遼寧省名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，則的值是（）A.4 B.5 C.7 D.9【答案】A【解析】由以及可得；即，所以，解得.故選：A2.對(duì)于非零向量是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)?，反之不能推出所以是必要不充分條件.故選：B.3.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由得：；對(duì)于A，，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又，，B正確；對(duì)于C，，，即，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，D錯(cuò)誤.故選：B.4.已知等差數(shù)列的公差為，若成等比數(shù)列，則等于（）A. B.2 C.0或 D.0或2【答案】C【解析】成等比數(shù)列，則有，等差數(shù)列的公差為，所以，得，解得或.故選：C.5.函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，與圖象矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則，與圖象矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，無意義，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因，則，由知函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱；且當(dāng)時(shí)，，無意義；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，該圖象均符合，即D正確.故選：D.6.已知是三個(gè)不同的平面，是三條不同的直線，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.，則三條交線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0或1【答案】D【解析】對(duì)于A，若，則也可能為，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則也可能是異面直線，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，也可以是，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)分別為三棱柱的三個(gè)側(cè)面時(shí)，此時(shí)兩兩平行，交點(diǎn)為0；當(dāng)分別為正方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面時(shí)，此時(shí)交于同一點(diǎn)，交點(diǎn)為1；即可得D正確.故選：D7.已知橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則（）A.6 B.4 C. D.2【答案】B【解析】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接，取的中點(diǎn)為，如下圖所示：由橢圓定義可知，又，可得；易知，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，可得.故選：B8.已知函數(shù)，且，則（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】因?yàn)?，其定義域?yàn)椋瑒t，故有，又，則，因?yàn)?，所以，?，因?yàn)?，所?故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，下列選項(xiàng)能正確表示數(shù)列的公式有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對(duì)A，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，不符合數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由，可得，由可得，故，由，可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；由，可知當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.故該遞推公式符合數(shù)列，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，不符合數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，符合數(shù)列的通項(xiàng)公式，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，下列說法正確有（）A.對(duì)，函數(shù)B.若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則C.對(duì)，函數(shù)D.若，則【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，即，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的圖象的對(duì)應(yīng)的函數(shù)是，即，則，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：若，函數(shù)在上是增函數(shù)，且，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，又，所以，即，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.11.如圖，曲線稱為“雙紐線”，其對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且上的點(diǎn)滿足到點(diǎn)和的距離之積為定值，則（）A.若，點(diǎn)在曲線上B.若，曲線的方程為C.若，曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1D.若點(diǎn)在上，則【答案】ACD【解析】由圖可知，原點(diǎn)在曲線上，則.選項(xiàng)A，若，則，，由圖可設(shè)曲線與x軸正半軸相交于，則由可得，解得，故A正確；選項(xiàng)B，若，則，設(shè)曲線C上任一點(diǎn)坐標(biāo)為，則，兩邊平方得，即，所以，即，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，若，則，設(shè)曲線C上任一點(diǎn)坐標(biāo)為，則，同理化簡得，得，由方程有解可得，所以，則，又令，解得，即當(dāng)時(shí)，，故C正確；選項(xiàng)D，由，設(shè)曲線C上任一點(diǎn)坐標(biāo)為，則，同理化簡可得，由圖可知，所以，即若點(diǎn)在C上，恒有成立，故D正確．故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為___________．【答案】【解析】由題意知，，又為純虛數(shù)，所以，解得.故答案為：-113.《九章算術(shù)》第五章“商功”問題十七：今有羨除〖備注〗，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺.問積幾何？大意是：今有墓道（如圖②，平面平面），下寬（長）6尺，上寬（長）1丈（1丈尺），深（與距離）3尺，末端寬（長）8尺，無深，長（與距離）7尺.它體積是__________立方尺.〖備注〗羨除：墓道，此處是指三面為等腰梯形，其他兩側(cè)面為三角形的五面體.【答案】84【解析】如圖，連接FC，F(xiàn)B，所求體積為四棱錐和三棱錐體積之和，故答案為：84.14.表示函數(shù)當(dāng)自變量時(shí)的最大值，表示函數(shù)當(dāng)自變量時(shí)的最小值，已知函數(shù)，則=_________.【答案】【解析】由題意得，所以，由于當(dāng)時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)，，故，故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，其中.（1）若曲線在點(diǎn)處與軸相切，求的值；（2）若3是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求的值.解：（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，因?yàn)榍€在點(diǎn)處與軸相切，所以，所以，則，解得：.（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，若，則，令，可得：或，令，可得：，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以在處取的極小值，所以；若，則，令，可得：，令，可得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取的極小值，所以，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞增，無極小值，綜上：.16.如圖，在四邊形中，，且，.（1）求面積；（2）若，求的長.解：（1）∵，∴.設(shè)，則.由得，，∴，即，整理得，∵，∴，故，，即，∴，即，∴，，∴的面積為.（2）由（1）得，，.∵，∴.中，由余弦定理得，即，解得或.17.已知橢圓的長軸長是，為右頂點(diǎn)，，，，是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意四個(gè)點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線和的斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)直線和的斜率之積為定值時(shí)，直線是否過一個(gè)定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.解：（1）由已知，即，所依橢圓方程為，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則，所以，所以，又，所以，，所以，則，所以橢圓方程為；（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，點(diǎn)，（），則，，且，即，所以，解得，即此時(shí)直線方程為；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，由題可設(shè)直線方程為，舍Mx1,y1聯(lián)立直線與橢圓方程得，則，即，且，，又，，則，即，即，化簡可得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線方程為y=kx-2k當(dāng)時(shí)，直線方程為，過定點(diǎn)；綜上所述直線恒過定點(diǎn).18.如圖，在四棱臺(tái)中，平面平面.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：連接，因?yàn)?，，所以，所以四點(diǎn)在同一平面上，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，可得四邊形為平行四邊形，所以；?）解：因?yàn)?，，，，所以四邊形是等腰梯形，做交與點(diǎn)，可得，所以，且，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)向量為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，得，所以，設(shè)向量為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，得，所以，，設(shè)平面與平面所成角的為，所以；（3）解：由（2）建立的空間直角坐標(biāo)系，得，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，得，所以，則點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)，則，因?yàn)榕c共線，，可得，，所以點(diǎn)到平面的距離為，解得，或（舍去），此時(shí)，，所以點(diǎn)到平面的距離.19.如圖，