山東省威海市文登區(qū)2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省威海市文登區(qū)2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，所以，或x>1，由，得，所以，所以.故選：D.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】由，可得，則，則.故選：C3.已知命題，命題，則成立是成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解：由，得，解得；由，得，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，所以成立是成立的充分不必要條件，故選：A4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故.故選：A5.已知為橢圓的上焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圓方程得：圓心，半徑；由橢圓方程得：，，設(shè)橢圓下焦點(diǎn)為，則，由橢圓定義知：，；（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），，又（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），，即的最大值為.故選：D.6.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，則，則是偶函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，且，即，所以，則，所以選項(xiàng)B正確，當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)A和D錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選：B.7.已知定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)，則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）A.6 B.8 C.10 D.14【答案】C【解析】依題意，是定義在R上的偶函數(shù)，圖像關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)?，所以，所以是周期為周期函?shù)，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.函數(shù)的圖像也關(guān)于直線對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，，所以直線與曲線y=gx相切于點(diǎn)畫出、在區(qū)間上的圖像如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖像有個(gè)公共點(diǎn)，所以所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.故選：C8.在中，，，是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.是的一個(gè)周期 B.是的一條對(duì)稱軸C.的值域?yàn)?D.在上單調(diào)遞減【答案】BC【解析】圖像如圖所示：由圖像可得，函數(shù)的最小正周期為2π，故選項(xiàng)A是的一條對(duì)稱軸，故選項(xiàng)B正確，符合題意；的值域?yàn)椋蔬x項(xiàng)C正確，符合題意；在上先增后減，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：BC.10.如圖，在四邊形中，為邊上的一列點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且滿足，其中數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，則（）A.數(shù)列為等比數(shù)列B.數(shù)列的前項(xiàng)和為C.數(shù)列為遞增數(shù)列D.【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)闉檫吷系囊涣悬c(diǎn)，設(shè)，即，所以，即，所以，即，所以數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，故是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，，的前項(xiàng)和為，B正確；CD選項(xiàng)，，故，顯然，則數(shù)列不是遞增數(shù)列，C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD11.已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)滿足，則（）A.點(diǎn)到平面的距離為B.二面角的正弦值為C.當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體外接球所得截面面積的取值范圍為D.若是對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最小值為【答案】ACD【解析】如圖1，易知，面，面，所以面，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，即點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），因?yàn)槊?，所以到平面的距離，也即到平面的距離，連接交于，易知為中點(diǎn)，則到平面的距離等于到平面的距離，又正方體的棱長(zhǎng)為，則，所以，設(shè)到平面的距離為，由，得到，解得，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，如圖1，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，易知，所以為二面角的平面角，在中，，，所以，則，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，正方體的外接球的球心為正方體的體心，且外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，則，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的平面經(jīng)過(guò)球心時(shí)，此時(shí)平面截該正方體外接球所得截面面積最大，截面面積為，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的平面經(jīng)不過(guò)球心時(shí)，不妨設(shè)截面圓的半徑為，球心到截面圓的距離為，則，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)為截面圓的圓心時(shí)取等號(hào)，即截面圓的直徑為，此時(shí)，所以平面截該正方體外接球所得截面面積最小值為，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，如圖2，將平面繞著旋轉(zhuǎn)到位置，使之與平面在一個(gè)平面內(nèi)，因是對(duì)角線上一點(diǎn)，要使最小，需使三點(diǎn)共線，且.設(shè)，則，故，于，故選項(xiàng)D正確，故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知底面半徑為3的圓錐，其軸截面是正三角形，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為1，則此圓柱的側(cè)面積為_(kāi)_________.【答案】【解析】如圖作出圓錐的軸截面，根據(jù)題意可知,,所以可得,根據(jù)三角形相似可得,所以,可求得,根據(jù)圓柱側(cè)面積公式可得.故答案為：13.已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再將得到的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則__________.【答案】【解析】，變換后函數(shù)式為，它的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則，,又，所以，故答案為：．14.已知，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與的左?右兩支分別交于，兩點(diǎn).若以的中心為圓心，的長(zhǎng)為直徑的圓與的右支的一個(gè)交點(diǎn)恰為，若，，成等差數(shù)列，則的漸近線方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】如圖所示，由已知以的中心為圓心，的長(zhǎng)為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，可知，再由，，成等差數(shù)列，得，由雙曲線定義可知，，則，即，，又，則，即，則，即漸近線方程為，故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和記為，其中為常數(shù)且.（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，求；（2）若，求.解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，即，解得，所以，公差為2，所以.（2）當(dāng)時(shí)，①所以②所以②-①得，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，解得，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為；偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，所以.16.在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）若，如圖，是上的動(dòng)點(diǎn)，且始終等于，記.當(dāng)為何值時(shí)，的面積取到最小值，并求出最小值.解：（1）在中，由正弦定理可得，所以，所以，即得，因，所以，所以，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，由?）知，所以，在中，由正弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，即，所以當(dāng)時(shí)，的面積取到最小值，最小值為.17.如圖，在四棱錐中，平面平面為等邊三角形，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切危砸驗(yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）解：連接，因?yàn)?，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可得，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最大值，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）令.若曲線與存在公切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），①當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?,+∞，令f'x>0，即得，所以因?yàn)?，解得：；令，解得：，②?dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋頵'x>0，即得，所以因?yàn)椋獾茫?，令，解得：，綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題意知：設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)，則hx在處的切線方程為.③設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)，則在處的切線方程為.④聯(lián)立③④，得，當(dāng)時(shí)，，代入方程組，不成立，所以消去得.設(shè)函數(shù)且.令，得或.令φ'x>0，解得且；令φ'x<0，解得所以φx在和上單調(diào)遞減，在12,1和上單調(diào)遞增，因?yàn)椋Y(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，方程有解，從而當(dāng)時(shí)，曲線y=gx與存在公切線19.定義二元函數(shù)，同時(shí)滿足：①