吉林省長春市文理高中2025屆高三上學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林省長春市文理高中2025屆高三上學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題（本試卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，∴，即，，∴，故選：D.2.已知平面向量，則（）A. B. C.1 D.4【答案】D【解析】由，得，即.故選：D.3.已知函數(shù)則（）A. B. C.1 D.4【答案】B【解析】由題意，.故選：B.4.在年巴黎奧運(yùn)會(huì)上，我國網(wǎng)球選手鄭欽文歷經(jīng)場比賽，勇奪巴黎奧運(yùn)會(huì)女子網(wǎng)球單打冠軍，書寫了中國網(wǎng)球新的歷史．某學(xué)校有2000名學(xué)生，一機(jī)構(gòu)在該校隨機(jī)抽取了名學(xué)生對鄭欽文奧運(yùn)會(huì)期間場單打比賽的收看情況進(jìn)行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如下：觀看場次觀看人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的百分比從表中數(shù)據(jù)可以得出的正確結(jié)論為（）．A.表中的數(shù)值為B.觀看場次不超過場的學(xué)生的比例為C.估計(jì)該校觀看場次不超過場的學(xué)生約為人D.估計(jì)該校觀看場次不低于場的學(xué)生約為人【答案】D【解析】由表可知，，解得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；觀看場次不超過場的學(xué)生的比例為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；觀看場次不超過場的學(xué)生的比例為，則觀看場次不超過場的學(xué)生約為人，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；觀看場次不低于場的學(xué)生的比例為，則觀看場次不低于場的學(xué)生約為人，選項(xiàng)D正確．故選：D5.在單位圓中，已知角是第二象限角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，因?yàn)榻鞘堑诙笙藿?，所以，所以，故選：C.6.已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，即，即，則，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，即，則，即，所以.故選：C7.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖：在中，，由余弦定理：,所以，所以外接圓半徑為，即.在直角三角形中，，，所以.設(shè)棱錐外接球半徑為，在直角三角形中，，解得：.所以球的表面積為：.故選：A8.已知是橢圓左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn).過點(diǎn)作直線的垂線，過點(diǎn)作直線的垂線.若的交點(diǎn)在上(均在軸上方)，且，則的離心率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，設(shè)，，，由題意可知，，則直線的斜率，可知直線的方程為，同理可得的方程為，聯(lián)立方程，解得，即，因?yàn)樵谏?，可知關(guān)于軸對稱，且，則，可得，又因?yàn)?，即，所以，整理得，解得?舍去)，則，所以橢圓的離心率為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，任意復(fù)數(shù)都可以表示為三角形式，其中為復(fù)數(shù)的模，是以軸的非負(fù)半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線為終邊的角（也被稱為的輻角）．利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，法國數(shù)學(xué)家棣莫佛發(fā)現(xiàn)，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫佛定理，根據(jù)以上信息，若復(fù)數(shù)滿足，則可能的取值為（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】設(shè)，其中，則，故，，∵，∴，故，則故，則，故，故BD正確，AC錯(cuò)誤；故選：BD.10.已知的部分圖象如圖所示，則（）A. B.在區(qū)間單調(diào)遞減C.在區(qū)間的值域?yàn)?D.在區(qū)間有個(gè)極值點(diǎn)【答案】AD【解析】對于A，由圖象得，，則，故，此時(shí)，將代入函數(shù)解析式，得，故，，解得，，因?yàn)?，所以，此時(shí)，則，選項(xiàng)A正確；對于B，令，，解得，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即在區(qū)間上不單調(diào)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，所以，即，即在上的值域?yàn)?，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，而，，，，易知在區(qū)間內(nèi)無其他極值點(diǎn)，即當(dāng)且僅當(dāng)取時(shí)，取得極值，選項(xiàng)D正確.故選：AD.11.已知時(shí)，，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】設(shè)，，，由得，所以時(shí)，或.A和B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，，故.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減.故，即，所以有，即，.設(shè)，由題意可知，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，得，由得，，當(dāng)時(shí)，由得，則，故B正確，取，，，則，故A錯(cuò)誤；C和D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，由題意，恰為，兩交點(diǎn)，所在直線，則則由對數(shù)平均不等式知，.故，故CD正確故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，則實(shí)數(shù)______.【答案】1【解析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，可得，代入通項(xiàng)公式可得，解得.故答案為：1.13.若動(dòng)直線，圓，則直線與圓相交的最短弦長為__________．【答案】【解析】直線，則，令，解得，所以動(dòng)直線恒過點(diǎn)，又圓的圓心為，半徑，所以，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以當(dāng)直線時(shí)直線與圓相交的弦長最短，最短弦長為.故答案為：14.已知函數(shù)，曲線在不同的三點(diǎn)處的切線斜率均為3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)圖象在不同的三點(diǎn)處的切線斜率均為3，所以有三個(gè)不同的根，即有三個(gè)不同的根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象和函數(shù)圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，下面分析函數(shù)圖象，，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，且；當(dāng)時(shí)，.函數(shù)圖象如圖所示結(jié)合圖象可知，的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算歩驟）15.已知某學(xué)校為提高學(xué)生課外鍛煉的積極性，開展了豐富的課外活動(dòng)，為了解學(xué)生對開展的課外活動(dòng)的滿意程度，該校隨機(jī)抽取了350人進(jìn)行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：性別課外活動(dòng)合計(jì)滿意不滿意男150100250女5050100合計(jì)2001503500.10.050.012.7063.8416.635（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對課外活動(dòng)的滿意情況與性別因素有關(guān)聯(lián)？（2）從這350名樣本學(xué)生中任選1名學(xué)生，設(shè)事件“選到的學(xué)生是男生”，事件“選到的學(xué)生對課外活動(dòng)滿意”，比較和的大小.附：解：（1）提出零假設(shè)：該校學(xué)生對課外活動(dòng)的滿意情況與性別因素?zé)o關(guān)聯(lián)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，即認(rèn)為該校學(xué)生對課外活動(dòng)的滿意情況與性別因素?zé)o關(guān)聯(lián)．（2）依題意得，，，，，所以，，則．16.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對邊，且，的面積為.（1）求；（2）為邊上一點(diǎn)，滿足，求的長.解：（1）因?yàn)?，根?jù)正弦定理可得：,又，所以所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，故，所以.因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，所以，所以.（2）如圖：因?yàn)?，所?由余弦定理：.所以.所以為等邊三角形.又，所以.在中，.所以.17.如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且D為棱AB的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．解：（1）證明：由三棱柱的性質(zhì)可知．因平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且是等邊三角形，所以．因?yàn)槠矫?，且，所以平面．?）取的中點(diǎn)，連接．由題意可得兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，故．設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．18.已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過定點(diǎn)，且與圓內(nèi)切.（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；（2）設(shè)軌跡C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為軌跡C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PB交直線于點(diǎn)T，連接AT交軌跡C于點(diǎn)Q；直線AP，AQ的斜率分別為，.（i）求證：為定值；（ii）設(shè)直線，證明：直線PQ過定點(diǎn).解：（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，圓的圓心，半徑，顯然點(diǎn)在圓內(nèi)，則，于是，因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，長半軸長，半焦距，則短半軸長，所以軌跡C的方程為.（2）（i）證明：設(shè)，，，由（1）知，，顯然，，而，則，，又，即，所以，為定值.（ii）證明：由消去x得，，由（i）得，又，則，解得，滿足，因此直線PQ的方程為，所以直線PQ過定點(diǎn).19.已知函數(shù)，且在上的最小值為0.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意實(shí)數(shù)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)S．（i）求證：函數(shù)在上具有性質(zhì)S；（ii）記，其中，求證：.解：（1），，，，，令，，等號不同時(shí)取，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，①若，即，，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，符合題意.②若，即，此時(shí)，，又函數(shù)在的圖象不間斷，據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，與題意矛盾，舍