概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五章統(tǒng)計量的分布

概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五章統(tǒng)計量的分布統(tǒng)計量是樣本的不含任何未知數(shù)的函數(shù)，它是一個隨機變量統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。由于正態(tài)總體是最常見的總體，因此這里主要討論正態(tài)總體下的抽樣分布.由于這些抽樣分布的論證要用到較多的數(shù)學(xué)知識，故在本節(jié)中，我們主要給出有關(guān)結(jié)論，以供應(yīng)用.第2頁,共40頁，星期六，2024年，5月正態(tài)總體樣本均值的分布設(shè)總體，是的一個樣本,則樣本均值服從正態(tài)分布U—分布第3頁,共40頁，星期六，2024年，5月概率分布的分位數(shù)(分位點)使P{X≥x

}=

，定義對總體X和給定的

(0<<1)，若存在x

，則稱x

為X分布的上側(cè)

分位數(shù)或上側(cè)臨界值.如圖.

x

oyxP{X≥x

}=

若存在數(shù)

1、

2，使P{X≥

1}=P{X≤

2}則稱

1、

2為X分布的雙側(cè)

分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.oyx

2

1第4頁,共40頁，星期六，2024年，5月雙側(cè)

分位數(shù)或雙側(cè)臨界值的特例當X的分布關(guān)于y軸對稱時，則稱為X分布的雙側(cè)

分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.如圖.若存在使yxO第5頁,共40頁，星期六，2024年，5月U—分布的上側(cè)分位數(shù)對標準正態(tài)分布變量U～N(0,1)和給定

的，上側(cè)

分位數(shù)是由：P{U≥u

}=即P{U<u

}=1-

(u

)=1-

確定的點u

.如圖.

(x)xOu

例如，

=0.05，而P{U≥1.645}=0.05所以，u0.05=1.645.第6頁,共40頁，星期六，2024年，5月U—分布的雙側(cè)分位數(shù)的點u

/2為標準正態(tài)分布的雙側(cè)

分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.如圖.u

/2可由P{U≥u

/2}=

/2對標準正態(tài)分布變量U～N(0,1)和給定

的，稱滿足條件P{|U|≥u

/2}=

即

(u

/2)=1-

/2反查標準正態(tài)分布表得到，P{U≥1.96}=0.05

/2例如，求u0.05/2，得u0.05/2=1.96

(x)Ou

/2

/2-u

/2

/2x第7頁,共40頁，星期六，2024年，5月標準正態(tài)分布的分位數(shù)在實際問題中，

常取0.1、0.05、0.01.常用到下面幾個臨界值：u0.05=1.645，u0.01=2.326u0.05/2=1.96，u0.01/2=2.575第8頁,共40頁，星期六，2024年，5月

數(shù)理統(tǒng)計中常用的分布除正態(tài)分布外，還有三個非常有用的連續(xù)型分布，即

2分布t

分布F分布數(shù)理統(tǒng)計的三大分布(都是連續(xù)型).它們都與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系.！在本章中特別要求掌握對正態(tài)分布、

2分布、t分布、F分布的一些結(jié)論的熟練運用.它們是后面各章的基礎(chǔ).第9頁,共40頁，星期六，2024年，5月——分布

定義設(shè)總體，是的一個樣本,則稱統(tǒng)計量服從自由度為n的分布，記作自由度是指獨立隨機變量的個數(shù)，分布的密度函數(shù)為第10頁,共40頁，星期六，2024年，5月01357911131517x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10圖5-4f(y)其圖形隨自由度的不同而有所改變.

2分布表(附表3(P254)).分布密度函數(shù)的圖形第11頁,共40頁，星期六，2024年，5月滿足的數(shù)為

2分布的上

分位數(shù)或上側(cè)臨界值，其幾何意義見圖5-5所示.其中f(y)是

2-分布的概率密度.f(y)xO

圖5-5顯然，在自由度n取定以后，的值只與

有關(guān).例如，當n=21，

=0.05時，由附表3(P254)可查得，32.67即

2分布的上

分位數(shù)第12頁,共40頁，星期六，2024年，5月

2分布的雙側(cè)

分位數(shù)把滿足的數(shù)稱為

2分布的雙側(cè)

分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.見圖.f(x)xO圖6-4顯然，為

2分布的上分位數(shù).為

2分布的上分位數(shù).如當n=8,

=0.05時，2.1817.53第13頁,共40頁，星期六，2024年，5月

2分布的數(shù)學(xué)期望與方差（補充）設(shè)

2～

2(n)，則E(

2)=n，D(

2)=2n.

2分布的可加性設(shè)且相互獨立，則第14頁,共40頁，星期六，2024年，5月性質(zhì)設(shè)(X1，X2，…，Xn)為取自正態(tài)總體X～N(

，

2)的樣本，則證明由已知，有Xi～N(

，

2)且X1，X2，…，Xn相互獨立，則且各相互獨立，由定義5.3得(P111第五題要用到此結(jié)論.)第15頁,共40頁，星期六，2024年，5月

定理5.1設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來自正態(tài)總體

X～N(

，

2)的樣本，則(1)樣本均值與樣本方差S

2相互獨立；(2)(5.8)(5.8)式的自由度為什么是n-1？從表面上看，是n個正態(tài)隨機變量的平方和，但實際上它們不是獨立的，它們之間有一種線性約束關(guān)系：=0這表明，當這個n個正態(tài)隨機變量中有n-1個取值給定時，剩下的一個的取值就跟著唯一確定了，故在這n項平方和中只有n-1項是獨立的.所以(5.8)式的自由度是n-1.第16頁,共40頁，星期六，2024年，5月

定理5.1設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來自正態(tài)總體

X～N(

，

2)的樣本，則(1)樣本均值與樣本方差S

2相互獨立；(2)(5.8)與以下補充性質(zhì)的結(jié)論比較：性質(zhì)設(shè)(X1，X2，…，Xn)為取自正態(tài)總體X～N(

，

2)的樣本，則第17頁,共40頁，星期六，2024年，5月三、t分布定義5.4設(shè)隨機變量X～N(0，1)，Y～

2(n)

，且X與Y相互獨立，則稱統(tǒng)計量服從自由度為n的t分布或?qū)W生氏分布，記作t分布的概率密度函數(shù)為T

～t(n).其圖形如圖5-6所示(P106)，其形狀類似標準正態(tài)分布的概率密度的圖形.當n較大時，t分布近似于標準正態(tài)分布.第18頁,共40頁，星期六，2024年，5月當n較大時，t分布近似于標準正態(tài)分布.一般說來，當n>30時，t分布與標準正態(tài)分布N(0，1)就非常接近.但對較小的n值，t分布與標準正態(tài)分布之間有較大差異.且P{|T|≥t0}≥P{|X|≥t0}，其中X～N(0，1)，即在t分布的尾部比在標準正態(tài)分布的尾部有著更大的概率.t

分布的數(shù)學(xué)期望與方差（補充）設(shè)T～t

(n)，則E(T)=0，D(T)=第19頁,共40頁，星期六，2024年，5月定理5.2設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來自正態(tài)總體

X～N(

，

2)的樣本，則統(tǒng)計量證由于與S

2相互獨立，且由定義5.4得第20頁,共40頁，星期六，2024年，5月定理5.3設(shè)(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2)

分別是來自正態(tài)總體N(

1

，

2)和N(

2

，

2)的樣本，且它們相互獨立，則統(tǒng)計量其中、分別為兩總體的樣本方差.(證略).第21頁,共40頁，星期六，2024年，5月t分布的上

分位數(shù)對于給定的

(0<

<1)，稱滿足條件的數(shù)t

(n)為t分布的上

分位數(shù)或上側(cè)臨界值，其幾何意義見圖5-7.

f(t)tOt

(n)

圖5-7第22頁,共40頁，星期六，2024年，5月t分布的雙側(cè)

分位數(shù)由于t分布的對稱性，稱滿足條件的數(shù)t

/2(n)為t分布的雙側(cè)

分位數(shù)或雙側(cè)臨界值，其幾何意義如圖5-8所示.f(t)tOt

/2(n)

/2

/2-t

/2(n)圖5-8第23頁,共40頁，星期六，2024年，5月在附表4(P256)中給出了t分布的臨界值表.例如，當n=15，

=0.05時，查t分布表得，t0.05(15)=t0.05/2(15)=1.7532.131其中t0.05/2(15)由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得.但當n>45時，如無詳細表格可查，可以用標準正態(tài)分布代替t分布查t

(n)的值.即t

(n)≈u

，n>45.一般的t分布臨界值表中，詳列至n=30，當n>30就用標準正態(tài)分布N(0,1)來近似.第24頁,共40頁，星期六，2024年，5月四、F分布服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，定義5.5

設(shè)隨機變量X～

2(n1)、Y～

2(n2)，且與相互獨立，則稱隨機變量記作F～F(n1，n2).概率密度函數(shù)其中其圖形見圖5-9.(P108)

第25頁,共40頁，星期六，2024年，5月性質(zhì)：若X～F(n1，n2)，則～F(n2，n1).F

分布的上

分位數(shù)對于給定的

(0<

<1)，稱滿足條件的數(shù)F

(n1，n2)為F分布的上

分位數(shù)或上側(cè)臨界值，其幾何意義如圖5-7所示.f(y)xO

圖5-7F

(n1,n2)其中f(y)是F分布的概率密度.第26頁,共40頁，星期六，2024年，5月F分布的上

分位數(shù)

F

(n1,n2)的值可由F

分布表查得.附表5、6、7(P258～P266)分

=0.1、

=0.05、

=0.01給出了F分布的上

分位數(shù).當時n1=2,n2=18時，有F0.01(2,18)=6.01在附表5、6、7中所列的

值都比較小，當

較大時，可用下面公式查表時應(yīng)先找到相應(yīng)的

值的表.例如，≈0.166第27頁,共40頁，星期六，2024年，5月F分布的雙側(cè)

分位數(shù)稱滿足條件為F分布的雙側(cè)

分位數(shù)的或雙側(cè)臨界值.見圖.顯然，為F分布的上分位數(shù)；為F分布的上分位數(shù)；圖6-4f(y)xO

/2

/2第28頁,共40頁，星期六，2024年，5月定理5.4

為正態(tài)總體的樣本容量和樣本方差；設(shè)為正態(tài)總體的樣本容量和樣本方差；且兩個樣本相互獨立，則統(tǒng)計量證明由已知條件知且相互獨立，由F分布的定義有第29頁,共40頁，星期六，2024年，5月小結(jié)幾種常用分布的定義第30頁,共40頁，星期六，2024年，5月正態(tài)總體樣本均值的分布設(shè)總體，是的一個樣本,則樣本均值服從正態(tài)分布U—分布第31頁,共40頁，星期六，2024年，5月——分布

定義設(shè)總體，是的一個樣本,則稱統(tǒng)計量服從自由度為n的分布，記作自由度是指獨立隨機變量的個數(shù)，n個相互獨立的標準正態(tài)分布之平方和服從自由度為n的分布第32頁,共40頁，星期六，2024年，5月t—分布定義5.4設(shè)隨機變量X～N(0，1)，Y～

2(n)

，且X與Y相互獨立，則稱統(tǒng)計量服從自由度為n的t分布或?qū)W生氏分布，記作T

～t(n).

t-分布的密度函數(shù)的圖形相似于標準正態(tài)分布的密度函數(shù).當n較大時，t分布近似于標準正態(tài)分布.第33頁,共40頁，星期六，2024年，5月F分布服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，定義5.5

設(shè)隨機變量X～

2(n1)、Y～

2(n2)，且與相互獨立，則稱隨機變量記作F～F(n1，n2).第34頁,共40頁，星期六，2024年，5月例1

設(shè)總體X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn為簡單隨機樣本，試問下列統(tǒng)計量各服從什么分布？解(1)因為Xi～N(0,1)，i=1,2,…,n.所以X1-X2～N(0,2)，故～t(2).第35頁,共40頁，星期六，2024年，5月例1

設(shè)總體X～N(0,1)，X1，X2，