湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以直線的斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：C.2.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則的值為（）A.9 B.10 C.16 D.18【答案】D【解析】由題意，設(shè)等差數(shù)列，因?yàn)?，可得，因?yàn)?，解得，又?故選：D.3.設(shè)，，若，則m的值為（）A.5 B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋瑒t，即，所以，得.故選：C.4.已知一個(gè)動(dòng)圓P與兩圓：和：都外切，則動(dòng)圓P圓心的軌跡方程為（）A.（） B.C.（） D.（）【答案】A【解析】由題意易知兩圓圓心分別為，半徑分別為，設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑，則根據(jù)題意有,根據(jù)雙曲線的定義知的軌跡是以原點(diǎn)為中心，為左右焦點(diǎn)，為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的左支，故其軌跡方程為：.故選：A5.已知兩點(diǎn),,若直線上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，故直線與圓有交點(diǎn)，則圓心到直線的距離，所以.故選：D6.已知橢圓（）的兩焦點(diǎn)分別為、．若橢圓上有一點(diǎn)P，使，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，不妨設(shè)，由點(diǎn)在橢圓上可得：①，由余弦定理可得：，化簡(jiǎn)得：②，由①式兩邊平方再減去②式，得：，于是的面積為.故選：D.7.已知拋物線（），O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F作斜率為的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B,直線AO，BO分別交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C，D,則為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示，由拋物線，可得，準(zhǔn)線方程為，則過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F作斜率為的直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則且，則，根據(jù)拋物線的定義，可得，又由，所以直線的方程為，令，可得，因?yàn)椋傻?，所以，同理可得，所以，所?故選：A.8.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比為q，則“”是“數(shù)列是遞減數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，即，又，所以遞減數(shù)列，若是遞減數(shù)列，則，所以，所以“”是“數(shù)列是遞減數(shù)列”充要條件.故選：B.二、多選題：共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】CD【解析】A選項(xiàng)，若，，則可能異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若，，則可能相交，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若，，則（線面垂直的性質(zhì)定理），C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，若，，則（垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行），D選項(xiàng)正確.故選：CD10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且數(shù)列即是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則（）A.是等比數(shù)列 B.是等差數(shù)列 C.是遞增數(shù)列 D.是遞減數(shù)列【答案】ABC【解析】令，則，設(shè)數(shù)列的公差為，又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，則，即，解得，即數(shù)列為常數(shù)列，①，當(dāng)時(shí)，②，①②得，即，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即，當(dāng)時(shí)仍成立，AC說(shuō)法正確；令，則是常數(shù)，所以是等差數(shù)列，B說(shuō)法正確；令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以不是遞減數(shù)列，D說(shuō)法錯(cuò)誤；故選：ABC11.已知拋物線C：焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為2B.若點(diǎn)，則周長(zhǎng)最小值為C.若點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為D.若點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng),且P到y(tǒng)軸距離為,則最小值為【答案】ABC【解析】易知，設(shè)，則，又，所以，當(dāng)時(shí)取得最小值，故A正確；如圖所示分別過(guò)向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，根據(jù)拋物線的定義可知，則周長(zhǎng)為,當(dāng)且僅當(dāng)在與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取得等號(hào)，故B正確；如圖所示，設(shè)，則，又，所以，當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)的最小值為，即Q在線段上時(shí)，故C正確；如圖所示，分別過(guò)向直線作垂線，垂足分別為，由拋物線的定義可知：，當(dāng)且僅當(dāng)重合且P在線段上時(shí)取得最小值，由點(diǎn)到直線的距離可知，所以最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC12.已知橢圓C：（，）右焦點(diǎn)為F，M，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且不在坐標(biāo)軸上，線段FM、FN的中點(diǎn)分別為A，B，且，則橢圓C的離心率可以為（）A B. C. D.【答案】AC【解析】設(shè)橢圓短軸一個(gè)端點(diǎn)為P，左焦點(diǎn)為，連，，因?yàn)镸，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則為平行四邊形，∵，由三角形中位線定理，可知∴，則，由橢圓得，當(dāng)且僅當(dāng)，即為短軸的端點(diǎn)時(shí)，取最小值，又因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以為短軸的端點(diǎn)時(shí)，最大，所以，∴，∴，則，∴，所以A、C正確.故選：AC三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．13.點(diǎn)到直線的距離最大值是____________．【答案】【解析】由題意得，直線過(guò)定點(diǎn)，則，如圖所示，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離最大值，且最大值為.故答案為：.14.設(shè)，為橢圓C：的左右焦點(diǎn)，M為橢圓C上一點(diǎn)，且在第一象限，若為等腰三角形，則線段的長(zhǎng)為____________．【答案】2【解析】依題意，，由橢圓定義，知，由為等腰三角形，知，所以.故答案為：215.已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為7，若，則的值為____________．【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，且，可得，解得，所以的值為.故答案為：.16.已知正三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，若，且，則正三棱錐外接球的半徑為____________．【答案】【解析】設(shè)正三棱錐的底面中心為點(diǎn)，連接，則面，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，因?yàn)榈酌媸钦切?，則為的中點(diǎn)，，，又，面，面，所以面，又因?yàn)槊妫?，又因?yàn)?，，因?yàn)椋?，故面，又因?yàn)槊妫悦?，因?yàn)槊?，面，所以，因?yàn)槿忮F是正三棱錐，且底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以兩兩垂直，且，將其補(bǔ)形成棱長(zhǎng)為正方體，如圖：所以正三棱錐外接球的半徑為.故答案為：四、解答題：共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知圓心為圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,當(dāng)最小時(shí)，求的值．解：（1）因?yàn)閳A心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，所以圓心在線段中垂線上，因?yàn)?，線段中點(diǎn)為，所以圓心在直線，即上，聯(lián)立得圓心，圓的半徑為，所以圓的方程為.（2）由題意可知，所以，所以當(dāng)取最小值時(shí)最小，此時(shí)，所以此時(shí)．18.已知數(shù)列{}的首項(xiàng)．（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1），則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即（2）由（1）可知，，則利用分組求和以及錯(cuò)位相消的方法可得，19.如圖,平行六面體的底面是菱形,且,，．（1）求的長(zhǎng)．（2）求異面直線與所成的角的余弦值．解：（1），所以，即的長(zhǎng)為.（2），又由余弦定理得，所以設(shè)所求異面直線所成角為，.20.已知數(shù)列滿足，，（1）證明：是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求前10項(xiàng)的和．解：（1）∵∴，又，，是以3為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，∴∴前10項(xiàng)的和為.21.如圖，已知四棱錐,面，四邊形中，，，，,,點(diǎn)A在平面內(nèi)的投影G恰好是的重心．（1）求證：平面⊥平面；（2）求線段的長(zhǎng)及直線與平面所成的角的正弦值．解：（1）∵平面，平面，∴，又∵，，平面，∴平面，又面，平面⊥平面.（2）如圖，過(guò)作的平行線交于E，則兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，以所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，則，，由可得：，解得：，即，則，取中點(diǎn)H，則，易得，又，平面，∴面，又，故為平面的法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則，∴直線與平面所成的角正弦值為.22.已知橢圓E：（）的左右頂點(diǎn)分別為A，B，焦距為2，P是橢圓E上異于A，B的任意一點(diǎn)，若直線PA，PB斜率之積為．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓E的