微專題2　基本初等函數(shù)、函數(shù)零點

板塊一函數(shù)與導數(shù)微專題2基本初等函數(shù)、函數(shù)零點高考定位1.基本初等函數(shù)的圖象與性質是高考考查的重點，利用函數(shù)性質比較大小、解不等式是常見題型；2.函數(shù)零點的個數(shù)判斷及參數(shù)范圍是高考熱點，常以壓軸題的形式出現(xiàn).【

真題體驗

】1.(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，則a，b，c的大小關系為A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a√由函數(shù)y＝4.2x單調(diào)遞增可知，0<a<1<b，又c＝log4.20.2<0，故b>a>c，選B.√y＝eu為R上的增函數(shù)，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.且f(x＋2)＝e－(x－1)2，f(－x)＝e－(x－1)2＝e－(x－1)2，則f(x＋2)＝f(－x)，即f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，√√由題意知f(x)＝g(x)，則a(x＋1)2－1＝cosx＋2ax，即cosx＝a(x2＋1)－1.令h(x)＝cosx－a(x2＋1)＋1.易知h(x)為偶函數(shù)，由題意知h(x)在(－1，1)上有唯一零點，所以h(0)＝0，即cos0－a(0＋1)＋1＝0，得a＝2，故選D.精準強化練熱點一基本初等函數(shù)的圖象與性質熱點二函數(shù)的零點熱點三函數(shù)模型及其應用熱點突破熱點一基本初等函數(shù)的圖象與性質例1√因為函數(shù)y＝loga(－x)的圖象與函數(shù)y＝logax的圖象關于y軸對稱，所以函數(shù)y＝loga(－x)的圖象恒過定點(－1，0)，故選項A，B錯誤.√√1.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質會受底數(shù)a的影響，解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)問題時，首先要看底數(shù)a的取值范圍.2.基本初等函數(shù)的圖象和性質是統(tǒng)一的，在解題中可相互轉化.規(guī)律方法(1)(2024·上饒六校聯(lián)考)已知a＝log30.9，b＝0.30.4，c＝0.40.3，則a，b，c的大小關系為A.b<c<a B.a<b<c C.a<c<b D.b<a<c訓練1√由y＝log3x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，知a＝log30.9<log31＝0，由y＝0.3x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，知0<b＝0.30.4<0.30.3，由y＝x0.3在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，知c＝0.40.3>0.30.3.故a<b<c，故選B.√熱點二函數(shù)的零點判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：(1)利用零點存在定理判斷；(2)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根；(3)幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質找出零點或利用兩個函數(shù)圖象的交點求解.在利用函數(shù)性質時，可用求導的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性.(2024·重慶七校聯(lián)考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，且當x∈[－1，0]時，f(x)＝x2，函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，g(x)＝lgx，則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點的個數(shù)是________.例211因為f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x)＝f(x＋2)，則f(x)的周期為2，又f(x)為偶函數(shù)，且當x∈[－1，0]時，f(x)＝x2，所以可利用f(x)的周期性與奇偶性作出f(x)的大致圖象，因為g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，g(x)＝lgx，考向1函數(shù)零點的判斷所以函數(shù)y＝g(x)的大致圖象如圖所示.考慮特殊位置，當x＝－1時，f(－1)＝1，g(－1)＝－g(1)＝－lg1＝0；當x＝9時，f(9)＝f(1)＝f(－1)＝1，g(9)＝lg9<1；當x＝11時，f(11)＝f(1)＝1，g(11)＝lg11>1，函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)即函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)圖象的交點個數(shù)，所以由圖象可知函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)圖象的交點個數(shù)為11(不要忽略原點).例3√考向2求參數(shù)的值或取值范圍由圖可知，當a∈(－5，－4]時，直線y＝a與函數(shù)g(x)的圖象有3個交點，從而f(x)有3個零點.又x2－4x－a>0對x>0恒成立，即a<x2－4x對x>0恒成立，即a<(x2－4x)min，x>0，當x＝2時，y＝x2－4x，x>0取得最小值－4，所以a<－4，故a∈(－5，－4).故選A.例4√考向3零點的代數(shù)式問題√√g(x)＝f(x)＋a有四個零點x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，即g(x)＝f(x)＋a＝0有四個解，即y＝f(x)的圖象與直線y＝－a有四個交點，結合圖象可知0<－a<3，所以－3<a<0，故A錯誤.由圖可知x1＋x2＝－4，故B正確.當x>0時，f(x)＝|2x－4|，因為|2x3－4|＝|2x4－4|，所以4－2x3＝2x4－4，即2x4＋2x3＝8，即2x4＋x3<16＝24，所以x3＋x4<4，故C正確.又2x4＝8－2x3，所以2x3＋4x4＝2x3＋22x4＝2x3＋(8－2x3)2，令t＝2x3，t∈(1，4)，則2x3＋4x4＝t＋(8－t)2＝t2－15t＋64，

令h(x)＝x2－15x＋64，x∈(1，4)，利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值(或取值范圍)的三種方法(1)直接法：利用零點存在定理構建不等式確定參數(shù)的取值范圍；(2)分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題；(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解.規(guī)律方法訓練2√易知函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，√(2)(2024·海南質檢)函數(shù)y＝ex＋x2＋2x－1的零點個數(shù)為A.0 B.1 C.2 D.3函數(shù)y＝ex＋x2＋2x－1的零點個數(shù)即函數(shù)f(x)＝ex與g(x)＝－x2－2x＋1的圖象的交點個數(shù)，分別作出f(x)＝ex與g(x)＝－x2－2x＋1的圖象，如圖所示，由圖可知，兩圖象有2個交點，故原函數(shù)有2個零點，故選C.√畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖.令x1<x2<x3.根據(jù)圖象可得x2＋x3＝8，當2x1＋4＝－8時，x1＝－6，所以－6<x1<0，則x1＋x2＋x3的范圍是(2，8).故選A.熱點三函數(shù)模型及其應用例5√√√1.構建函數(shù)模型解決實際問題的失分點 (1)不能選擇相應變量得到函數(shù)模型； (2)構建的函數(shù)模型有誤； (3)忽視函數(shù)模型中變量的實際意義.2.解決新概念信息題的關鍵 (1)仔細審題，明確問題的實際背景，依據(jù)新概念進行分析； (2)有意識地運用轉化思想，將新問題轉化為我們所熟知的問題.規(guī)律方法(2024·廣東名校聯(lián)考)某造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為2.25g/m3，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為2.21g/m3，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量rn滿足函數(shù)模型rn＝r0＋(r1－r0)·30.25n＋t(t∈R，n∈N*)，其中r0為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，r1為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)，假設廢水中含有的污染物數(shù)量不超過0.25g/m3時符合廢水排放標準，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少要(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A.15次

B.16次 C.17次

D.18次訓練3√由題意知r0＝2.25g/m3，r1＝2.21g/m3，當n＝1時，r1＝r0＋(r1－r0)×30.25＋t，故30.25＋t＝1，t＝－0.25，故rn＝2.25－0.04×30.25(n－1)，故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少要16次，故選B.【精準強化練】√1.(2024·長沙質檢)函數(shù)f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零點所在的區(qū)間是A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)√2.(2024·長治調(diào)研)函數(shù)f(x)＝log2(|x|－1)的大致圖象是f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞).易知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，排除C，D；當x>1時，f(x)是增函數(shù)，排除A.故選B.√令t=ax2－x，因為函數(shù)y＝log2(ax2－x)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)y＝log2(ax2－x)在區(qū)間(1，2)上有意義，且t＝ax2－x在(1，2)上單調(diào)遞增，√4.(2024·成都診斷)海水中的光照強度隨著深度增加而減弱，可用ID＝I0e－KD表示其總衰減規(guī)律，其中K是平均消光系數(shù)(也稱衰減系數(shù))，D(單位：米)是海水深度，ID(單位：坎德拉)和I0(單位：坎德拉)分別表示在深度D處和海面的光強.已知某海區(qū)10米深處的光強是海面光強的30%，則該海區(qū)消光系數(shù)K的值約為(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6) A.0.12 B.0.11 C.0.07 D.0.01由題意得，30%I0＝I0e－10K，即30%＝e－10K，√5.(2024·昆明調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝a＋x＋lgx(1<x<10)有零點，則a的取值范圍為A.(－10，－1) B.(1，10) C.(1，11) D.(－11，－1)因為函數(shù)y＝x＋a與y＝lgx均在(1，10)上單調(diào)遞增，√7.(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函數(shù)y＝2x的圖象上兩個不同的點，則√因為(x1，y1)，(x2，y2)為函數(shù)y＝2x的圖象上兩個不同的點，所以y1＝2x1，y2＝2x2，且x1≠x2，則2x1≠2x2，

√√√√10.(2024·唐山部分學校聯(lián)考)某大型商場開業(yè)期間為吸引顧客，推出“單次消費滿100元可參加抽獎”的活動，獎品為本商場現(xiàn)金購物卡，可用于以后在該商場消費.已知抽獎結果共分5個等級，等級x與購物卡的面值y(元)的關系式為y＝eax＋b＋k，三等獎比四等獎的面值多100元，比五等獎的面值多120元，且四等獎的面值是五等獎的面值的3倍，則 A.a＝－ln5 B.k＝15 C.一等獎的面值為3130元

D.三等獎的面值為130元

√√√√√對于A，假設函數(shù)f(x)＝|lnx|存在“不動點”，則方程|lnx|＝x有解，結合對數(shù)函數(shù)的圖象可知方程有解，所以函數(shù)f(x)＝|lnx|存在“不動點”，故A滿足.對于B，假設函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋1存在“不動點”，則方程x2＋2x＋1＝x有解，得x2＋x＋1＝0，因為判別式Δ＝1－4＝－3<0，所以方程x2＋2x＋1＝x無解，故假設不成立，即函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋1不存在“不動點”，故B不滿足.對于D，假設函數(shù)f(x)＝ex＋2x存在“不動點”，則方程ex＋2x＝x有解，令h(x)＝ex＋x，則函數(shù)h(x)＝ex＋x在R上單調(diào)遞增，因為h(－2)＝e－2－2<0，h(1)＝e＋1>0，所以函數(shù)h(x)＝ex＋x在(－2，1)上存在零點，即ex＋2x＝x有解，所以函數(shù)f(x