河南省駐馬店市青桐鳴2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省駐馬店市青桐鳴2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】因?yàn)橹本€，其中為常數(shù)，故直線的傾斜角為.故選：A.2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于（）對(duì)稱(chēng)A.平面 B.軸 C.平面 D.平面【答案】C【解析】易得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)．故選：C．3.在四面體中，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在中，，在中，，故.故選：A.4.已知，直線的方向向量與直線的方向向量共線，則這兩條直線之間的距離為（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，所以，解得，故兩直線方程分別為，，故這兩條平行線之間的距離為.故選：B.5.已知雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)焦點(diǎn)為，若點(diǎn)分別在的兩條漸近線上，且滿足四邊形為正方形，則的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】由題意知四邊形為正方形，由于點(diǎn)分別在的兩條漸近線上，可知的兩條漸近線互相垂直，故漸近線方程為，所以該雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)相等，即,故雙曲線的離心率為．故選：B．6.圓與圓的公共弦長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】?jī)蓤A方程作差可得兩圓交點(diǎn)所在的直線方程為，又因?yàn)閳A心到直線的距離，故兩圓公共弦長(zhǎng)為．故選：C．7.某中學(xué)高二年級(jí)入學(xué)進(jìn)行了一場(chǎng)為期一周的軍訓(xùn)，在軍訓(xùn)過(guò)程中，教官根據(jù)班級(jí)表現(xiàn)從各個(gè)維度進(jìn)行評(píng)分，最終評(píng)出“先進(jìn)集體”“作風(fēng)優(yōu)良班級(jí)”“紀(jì)律優(yōu)良班級(jí)”“素質(zhì)優(yōu)良班級(jí)”四個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)．已知總共有三個(gè)班級(jí)獲獎(jiǎng)，其中有兩個(gè)班級(jí)均獲得了“先進(jìn)集體”，剩余三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)每個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)均只有一個(gè)班級(jí)獲得，則所有的頒獎(jiǎng)方式有（）A.57種 B.60種 C.114種 D.120種【答案】A【解析】設(shè)獲獎(jiǎng)的三個(gè)班級(jí)分別為，，，首先分配“先進(jìn)集體”獎(jiǎng)，有（種）可能；繼續(xù)分配“作風(fēng)優(yōu)良班級(jí)”“紀(jì)律優(yōu)良班級(jí)”“素質(zhì)優(yōu)良班級(jí)”這三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，每個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)分別有，，三種可能，于是有（種）可能，相乘一共有（種）可能，其中一個(gè)班級(jí)一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)都不獲得，也就是分配“作風(fēng)優(yōu)良班級(jí)”“紀(jì)律優(yōu)良班級(jí)”“素質(zhì)優(yōu)良班級(jí)”這三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)時(shí)均分配到兩個(gè)獲得“先進(jìn)集體”獎(jiǎng)的班級(jí)，共有（種）可能；兩者相減得所有的頒獎(jiǎng)方式有（種）．故選：A．8.對(duì)于次二項(xiàng)式，取，可以得到．類(lèi)比此方法，可以求得（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得，令，得，令，得，兩式作差，可得，故．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，，這三條直線有唯一公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的可能取值有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由題意可得這三條直線交于同一點(diǎn)，聯(lián)立，解得直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，把交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的方程可得，解得或，故選：AC．10.記，其二項(xiàng)展開(kāi)式為，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若的二項(xiàng)展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則一定是7的倍數(shù)B.若的二項(xiàng)展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則一定是6的倍數(shù)C.若是奇數(shù)，則的二項(xiàng)展開(kāi)式中第項(xiàng)為系數(shù)最大的項(xiàng)D.若是偶數(shù)，則的二項(xiàng)展開(kāi)式中第項(xiàng)為二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)【答案】AD【解析】若存在常數(shù)項(xiàng)，設(shè)第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即為常數(shù)項(xiàng)，所以是常數(shù)，即，即，又因?yàn)闉檎麛?shù)，故一定是7的倍數(shù)，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，二項(xiàng)展開(kāi)式的第項(xiàng)為，其系數(shù)為，不能確定正負(fù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，二項(xiàng)展開(kāi)式的第項(xiàng)為，其二項(xiàng)式系數(shù)是最大的，故D正確．故選：AD．11.如圖，在多面體中，是以角為直角的等腰直角三角形，，是等邊三角形，平面平面，是空間中的一點(diǎn)，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.在上的投影向量為C.直線上的點(diǎn)到直線的最短距離為2D.平面與平面所成角的余弦值為【答案】BD【解析】取的中點(diǎn)為，連接，．因?yàn)槭堑冗吶切危?，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槭且越菫橹苯堑牡妊苯侨切?，所以，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)椋?，故，故A錯(cuò)誤．，，故在上的投影向量為，故B正確．因?yàn)?，若直線上的點(diǎn)到直線的最短距離為2，則是直線與直線的公垂線．連接，則，則為等腰三角形，，不可能垂直，故不是直線與直線的公垂線，故C錯(cuò)誤．設(shè)平面的法向量為，則，即不妨令，則，，則，易知平面的一個(gè)法向量為，故平面與平面所成角余弦值為，故D正確．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間向量，，則______．【答案】【解析】由題意可得，故．故答案為：.13.______．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】，故答案為：.14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，圓與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則直線的斜率為_(kāi)_____．【答案】【解析】由已知，可知圓是以為直徑的圓，則，即，設(shè)，則，由橢圓的定義可得，，故，而，故，故，解得，則，故直線的斜率為，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程，并說(shuō)明的圓心坐標(biāo)與半徑；（2）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，且直線的斜率存在，求的一般式方程.解：（1）由題意可設(shè)圓的一般方程為，代入三點(diǎn)坐標(biāo)可得，解得，所以圓的一般方程為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，易得圓心為，半徑.（2）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的切線的斜率存在，所以設(shè)切線的方程為，即，則圓心到切線的距離，解得，故的一般式方程為.16.在以為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)．（1）求的準(zhǔn)線方程；（2）求直線，的斜率之積．解：（1）把點(diǎn)代入拋物線方程，可得，解得或（舍去），故拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為．（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立，可得，則，故，故直線的斜率之積為．17.如圖,在四棱錐中,平面平面,，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取的中點(diǎn)，連接．因，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，故平面．以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，，，，故，，故，故異面直線與所成角的余弦值為．（2）由（1）得，，設(shè)平面的法向量為，則即易知，令，則，即．設(shè)直線與平面所成的角為，易得，則，故直線與平面所成角的正弦值為．18.現(xiàn)有體積均相同但質(zhì)量均不同的紅球個(gè)、白球個(gè)、黑球個(gè)，將這個(gè)小球放入恰好能容納個(gè)小球的圓柱形卡槽內(nèi)．（1）若同種顏色的球必須相鄰，試問(wèn)共有多少種不同的放法？（2）若個(gè)白球互不相鄰，且質(zhì)量最大的白球不能放在卡槽的兩端，試問(wèn)共有多少種不同的放法？（3）若個(gè)紅球之間有且僅有白球和黑球各個(gè)，試問(wèn)共有多少種不同的放法？解：（1）個(gè)紅球全排列有種方法，個(gè)白球全排列有種方法，個(gè)黑球全排列有種方法，同種顏色的球捆綁在一起進(jìn)行全排列有種方法，所以共有種不同的放法；（2）先排紅球和黑球，共有種方法，且質(zhì)量最大的白球不在卡槽的兩端，則有種方法，最后排剩余的個(gè)白球有種方法，所以共有種不同的放法；（3）兩個(gè)紅球的放法有種，接著任選個(gè)白球、個(gè)黑球放入兩個(gè)紅球中間，有種方法，再將這個(gè)小球捆綁在一起與剩余的個(gè)小球進(jìn)行全排列有種，所以共有種不同的放法.19.已知過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)．當(dāng)直線垂