江蘇省無錫市三校聯(lián)誼2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省無錫市三校聯(lián)誼2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題（時(shí)間：120分鐘滿分150分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知，是兩個(gè)復(fù)數(shù)，則“，互為共軛復(fù)數(shù)”是“為實(shí)數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】設(shè)，若“，互為共軛復(fù)數(shù)”，則，故，故“為實(shí)數(shù)”成立，若“為實(shí)數(shù)”，取，則為實(shí)數(shù)成立，但，不互為共軛復(fù)數(shù)，故“，互為共軛復(fù)數(shù)”是“為實(shí)數(shù)”的充分不必要條件，故選：A.2.已知集合，且，則集合可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，A中集合不合題意，B中集合為或，也不合題意，C中集合為，不合題意，D中集合為，滿足題意．故選：D．3.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得，即.已知，即，將代入可得：，即，解得.所以.根據(jù)，可得：.故選：B.4.已知向量，滿足，，且在上的投影向量為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，且在上的投影向量為，所以，所以，故選：A.5.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，且，則當(dāng)取最大值時(shí)，（）A.10 B.20 C.25 D.50【答案】D【解析】∵，∴，由已知，得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列5，所以，故選：D6.若斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實(shí)數(shù)的值為（）A.2 B.0或 C.0或2 D.【答案】B【解析】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，由，則，則，即切點(diǎn)為，所以直線為，又直線與圓都相切，則有，解得或．故選：B7.已知橢圓，為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作與直線和平行的直線，分別交、交于、兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)過點(diǎn)分別與直線、平行的直線為、，如圖：設(shè)、、Px0,y0，則，顯然四邊形為平行四邊形，故的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，則，即，又因?yàn)闄E圓上任意一點(diǎn)，所以，即，即，而，所以當(dāng)時(shí)，.故選：A.8.已知某正三棱柱的外接球的表面積為，則該正三棱柱的體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)外接球的半徑為，則，解得.設(shè)正三棱柱的底面三角形的邊長為，則該三角形的外接圓的半徑為，故三棱柱的高為，所以該正三棱柱的體積，由，解得，令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以函數(shù)在時(shí)取得最大值，因?yàn)?，所以該正三棱柱的體積的最大值為.故選：C二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)?，，所以，，，，故A正確，B錯(cuò)誤；所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，則，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.有兩個(gè)極值點(diǎn) B.的圖象關(guān)于對稱C.有三個(gè)零點(diǎn) D.是的一個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】對于B選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，，故函?shù)的圖象關(guān)于對稱，故B錯(cuò)誤；對于函數(shù)，求導(dǎo)可得：，對于ACD選項(xiàng)，令，解得，可得下表：極大值極小值則，，所以，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故A正確，作出函數(shù)圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故C正確，，故D正確.故選：ACD.11.在年巴黎奧運(yùn)會藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國隊(duì)以分的成績奪得金牌，這是中國藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)、、后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），、為與其中兩條曲線的交點(diǎn)，若，則（）A.開口向上的拋物線的方程為B.C.直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D.陰影區(qū)域面積不大于【答案】BCD【解析】對于A，由題意，開口向右的拋物線方程為，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為,將其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的拋物線開口向上，焦點(diǎn)為，則其方程為，即，故A錯(cuò)誤；對于B，根據(jù)A項(xiàng)分析，由可解得，或，即，代入可得，由圖象的對稱性，可得、，故，即B正確；對于C，設(shè)直線與拋物線相切，聯(lián)立可得，由可得，且方程即為，解得，，此時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線與拋物線相切，聯(lián)立可得，由可得，此時(shí)方程即為，解得，，此時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為2,1，兩切點(diǎn)連線的斜率為，即切點(diǎn)的連線與直線垂直，故當(dāng)、時(shí)，取最大值，且其最大值為，C對；對于D，根據(jù)對稱性，每個(gè)象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，對函數(shù)求導(dǎo)得，則拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，該切線交軸于點(diǎn)，所以，半個(gè)花瓣的面積必小于，故原圖中的陰影部分面積必小于，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知函數(shù)，若為偶函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的值是__________．【答案】2【解析】為偶函數(shù)，所以，，得，，當(dāng)x∈0,π時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得：，所以.故答案為：213.已知、分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線左支交于A，B兩點(diǎn)，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)B，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】因?yàn)?、分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線左支交于A，B兩點(diǎn)，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)B，得，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，解得，則，在中，由勾股定理得，化簡得，，所以的離心率.故答案為：14.在中，內(nèi)角所對的邊分別為（）.已知，則的最大值是__________.【答案】【解析】由，則由正弦定理可得，，所以或，而，且，即，所以，且，即，，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，則在上遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上遞減；所以.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，已知、、成等差數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為數(shù)列和的前項(xiàng)和，試比較與的大小.解：（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為的等比數(shù)列且、、成等差數(shù)列，設(shè)的公比為，由，可得，解得：或（舍去）.故，.（2）由（1）可得.數(shù)列的前項(xiàng)和，①則.②由①②得，即.由，可得.16.如圖，已知直線與拋物線C：交于兩點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，（1）求的值．（2）若線段的垂直平分線于拋物線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求的面積.解：（1）設(shè)Ax因?yàn)榻挥邳c(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，聯(lián)立，消去可得，，則，因?yàn)?，所以，即，即，解得，?）設(shè)線段的中點(diǎn)為，由（1）知，所以，所以，即，聯(lián)立，消去可得，，設(shè)，則，所以，又點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為.17.已知三棱錐中，平面平面，平面．（1）求證：（2）若二面角的正弦值為，且，，求．（1）證明：過作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又平面，平面，所以，因?yàn)槠矫?，且所以平面，平面，因此．?）解：方法一：過作于，連接，則平面，所以，所以即為二面角的平面角，所以，，又有（1）可得，設(shè)，則，所以，所以，從而；方法二：同方法一得，，設(shè)，則，所以，解得，從而；方法三：如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，記二面角為，設(shè)，由法一可知，，，，設(shè)面的法向量為，則，即，令，得，又面的法向量為，記二面角為，則，所以，解得，則，所以.方法四：如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，有，，設(shè)面的法向量為，有，即，令，得，又面的法向量為，記二面角為，則，則，所以，解得，又，即，所以，則.18.在中，角、、的對邊是、、，已知，為常數(shù)．（1）若，，求面積的最大值；（2）若，，求的值．解：（1）方法一：當(dāng)時(shí)，，由余弦定理得，所以，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以面積的最大值為.方法二：時(shí)，，即以所在的直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)，由得，化簡得，即的軌跡方程為，所以面積的最大值為.（2）方法一：由及正弦定理可知，由及，得，整理可得，解得或（舍），故.方法二：不妨設(shè)，則.由可得，所以，解得，所以，因此.方法三：不妨設(shè)，則，即，.以所在直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，顯然有、，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且長軸長為的橢圓（除去長軸端點(diǎn)），設(shè)橢圓方程為，則，，，故橢圓方程為，即點(diǎn)在橢圓上.設(shè)，其中，則，，，，因?yàn)?，，，，由可得，化簡即得，從?故，從而.19.已知直線與軸交于點(diǎn)，與曲線交于兩點(diǎn)（其中在第一象限，在第二象限）．（1）若，試比較與的大?。唬?）①若點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，證明：；②設(shè)，若，證明．（1）解：由，得到，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)