值、函數(shù)表達式，并解答相應的問題。

微專題

1.物理實驗證實在彈性限度內(nèi)，某彈簧長度V(cm)與所掛物體質(zhì)量X(彷)滿足函數(shù)關(guān)系丁=履+15.下

表是測量物體質(zhì)量時，該彈簧長度與所掛物體質(zhì)量的數(shù)量關(guān)系.

025

y151925

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當彈簧長度為20c加時，求所掛物體的質(zhì)量.

【分析】(1)把x=2,y=19代入y=fcc+15中，即可算出片的值，即可得出答案;

(2)把》=20代入y=2x+15中，計算即可得出答案.

【解答】解：(1)把x=2,y=19代入＞=依+15中，

得19=2什15,

解得：k=2,

所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+15(x20)；

(2)把y=20代入y=2x+15中,

得20=2尤+15,

解得：x=2.5.

所掛物體的質(zhì)量為2.5kg.

2.如圖，直線y=；x+l與x軸交于點/，點/關(guān)于丁軸的對稱點為T,經(jīng)過點和y軸上的點8(0,

2)的直線設為＞=&+6.

(1)求點H的坐標；

(2)確定直線H5對應的函數(shù)表達式.

【分析】(1)利用直線解析式求得點/坐標，利用關(guān)于y軸的對稱

點的坐標的特征解答即可;

(2)利用待定系數(shù)法解答即可.

【解答】解：(1)令尸0,則工"1=0,

＞—2,

：.A(-2,0).

:點/關(guān)于V軸的對稱點為,

：.A'(2,0).

(2)設直線H8的函數(shù)表達式為〉=h+6,

.12k+b=0

1b=2

解得:k=-l

b=2

直線8對應的函數(shù)表達式為y=-x+2.

3.在“看圖說故事”活動中，某學習小組設計了一個問題情境：小明從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一

陣后又走到文具店買圓規(guī)，然后散步走回家.小明離家的距離y(km)與他所用的時間x(min)的關(guān)系

如圖所示：

(1)小明家離體育場的距離為如7,小明跑步的平

均速度為km/min；

(2)當15WxW45時，請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；

(3)當小明離家2加時，求他離開家所用的時間.

【分析】(1)根據(jù)圖象可以直接看到小明家離體育場的距離為2.5h〃，小明跑步的平均速度為：路程小

時間；

(2)是分段函數(shù)，利用待定系數(shù)法可求；

(3)小明離家2府時，有兩個時間，第一個時間是小明從家跑步去體育場的過程中存在離家2碗，利用

路程小速度可得此時間，第二個時間利用2c段解析式可求得.

【解答】解：(1)小明家離體育場的距離為2.5人加，小明跑步的平均速度為2至=工筋”相沅；

156

故答案為：2.5,工；

6

設8C的解析式為：y=kx+b,

則［30k+b=2.5,

I45k+b=l.5

解得：,15,

b=4.5

：.BC的解析式為：y=--x+4.5,

15

'2.5(15<x<30)

...當15WxW45時，夕關(guān)于x的函數(shù)表達式為：y=1.

1^x+4.5(30<x<45),

io

(3)當y=2時，-_l_x+4.5=2,

"15

.v.75

2

24--=12,

6

當小明離家2癡時，他離開家所用的時間為12加比或

2

4.6月13日，某港口的潮水高度y(cm)和時間x(力)的部分數(shù)據(jù)及函數(shù)圖象如下:

X(力)???1112131415161718???

y(cm)???18913710380101133202260…

(1)數(shù)學活動:

①根據(jù)表中數(shù)據(jù)，通過描點、連線(光滑曲線)的方式補全該函數(shù)的圖象.

②觀察函數(shù)圖象，當x=4時，＞的值為多少？當y的值最大時，x的值為多少？

(2)數(shù)學思考:

請結(jié)合函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)或結(jié)論.

(3)數(shù)學應用：

根據(jù)研究，當潮水高度超過260cm時，貨輪能夠安全進出該港口.請問當天什么時間段適合貨輪進出此

港口？

【分析】(1)①先描點，然后畫出函數(shù)圖象

②利用數(shù)形結(jié)合思想分析求解；

(2)結(jié)合函數(shù)圖象增減性及最值進行分析說

明；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象確定關(guān)鍵點，從而求得取

值范圍.

【解答】解：(1)①如圖:

?y(cm)

②通過觀察函數(shù)圖象，當x=4時，y=200,當y值最大時，尤=21；

(2)該函數(shù)的兩條性質(zhì)如下(答案不唯一)：

①當2WxW7時，y隨x的增大而增大；

②當x=14時，y有最小值為80；

(3)由圖象，當y=260時，x=5或x=10或x=18或x=23,

.?.當5Vx<10或18cx<23時，y>260,

即當5cx<10或18cx<23時，貨輪進出此港口.

5.某商店決定購進/、8兩種北京冬奧會紀念品.若購進/種紀念品10件，8種紀念品5件，需要1000

元；若購進/種紀念品5件，2種紀念品3件，需要550元.

(1)求購進N、8兩種紀念品的單價；

(2)若該商店決定拿出1萬元全部用來購進這兩種紀念品，考慮市場需求，要求購進N種紀念品的數(shù)

量不少于B種紀念品數(shù)量的6倍，且購進B種紀念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進貨方案？

(3)若銷售每件/種紀念品可獲利潤20元，每件8種紀念品可獲利潤30元，在第(2)間的各種進貨

方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤.

【分析】(1)設某商店購進N種紀念品每件需。元，購進3種紀念品每件需6元，根據(jù)條件建立二元

一次方程組求出其解即可；

(2)設某商店購進/種紀念品x個，購進8種紀念品y個，根據(jù)條件的數(shù)量關(guān)系建立不等式組求出其解

即可；

(3)設總利潤為沙元，根據(jù)總利潤=兩種商品的利潤之和列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求值即

可.

【解答】解：(1)設該商店購進N種紀念品每件需。元，購進8種紀念品每件需6元,

由題意,得|儂+5b=1000,

l5a+3b=550

解得卜=50,

lb=100

...該商店購進/種紀念品每件需50元，購進8種紀念品每件需100元；

（2）設該商店購進N種紀念品x個，購進8種紀念品y個，

根據(jù)題意，得50x+10Qy=10000,

由50x+100y=10000得x=200-2y,

把x=200-27代入解得yW25,

：代20,

...20WyW25且為正整數(shù)，

可取得的正整數(shù)值是20,21,22,23,24,25,

與y相對應的無可取得的正整數(shù)值是160,158,156,154,152,150,

共有6種進貨方案；

（3）設總利潤為沙元，

貝UW=20x+30y=-10y+4000,

V-10<0,

少隨y的增大而減小，

.,.當y=20時，少有最大值，沙最大=-10X20+4000=3800（元），

當購進4種紀念品160件，2種紀念品20件時，可獲得最大利潤，最大利潤是3800元.

6.當我們將一條傾斜的直線進行上下平移時，直線的左右位置也發(fā)生著變化.下面是關(guān)于“一次函數(shù)圖象

平移的性質(zhì)”的探究過程，請補充完整.

（1）如圖1,將一次函數(shù)y=x+2的圖象向下平移1個單位長度，相當于將它向右平移了個單位長

度；

（2）將一次函數(shù)尸-2x+4的圖象向下平移1個單位長度，相當于將它向（填“左”或“右”）

平移了個單位長度；

（3）綜上，對于一次函數(shù)GW0）的圖象而言，將它向下平移加（加>0）個單位長度，相當于

將它向（填“左”或“右”）（Q0時）或?qū)⑺颍ㄌ睢白蟆被?右"）"<0時）

平移了〃（">0）個單位長度，且〃？，n,人滿足等

式.

(2)根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)(1)(2)題得出結(jié)論即可.

【解答】解：(1);,將一次函數(shù)y=x+2的圖象向下平移1個單位長度得到y(tǒng)=x+27=(x-1)+2,

.?.相當于將它向右平移了1個單位長度，

故答案為：1;

(2)將一次函數(shù)》=-2x+4的圖象向下平移1個單位長度得到＞=-2x+4-1=-2(x+-1-)+4,

相當于將它向左平移了工個單位長度；

2

故答案為：左；—；

2

(3)綜上，對于一次函數(shù)y=fcc+6(30)的圖象而言，將它向下平移％(m＞0)個單位長度，相當于

將它向右(填“左”或“右”)(左＞0時)或?qū)⑺蜃?填“左”或“右”)(上＜0時)平移了〃(〃＞

0)個單位長度，且加，小人滿足等式加=川田.

故答案為：右；左；加=川用(或：當左＞0時，m=nk,當左＜0時，m=-nk).

7.為滿足顧客的購物需求，某水果店計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售.經(jīng)了解，甲水果的進價比乙水果

的進價低20%,水果店用1000元購進甲種水果比用1200元購進乙種水果的重量多10千克，已知甲，乙

兩種水果的售價分別為6元/千克和8元/千克.

(1)求甲、乙兩種水果的進價分別是多少？

(2)若水果店購進這兩種水果共150千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，則水果店

應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？

【分析】(1)設乙種水果的進價為x元，則甲種水果的進價為(1-20%)x元，由題意：用1000元購

進甲種水果比用1200元購進乙種水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；

(2)設購進甲種水果加千克，則乙種水果(150-w)千克，利潤為w元，由題意得w=-加+450,再

由甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，得加22(150-機)，然后由一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出

結(jié)論.

【解答】解：(1)設乙種水果的進價為x元，則甲種水果的進價為(1-20%)x元，

由題意得：I。。。3L+io,

(1-20%)xx

解得：x=5,

經(jīng)檢驗：x=5是原方程的解，且符合題意，

貝ij5X(1-20%)=4,

答：甲種水果的進價為4元，則乙種水果的進價為5元；

(2)設購進甲種水果加千克，則乙種水果(150-m)千克，利潤為w元，

由題意得：w=(6-4)m+(8-5)(150-m)=-加+450,

?.?甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，

加》2(150-m),

解得：杉100,

V-1<0,則W隨加的增大而減小，

當加=100時，w最大，最大值=-100+450=350,

則150-加=50,

答：購進甲種水果100千克，乙種水果50千克才能獲得最大利潤，最大利潤為350元.

8.探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過

程.結(jié)合已有經(jīng)驗，請畫出函數(shù)>=￡-慟的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì).

同

(1)繪制函數(shù)圖象

①列表：下列是x與y的幾組對應值，其中。=.

X......-5-4-3-2-112345......

y......-3.8-2.5-1155a-1-2.5-3.8......

②描點：根據(jù)表中的數(shù)值描點(x,y),請補充描出點(2,a)；

③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數(shù)圖象；

-

一

(2)探究函數(shù)性質(zhì)

請寫出函數(shù)-慟的一條性質(zhì)：:

(3)運用函數(shù)圖象及性質(zhì)

①寫出方程￡-因=5的解

②寫出不等式￡-|x|Wl的解集

【分析】(1)①把x=2代入解析式即可得a的值；

②③按要求描點，連線即可；

(2)觀察函數(shù)圖象，可得函數(shù)性質(zhì)；

(3)①由函數(shù)圖象可得答案；②觀察函數(shù)圖象即得答案.

【解答】解：(1)①列表：當x=2時，=

I2|

故答案為：1;

②描點，③連線如下:

L-/L-L-1--」

(2)觀察函數(shù)圖象可得：歹二不且丁-慟的圖象關(guān)于^軸對稱，

故答案為：y=，-|x|的圖象關(guān)于夕軸對稱(答案不唯一)；

(3)①觀察函數(shù)圖象可得：當歹=5時，、=1或1=-1,

??.[6-|R=5的解是％=1或x=-1,

IxI

故答案為：X=1或％=-1;

②觀察函數(shù)圖象可得，當xW-2或x，2時，yWl,

；.丁9丁-網(wǎng)W1的解集是xW-2或x，2,

Ix|

故答案為：xW-2或x22.

9.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)新打造的“田園風光”景區(qū)今年計劃改造一片綠化地，種植N、8兩種花卉，已知3盆/種花卉

和4盆3種花卉的種植費用為330元，4盆/種花卉和3盆B種花卉的種植費用為300元.

(1)每盆/種花卉和每盆2種花卉的種植費用各是多少元？

(2)若該景區(qū)今年計劃種植/、5兩種花卉共400盆，相關(guān)資料表明：/、8兩種花卉的成活率分別為

70%和90%,景區(qū)明年要將枯死的花卉補上相同的新花卉，但這兩種花卉在明年共補的盆數(shù)不多于80盆，

應如何安排這兩種花卉的種植數(shù)量，才能使今年該項的種植費用最低？并求出最低費用.

【分析】(1)設每盆/種花卉種植費用為x元，每盆2種花卉種植費用為y元，根據(jù)題意列出關(guān)于X、

y的二元一次方程組，求解即可；

(2)設種植/種花卉的數(shù)量為川盆，則種植8種花卉的數(shù)量為(400-m)盆，種植兩種花卉的總費用

為w元，由題意：這兩種花卉在明年共補的盆數(shù)不多于80盆，列出一元一次不等式，解得加W200,再

由題意得w=-30%+24000,然后由一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)設每盆/種花卉種植費用為x元，每盆2種花卉種植費用為y元，根據(jù)題意,

zf3x+4y=330

何B：<，

,4x+3y=300

解得：卜=30,

[y=60

答：每盆/種花卉種植費用為30元，每盆2種花卉種植費用為60元；

(2)設種植/種花卉的數(shù)量為川盆，則種植8種花卉的數(shù)量為(400-m)盆，種植兩種花卉的總費用

為w兀，

根據(jù)題意，得：(1-70%)(1-90%)(400-加)W80,

解得：mW200,

w=30m+60(400-m)=-30加+24000,

：-30<0,

；.校隨加的增大而減小，

當加=200時，w的最小值=-30X200+24000=18000,

答：種植N、8兩種花卉各200盆，能使今年該項的種植費用最低，最低費用為18000元.

10.定義：對于一■次函數(shù)為=ax+6、y2~cx+d,我們稱函數(shù)(ax+6)+n(cx+d)(ma+vcHO)為函數(shù)

”的“組合函數(shù)”.

(1)若加=3,"=1,試判斷函數(shù)y=5x+2是否為函數(shù)為=x+l、”=2%-1的“組合函數(shù)”，并說明理

由；

(2)設函數(shù)乃=x-p-2與以=-x+30的圖象相交于點尸.

①若"什〃>1,點尸在函數(shù)為、及的“組合函數(shù)”圖象的上方，求p的取值范圍；

②若函數(shù)為、竺的“組合函數(shù)”圖象經(jīng)過點P是否存在大小確定的加值，對于不等于1的任

意實數(shù)p,都有“組合函數(shù)”圖象與x軸交點。的位置不變？若存在，請求出m的值及此時點。的坐標

若不存在，請說明理由.

【分析】(1)由夕=5尤+2=3(x+1)+(2x-1),可知函數(shù)y=5x+2是函數(shù)M=X+1、yi=rlx-1的“組

合函數(shù)”；

(2)①由Jy-xP-2得尸(20+1,0-1),當x=20+l時，y^m(2p+l-p-2)+n(-2p-1+3°)=

[y=-x+3p

(0-1)(〃?+〃)，根據(jù)點P在函數(shù)為、P2的"組合函數(shù)”圖象的上方，有27>(°-1)(ZM+"),

而加+〃>1,可得?<1；

②由函數(shù)為、y2的"組合函數(shù)"y=m(x--2)+n(-x+3p)圖象經(jīng)過點P,知p-1=加(2p+l-p-

2)+n(-20-1+3°),即(p-1)(1-m-w)=0,而。#1,即得〃=1-加，可得y=(2w-1)x+3p

-(4/7+2)m,令y=0得(2m-1)x+3p-(4p+2)m=0,即(3-4m)p+(2m-1)x-2m=0,即可

得加=3時，"組合函數(shù)”圖象與x軸交點0的位置不變，。(3,0).

4

【解答】解：(1)函數(shù)y=5x+2是函數(shù)為=x+l、力=2x-1的“組合函數(shù)”，理由如下：

V3(x+1)+(2x-l)=3x+3+2x-l=5x+2,

??y=5x+2=3(x+1)+(2x-1),

，函數(shù)y=5x+2是函數(shù)為=x+l、y2=2x-1的“組合函數(shù)”；

⑵①由產(chǎn)X-P-2得(x=2p+l,

y=-x+3p[y=p-l

:?P(22+1,p-1)9

y\>g的"組合函數(shù)"為y=m(x-p-2)+n(-X+3/2),

.'.x=2/?+1時,y—m(2p+l-/?-2)+n(-20-1+3夕)=(夕-1)(加+〃)，

???點?在函數(shù)為、及的“組合函數(shù)”圖象的上方，

??p-1>(/?-1)(加+〃)，

(/?-1)(1-m-n)>0,

*.*m+n>1,

1-m-〃V0,

:.p-l<0,

，AVI；

②存在m=2■時，對于不等于1的任意實數(shù)p,都有“組合函數(shù)”圖象與x軸交點。的位置不變，Q

4

(3,0),理由如下：

由①知，P(22+1,p-1),

???函數(shù)為、”的“組合函數(shù)"丁=加Cx-p-2)+n(-x+3p)圖象經(jīng)過點尸，

:.p-1=m(2/?+1-2-2)+n(-2p-1+3/?),

(/?-1)(1-m-w)=0,

〈pWl,

/.I-m-n—OfWn—1-m,

J.y=m(x-7?-2)+n(-x+32)=m(x-72-2)+(1-m)(-x+3p)=(2m-1)x+3p-(?+2)

m,

令y=0得(2m-1)x+3p-(4^+2)冽=0,

變形整理得：(3-4m)p+(2m-1)x-2加=0,

.,.當3-4加=0,即加=3時，—x--=0,

422

.?.加=3時，"組合函數(shù)”圖象與x軸交點。的位置不變，Q（3,0）.

4

11.某水果店購進甲、乙兩種蘋果的進價分別為8元/奴、12元/彷，這兩種蘋果的銷售額y（單位：元）與

銷售量x（單位：kg）之間的關(guān)系如圖所示.

（1）寫出圖中點8表示的實際意義；

（2）分別求甲、乙兩種蘋果銷售額y（單位：元）與

銷售量x（單位：kg）之間的函數(shù)解析式，并寫出x的

取值范圍；

（3）若不計損耗等因素，當甲、乙兩種蘋果的銷售量

均為akg時，它們的利潤和為1500元，求°的值.

【分析】（1）根據(jù)圖形即可得出結(jié)論;

（2）用待定那個系數(shù)法分別求出甲、乙兩種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：修）之間的

函數(shù)解析式即可；

（3）分0WaW30和30<aW120兩種情況列方程求解即可.

【解答】解（1）圖中點3表示的實際意義為當銷量為60館時，甲、乙兩種蘋果的銷售額均為1200元

（2）設甲種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數(shù)解析式為p甲=h1W0）,

把（60,1200）代入解析式得：1200=60左，

解得人=20,

..?甲種蘋果銷售額V（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數(shù)解析式為了甲=20x（0WxW120）；

當0WZ30時，設乙種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：奴）之間的函數(shù)解析式為y乙=人,

x（左'力0）,

把（30,750）代入解析式得：750=30〃，

解得：k'=25,

??y乙=25x；

當30WxW120時，設乙種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數(shù)解析式為y乙=

mx+n（加W0），

則30m+n=750

60m+n=1200

解得:m=15

n=300

'.y乙=15x+300,

綜上，乙種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：彷）之間的函數(shù)解析式為y乙=

[25x(0<x<30)

tl5x+300(30<x<120)

(3)①當0WaW30時,

根據(jù)題意得:(20-8)a+(25-12)a=1500,

解得：a=60>30,不合題意；

②當30c.W120時，

根據(jù)題意得：（20-8）a+（15-12）a+3OO=15OO,

解得：a=80,

綜上，°的值為80.

12.為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟，我市某鎮(zhèn)鼓勵廣大農(nóng)戶種植山藥，并精加工成甲、乙兩種產(chǎn)品、某經(jīng)銷商購進甲、

乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品進價為8元/奴；乙種產(chǎn)品的進貨總金額y（單位元）與乙種產(chǎn)品進貨量x（單位

kg）之間的關(guān)系如圖所示.已知甲、乙兩種產(chǎn)品的售價分別為12元/短和18元/館.

（1）求出0WxW2000和x>2000時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若該經(jīng)銷商購進甲、乙兩種產(chǎn)品共6000檢，并能全部售出.其中乙種產(chǎn)品的進貨量不低于1600奴,

且不高于4000奴，設銷售完甲、乙兩種產(chǎn)品所獲總利潤為w元（利潤=銷售額-成本），請求出w（單

位：元）與乙種產(chǎn)品進貨量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，并為該經(jīng)銷商設計出獲得最大利潤的進

貨方案；

（3）為回饋廣大客戶，該經(jīng)銷商決定對兩種產(chǎn)品進行讓利銷售.在（2）中獲得最大利潤的進貨方案下,

甲、乙兩種產(chǎn)品售價分別降低。元/炫和2a元/修，全部售出后所獲1阮木

總利潤不低于15000元，求。的最大值.56000-------------75/

30000

【分析】⑴分當0WxW2000時，當尤>2000時，利用待定系數(shù)法1/；；

求解即可；0\2000—'4000*kg

（2）根據(jù)題意可知，分當1600WxW2000時，當20004000時，分別列出w與x的函數(shù)關(guān)系式，根

據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)題意可知，降價后，觀與x的關(guān)系式，并根據(jù)利潤不低于15000,可得出。的取值范圍.

【解答】解：(1)當0WxW2000時，設夕=/x,根據(jù)題意可得，2000〃=30000,

解得后'=15,

**y=15x；

當x>2000時，設;/=履+6,

根據(jù)題意可得，(2°00k+b=30000,

U000k+b=56000

解得『3,

lb=4000

??y—13x+4000.

.[15x(0<x<2000)

"3-tl3x+4000(x>2000),

(2)根據(jù)題意可知，購進甲種產(chǎn)品(6000-x)千克，

,.T6004W4000,

當1600WxW2000時，w=(12-8)X(6000-x)+(18-15)*x=-x+24000,

V-l<0,

.,.當x=1600時,w的最大值為-1X1600+24000=22400(元)；

當2000<xW4000時，w=(12-8)X(6000-x)+18x-(13x+4000)=x+20000,

Vl>0,

.?.當x=4000時,w的最大值為4000+20000=24000(元)，

3Lf-x+24000(1600<x<2000)

綜上，，/h.;

[x+20000(2000<x<4000)

當購進甲產(chǎn)品2000千克，乙產(chǎn)品4000千克時，利潤最大為24000元.

(3)根據(jù)題意可知，降價后，w=(12-8-a)X(6000-x)+(18-2a)x-(13x+4000)=(1-a)

x+20000-6000a,

當x=4000時，w取得最大值，

(1-a)X4000+20000-6000。215000,解得aW0.9.

：.a的最大值為0.9.

13.已知/、2兩地之間有一條長440千米的高速公路.甲、乙

兩車分別從/、8兩地同時出發(fā)，沿此公路相向而行，甲車

先以100千米/時的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇，再以另一速度繼續(xù)勻速行駛4小時到達2地;

乙車勻速行駛至/地，兩車到達各自的目的地后停止，兩車距N地的路程y(千米)與各自的行駛時間x

(時)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

(1)m=，n=；

(2)求兩車相遇后，甲車距/地的路程y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當乙車到達工地時，求甲車距/地的路程.

【分析】(1)由甲車先以100千米/時的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇可求出機=2,根據(jù)以另一

速度繼續(xù)勻速行駛4小時到達B地知n=6；

(2)用待定系數(shù)法可得y=60x+80,(2WxW6)；

(3)求出乙的速度，即可得乙到/地所用時間，即可求得甲車距/地的路程為300千米.

【解答】解：(1)由題意知：機=200+100=2,

〃=加+4=2+4=6,

故答案為：2,6；

(2)設^=h+6,將(2,200),(6,440)代入得：

[2k+b=200,

l6k+b=440

解得(k=60,

lb=80

.,.y=60x+80,(2WxW6)；

(3)乙車的速度為(440-200)4-2=120(千米/小時)，

，乙車到達/地所需時間為440+120=旦(小時)，

3

當時，^=60x11+80=300,

33

甲車距A地的路程為300千米.

14.為落實“雙減”政策，豐富課后服務的內(nèi)容，某學校計劃到甲、乙兩個體育專賣店購買一批新的體育

用品，兩個商店的優(yōu)惠活動如下:

甲：所有商品按原價8.5折出售;

乙：一次購買商品總額不超過300元的按原價付費，超過300元的部分打7折.

設需要購買體育用品的原價總額為x元，去甲商店購買實付了甲元，去乙商店購買實付y乙元，其函數(shù)圖

象如圖所示.

(1)分別求y甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)兩圖象交于點/,求點/坐標；

(3)請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出選擇去哪個體育專賣店購買體育用品更合算.

【分析】(1)根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以分別寫出了甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果和題意，令0.85x=0.7x+90,求出x的值，再求出相應的y的值，即可得到點/

的坐標.

(3)根據(jù)函數(shù)圖象和(2)中點/的坐標，可以寫出選擇去哪個體育專賣店購買體育用品更合算.

【解答】解：(1)由題意可得，

y甲=O.85x,

當0WxW300時，y^=x,

當x>300時，y乙=300+(x-300)X0.7=0.7x+90,

1ml_fx(0<x<300)

[0.7x+90(x>300)

(2)令0.85x=0.7x+90,

解得x=600,

將x=600代入0.85x得，0.85X600=510,

即點/的坐標為(600,510)；

(3)由圖象可得，

當x<600時，去甲體育專賣店購買體育用品更合算；當x=600時，兩家體育專賣店購買體育用品一樣

合算；當x>600時，去乙體育專賣店購買體育用品更合算.

ah

15.在平面直角坐標系中，P(a,6)是第一象限內(nèi)一點，給出如下定義：舟=一和左2=—兩個值中的最大

ba

值叫做點尸的“傾斜系數(shù)”k.

(1)求點尸(6,2)的“傾斜系數(shù)”人的值；

(2)①若點P(a,b)的“傾斜系數(shù)”k=2,請寫出。和6的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若點P(a,b)的“傾斜系數(shù)"k=2,且a+6=3,求。尸的長；

(3)如圖，邊長為2的正方形4BCZ)沿直線ZC：y=x運動，P(a,b)是正方形4BCD上任意一點，

且點P的“傾斜系數(shù)”左<V3,請直接寫出a的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)“傾斜系數(shù)”人的定義直接計算即可；

（2）①根據(jù)“傾斜系數(shù)”人的定義分情況得出結(jié)論即可；

②根據(jù)“傾斜系數(shù)”人的定義求出P點坐標，進而求出0P的值即可；

（3）根據(jù)左的取值，分情況求出。的取值范圍即可.

【解答】解：（1）由題意知，左=2=3,

2

即點P（6,2）的“傾斜系數(shù)”左的值為3；

（2）①；點尸（a,b）的“傾斜系數(shù)"k=2,

.?.曳=2或亙=2,

ba

即a=2b或b=2a,

?9?a和b的數(shù)量關(guān)系為a=2b或b=2a；

②由①知，a=2b或b=2a

*.>〃+b=3,

"a=l或卜=2,

lb=2[b=l

-?OP=4F+22=Vs；

（3）由題意知，滿足條件的尸點在直線夕=向丫和直線之間，

3

①當尸點與。點重合時，且左=百時，尸點在直線>=禽》上，。有最小臨界值,

如圖：此時aV6,

連接0D,延長。/交x軸于E,

7

/Z

此時且=?,

a

則空2g

a

解得+1,

此時3點的坐標為（?+3，愿+1），

且左=坐上1=?

V3+1

a>\/"3+1;

尸點在直線了=返式上，a