山西省運(yùn)城市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省運(yùn)城市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2．答題時(shí)使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4．保持卡面清潔，不折疊，不破損.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線方程可化為，則直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，則，由，則，即傾斜角為.故選：C.2.各項(xiàng)為正的等比數(shù)列中，，則的前4項(xiàng)和（）A.40 B.121 C.27 D.81【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為,故選：A.3.如圖，空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在線段OA上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】點(diǎn)M在線段OA上，且，又，∵N為BC的中點(diǎn)，.故選：D.4.萬眾矚目的北京冬奧會(huì)于2022年2月4日正式開幕，是繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后，國(guó)家體育場(chǎng)（又名鳥巢）再次承辦奧運(yùn)會(huì)開幕式．在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知大橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則小橢圓的短軸長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)橢圓的扁平程度相同，所以兩個(gè)橢圓的離心率相同，所以兩橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比例相同，則，即，得，所以小橢圓的短軸長(zhǎng)為：．故選：C．5.已知函數(shù)，只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，令，得，設(shè)，，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，的最大值為，并且時(shí)，，時(shí)，，如圖，畫出函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，即與只有一個(gè)交點(diǎn)，且，所以.故選：A6.已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列 B.當(dāng)時(shí)，最大C. D.【答案】D【解析】對(duì)A：設(shè)數(shù)列的公差為，由，得，又因?yàn)?，所以，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)?，，，所以?dāng)時(shí)，有最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：D.7.已知拋物線，圓：，過圓心作直線與拋物線和圓交于四點(diǎn)，自上而下依次為，，，，若，，成等差數(shù)列，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓：的圓心，半徑，顯然點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線為，設(shè)，則，而，由，，成等差數(shù)列得，，因此，即有，解得，設(shè)直線的方程為，顯然，由消去y得：，則有，解得，所以直線的斜率為.故選：B8.定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),，若實(shí)數(shù)a滿足，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得.令，則，即為偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；所以在上單調(diào)遞減.由，得，即.又為偶函數(shù)，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，解得，或，所以a的取值范圍為.故選：C.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知兩圓方程為與，則下列說法正確的是（）A.若兩圓有3條公切線，則B.若兩圓公共弦所在的直線方程為，則C.若兩圓公共弦長(zhǎng)為，則D.若兩圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直，則【答案】ABD【解析】設(shè)圓為圓，圓的圓心為，半徑，設(shè)圓為圓，圓的圓心為，半徑，.A選項(xiàng)，若兩圓有3條公切線，則兩圓外切，所以，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，由兩式相減并化簡(jiǎn)得，則，此時(shí)，滿足兩圓相交，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，由兩式相減并化簡(jiǎn)得，到直線的距離為，所以，即，則解得或，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若兩圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直，設(shè)交點(diǎn)為，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，所以，D選項(xiàng)正確.故選：ABD10.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則下面結(jié)論正確的為（）A. B.的遞增區(qū)間為C.的極小值為1 D.的極大值為【答案】AD【解析】由題可得，，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，則，解得，故，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間為，故A正確，B錯(cuò)誤；由上可知，的極大值為，極小值為，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.11.若直線是曲線與曲線的公切線，則（）A B.C. D.【答案】BD【解析】令，則，令，有，則，即有，即，故，令，則，令，有，則，即有，即，故有，即.

故選：BD.12.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，G為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點(diǎn)G，使得平面EFGC.G為中點(diǎn)時(shí)，直線EG與所成角最小D.點(diǎn)F到直線EG距離的最小值為【答案】AB【解析】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，，，.對(duì)于A項(xiàng)，在正方體中，平面平面，平面，由面面平行的性質(zhì)可得，平面，由點(diǎn)G在線段上，則到平面的距離，即點(diǎn)到平面的距離等于.因?yàn)椋?則是個(gè)定值，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，假設(shè)存在點(diǎn)G﹐使得平面.設(shè).，，，，則.所以，，所以，滿足條件.此時(shí)有，，平面，平面，，所以，存在點(diǎn)G﹐使得平面，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)直線EG與所成角為.因?yàn)椋?所以，所以.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值，顯然有，則有最大值，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，在方向上投影向量的長(zhǎng)度為，由C知，當(dāng)時(shí)，有最小值，則有最大值為，又，所以點(diǎn)F到直線EG距離的最小值為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則公差__________．【答案】3【解析】依題意，得，而，得，故答案為：314.已知平面的一個(gè)法向量為,點(diǎn)在平面內(nèi),則點(diǎn)到平面的距離為______．【答案】【解析】因?yàn)?，平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)P到平面的距離．故答案為：15.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．過作其中一條漸近線的垂線，交雙曲線的右支于點(diǎn)P，若，則雙曲線的離心率為______．【答案】【解析】如下圖，垂直一條漸近線，則，過作，故，又，∴，，又在△中，故，，由雙曲線定義知：，則，∴.故答案為：.16.若對(duì)任意的，且，都有成立，則m的取值范圍為__________．【答案】【解析】對(duì)任意的，且，可得，由，可得，即，即，即由且，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，由解得，所以是的子集，所以，即m的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，第17題分，其余每題各12分，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或者演算步驟.17.已知圓C的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)且被圓C截得的弦長(zhǎng)為的直線方程．解：（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓C的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)，，解方程組得；所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，圓心到直線l的距離，所以，解得或，所以直線l的方程為或18.已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在定義域內(nèi)的極值；（2）若在內(nèi)存在增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）設(shè)，其中，則，當(dāng)時(shí)，若，則，故在上為增函數(shù)；若，則，故在上為減函數(shù)；故有極大值，其極大值為，無極小值.（2）因?yàn)樵趦?nèi)存在增區(qū)間，所以在有解，即在有解，所以今，則令得，令得，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增所以，故.19.如圖,在三棱柱中,.（1）求證：平面；（2）若，直線AB與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)椋倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以四邊形是菱形，所以，又因?yàn)?，、平面，，所以平面，又因平面，，且、平面，，所以平面；?）因?yàn)锳B與平面所成角為，平面，所以，因?yàn)?，所以是正三角形，設(shè)，則，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)二面角的大小為(由圖可知為銳角)，因?yàn)?，所以平面與平面的夾角的余弦值為.20.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，其中．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意且，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，又，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，，，則有，兩式相減得：，于是得，因?yàn)榍?，，?dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列，所以的最小值為18，因此.21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，設(shè)點(diǎn)，在中，．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)P，Q為C上異于點(diǎn)A兩動(dòng)點(diǎn)，記直線AP，AQ的斜率分別為，若，求證：直線PQ過定點(diǎn)．解：（1）由題意知，由，，橢圓方程為；（2）當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí)，設(shè)直線PQ方程為（且）則解得，不符合題設(shè)；從而可設(shè)直線PQ的方程設(shè)為，，則有由，（舍）或，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，，∴PQ直線恒過定點(diǎn).22.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，又，則，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，是增