2024-2025學年高中數(shù)學習題課二導數(shù)及其應用北師大版選修2-2

PAGE1-習題課（二）導數(shù)及其應用1.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)＝a(x－b)2＋c的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象可能是()解析：選D由導函數(shù)圖象可知，當x<0時，函數(shù)f(x)遞減，解除A、B；當0<x<x1時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)遞增．因此，當x＝0時，f(x)取得微小值，故選D.2．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋cx＋d有極值，則c的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))解析：選A由題意得f′(x)＝x2－x＋c，若函數(shù)f(x)有極值，則Δ＝1－4c＞0，解得c＜eq\f(1,4).3．已知函數(shù)f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值，則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間是()A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)解析：選B因為函數(shù)f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0，解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函數(shù)的一個遞增區(qū)間是(3，＋∞)．4．已知f(x)＝3x2＋lnx，則eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋2Δx－f1－Δx,Δx)＝()A．7 B．eq\f(7,3)C．21 D．－21解析：選C∵f′(x)＝6x＋eq\f(1,x)，∴eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋2Δx－f1－Δx,Δx)＝3eq\o(lim,\s\do4(3Δx→0))eq\f(f1＋2Δx－f1－Δx,3Δx)＝3f5．函數(shù)y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值為()A．e B．1C．－1 D．－e解析：選C函數(shù)y＝lnx－x的定義域為(0，＋∞)，又y′＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，令y′＝0得x＝1，當x∈(0,1)時，y′>0，函數(shù)單調遞增；當x∈(1，e)時，y′<0，函數(shù)單調遞減．當x＝1時，函數(shù)取得最大值－1，故選C.6．已知函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋2x2＋2x，若存在滿意0≤x0≤3的實數(shù)x0，使得曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線與直線x＋my－10＝0垂直，則實數(shù)m的取值范圍是()A．[6，＋∞) B．(－∞，2]C．[2,6] D．[5,6]解析：選Cf′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6，因為x0∈[0,3]，所以f′(x0)∈[2,6]，又因為切線與直線x＋my－10＝0垂直，所以切線的斜率為m，所以m的取值范圍是[2,6]．7．(2024·天津高考)曲線y＝cosx－eq\f(x,2)在點(0,1)處的切線方程為________．解析：y′＝－sinx－eq\f(1,2)，將x＝0代入，可得切線斜率為－eq\f(1,2).所以切線方程為y－1＝－eq\f(1,2)x，即y＝－eq\f(1,2)x＋1.答案：y＝－eq\f(1,2)x＋18．內接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為________．解析：設圓錐高為h，底面半徑為r，則R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h(huán)2，∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)h(2Rh－h(huán)2)＝eq\f(2,3)πRh2－eq\f(π,3)h3，V′＝eq\f(4,3)πRh－πh2.令V′＝0得h＝eq\f(4,3)R.當0<h<eq\f(4R,3)時，V′>0；當eq\f(4R,3)<h<2R時，V′<0.因此當h＝eq\f(4,3)R時，圓錐體積最大．答案：eq\f(4,3)R9．設x1，x2是函數(shù)f(x)＝x3－2ax2＋a2x的兩個極值點，若x1＜2＜x2，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：由題意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的兩個零點x1，x2滿意x1＜2＜x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a答案：(2,6)10．已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2＋4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝2x－3.(1)求a，b的值；(2)探討f(x)的單調性，并求f(x)的微小值．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x＋4.∵曲線在點(0，f(0))處的切線方程為y＝2x－3.∴f(0)＝－3，f′(0)＝2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,a＋b＋4＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－3.))(2)由(1)，知f(x)＝ex(x－3)－x2＋4x，f′(x)＝ex(x－2)－2x＋4＝(x－2)(ex－2)．令f′(x)＝0，得x＝ln2或x＝2.∴當x∈(－∞，ln2)∪(2，＋∞)時，f′(x)>0；當x∈(ln2,2)時，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，ln2)，(2，＋∞)上單調遞增，在(ln2,2)上單調遞減．∴當x＝2時，函數(shù)f(x)取得微小值，且微小值為f(2)＝4－e2.11．某工廠某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為1000x噸，其中x∈[20,100]，須要投入的成本為C(x)(單位：萬元)，當x∈[20,80]時，C(x)＝eq\f(1,2)x2－30x＋500；當x∈(80,100]時，C(x)＝eq\f(20000,\r(x)).若每噸商品售價為eq\f(lnx,x)萬元，通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．(1)寫出年利潤L(x)(單位：萬元)關于x的函數(shù)關系式；(2)年產(chǎn)量為多少噸時，該廠所獲利潤最大？解：(1)由題意，知L(x)＝1000lnx－C(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1000lnx－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－30x＋500))，x∈[20，80]，,1000lnx－\f(20000,\r(x))，x∈80，100].))(2)當x∈[20,80]時，L′(x)＝－eq\f(x－50x＋20,x)，由L′(x)≥0，得20≤x≤50；由L′(x)≤0，得50≤x≤80，∴L(x)在[20,50]上單調遞增，在[50,80]上單調遞減，∴當x＝50時，L(x)max＝1000ln50－250；當x∈(80,100]時，L(x)＝1000lnx－eq\f(20000,\r(x))單調遞增，∴L(x)max＝1000ln100－2000.∵1000ln50－250－(1000ln100－2000)＝1750－1000ln2>1750－1000>0，∴當x＝50，即年產(chǎn)量為50000噸時，利潤最大，最大利潤為(1000ln50－250)萬元．12．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx的導函數(shù)為h(x)，f(x)的圖象在點(－2，f(－2))處的切線方程為3x－y＋4＝0，且h′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝0，又直線y＝x是函數(shù)g(x)＝kxex的圖象的一條切線．(1)求函數(shù)f(x)的解析式及k的值；(2)若f(x)≤g(x)－m＋1對于隨意x∈[0，＋∞)恒成立，求m的取值范圍．解：(1)由f(x)＝ax3＋bx2＋cx，可知h(x)＝f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由f(x)在(－2，f(－2))處的切線方程為3x－y＋4＝0可知，f(－2)＝－8a＋4b－2cf′(－2)＝12a－4b＋c＝3，又由h′(x)＝6ax＋2b可知，h′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－4a＋2b＝0，③由①②③，解得a＝eq\f(1,2)，b＝1，c＝1，即f(x)的解析式為f(x)＝eq\f(1,2)x3＋x2＋x.由題意，g(x)＝kxex與y＝x相切可知函數(shù)在原點或(－lnk，－lnk)處切線斜率為1.因為g′(x)＝k(ex＋xex)，所以g′(0)＝k＝1或g′(－lnk)＝1，得k＝1.綜上可得k的值為1.(2)若f(x)≤g(x)－m＋1對隨意x∈[0，＋∞)恒成立，即eq\f(1,2)x3＋x2＋x≤xex－m＋1恒成立，則m－1≤xex－eq\f(1,2)x3－x2－x恒成立．設t(x)＝xex－eq\f(1,2)x3－x2－x＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,2)x2－x－1))，令p(x)＝ex－eq\f(1,2)x2－x－1，p′(x)＝